Exempelsamling :: Vektorintro V0.95

Transkript

1 Exempelsamling :: Vektorintro V0.95 Mikael Forsberg :: 2 noember eräkna summan a ektorerna (1, 2) och (3, 1) mha geometrisk addition 2. Tå ektorer u = ( 2, 3) och adderas och blir ektorn w = (1, 7). eräkna med ektoraddition. 3. Tå personer X och Y drar en båt på ar sin sida a en smal kanal ars riktning går längs ektorn (1, 3). Personernas krafter på båten kan beskrias som X = (2, 2) och Y = ( 1, 3). eräkna den resulterande kraften som erkar på båten. Kommer båten att gå rakt i kanalen eller kommer den braka in i någon a kanalens sidor? Vilken sida i så fall? Rita bild och förklara. D C Figur 1: Fyra ektorer i planet. 4. I ild 1 ser i fyra ektorer. Genom att flytta ektorerna på lämpligt sätt agör om + = C + D. 5. Med ektorerna i figur 1 beräkna C och D. 6. Med ektorerna definierade a figur 1. (a) Visa att ( + ) = ( ) + ( ). (b) Visa att 2( + C) = 2 + 2C. (c) Visa att 3( C) = 3 3C 7. eskri ektorerna,, C och D, i figur 1 som ortsektorer och isa att +=+. Stämmer motsarande relation också för andra kombinationer a de fyra ektoererna. Tex är + C = C +? Vad måste gälla allmänt för tå ektorer u och? Spelar det någon roll ilken ordning i adderar dem, ilken ektor i skrier först?

2 8. Skri ned koordinatektorerna för ortsektorerna för ektorerna i figur 1. nänd dessa för att beräkna +,, C + D och C D Uppgifter som kräer kunskaper om skalärprodukten och längdbegreppet 9. eräkna längderna a följande ektorer a.) a = (1, 3) b.) b = (1, 2, 5) c.) c = ( 3, 2, 1, 3) D C Figur 2: 10. Uttryck ektorern i figur 2 som koordinatektorer och beräkna deras längder 11. Vilka par a ektorer i figur 2 är ortogonala och ilka är inte det? 12. Solen står i zenit och på den plana marken mäter Mehmet skuggan a en sned telefonstolpe till 5 meter. Han mäter också inkeln mellan stolpen och marken och får den till 60. Hur lång är telefonstolpen? Hur högt öer marken är dess topp? 13. eräkna aståndet mellan punkterna p 1 = ( 3, 2, 1) och p 2 = (2, 1, 1) 14. Projicera ektorn a = ( 1, 2, 1) på skillnadsektorn mellan punkterna i föregående uppgift. Är projektionens längd större eller mindre än aståndet mellan punkterna? 15. Normalisera ektorerna u = (3, 1, 1) och = ( 2, 2, 7). Uppgifter om Räta linjer och plan 16. eräkna, på ektor form, den linje som går genom punkterna p 1 = (2, 1, 3) och p 2 = (1, 3, 2) 17. Giet linjen l(t) = ( 3, 0, 4)t+(1, 0, 1). eräkna en normaliserad riktningsektor för linjen och tå punkter på linjen som ligger aståndet 1 från arandra. 18. Giet planet x 2y + 3z = 2 agör om följande tå linjer skär planet och beräkna skärningspunkten om en sådan finns. l 1 (s) = (1, 2, 1)s + (1, 1, 0), l 2 (t) = (1, 3, 1)t + (1, 1, 0). 2

3 19. I föregående uppgift så fann man att ena linjen inte skar planet. eräkna aståndet från denna linje till planet. 20. eräkna det plan som går genom punkterna p 1 = (1, 2, 1), p 2 = (3, 1, 1) och p 3 = (2, 1, 2). 3

4 Exempelsamling :: Vektorintro V0.95:: Sar :: 1. (4, 1) (se Figur 3) 2. = (3, 4) 3. De båda drar inte helt rakt och båten rör sig åt Y s håll. Om de inte korrigerar sitt dragande så kommer båten krascha in i Y s sida a kanalen. 4. se lösningen 5. se figur 5(b). 6. Se figur 6 7. Se figur Saret är lösningen. 9. (a) 10 (b) 30 (c) se lösningen 11. Endast är ortogonal mot C. 12. Telefonstolpens längd är 10m och toppen ligger m oanför marken Projektionen är 5 30 (5, 1, 2). Denna projetion är mindre än aståndet. 15. u u = (3, 1,1) 11, = ( 2,2, 7) l(t) = t + p 1 = ( 1, 4, 5)t + (2, 1, 3) 17. e = 1 5 ( 3, 0, 4) p 1 = (1, 0, 1) och p 2 = (1, 0, 1) + e = 1 5 (2, 0, 1) 18. Skärningspunkten blir 1 2 ( 1, 7, 3) 19. d = T.ex. x + 2y + z = 6

5 Exempelsamling :: Vektorintro V0.95:: Lösningar 1. Se Figur 3 (1,2) (3,-1) (4,1) Figur 3: Geometrisk addition a ektorerna (1, 2) och (3, 1) 2. Vi har att u + = w = w u = (1, 7) ( 2, 3) = (3, 4) 3. Se Figur 4 X+Y Y X Den riktning som X och Y tillsammans åstadkommer Kanalens riktning Figur 4: När X och Y drar så åstadkommer de en resulterande kraft som får båten att röra sig åt änster i kanalens riktning och riskera att krascha in i den sida som Y står på. 4. Lösningen ges i figur 5(a).

6 tt både + (rött) och C+D (grått) hamnar på samma ställe betyder de båda ektorsummorna är lika ilket är den blå ektorn C D -D -C (a) Genom att göra geometrisk addition så ser i att de båda summorna faktiskt är lika. (b) Geometrisk addition isar att i detta fall så gäller att C = D. Figur 5: ilder till uppgifterna 4 och 5 5. Se Figur 5(b). 6. Se figur (+)= (-)+(-) + +C 2(+C)= 2+2C C 2C 2 -C -C 3(-C)= 3-3C -3C 3 (a) ( + ) = ( ) + ( ) (b) 2( + C) = 2 + 2C. Figur 6: ilder till uppgift 6 (c) 3( C) = 3 3C. 6

7 7. För + = + se figur Figur 7: Parallellogrammet isar att ektoraddition är kommutati, ds + = + Samma sak gäller för alla andra par a ektorer så att i får den allmänna räkneregeln u + = + u man säger: Vektoradditionen är kommutati Vilken ordning man adderar tå ektorer spelar alltså ingen roll. 8. Vi har att = (3, 2) = ( 2, 4) C = ( 3, 1) D = (4, 3) ilket ger oss + = (3, 2) + ( 2, 4) = (1, 6) = (3, 2) ( 2, 4) = (5, 2) C + D = ( 3, 1) + (4, 3) = (1, 2) C D = ( 3, 1) (4, 3) = ( 7, 4) 9. (a) a = = = 10 (b) b = ( 2) = 30 (c) c = ( 3) ( 3) 2 = Koordinatektorerna blir = (3, 3) = ( 2, 4) C = ( 2, 1) D = (4, 3) = = 18 = ( 2) = 20) C = ( 2) 2 + ( 1) 2 = 5 D = = 25 = 5) 11. För att kolla ortogonalitet så behöer i beräkna skalärprodukten. Skalär produkten är noll om och bara om ektorerna är ortogonala. Vi har med koordinatektorerna beräknade i 7

8 föregående uppgift = (3, 3) ( 2, 4) = 6 12 = 18 0 C = (3, 3) ( 2, 1) = = 3 0 D = (3, 3) (4, 3)) = 12 9 = 3 0 C = ( 2, 4) ( 2, 1) = 4 4 = 0 D = ( 2, 4) (4, 3) = = 4 0 C D = ( 2, 1) (4, 3) = 8 3 = Skuggan har en iss ektorriktning som i kallar för och en enhetsektor i denna riktning blir. Telefonstolpen pekar i en annan riktning, som i kallar för T och i har att dess projektion i riktningen är 5 eftersom projektionen är skuggan när solen står i zenit. Projektionsformeln ger oss 60 5m Figur 8: Telefonstolpe med skugga ges a (där i anänder att inkeln mellan telefonstolpeek- Skalärprodukten mellan T och torn och skuggektorn är 60 ) proj T = T } {{ } =5 }{{} har längden 1 5 = T = T } {{ } =1 cos } {{ 60} = T 2 =1/2 Genom att lösa ut längden a T så får i att denna längd blir 10 Vi behöer nu beräkna höjden öer marken och har då att ektorn från skuggans spets till telefonstolpens topp (kallad y) kan skrias y = T 5 Dess längd i kadrat kan skrias y 2 = y y = (T 5 ) (T 5 ) = T T 10 T +25 = } {{ } } {{ } =5 = 2 =1 = T = = 75 8

9 från ilket det följer att höjen blir Man kan naturligtis också lösa detta med elementär trigonometri genom att utnyttja figur 8 Höjden får man genom att anända Pythagoras sats. 13. Skillnadsektor från p 1 till p 2 : d = p 2 p 1 = (2, 1, 1) ( 3, 2, 1) = (5, 1, 2) d = = Skillnadsektorn från föregående uppgift ble d = (5, 1, 2). Den sökta projektionen blir proj d a = a d d 2 d = 5 (5, 1, 2) 30 Projektionens längd blir proj d a = 5 30 ståndet är 30 > 5 medan projektionens längd är mindre än 1: 5 30 < 5 5 = Normalisering innebär att man diiderar ektorerna med dess längd. Vi har alltså u (3, 1, 1) = u 11 ( 2, 2, 7) = eräkna först linjens riktningsektor. Denna fås som skillnads ektorn = p 2 p 1 = ( 1, 4, 5) Sedan behöer i specificera en punkt som ska ligga på linjen. Här kan i t.ex. älja punkten p 1. Då blir linjen på ektorform: 17. Normalisering a riktningsektorn ger oss l(t) = t + p 1 = ( 1, 4, 5)t + (2, 1, 3) e = = 1 ( 3, 0, 4) 5 Vi har att p 1 = (1, 0, 1) är en punkt på linjen. En punkt som ligger aståndet 1 från denna får i om i adderar den normaliserade egenektorn (eftersom denna har längden 1) till år punkt. Vi får då att en andra punkt ges a: p 2 = p 1 + e = (1, 0, 1) ( 3, 0, 4) = 1 5 (5, 0, 5) ( 3, 0, 4) = 1 (2, 0, 1) För att en linje inte ska skära ett plan i det tredimensionella rummet så kräs att linjen är parallell med planet ilket inträffar precis om linjens riktningsektor är inkelrät mot planets normalektor. Eftersom den första linjens riktningsektor är 1 = (1, 2, 1) och planets normalektor är n = (1, 2, 3) så får i att skalärprodukten mellan dessa tå ektorer blir noll. Detta betyder alltså att den första linjen är parallell med planet. Det skulle dock kunna ara så att hela linjen ligger i planet, men detta kan inte ara fallet eftersom punkten (1, 1, 0) ligger på linjen men inte i planet. Den andra linjens riktningsektor är 2 = (1, 3, 1) och dess skalärprodukt med normalektorn blir 2 n = (1, 3, 1) (1, 2, 3) = 2 0 9

10 ilket alltså betyder att den andra linjen skär planet. För att beräkna skärningspunkten så sätter i in uttrycket för linjen i planets ekation: (x, y, z) = l(t) = (t+1, 3t+1, t) (t+1) 2(3t+1)+3t = 2) 2t 1 = 2) t = 3 2 För detta ärde på t så får i skärningspunkten genom: l 2 ( 3 2 ) = (1, 3, 1) (1, 1, 0) = 1 ( 1, 7, 3) 2 Man kan göra en kontroll här och erifiera att denna punkt erkligen uppfyller planets ekation. 19. Idé:: ilda en skillnadsektor mellan en punkt på linjen och en punkt på planet. Projicera denna ektor på planets normalektor. Längden a denna projektionsektor realiserar aståndet mellan planet och linjen. Skillnadsektor: p = (1, 1, 0) är en punkt på linjen och man kan lätt se att q = (2, 0, 0) är en punkt i planet. En skillnadsektor blir därför d = q p = (2, 0, 0) (1, 1, 0) = (1, 1, 0) Projektion på normalektorn: Vi anänder projektionsformeln proj n d = d n n n = 3 (1, 2, 3) 14 ståndet melllan linje och plan är längden a denna ektor och i får d = d = Ett plan karakteriseras som att skalärprodukten n = 0 för alla ektorer i planet, där n = (a, b, c) är den så kallade normalektorn som alltså ska ara inkelrät mot planet. För att få fram planets ekation så behöer i beräkna denna normalektor. Planets ekation blir då ax + by + cz = d, där d fås genom att i änster led sätta in en känd punkt (t.ex. p 1 ) i stället för x, y och z. Våra tre punkter som ska ligga i planet ger oss tre ektorer som ligger i planet: 1 = p 2 p 1 = (2, 1, 0), 2 = p 3 p 1 = (1, 1, 1), 3 = p 3 p 2 = ( 1, 0, 1), För att beräkna normalektorn så utnyttjar i att denna ska ara ortogonal mot åra tre ektorer som ligger i planet. Detta ger oss följande ekationssystem 0 = n 1 = 2a b 0 = n 2 = a b + c 0 = n 3 = a + c Subtraherar i den andra ekationen från den första så får i a c = 0 a = c Den tredje ekation ger oss samma sak. Sätter i in detta i den första så får i 2c b = 0 b = 2c. 10

11 För arje ärde på c så får i alltså en normalektor (a, b, c) = (c, 2c, c) = c(1, 2, 1) Oberoende på ad i äljer för ärde på c så får i en normalektor i planet. Denna ektor blir olika lång för olika ärden på c. För enkelhets skull så kan i älja c = 1 ilket ger oss normal ektorn (1, 2, 1). 1 Planets ekation är ax + by + cz = d x + 2y + z = d Sätter i in p 1 = (1, 2, 1) så får i Och i kan nu skria upp planets ekation som d = = 6 x + 2y + z = 6. Kommentar:: När i i kapitel 3 introducerat determinant så kan i definiera den så kallade kryssprodukten. Kryssprodukten a tå ektorer ger oss en ny ektor som är inkelrät mot de båda öriga ektorerna. I år uppgift skulle i kunnat beräkna normalektorn som kryssprodukten a 1 och 2 : n = 1 2 = det = [1, 2, 1] i j k Här fick i en normalektor som pekar precis i motsatt riktning som den i räknade ut i oan. Men detta är helt ok, denna ektor är ändå inkelrät mot planet. Kryssprodukten kommer i till lite senare, speciellt hur man utför räkningarna rent konkret! 1 Om i alde c = ± 1 6 så skulle i få en normalektor med längden 1. 11