NMCC Sigma 8. Täby Friskola 8 Spets

Transkript

1 NMCC Sigma 8 Täby Friskola 8 Spets Sverige

2 Innehållsförteckning Innehållsförteckning... 1 Inledning... 2 Sambandet mellan figurens nummer och antalet små kuber... 3 Metod Metod Metod Metod Metod Analys Sambandet mellan figurens nummer och antalet synliga sidor Noll synliga sidor En synlig sida Två synliga sidor Tre synliga sidor Fyra synliga sidor Samband Sammanfattning Källförteckning

3 Inledning Årets fördjupningsuppgift är att undersöka ett växande mönster. Vi svarar även på ett flertal frågeställningar om mönstret. Till ett antal frågor skapar vi flera olika lösningar där vi använder flera olika metoder, som vi sedan jämför med varandra. På så sätt ser vi olika samband mellan metoderna och kan dra gemensamma slutsatser. Vi arbetar med uppgiften i par, oberoende av varandra. I paren börjar vi studera sambandet mellan figurens nummer och dess totala antal små kuber. Tillsammans framställer vi 19 lösningar, som innefattar nio olika metoder. Vi väljer fem av dessa metoder att presentera i vår rapport då de passar bäst till uppgiften. Bilden nedan visar de tre första figurerna i det mönster vi arbetar med. Bild 1 Därefter undersöker vi sambandet mellan figurens nummer och antalet små kuber med noll, en, två, tre respektive fyra synliga sidor. För att hitta sambanden vi söker arbetar vi återigen i par. Vi kommer fram till flera intressanta lösningar som presenteras på kommande sidor. 2

4 Sambandet mellan figurens nummer och antalet små kuber Vi använder följande variabler genom hela rapporten: x: figurens nummer y: det totala antalet små kuber Metod 1 Vi tänker oss figuren som en stor kub vars små hörnkuber är borttagna. För att underlätta uträknandet inkluderar vi de åtta ickeexisterande hörnkuberna och får en komplett kub. Antalet små kuber längs denna kubs kant är alltid två mer än figurens nummer, (x + 2) och kubens volym är (x + 2)(x + 2)(x + 2), vilket är detsamma som (x + 2) 3. Med tanke på att en kub alltid har åtta hörn subtraherar vi uttrycket med åtta eftersom hörnkuberna vi föreställde oss egentligen inte finns. Formeln för hela figuren: y = (x + 2) 3 8 = = (x 2 + 4x + 4)(x + 2) - 8 = = x 3 + 2x 2 + 4x 2 + 8x + 4x +8-8 = = x 3 + 6x x 3

5 Metod 2 Vi skalar av de två motstående yttre delarna av figuren, orangefärgade i Bild 2. Förutom de avskalade bitarna finns ett rätblock. Rätblockets kanter är (x + 2), (x + 2) och x. Volymen är x(x + 2) 2. Varje avskalad bit består av ett blått rätblock och två orangefärgade stavar, se Bild 3. Rätblockets kanter är 1, x och (x + 2). Varje stav består av x små kuber. Volymen för båda de avskalade bitarna är 2(1 x (x + 2) + 2x). Formeln för hela figuren: y = x(x + 2) 2 + 2(1 x (x + 2) + 2x) = = x(x 2 + 4x + 4) + 2(2x + x 2 + 2x) = = x 3 + 4x 2 + 4x + 4x + 2x 2 + 4x = = x 3 + 6x x Bild 2 Bild 3 4

6 Metod 3 Vi delar upp figuren i (x + 2) skivor som Bild 4 visar, så att x skivor är blå kongruenta kvadratiska rätblock med kanterna (x + 2), (x + 2) och 1. Det totala antalet små kuber i dessa rätblock är x(x + 2) 2. De resterande två skivorna är kongruenta. Skivorna består av ett blått kvadratiskt rätblock och fyra orangefärgade stavar som är placerade på var sida av kvadraten, se Bild 5. Rätblockets sidor är x, x, och 1. Därför är volymen x x 1 = x 2 små kuber. Kvar att beräkna har vi de fyra stavarna. Varje stav består av x små kuber. Uttrycket för de båda skivorna är 2(x 2 + 4x). Formeln för hela figuren: y = x(x + 2) 2 + 2(x 2 + 4x) = = x(x 2 + 4x + 4) + 2(x 2 + 4x) = = x 3 + 4x 2 + 4x + 2(x 2 + 4x) = = x 3 + 4x 2 + 4x + 2x 2 + 8x = = x 3 + 6x x 5

7 Bild 4 Bild 5 6

8 Metod 4 I denna metod använde vi oss av triangeltal. Triangeltal är ett mönster som växer genom att figurens nummer adderas med föregående triangeltal, se Tabell 1. Triangeltalets nummer Uppbyggnad Triangeltal Tabell 1 n: triangeltalets nummer Vi skapar även en bild till mönstret som visar de tre första triangeltalen (Bild 6). n = 1 n = 2 n = 3 Bild 6 Av två lika stora triangeltal kan vi skapa en rektangel, som Bild 7 visar. Höjden på rektangeln är lika med triangeltalsnumret (n). Basen på denna rektangel är alltid en längdenhet längre än höjden (n + 1) och rektangelns area är n(n + 1). Triangeltalet är hälften så stort som rektangeln, det ger oss uttrycket för vilket triangeltal som helst, n(n+1). 2 n 7

9 n (n + 1) Bild 7 8

10 Vi delar upp figuren i (x + 8) bitar, t.ex. tolv bitar i Figur 4, se Bild 8. Fyra av dessa är blåa stavar. Varje stav består av x små kuber. De andra bitarna är kongruenta orangefärgade rätblock med bredden en liten kub. Antalet sådana rätblock är fyra fler än figurens nummer, (x + 4). Bild 8 Varje oranget rätblock består av tre grupper, se Bild 9. I den lila gruppen finns det alltid x små kuber. De andra två grupperna är likadana triangeltal med figurnummer x. Det totala antalet små kuber i ett orange rätblock är 2 x(x+1) 2 + x = x(x + 1) + x. Uttrycket för alla de orangefärgade rätblocken tillsammans är (x (x + 1) + x)(x + 4). x små kuber x(x + 1) små kuber Formeln för hela figuren: Bild 9 y = (x (x + 1) + x)(x + 4) + 4x =(x 2 + 2x)(x + 4) + 4x = = x 3 + 4x 2 + 2x 2 + 8x + 4x = = x 3 + 6x x 9

11 Metod 5 Med hjälp av Tabell 2 ser vi skillnaden mellan talen i kolumnen för antalet små kuber. För varje ny kolumn ser vi skillnaden mellan talen i föregående kolumn. Detta sker tills skillnaden blivit konstant, vilket den i det här fallet är vid den tredje skillnaden. Av denna anledning vet vi att den största exponenten är tre. Figur nummer Antal små Första Andra Tredje kuber skillnaden skillnaden skillnaden Tabell 2 Eftersom vi nu vet att vi har en exponent som är tre i formeln kopplar vi det till kubiktal, x 3. Vi kopplar till just kubiktal, för att det är det enklaste uttrycket med exponenten tre. I Tabell 3 jämför vi kubiktalen (Kolumn B) med antalet små kuber i figuren (Kolumn D), men finner ingen tydlig koppling. Det betyder att formeln innehåller mer än bara x 3. När vi istället jämför Kolumn C, som visar skillnaden mellan kubiktalen, med Kolumn E, som visar skillnaden mellan antalet små kuber, får vi ett mer intressant resultat. Kolumnerna har samma tal i samma ordning men talen i Kolumn C är förskjutna två steg neråt i tabellen. Det betyder att skillnaden mellan antalet små kuber i hela figuren motsvarar ett figurnummer som är två större än skillnaden för kubiktal. Vilket innebär att formeln innehåller (x + 2) 3, men den kanske inte är fullständig. Därför jämför vi uttrycket (x + 2) 3, i Kolumn F, med antalet små kuber i figuren, i Kolumn D. Vi inser att talen i Kolumn F är åtta större än talen i Kolumn D, så uttrycket är (x + 2)

12 Figur- Kubiktal Skillnaden Antal små Skillnaden (x + 2) 3 nummer mellan kuber mellan antal kubiktal små kuber Kolumn A Kolumn B Kolumn C Kolumn D Kolumn E Kolumn F Formeln för hela figuren: y = (x + 2) 3 8 = Tabell 3 = (x 2 + 4x + 4) (x + 2) - 8 = = x 3 + 2x 2 + 4x 2 + 8x + 4x = = x 3 + 6x x 11

13 Analys Vår grupp anser att Metod 1 är den bästa lösningen. Den är smartast, vanligast och mest effektiv. Vi tycker att det är uppenbart att se figuren som en kub utan hörnkuber och därefter hitta en lösning. Om formeln behöver förenklas är Metod 1 mer krävande eftersom tredjegradsuttryck inte är något många i vår grupp behärskar. Metod 2 är också en effektiv och smart lösning, men når inte samma nivå som Metod 1. Vi skapade lösningen genom att fysiskt bygga upp figuren av små kuber. Då blir det lättare att se uppdelningen. När vi förenklar formeln stöter vi inte på samma problem som i Metod 1. Metod 3 är i sig inte avancerad, eftersom uppdelningen av figuren är enkel att förstå. Förenklingen av formeln i denna metod kräver mer fokus därför att det är många steg att hålla reda på. Metoden liknar Metod 2 och 4 i det avseendet att vi delar upp figuren i mindre delar. Uppdelningen i Metod 4 är mer komplex, för att det är mycket fler delar. Metod 4 är även svårare, då vi behöver veta formeln för triangeltal. Med tanke på detta är Metod 4 inte den smartaste lösningen enligt oss. Metod 5 anser vi kräver mest matematiska kunskaper och är mer avancerad än alla de föregående metoderna. Det tycker vi för att analyseringen av tabellen kräver mer abstrakt tänkande. Vi inser att vi arbetar med tre olika typer av lösningar. En typ av lösning där vi föreställer oss figuren som en enklare geometrisk figur (Metod 1). En annan då vi delar upp figuren i mindre delar (Metod 2, 3 och 4) och en tredje med hjälp av tabeller (Metod 5). De två första typerna av lösningar är mer konkreta med tanke på att vi kan se och känna på figuren och delarna. De här typerna av lösningar, som är geometriska, är bra att använda om vi vill förklara hur vi får fram vår formel. En stor fördel med vår tredje typ av lösning är att den fungerar även med endast talföljd, jämfört med de andra lösningstyperna som kräver bilder. 12

14 Sambandet mellan figurens nummer och antalet synliga sidor a: antalet små kuber med noll synliga sidor b: antalet små kuber med en synlig sida c: antalet små kuber med två synliga sidor d: antalet små kuber med tre synliga sidor e: antalet små kuber med fyra synliga sidor Noll synliga sidor De små kuberna med noll synliga sidor är de kuber inuti figuren (Bild 10). De små kuberna är alltid i formation av en större kub. Hela figuren har sidan (x + 2). När vi skalar av sidorna för att hitta de små kuber som har noll synliga sidor försvinner en liten kub från varje sida. Därför är sidan på den blå kuben x. Vi räknar ut volymen av en kub genom att multiplicera bredden, höjden och djupet. Bild 10 Formeln för antalet små kuber med noll synliga sidor: a = x 3 13

15 Vi visar sambandet i ett koordinatsystem. Graf 1 14

16 En synlig sida De små kuberna med en synlig sida ser vi på de sex sidorna av figuren, se Bild 11. På varje sida är de placerade i form av ett kvadratiskt rätblock. De små kuberna som utgör kanterna har antingen två eller tre synliga sidor. Det innebär att rätblockens sidor är två mindre än hela figurens sida. Rätblockens sida är (x + 2) 2 = x. Vi räknar ut kvadraternas area genom att multiplicera sidorna med varandra, x x = x 2. Därefter multiplicerar vi det med sex, för att det finns sex sidor. Bild 11 Formeln för antalet små kuber med en synlig sida: b = 6x 2 Sambandet visas i ett koordinatsystem. Graf 2 15

17 Två synliga sidor De små kuberna med två synliga sidor är placerade i mitten av de tolv kanterna av figuren (Bild 12). Vi kan däremot inte räkna hela kanterna, då de yttersta små kuberna har tre synliga sidor. Det finns två kuber med tre synliga sidor på varje kant och varje kant består av x små kuber. Därför finns det (x 2) små kuber med två synliga sidor på varje kant. Då det finns tolv kanter multiplicerar vi med tolv. Bild 12 Formeln för antalet små kuber med två synliga sidor: c = 12(x 2) = 12x - 24 Formeln fungerar inte på Figur 1, eftersom vi skulle få ett negativt antal kuber, vilket är orimligt. För att undvika problemet betraktar vi det som ett undantag och sätter det negativa antalet kuber som noll. 16

18 Se koordinatsystemet för tydligare undantag. Graf 3 17

19 Tre synliga sidor De små kuberna med tre synliga sidor är hörnen i figuren (Bild 13). De sitter i åtta grupper om tre. Det finns inte några små kuber med tre synliga sidor i Figur 1 och därför gäller inte detta för den figuren. Bild 13 Formeln för antalet små kuber med tre synliga sidor: d = 3 8 = 24 Vi kan även se det som att det finns två små kuber med tre synliga sidor på varje kant, och få formeln d = 2 12, eftersom det finns tolv kanter. Även här visar vi sambandet med hjälp av en graf. Graf 4 18

20 Fyra synliga sidor De små kuberna med fyra synliga sidor hittar vi endast i Figur 1. Där är de placerade på kanterna (Bild 14). Det finns bara en kub på varje kant, och figuren har tolv kanter. Bild 14 Formeln för antalet små kuber med fyra synliga sidor: e = 1 12 = 12 Formeln gäller bara för Figur 1. Ingen annan figur har små kuber med fyra synliga sidor, de har istället små kuber med två och tre synliga sidor på kanterna. Sambandet syns i grafen nedan. Graf 5 19

21 Figurnummer 0 synliga 1 synlig sidor sida Antal små kuber med: Totala 2 synliga sidor 3 synliga sidor 4 synliga sidor antalet små kuber Tabell 4 I Tabell 4 kan vi återigen bekräfta att alla små kuber med 0, 1, 2, 3 och 4 synliga sidor tillsammans är det totala antalet små kuber. 20

22 Samband När vi jämför formlerna för små kuber med olika antal synliga sidor med formeln för det totala antalet små kuber i figuren ser vi ett tydligt samband. Det finns x 3 små kuber med noll synliga sidor i alla figurer, och det uttrycket kan vi hitta i den totala formeln för hela figuren också, y = x 3 + 6x x. Uttrycket 6x 2 kan vi hitta i formeln för små kuber med en synlig sida. 12x hittar vi i formeln för små kuber med två synliga sidor. I den formeln hittar vi även negativt 24. Detta problem löses eftersom formeln för antal små kuber med tre synliga sidor är 24. Summan av två motsatta tal är noll. Varje liten kub har antingen noll, en, två, tre eller fyra synliga sidor. Det leder till att a + b + c + d + e = y Synliga sidor Formler Undantag 0 x 3 1 6x x - 24 Figur Figur Figur 1 0, 1, 2, 3 och 4 x 3 +6x 2 +12x Tabell 5 y = x 3 + 6x x = x 3 + 6x x 21

23 Sammanfattning Gruppen har arbetat med ett mönster hos en växande figur. Målet har varit att lösa uppgiften med så många olika metoder som möjligt och jämföra dessa med varandra. Därefter har vi försökt att hitta samband mellan lösningarna. Vi började med att använda olika metoder för att hitta lösningar till uppgiften. Lösningarna delade vi upp i fem olika kategorier beroende på vilka metoder som använts. Vi valde de mest passande lösningarna att representera sina kategorier i rapporten. I varje lösning fördjupade vi oss ytterligare för att kunna beskriva våra tankar på ett förståeligt sätt med hjälp av tabeller, formler, texter, bilder samt grafer. En av de andra uppgifterna gick ut på att hitta formeln för antalet små kuber med noll, en, två, tre, respektive fyra synliga sidor. Efter att vi löst även den uppgiften kunde vi dra slutsatsen att alla formler för de små kuberna med olika antal synliga sidor tillsammans bildade formeln för det totala antalet små kuber i hela figuren. Tack vare denna uppgift har vi fått nya matematiska kunskaper om att förenkla komplexa uttryck, exempelvis (x + 2) 3, samt att hela gruppen lärt sig att samarbeta bättre och att utnyttja varje individs kompetens. 22

24 Källförteckning Böcker: Personer: Susanne Gennow, Ing-Mari Gustafsson och Bo Silborn (2011). Matematik för gymnasiet Exponent 1c. Malmö: Gleerups. Anker Tiedermann. (1999). Talen magi. Lustläsning för talfreaks. Stockholm: Berghs förlag AB. Christer Kiselman, Lars Mouwitz (2008). Matematiktermer för skolan. Göteborg: Livréna AB. Harold R. Jacobs (1970). Mathematics: A human endeavor. USA: W. H. Freeman & Company. Erland Arctaedius Johan Thorbjörnson 23