Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev

Transkript

1 Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev

2 Lite inspiration Går det att konstruera 6 kvadrater av 12 tändstickor? Hur gör man då? (Nämnaren, Nr 2, 2005) Litet klurigt kanske, bygg en kub av stickorna:

3 Uppgift till Seminarium 3 Du har två räta linjer som skär varandra och en punkt P markerad på en av dem, se figuren nedan. Visa hur du kan konstruera, genom att använda passare och linjal, en cirkel som är tangent till båda linjerna och som har punkten P som tangeringspunkt till en av dem? P

4 Polyas fyra faser förstå problemet göra en plan genomföra planen och se tillbaka

5 Göra en plan

6 och genomföra den

7 Viktigaste strategier Söka och hitta mönster Arbeta baklänges Rita en bild eller graf Söka efter undantag (symmetri!) Utforma och testa hypoteser Förenkla problemet Jämföra med liknande problem Psykologiska aspekter Gissa, försöka och förbättra Om ett sätt inte fungerar, börja om med ett annat sätt Vad händer om? Hur många lösningar finns det? Dramatisera problemet

8 Viktigaste strategier Algebraiska metoder Ekvationer Matematisk induktion Invariantmetod (paritet) Symmetri Dirichlets lådprincip m.m. Geometriska metoder Geometriska orter Grafisk tolkning Symmetri Analytiska metoder Olikheter Variationsmetod

9 Några exempel Efter att ha löst problemet försök hitta på ett eget liknande problem!

10 Ekvationer vs olikheter Problem 1. Det ligger 13 mynt i Lisas ficka. Varje mynt kan antingen vara en femkrona eller en tiokrona. Vilket kan inte vara det sammanlagda värdet på mynten som Lisa har i fickan? A: 80 kr B: 60 kr C: 70 kr D: 115 kr E: 125 kr Lösning. Antag att Lisa har femkronor och tiokronor. Alternativ 1: Ställa upp ekvationer och utesluta de fallen som.???? Å andra sidan: "separate the wheat from the chaff"

11 Ekvationer vs olikheter Problem 1. Det ligger 13 mynt i Lisas ficka. Varje mynt kan antingen vara en femkrona eller en tiokrona. Vilket kan inte vara det sammanlagda värdet på mynten som Lisa har i fickan? A: 80 kr B: 60 kr C: 70 kr D: 115 kr E: 125 kr Lösning. Antag att Lisa har femkronor och tiokronor. Alternativ 2. Mer intelligent lösning : och samtidigt

12 Tänka baklängs Boxarna. Är det möjligt att föra de övre boxarna nedåt och para ihop dem A-A, B-B och C-C utan att deras färdvägar korsas och utan att boxarna lämnar spelplanen? Den högra bilden visar en sådan, otillåten, korsning. Lösning. Kan du förenkla problemet?... [Källa: The Art and Craft of Problem Solving, Paul Zeitz]

13 Algebra vs geometri Problem 2. Den skuggade rektangelns area är 13 cm 2. De markerade punkterna X och Y är mittpunkter på respektive sida av parallelltrapetset. Vilken area har parallelltrapets? Lösning. Om och rektangelns höjd är då arean blir Nyfikenhet. Det intressanta är att svaret är exakt dubbelt så stort som rektangelns arean Varför?...

14 Algebra vs geometri Problem 2. Den skuggade rektangelns area är 13 cm 2. De markerade punkterna X och Y är mittpunkter på respektive sida av parallelltrapetset. Vilken area har parallelltrapets? Lösning. Om och rektangelns höjd är då arean blir Nyfikenhet. Det intressanta är att svaret är exakt dubbelt så stort som rektangelns arean Varför?...

15 Utforma och testa hypoteser Problem 3. Figuren består av en regelbunden sexhörning med sidan 1, sex trianglar och sex kvadrater. Vilken omkrets har figuren? A. B. C. 12 D. E. 9 Lösning. Hexagons vinkel är och två kvadraters vinklar är, alltså ger de tillsammans. Det ger för triangelns vinkel. Eftersom triangeln är likbent (varför?) så är de två kvarstående triangelns vinklarna. Triangeln är alltså liksidig. Detta medför att omkretsen är 12 cm.

16 Dirichlets lådprincip, eller Postfacksprincipen Om man har fler brev än postfack kommer något postfack att innehålla minst två brev, om man lägger varje brev i något av postfacken. Problem 4. Visa att i detta rum finns minst två personer som fyller år samma veckodag. Lösning: Lägg 8 personer i 7 lådor! Må Ti On To Fr Lö Sö

17 Dramatisera problemet En strategi som ofta tilltalar elever är att dramatisera eller gestalta ett problem. De kan använda hela sin kropp eller handdockor för att resonera, argumentera och kommunicera med varandra. När de kör fast gäller det att ta ett steg tillbaka och fundera på om det går att angripa problemet på något annat sätt. Vad vet vi? Vad behöver vi ta reda på?... Nämnaren, nr 4, 2011 Problem 5. Du behöver ett par sockor, men ditt rum är mörkt. I byrålådan finns tio rosa sockor och tio blå sockor. Hur många sockor behöver du ta fram för att vara säker på att få ett par med samma färg? Lösning. Vi måste ta fram tre sockor för att vara säkra på att det blir ett par där båda sockorna har samma färg. Det sämsta utfallet är att de två första är av olika färg, den tredje måste vara antingen rosa eller blå.

18 Symmetri och mönster Problem 6. Simon har en vit plastkub med kantlängden 1 dm. Han klistrar fast flera kongruenta svarta kvadrater på kuben så att kuben ser likadan ut på varje sidoyta. Vilken är den totala svarta arean? A: 37,5 cm 2 B: 150 cm 2 C: 225 cm 2 D: 300 cm 2 E: 375 cm 2 Lösning. Varje påklistrad kvadrat har diagonalen 5 cm (varför?) och följdaktligen arean 12,5 cm 2. På varje sida finns det 3 hela kvadrater. Kuben har sex sidor och den täckta arean är

19 Invariantmetod Problem. Du har en kvadrat med rutor (celler) där två celler i motsatta hörn har tagit bort. Kan du fylla ut figuren med dominobrickor? Observera att antal rutor är jämnt! Kan du börja med en enklare figur? Ser du något mönster?

20 Invariantmetod Problem. Du har en kvadrat med rutor (celler) där två celler i motsatta hörn har tagit bort. Kan du fylla ut figuren med dominobrickor? Observera att antal rutor är jämnt! Kan du börja med en enklare figur? Ser du något mönster?

21 Invariantmetod Problem. Du har en kvadrat med rutor (celler) där två celler i motsatta hörn har tagit bort. Kan du fylla ut figuren med dominobrickor? Observera att antal rutor är jämnt! Kan du börja med en enklare figur? Ser du något mönster?.. Två vita rutor saknas!

22 Fibonaccital