NÄMNARENs. problemavdelning

Transkript

1 NÄMNARENs problemavdelning För problemavdelningen svarar denna gång Bernt Leonardsson och Bo Söderberg från Örebro. Problemen är snarare kluriga än svåra så ge inte upp i tron att du inte kan matematik. 725 Sexton tändstickor bildar åtta liksidiga trianglar enligt figuren till höger. Tag nu bort fyra stickor så att det av dessa åtta trianglar återstår a 6 trianglar b 5 c 4 " Obs! Alla kvarvarande stickor måste ingå i någon triangel.

2 726 I denna figur kan man uppenbarligen dra 8 st räta linjer som var och en innehåller 3 st punkter. Genom att flytta en eller flera av punkterna kan man erhålla ett mönster som gör det möjligt att dra 10 st räta linjer, som var och en innehåller 3 st punkter! 727 Placera talen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9 i de tomma rutorna på sådant sätt att samtliga fyra likheter i figuren blir uppfyllda! Obs! Alla talen skall användas. 728 Här gäller det att knäcka koden. Bestäm de tre följande talen i nedanstående talföljder: a 2, 3, 5, 8, 12,,,, b 2, 3, 5, 8, 13,,,, c 2, 3, 10, 12, 13, 20, 21,,,, d 2, 3, 5, 7, 11, 13,,,, 729 Figuren till höger visar två halvcirklar som är inskrivna i en kvarts-cirkel. Är det sant att de skuggade fälten A och B är exakt lika stora?

3 730 Som synes kan denna polygon delas i fyra kongruenta delar. Försök nu dela samma polygon i fem kongruenta delar! 731 I en likbent triangel är de båda lika sidorna 5 cm vardera. Hur lång är den tredje sidan x då triangeln har maximal area? Svaret kan erhållas utan papper, penna och nämnvärd möda om man tänker efter före och får den rätta idén. 732 Du vet säkert hur ett torn får flyttas på schackbrädet vertikalt eller horisontellt. Tänk dig nu följande problem: Ett torn skall förflyttas på ett kvadratiskt "schackbräde" med N x N stycken rutor från ett hörn till det diagonalt motsatta hörnet. På hur många olika sätt kan detta ske om ingen ruta får beträdas mer än en gång per förflyttning? För N = 2 blir svaret 2 förflyttningar och för N = 3 blir svaret 12 förflyttningar. Kontrollera detta! Lös nu problemet när N = 4 och N = 5. Anm: För N>5 erfordras utan tvivel någon form av databehandling. Håll till godo alla ni som är intresserade! Exempel: Här ser du en möjlig väg för tornet när N = 4.

4 Sista problemet denna gång är insänt av Adolf af Ekenstam, Linköping. 733 Tärningarna i problem nr 714 i nr 2 80/81 gav uppslag till följande variant som kanske är en smula svårare: Figuren visar två bilder av samma kub. Här är en tredje bild av samma kub men en sidoyta är skuggad? Vilket tecken döljer sig bakom skuggan? Lösningar till NÄMNARENproblemen Till denna problemrunda har Sune Magnberg, Danderyd, Roland Munther, Uppsala och Bertil Lundgren, Kungsbacka sänt in lösningar. Tankemödan kommer att premieras. Utdrag ur deras insända lösningar presenteras här. 707 En femte kvadrat bildas t ex av de fyra kvadraterna B, C, D och E där E är den från position A flyttade kvadraten. 708 Diagonalen är 10 cm (= cirkelns radie).

5 709 Rita genom de nio punkterna så som figuren visar. Börja exempelvis vid punkten längst upp till vänster. 710 "Hjälmens" area beräknas enklast som arean av rektangeln ABCD dvs Arean = 4 2 cm 2 = 8 cm 2 "Kommats" area beräknas enklast som arean av en halvcirkel med radien 2 cm dvs 711 a) Genom att dra de tre linjerna 1, 2, 3 fås 9 triangelområden utan gemensamma inre punkter. b) Om samtliga triangelområden får räknas har jag fått att det blir 25 st (det är svårt att rita och visa vilka dessa är men förutom de 9 tidigare triangelområdena tillkommer 1 i mitten samt 5 st på vänstra och 5 st på högra halvan av M:et).

6 714 Genom att tillverka en modell av tärningen så ser man lätt att figur d) inte kan vara en bild av tärningen. 715 Spegla punkten P i linjerna L 1 och L 2. Kalla bildpunkterna P 1 och P 2. Drag sträckan P 1 P 2. Den skär linjerna L 1 och L 2 i punkterna Q och R. PQ + QR + RP = P 1 Q + QR + RP 2 = P 1 P 2 (Kortaste avståndet mellan två punkter är den räta linjen.) Roland har en egen lösning. Även om den inte är matematiskt korrekt är den kanske ändå att föredra. Eftersom det är livsviktigt att föraren själv får vatten bör han utan någon längre betänketid bege sig kortaste vägen 1 till A (bäcken) med drickbart vatten. Sedan han druckit och återhämtat sig någorlunda bör han överväga vilket som blir kortaste vägen från A till "pipe-linen" och sedan till P. P'och A är spegelbilderna av P och A i "pipe-linen". Han bör följa 2 till "pipe-linen" och sedan 3 tillbaka till jeepen vid P.