MATEMATISK STATISTIK I FORTSÄTTNINGSKURS. Tentamen måndagen den 17 oktober 2016 kl 8 12

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "MATEMATISK STATISTIK I FORTSÄTTNINGSKURS. Tentamen måndagen den 17 oktober 2016 kl 8 12"

Amanda Göransson
för 4 år sedan
Visningar:

1 Kurskod: TAMS65 Provkod: TEN MATEMATISK STATISTIK I FORTSÄTTNINGSKURS Tentmen måndgen den 7 oktober 206 kl 8 2 Hjälpmedel: Formelsmling i mtemtisk sttistik utgiven v mtemtisk institutionen och/eller formelsmling Formel- och tbellsmling i mtemtisk sttistik TAMS65 (Mrtin Singull). Ing nteckningr i formelsmlingrn är tillåtet. Miniräknre med tömd minnen. Betygsgränser: 8- poäng ger betyg 3, ger betyg 4 och 5-8 poäng ger betyg 5. Exmintor: Mrtin Singull, Resulttet meddels normlt vi LADOK inom 2 rbetsdgr. Tydlig svr och motiveringr krävs till vrje uppgift.. Vid en studie v ungdomrs bruk v mrijun klssificerdes 445 ungdomr efter såväl eget mrijunbruk som föräldrrns bruk v lkohol och nrkotik. Ungdomrns mrijunnbruk Aldrig Iblnd Regelbundet Föräldrs bruk v Ingen lkohol och En nrkotik Båd 7 9 Avgör med lämpligt test om föräldrrs nvändning v lkohol och/eller nrkotik hr något smbnd med ungdomrns bruk v mrijun. 2. En firm studerr ått veckors försäljningssiffror i fyr stor städer. Mn bedömer tt försäljningen dividert med ntlet invånre är relevnt jämförelsetl. Dt (försäljning per invånre vrundt till heltl) Veck x s Std Antg tt dt är oberoende och tt dt i rd i är N(µ i, σ), lltså med smm σ för de olik städern. Gör tvåsidig konfidensintervll för de olik differensern µ i µ j. Den simultn konfidensgrden sk vr minst 94%. Finns det skillnder melln städern? (3p)

2 3. För ett ntl kolkrftverk med likrtd reningsteknik hr mn mätt y = svveldioxidutsläpp (ppm) smt x=effekt (gigwtt) En nlys enligt modellen y x Y = β 0 + β x + β 2 x 2 + ε, där ε N(0, σ) (oberoende), gv resulttet y = x + 959x 2, i βi d( β i ) VARIANSANALYS Frihetsgrder Kvdrtsumm REGR RES TOT och (X X) = ) Hur mång kolkrftverk hr mn undersökt? (p) b) Är ndrgrdstermen i modellen nödvändig? Genomför lämpligt test eller konfidensintervll på nivån 5%. (p) c) Beräkn ett 95% konfidensintervll för E(Y ) då krftverkets effekt är på 0.5 gigwtt. 4. I kvlitetsrbetet inom tillverkningsindustrin genomförs en mängd mätningr med vrs hjälp mn kn vgör om olik kvlitetskrv är uppfylld. För en viss kvlitetsvribel smlr mn in under en dg 25 oberoende mätvärden x,..., x 25. Vidre är det rimligt tt de stokstisk vriblern X,..., X 25 är oberoende och X i N(µ,.2), där målvärdet är µ = 30. Mn prövr på nivån 5% hypotesen H 0 : µ = 30 mot H : µ > 30. ) Mn hr fått x = Genomför hypotesprövningen (.5p) b) För vilk värden på µ är testets styrk minst 75%? (.5p) 2

3 5. Livslängden hos en viss typ v elektronisk komponenter nses h täthetsfunktionen där är en okänd positiv konstnt. f(x) = 2 xe x, x 0, Mn hr observert den smmnlgd livsländen hos 50 sådn komponenter till 250. ) Beräkn en punktskttning v. b) Beräkn ett 95% nedåt begränst konfidensintervll för den förväntde livslängden hos komponenten. 6. Antlet registrerde prtiklr från ett rdioktivt prov beskrivs v en Poissonprocess med intensiteten λ. Dett innebär tt ntlet registrerde prtiklr under t sekunder är P o(λt) och tt registreringrn under olik tidsintervll är oberoende. Mätningrn genomfördes under 00 olik tidsintervll v längden 0 sekunder och det visde sig tt för 52 tidsintervll skndes registreringr helt. Punktsktt λ med hjälp v enbrt denn informtion. Tips: Utnyttj snnolikheten P (X = 0), där X är ntlet registrerde prtiklr under 0 sekunder. 3

4 Kurskod: TAMS65 Lösningr MATEMATISK STATISTIK I FORTSÄTTNINGSKURS Lösningsförslg till tentmen måndgen den 7 oktober 206 kl 8 2. ) H 0 : Föräldrs bruk v lkohol och/eller nrkotik är oberoende ungdomrns bruk v mrijun, mot H : De är inte oberoende. (4 9.35)2 ( )2 (9.62)2 T = = Nivå % ger T = > χ (4) = 3.28 H 0 förksts. 2) σ 2 sktts med s 2 = 7s2 + 7s s s 2 4 = ( Intervllen ges v I µi µ j = dvs. x i x j t (28) s I µ µ 2 = ( ) µ > µ 2 I µ µ 3 = ( ) µ > µ 3 I µ µ 4 = ( ) ingen slutsts I µ2 µ 3 = ( ) ingen slutsts I µ2 µ 4 = ( ) µ 2 < µ 4 I µ3 µ 4 = ( ) µ 3 < µ 4 ) 8 +, där t (28) = 2.76, 8 3) 9 med en simultn konfidensgrd på minst 94%. Alltså, försäljningen per invånre i std och 4 är större än i 2 och 3. Men vi kn inget säg om reltionen melln och 4. b) H 0 : β 2 = 0 mot H : β 2 0 på nivån 5%. Teststorhet t = β 2 d( β 2 ) = 3.64 > t 0.975(6) = 2.45 Förkst H 0, dvs. ndrgrdstermen gör nytt. c) Låt u = ( /2 /4 ). Konfidensintervllet ges v I E(Y ) = ( u β ) t0.975 (6) s u (X X) u = (7.9 ; 32.6), där t (6) = 2.45 och s = SSRES 6 = 6.5.

5 ( ) 4) µ = x som är en observtion från X.2 N µ, = N(µ, ) 25 x 30 Teststorhet u = =.458. Förkst H 0 om u > c = z 0.95 =.645. Alltså, förkst inte H 0. Vi kn inte påvis vvikelse från målvärdet. b) Styrkefunktionen ges v h(µ) = P (H 0 förksts om µ är det snn värdet) = ( ) X 30 = P >.645 om µ är det snn värdet = = P ( ) X > om X N(µ, ) = ( ) ( ) µ µ = Φ = Φ Vidre gäller tt h(µ) > 0.75 om µ dvs. om µ ) E(X) = 0 x 2 xe x dx = 2. Momentmetoden ger 2 â = x â = 2n 50 smm skttning). i= x i = = 0.4 (ML-metoden ger b) Det gäller tt 50 i= X i N(50µ, σ 50) enligt CGS. Vidre är σ 2 = vr(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = x 2 2 xe x dx 0 Vi hr lltså ( i= X i N, 0 ) som ger hjälpvribeln 50 i= X i 00 0 N(0, ). ( ) 2 2 = 2 2 Eftersom µ = 2 så bildr vi först ett uppåt begränst intervll för. ( 50 i= P X ) i = 0.95 ger intervllet I = (0 ; ) som i sin tur ger intervllet för väntevärdet I µ = (4.29 ; ). 6) Låt X vr ntlet registreringr under ett 0s-intervll. Då gäller tt X P o(0λ) och P (X = 0) = e 0λ. z = 52 är en observtion v Z Bin(00, p) där p = e 0λ. p = 0.52 ger e 0 λ = 0.52 dvs. 0 λ = ln 0.52 eller λ =

Relevanta dokument

Diskreta stokastiska variabler

Diskreta stokastiska variabler Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt