LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Transkript

1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 7 / TEN 8 maj 18, klockan Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk statistik utgiven av MAI, och ett ytterligare formelblad ett blad med text på båda sidorna. 1 Den tvådimensionella kontinuerliga stokastiska variabeln X, Y har simultan täthetsfunktion { c x y om x 1, y 1 fx, y = annars. a Bestäm konstanten c. 1p b Bestäm de marginella täthetsfunktionerna för X och Y. 1p c Beräkna kovariansen mellan X och Y. 1p En liten bilverkstad har öppet mellan kl. 8. och kl. 17., men har stängt för lunch mellan kl. 11. och kl. 1.. Under tidsintervallen och ringer kunder till verkstaden enligt en Poissonprocess med intensitet 3 per timme. Under tidsintervallen och ringer kunderna enligt en Poissonprocess med intensitet.5 per timme. a Låt X 1, X, X 3 och X 4 vara antal telefonsamtal från kunder under tidsintervallen 8.-9., , och Bestäm fördelningar typ och parameter av X 1, X, X 3, X 4 och X 1 + X + X 3 + X 4. 1p b Beräkna sannolikheten att verkstaden totalt under en hel arbetsdag får minst 1 telefonsamtal från kunder. 1p c Beräkna sannolikheten att verkstaden varken före eller efter lunch får strikt fler än 4 telefonsamtal från kunder. 1p Ledning: Kom ihåg att Y 1 P oλ 1,..., Y n P oλ n oberoende, medför att Y Y n P oλ λ n. 3 Vikten X i kg på en enskild melon är normalfördelad med väntevärde 1. kg och standardavvikelse.3 kg. Vikten Y på en enskild ananas är normalfördelad med väntevärde.6 kg och standardavvikelse. kg. Antag att man väljer en melon och en ananas slumpmässigt och oberoende. a Vilken fördelning har den sammanlagda vikten?.5p b Beräkna sannolikheten att den sammanlagda vikten inte överstiga. kg. 1p c Antag att melonen koster kr/kg och ananasen koste 4kr /kg. Uttryck priset Z i termer av X och Y samt ange dess fördelning..5p d Beräkna sannolikheten att priset Z blir mer än 4 kr. 1p

2 4 I ett test för en viss typ av diabetes så är det 95 procent chans att en person som är diabtessjuk får ett testresultat som säger att den är sjuk. För de friska personerna så är det 95 procent chans att de får ett testresultat som säger att de är friska. Totalt har.4 procent av befolkningen denna typ av diabetes. a Vad är sannolikheten att för en slumpmässigt vald person, testet visar att personen är sjuk? 1.5p b Vad är sannolikheten att en person som får reda på utifrån testet att den har sjukdomen, verkligen är sjuk? Tycker du att testet verkar vara bra? 1.5p 5 Bertil har 1 saker att göra. Varje sak tar en exponentialfördelad tid med väntevärde 4 minuter att genomföra oberoende av hur lång tid de andra tar. a Vad är sannolikheten att Bertil hinner med allt arbete under en 8 timmars arbetsdag? Använd centrala gränsvärdessatsen. 1.5p Bertil tycker att en uppgift blir långtråkig om den tar mer än 15 minuter att göra. b Bestäm sannolikheten p att en enskild uppgift är långtråkig..5p c Antag att antalet långtråkiga saker är P o1 p-fördelad, där p är sannolikheten från b-delen. Vad är sannolikheten att han måste göra 3 eller fler långtråkiga saker? 1p 6 Ett flygbolag uppskattar att sannolikheten att en person med biljett inte dyker upp till flyget är.5. Man säljer därför fler biljetter än de 3 platser som finns på planet. Hur många biljetter kan bolaget som mest sälja för att sannolikheten att alla passagerare får plats ska vara större än.99 enligt flygbolagets uppskattningar om man antar att det inte finns några samband mellan olika personers benägenhet att dyka upp till flyget. 3p Ledning: Låt n vara antalet biljetter som säljs och låt Y i = 1 om personen som köper den i:te biljetten kommer till flyget, och låt Y i = annars, 1 i n. Då är S n = n i=1 Y i antalet passagerare som kommer till flyget. Vi är alltså intresserade av antalet n sådant att P S n 3 >.99. Använd centrala gränsvärdessatsen.

3 Lösningar 1 a För att bestämma konstanten c utnyttjar vi att Vi får c. 1 = = c = c fx, y dxdy = x xy + y dx dy dy = c y + y b Den marginella täthetsfunktionen för X ges av f X x = fx, ydy = [x y xy + y3 3 ] 1 cx y dx dy 6x y dy x 6x + för x 1 och f X x = för övriga x. Av symmetriskäl ges den marginella täthetsfunktionen för Y av f Y y y 6y + för y 1 och f Y y = för övriga y. c Kovariansen fås enligt CovX, Y = E[XY ] E[X] E[Y ], där och E[XY ] = E[X] = [ y xyfx, y dxdy = y 4 y 3 + y3 dy 8 y3 9 + y4 8 xf X x dx ] 1 xy 6x y dxdy = x x x + 1 dx = 1 3. Av symmetriskäl E[Y ] = E[X] = 1. Slutligen får vi CovX, Y = = 1 1. a Låt X 1, X, X 3 och X 4 vara antal telefonsamtal från kunder under tidsintervallen 8.-9., , och Poissonprocessens oberoende inkrement ger att dessa stokastiska variabler är oberoende. Vidare gäller att X 1 P o3, X P o.5 = P o1, X 3 P o4.5 = P o, och X 4 P o3. Detta ger att X 1 + X + X 3 + X 4 P o9, så från tabellen

4 b P X 1 + X + X 3 + X 4 1 = 1 P X 1 + X + X 3 + X =.41. c X 1 + X P o4 och X 3 + X 4 P o5 är oberoende, så P {X 1 + X 4} {X 3 + X 4 4} = P X 1 + X 4 P X 3 + X =.8. 3 a X + Y är normalfördelad med väntevärde E[X] + E[Y ] = 1.8 och varians V arx + V ary =.3 +. =.13. b. 1.8 P X + Y. = Φ = Φ.55 = c Z = X + 4Y. Priset är en linjärkombination av normalfördelade slumpvariableroch således normalfördelat. Väntevärdet är E[Z] = E[X]+4E[Y ] = 48 och variansen blir V arx + 4 V ary = 1. d 4 48 P Z > 4 = 1 P Z 4 = 1 Φ = Φ.8 = Låt S beteckna händelsen att vara sjuk, S c händelsen att vara frisk, A händelsen att testet visar positivt visar att man är sjuk och låt B beteckna händelsen att testet visar negativt visar att man är frisk. I uppgiften ges informationen att P A S =.95, P B S c =.95 och att P S =.4. Ur detta kan vi även finna sannolikheten att en slumpvis vald person är frisk P S c = 1 P S =.996 och sannolikheten att en frisk person testas positivt P A S c = 1 P B S c =.5. a Om vi använder lagen om total sannolikhet fås P A = P A S P S + P A S c P S c = =.536. b Vi söker P S A. Bayes formel ger oss att P S A = P A S P S P A = = Låt X 1, X,... vara oberoende exponentialfördelade med väntevärde 4, och låt S = 1 i=1 X 1. a Eftersom det går 48 minuter på åtta timmar söker vi P S 48. Enligt centrala gränsvärdessatsen är S approximativt normalfördelad med väntevärde 1 4 och varians Vi får alltså S P S 48 = P S 4 = P Φ =

5 b Sannolikheten att en enskild uppgift är tråkig är p = P X 1 > 15 = e 15/4 =.35. c Låt T = {tre eller fler långtråkiga uppgifter}. Då är P T = 1 P T c = 1 e = Låt n vara antalet biljetter som säljs, och låt Y i = 1 om personen som köper den i:te biljetten kommer till flyget, och låt Y i = annars, 1 i n. för alla 1 i n. P Y i = =.5 = 1 P Y i = 1 Låt S n = n i=1 Y i beteckna antalet passagerare som kommer till flyget. Vi antar att alla personer dyker upp till flyget oberoende av varandra. I detta fall är ES n = ney 1 och V ars n = nv ary 1 där EY 1 = P Y 1 = 1 =.95, V ary 1 = EY 1 EY 1 = = Alla passagerare måste få plats med en sannolikhet större än.99. Planet har 3 platser totalt. Detta betyder att ekvationen P S n > 3 <.1 måste vara uppfylld. Enligt den centrala gränsvärtsatsen kan fördelningen för de standardiserade summorna S n ES n V arsn approximeras med fördelningen för en standard normalfördelad stokastisk variabel Z, Z N, 1. Från detta följer att S n ES n P S n > 3 = P V arsn > 3 ES n <.1 V arsn approximativt kan uttryckas som 3.95n P Z > <.1 n.95.5 eller Detta ger P Z 3.95n n n n.95.5 Φ där Φz = P Z z, som, då , kan skrivas.95n +.58 n 3. Vi kan bestämma n genom att lösa ekvationen.95n +.58 n 3 =. Dätta är en andragradsekvation i variabeln n som med bivillkoret att n har lösning n =.95 Detta ger att 1 är uppfylld om n Svar: Bolaget kan sälja som mest 36 biljetter = 17.5.