Analysens grunder. Tomas Ekholm Niklas Eriksen. Matematiska institutionen, 2001 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse

Transkript

1 VK Alyses gruder Toms Ekholm Nikls Erikse Mtemtisk istitutioe, 200 Fisiert v Mrie och Mrcus Wllebergs Stiftelse

2 Grekisk lfbetet lf A α iot I ι rho P ρ bet B β kpp K κ sigm Σ σ gmm Γ γ lmbd Λ λ tu T τ delt δ my M µ ypsilo Υ υ epsilo E ε y N ν fi Φ ϕ zet Z ζ xi Ξ ξ chi X χ et H η omikro O o psi Ψ ψ thet Θ θ pi Π π omeg Ω ω

3 Någr ord på väge Dett kompedium är skpt för tt väds som littertur till KTHs Mtemtisk Cirkel uder läsåret Kompediet består v sju vsitt, som svrr mot de sju träffr vi plert, smt ett iledde vsitt om mägder. Kompediet är, förutom vsittet om mägder, ite täkt tt läss på ege hd, ut sk ses som ett skriftligt komplemet till udervisige på de sju träffr. Som de mest mtemtik på högre ivå är kompediet kompkt skrivet. Dett iebär tt m i llmähet ite k läs det som e vlig bok. Istället bör m pröv y stser och defiitioer geom tt på ege hd exemplifier. Därmed uppår m oftst e mycket bättre förståelse v vd dess stser och ders bevis går ut på. KTHs Mtemtisk Cirkel fisiers v Mrie och Mrcus Wllebergs Stiftelse. Förfttr tckr D Lksov för hs eggemg, tid och tro på mtemtik. 3

4 0 Mägdlär e kort itroduktio För tt på ett ekelt och kortfttt sätt ku beskriv det vi öskr i följde kpitel krävs tt vi behärskr lite elemetär mägdlär. Vi sk därför gå igeom gruder här. E mägd iehåller tig, ut repetitio. Tige kllr vi för elemet. De tomm mägde iehåller igetig. Är det e lite mägd k de preseters geom tt elemete skrivs i godtycklig ordig mell ett pr krullpreteser {}). Exempel Mägde som iehåller elemete, 3 och k exempelvis skrivs {, 3, } eller {,, 3}. Att ett elemet x ligger i mägde A betecks x A. Att mägde B är e delmägd till mägde A, d.v.s. tt ll elemet i B också är elemet i A, betecks B A. M är oft itresserd v de elemet som är elemet i ågo v två mägder, eller i båd mägder. Defiitio 0. Uioe v två mägder A och B består v de elemet som ligger i ågo v mägder och betecks A B. Sittet v två mägder består v de elemet som ligger i båd mägder och betecks A B. Exempel Låt A {, 3, 5, 6} och {5, 8, 3, 47}. Då hr vi A B {, 3, 5, 6, 8, 47} och A B {3, 5}. Atlet elemet i e mägd betecks med beloppstecke. I exemplet ov hr vi A 4, B 4, A B 6 och A B 2. Större mägder betecks oft med hjälp v e beskrivig. Iför krullpreteser skriver m då ett uttryck, sed ett kolo och därefter restriktioer för uttrycket. Dett viss bäst med ett exempel. Exempel Mägde v ll tl större ä 3 k skrivs {x : x > 3}. Låt A {, 2, 3, 4, 5}. Då gäller följde likheter: {x 2 : x A} {, 4, 9, 6, 25} och {2 x : x A} {2, 4, 8, 6, 32}. Vill m tl om tt ågot gäller för ll elemet i e mägd A skriver m tt dett gäller x A. Att det existerr ett elemet i A som uppfyller ågot skriver m x A. Exempel Låt A {, 2, 3, 4}. Det är ite st tt x 3, x A, eftersom det fis elemet i A som är större ä 3. Däremot är det st tt x A sådt tt x 3. 4

5 Vi sk u vslutigsvis titt på ågr viktig tlmägder. De mägd vi väder för tt räk föremål är de turlig tle {0,, 2, 3,...}. De mägd betecks N och beteckige kommer frå Nturlig tl. Tr vi med egtiv tl får vi heltle {... 3, 2,, 0,, 2, 3,...} Z Zhl tl på tysk)). Tr vi kvoter v heltl med ämre skild frå 0) får vi de rtioell tle Q frå egelsks Quotiet kvot)). M k ekelt vis tt de turlig tle är lik måg som heltle. Defiier e fuktio fx) frå heltle till de turlig tle så tt fx) 2x för positiv tl x, fx) 2x för egtiv tl x smt f0) 0. Därmed hr vrje heltl prts ihop med vrsitt turligt tl, så heltle k ite vr fler. De k ite heller vr färre, eftersom de turlig tle är e delmägd v heltle. Alltså är de lik måg. På likde sätt k m vis tt de rtioell tle är lik måg som de turlig tle och därmed heltle). De viktigste tlmägde iom lyse är de reell tle. Det är ll tl som k skrivs som e ädlig eller oädlig) decimlutvecklig. Mägde v dess betecks R. M k vis tt de reell tle är fler ä de turlig. För oädlig mägder k vi ite ge tlet elemet i dess med ågot vligt tl. Däremot k vi som ov jämför två oädlig mägder och se om dess hr lik måg elemet. Storleke v såd mägder ges v ågot som klls krdiltl. Vi hr lltså R > Q Z N. De mägder som hr smm krdiltl som de turlig tle t.ex. heltle och de rtioell tle) klls uppräkelig eftersom m k räk upp de turlig tle). De mägder som hr större krdiltl t.ex. de reell tle) klls överuppräkelig. Både de rtioell tle och de reell tle besitter egeskpe tt mell två såd tl fis det lltid ett t sådt tl. Dett är lätt tt ise, eftersom medelvärdet +b 2 v två rtioell tl och b är ett rtioellt tl och medelvärdet v två reell tl är ett reellt tl. Vi k fortsätt med tt t medelvärdet v dett tl och ett v de först, och sed medelvärdet v dett y tl och det föregåede medelvärdet, och så vidre i ll oädlighet. Vi iser då tt mell två rtioell tl fis oädligt måg rtioell tl det smm gäller för reell tl). Vill m beteck ett itervll v de reell tle väder m prteser och hkprteser. Exempelvis beteckr [, b] mägde v ll reell tl mell och b, iklusive dess d.v.s. [, b] {x R : x b}) och, b) är smm itervll, me ut och b, b) {x R : < x < b}). Dess itervll klls slut respektive öpp. Det fis äve hlvöpp itervll, t.ex. [, b) {x R : x < b}. 5

6 Biomilstse För tt i äst vsitt ku defiier tlet e måste vi lär oss litet grudläggde kombitorik. Kombitorik hdlr om tlet sätt tt gör olik sker. Exempelvis vet vrje kombitoriker hur måg fyrsiffrig portkoder det fis, som skr upprepde siffror det är 5040 stycke). Vi kommer i dett vsitt tt titt ärmre på tlet sätt tt välj k objekt ur e mägd v objekt och se hur dett häger ihop med uttryck på forme + b). Atg tt vi vill beräk + b) 3. Dett k skrivs som + b) + b) + b) och utvecklr vi dett får vi b+3b 2 +b 3. På smm sätt k vrje produkt på forme + b) skrivs som e summ v ett tl termer. Dess termer är lltid på forme v ett heltl multiplicert med e potes v d.v.s. k för ågot k) multiplicert med e potes v b. Me vilk poteser är möjlig och vilk heltl står frmför de olik kombitioer? Ett sätt tt se på summ b + 3b 2 + b 3 är tt vrje term fås geom tt välj tige eller b ur vrje fktor i produkte + b) + b) + b). Om vi väljer ur de först fktor, b ur de dr och ur de tredje får vi terme 2 b. För vrje fktor fis två möjligheter eller b), så smmlgt hr vi termer. Viss v dess är lik, så vi k skriv ihop dem till e term. Väljer vi som ov får vi t.ex. terme 2 b. Me det får vi äve om vi väljer vårt b ur först eller tredje fktor, så det fis tre sätt tt få 2 b. Det är därför vi får terme 3 2 b i summ ov. Ur vrje fktor måste vi välj exkt e v och b. Om vi dderr poteser för och b sk vi lltså få. Det stämmer med exemplet, eftersom poteser i tur och ordig är Vi k ite heller h egtiv poteser, så ige potes är högre ä. Vi hr lltså kosttert tt + b) k utveckls som e ädlig summ + termer ärmre bestämt), där ll termer är på forme c k b k och c är ett heltl. Dett heltl ges v tlet sätt tt välj exkt k stycke b: bld möjlig. Låt oss beteck dett tl k). Vi k då skriv produkte som ) ) +b) ) b ) b + 2 ) 2 b b + 0 b. De summ, som är så låg tt de går ut i mrgile, k kortre skrivs som ) k b k. k Vi tolkr dett som tt vi får e term för vrje heltl k mell 0 och. Vi byter då ut k i uttrycket mot dess heltl. Exempelvis fås först terme i summ ov geom tt sätt i 0 i stället för k. Formel + b) 6 ) k b k k

7 klls biomilstse och tle k) klls biomilkoefficieter de uttls välj k eller över k ). Stse är dock ite särskilt vädbr om vi ite k uttryck biomilkoefficieter på ett eklre sätt. Vi sk strx gör dett, me vi behöver kä till följde hjälpsts hjälpstser klls lemmor i mtemtisk skrift). Lemm. Atlet sätt tt sorter k elemet är k!. Att sorter iebär tt ge elemete e ordig. Bevis Vi vill sorter k stycke elemet, d.v.s. bestämm e ordig bld dess. När vi väljer det först elemetet hr vi k ltertiv ll elemet k väljs). När vi väljer det dr elemetet är ett elemet red vlt, så vi hr u br k ltertiv. Smmlgt k de två först elemete väljs på k k ) olik sätt. På smm sätt ser vi tt det tredje elemetet k väljs på k 2 olik sätt, vilket ger k k ) k 2) ltertiv för de tre först elemete. Smmlgt för ll elemete får vi så småigom k k ) k 2)... 2 k! olik ltertiv. Vi k u skriv biomilkoefficieter på ett eklre sätt. Sts.2 Biomilkoefficieter k) ges v )! k k! k)! där! ) 2)... 2 uttls -fkultet ). Vi defiierr dessutom 0!. Bevis Ett sätt tt välj k elemet ur e mägd v elemet är tt sorter ll elemete, och sed välj de k först. elemet k, eligt lemmt, sorters på! olik sätt. Atg tt vi hr sortert de elemete. Om vi u ädrr ordig på de k först elemete får vi smm vl v k elemet. Det spelr uppebrlige ige roll i vilke ordig de k först elemete ligger, eftersom ll dess blir vld. Vi kommer lltså tt få smm vl v k elemet k! gåger. På smm sätt spelr ordige v de övrig k elemete ige roll, så vi får smm vl v k elemet k! k)! gåger. Me vi vill h vrje vl precis e gåg. Vi måste lltså del med både k! och k)! för tt få tlet sätt tt välj k elemet ur elemet. Därmed hr vi ) k! k! k)!. Biomilkoefficieter k äve beskrivs med hjälp v e rekursiosformel e rekursiosformel är e formel där vi beräkr tl i e tlföljd med hjälp v tl som ligger tidigre i tlföljde). I dett fll k m resoer som så: Om vi bld tle {, 2,..., } sk välj k tl, så är tlet tige med eller ite med fler 7

8 ltertiv fis ite). Om är med i vlet, väljer vi övrig k tl bld tl. Dett k görs på k ) olik sätt. Om ite är med i vlet sk vi välj k tl bld de övrig, vilket k görs på ) k sätt. Vi behöver lltså br kä till biomilkoefficieter för för tt beräk dem för. Formel lyder ) ) ) +, k k k med begyelsevärde 0) ), för ll heltl. Vi k u skriv upp biomilkoefficieter i e struktur som är käd uder met Pscls trigel. Begyelsevärde fier vi på kter och eligt rekursiosformel är vrje tl lik med summ v de två tle ärmst ovför. Tbell : Pscls trigel. I rd och positio k frå väster fier vi k ). Överst hr vi lltså 0 0) Hur sbbt växer! med? Om vi ökr till + så multiplicerr vi! med +.! borde lltså ök väldigt sbbt. Följde sts visr tt så är fllet. Lägg märke till tt tlet 2 i stse k byts ut mot godtyckligt positivt tl, om vi ädrr de edre gräse för Sts.3 För 4 gäller tt! > 2. Bevis Betrkt kvote!/2. Om de är större ä följer tt! > 2. Me om 4 hr vi! ) 2) > >. Övig. Geom tt välj lämplig värde på och b, vis tt ) 2 k och tt för > 0) ) ) k 0. k 8

9 Övig.2 Utök Pscls trigel med ågr rder. Vilk tl fis på dr respektive tredje digole frå väster? Hur ser rekursiosformel ut i dess fll k resp k 2)? Övig.3 Vi ser tt Pscls trigel verkr vr symmetrisk. Bevis dett! Övig.4 För er som läst iduktio: Aväd iduktio för tt vis sts.2 med hjälp v rekursioe. Ledig: Utför iduktioe i -led, d.v.s. tgdet är tt formel gäller för ll k med p och sed visr m det för ll k med p. M iser ekelt tt 0) ), så vi behöver br vis formel för de k som är såd tt k. 9

10 2 Gräsvärde och tlföljder Vilket tl i mägde [0, ] är störst? Tlet verkr ju vr e give vire, vilket också stämmer. Om jg u frågr efter det störst tlet i mägde [0, ) blir det betydligt svårre. Svret är tt iget tl är störst. Vrför? Om ågot tl är störst borde vi ku ge det, eller hur?) Låt oss geerliser vår ituitiv uppfttig v störst elemetet i e mägd. Defiitio 2. M är e övre begräsig till e mägd A om x A gäller tt x M. De reell tle hr egeskpe tt vrje uppåt begräsd mägd hr e mist övre begräsig. Dett är ite st för de rtioell tle då t.ex. {x Q : x 2 < 2} skr mist övre begräsig 2 / Q). Defiitio 2.2 Supremum v e mägd A eller sup A defiiers som de mist övre begräsige v A, d.v.s. sup A mi{m : M är e övre begräsig till A}. Exempel 2.3 sup [0, ] mx [0, ]. Exempel 2.4 sup [0, ) med mx [0, ) sks. För tt ku defiier gräsvärde måste vi vet vd vi mer med tt ågot tl är är ågot t tl. Låt oss defiier beloppet v x som { x, då x 0 x x, då x < 0 Beloppet v x ger vstådet frå x till tlet 0. Lite mer llmät k vi skriv x b som betyder tt vstådet frå x till är b. Vi sk i dett kpitel studer oädlig följder v tl, t.ex., 2, 3, 4,.... Låt oss betrkt e godtycklig tlföljd v reell tl, 2, 3,... eller lite föreklt { }. E turlig fråg är om tlföljde stbiliserr sig vid ågot värde för stor värde på. I exemplet ov tycks tlföljde ärm sig 0. Me för tt exkt vet vd vi mer med tt e tlföljd ärmr sig ett värde, måste vi iför e defiitio. Defiitio 2.5 E tlföljd { } sägs koverger mot gräsvärdet A om det för ll ε > 0 fis ett N sådt tt A < ε då N. Vi iför beteckige lim A. E tlföljd med de egeskp klls koverget, rs diverget. 0

11 Sts 2.6 Låt { } och {b } vr koverget tlföljder med gräsvärde A respektive B. Då följer tt tlföljde. { + b } är koverget med gräsvärdet A + B, 2. { b } är koverget med gräsvärdet AB. Bevis Vi väder oss v defiitioe.. Tg ε > 0. Vi vill vis tt det fis ett N sådt tt + b A B < ε för ll N. + b A B A + b B Då { } kovergerr mot A och {b } kovergerr mot B får vi tt det fis tl N och N 2 så tt b B ε 2, då N och A ε 2, då N 2. Dett ger tt + b A B ε, då mxn, N 2 ). 2. Tg ε > 0. Vi vill vis tt det fis ett N sådt tt b AB < ε för ll N. b AB b B + B AB b B + B AB b B + B A. Då { } kovergerr mot A, {b } kovergerr mot B och mx { } K < får vi tt det fis tl N och N 2 så tt och Dett ger tt b B ε 2K, då N A ε 2B, då N 2. b AB ε, då mxn, N 2 ). E tlföljd { } klls växde om + för ll N och uppåt begräsd om det fis ett tl M sådt tt M för ll N. M är lltså e övre begräsig till mägde {, 2, 3,...} { }. Sts 2.7 E tlföljd som är växde och uppåt begräsd är koverget.

12 Bevis Atg tt tlföljde är uppåt begräsd v tlet M. Vi vet då tt ll tl i tlföljde är midre ä eller lik stor som M. Det kske fis ett midre tl ä M som hr smm egeskp. Låt oss kll det mist tl som är e övre begräsig till { } för K. Då K är de bsolut mist övre begräsige till tlföljde så fis det elemet i tlföljde oädligt är K i viss fll äve lik stor som K). D.v.s. för vrje givet ε > 0 fis ett N sådt tt N K < ε. Me då tlföljde är växde kommer K < ε för ll N. Vi är klr och hr dessutom vist tt gräsvärdet v tlföljde är precis K, d.v.s. lim K. Sts 2.8 Tlföljde + ) är koverget. Bevis Vi vill väd föregåede sts, lltså måste vi verifier tt { } är växde och uppåt begräsd. Låt oss yttj biomilstse: + ) ) ) k k k ) k k. Vi studerr vrje term i detlj. )! k k k! k)! k ) 2) k + ) k! k k! 2 k! k + ) ) 2 k För tt u ise tt tlföljde är växde studerr vi och +. och logt följer tt + + ). k! ) 2 ) k ) k! ) 2 ) k ) Låt oss jämför de termer vi får för ett givet k. Vi hr tt vilket ger tt ) 2 i < i, i, 2,..., k + ) k ) < ) 2 ) k )

13 För vrje k i summor är terme frå + större ä de frå. Dessutom iehåller + e term mer ä som också ger ett positivt bidrg. Alltså är + > för ll. Låt oss u äve verifier tt { } är uppåt begräsd. Återige väder vi oss v frmställige k! ) 2 ) k ) då vrje prtes är midre ä. Vi hr i kpitel vist tt k! > 2 k för ll k 4. Dett pssr u perfekt för vår uppskttig. k!, k! 0! +! + 2! + 3! + k k! < k k4 2 k < + 2 k. Vi påmier oss u om formel för e geometrisk summ vilke är ekel tt verifier, hur?), x k x+ x. I vårt fll får vi k! < + 2 k + + 2) ) 2 + < 3. Vi hr u vist tt { } både är växde och uppåt begräsd vilket ger tt { } är koverget. Defiitio 2.9 e lim +. ) Frå beviset v tt tlföljde kovergerr får vi tt e < 3 och om vi sätter får vi tt e > 2. Exempel 2.0 Låt oss vis tt + ) kovergerr mot e äve då. Vi bildr tlföljde {b }, där b + ) ) 3

14 och frågr oss vd {b } kovergerr mot då. b ) ) ) ) ) + + ). Vi utför vribelbytet m, + ) + m+ + m) ) + m e, då m. m m) Övig 2. Vis tt sup { } : 0,, 2, 3, Övig 2.2 Verifier formel för e geometrisk summ x ), d.v.s. Övig 2.3 Vis tt tlföljde { } är koverget. Vd är gräsvärdet? x k x+ x. k k ) k + Övig 2.4 För e koverget tlföljd { } gäller tt Aväd dett för tt vis tt ) 5 lim ) 5 lim. lim + 5 ) e 5 4

15 3 Kotiuitet Vi hr i föregåede kpitel defiiert vd vi mer med tt e tlföljd { } kovergerr mot ett gräsvärde då. De defiitio är ekel tt geerliser till fuktioer. Vi börjr med tt förklr vd som mes med e fuktio. Låt oss t tt vi hr två mägder A och B. Vrje elemet x i A tilldels ett uikt elemet y i B. De vbildig f som överför x på y klls e fuktio. A som betecks D f klls defiitiosmägd och B målmägd. E vlig beteckig för llt dett är f : A B som betyder tt f är e fuktio frå defiitiosmägde A till målmägde B. Exempel 3. Låt f x) x 2, D f [ 5, 2] [, 2]. Som målmägd k vi t R eller [, 25]. Ett ågot mer bstrkt exempel k se ut eligt följde. Exempel 3.2 Låt A {x, y, z} och B {, b, c}. Låt oss defiier e fuktio f : A B geom tt f x) b, f y) och f z) b. Defiitio 3.3 E fuktio f : R R sägs h gräsvärdet A då x om det för ll ε > 0, fis ett N sådt tt f x) A < ε då x D f och x N. Vi iför beteckige lim f x) A. x Exempel 3.4 Låt fx) x. Då x växer, vtr x lim x x 0. mot 0. Låt oss vis tt Tg ett ε > 0. Vi vill vis tt vi k välj ett N som beror på värdet v ε) sådt tt x x 0 < ε då x N. Dett följer om vi väljer N > ε. Exempel 3.5 Låt oss betrkt fuktioe f x) 2x + x, då x. Vi skriver om uttrycket ågot 2x + x 2 + x x 2 2, då x. M k äve väd sig v följde idetitet 2x + x 2 x ) + 3 x , då x. x 5

16 Med fuktioer är m emellertid ite edst itresserd v gräsvärde då x ut äve i e godtycklig pukt. Vi iför dett med e likde defiitio. Defiitio 3.6 E fuktio f sägs h gräsvärdet A då x om det för ll ε > 0, fis ett δ > 0 sådt tt f x) A < ε då 0 < x < δ. Vi iför beteckige lim f x) A. x Vi är u redo för tt defiier derivt. Defiitio 3.7 Låt f vr e fuktio defiierd på R. Om gräsvärdet f x + h) f x) lim h 0 h existerr, sägs f vr deriverbr i pukte x. Gräsvärdet betecks med f x) och klls derivt v f i pukte x. Exempel 3.8 Ett välbekt exempel är x + h) 2 x 2 lim h 0 h x 2 + 2xh + h 2 x 2 lim h 0 h lim 2x + h 2x h 0 lim h 0 2xh + h 2 h d.v.s. tt derivt v x 2 är 2x. Vår defiitio v gräsvärde då x tr häsy till hur fuktioe ser ut på båd sidor om x. At tt e fuktio f är defiierd över ett itervll D f, b). Då är det omöjligt tt väd vår defiitio v gräsvärde då x ty fuktioe fis ju ite till väster om ). Vi vill vet hur f beter sig är x me edst sett frå större värde ä x. Vi gör följde defiitio. Defiitio 3.9 Låt f vr e fuktio som iehåller itervllet, b) i si defiitiosmägd. f sägs h högergräsvärdet A då x om ε > 0, δ > 0 sådt tt f x) A < ε då 0 < x < δ. Vi iför beteckige lim f x) A. x + På motsvrde sätt iför vi västergräsvärde. Om vi fuderr ett tg över dess defiitioer v gräsvärde får vi följde sts. Sts 3.0 Låt f vr e fuktio, då följer tt lim f x) A lim f x) lim f x) A x x + x 6

17 Defiitio 3. E fuktio f sägs vr kotiuerlig i pukte x om lim f x) f ). x f sägs vr kotiuerlig om f är kotiuerlig i ll pukter i si defiitiosmägd. E fuktio är lltså kotiuerlig i x om och edst om högergräsvärde, västergräsvärde och fuktioes värde i x smmfller. Exempel 3.2 Fuktioe fx) { 3x 3, då x x x, då x > är kotiuerlig i pukte x ty fuktioer fx) 3x 3 och fx) x x är kotiuerlig i respektive defiitiosområde och x lim 0 f). x + x Lemm 3.3 Låt f vr kotiuerlig i pukte x och f ) > µ. Då existerr ett öppet itervll I krig x sådt tt f x) > µ för ll x I. Bevis Tg ε > 0 sådt tt f ) µ > ε, vilket är ekvivlet med tt f ) ε > µ. Då f är kotiuerlig i x gäller tt lim f x) f ) x som i si tur betyder tt vi k fi ett δ > 0 sådt tt f x) f ) < ε då x < δ. Att f x) f ) < ε betyder tt f ) ε < f x) < f ) + ε, vilket ger tt µ < f ) ε < f x) för ll x I {x : x < δ}. Sts 3.4 Låt f : [, b] R vr kotiuerlig. Då tr f ll värde mell f ) och f b). Bevis Om f ) f b) fis det iget tt vis. Atg tt f ) < f b), det motstt fllet k behdls logt. Låt µ vr ett godtyckligt tl sådt tt f ) < µ < f b) Vi vill vis tt det fis ett tl x λ sådt tt f λ) µ. Låt oss bild mägde M {x [, b] : f x) < µ} som ej är tom eftersom M eller hur?). Vi sk u vis tt λ sup M uppfyller tt f λ) µ. Ett sätt tt vis dett är tt vis tt f λ) µ och tt f λ) µ. Atg tt f λ) < µ. Eftersom f λ) < µ < f b) måste λ < b. Eligt föregåede lemm fis det u ett öppet itervll I krig λ sådt tt f x) < µ för ll x I, d.v.s. det fis ett tl δ > 0 sådt tt f x) < µ då λ x < λ + δ. All dess x ligger lltså i M, me dett strider ju mot tt λ sup M. Vi hr fått e motsägelse till vårt tgde tt f λ) < µ. 7

18 Atg u tt f λ) > µ. Eftersom f λ) > µ > f ) måste λ >. Återige får vi frå föregåede lemm tt det fis ett tl δ > 0 sådt tt f x) > µ då λ δ < x λ. Dett betyder tt det ite k fis ågot tl i M i itervllet λ δ, λ). Dett strider mot tt λ sup M. Vi hr fått öskd likhet f λ) µ. Då µ vr godtyckligt vld i [, b] gäller tt f tr ll värde mell f ) och f b). Övig 3. Vis med hjälp v defiitioe för gräsvärde tt derivt v. x 3 är 3x x är x 2 Övig 3.2 Vis med hjälp v defiitioe för gräsvärde tt lim x x 2 0. Övig 3.3 Bestäm kostter, b och c så tt fuktioe f : R R defiierd som x 3 2, då x < 2 fx), då x 2 bx + c, då x > 2 och dess derivt blir kotiuerlig fuktioer. Övig 3.4 Vis med hjälp v kojugtregel tt lim x 0 + x x 2. 8

19 4 Fuktioslär Vi defiierde i föregåede vsitt vd e fuktio är och äve fuktioes defiitios- och målmägd. Det fis ytterligre e mägd som är itresst i smbd med fuktioer, ämlige fuktioes värdemägd. Värdemägde till fuktioe f : A B betecks V f. De består v ll de elemet y fx) i målmägde B som mist ett elemet x i defiitiosmägde vbilds på. Det är helt ekelt de elemet i B som fås, om vi låter f verk på ll elemet i A. Vi k äve beteck värdemägde fa). Exempel 4. Låt fuktioe f : R R ges v fx) x 2. De fuktio omvdlr vrje x R till ett icke-egtivt reellt tl. Vi vet äve tt vi k få vrje icke-egtivt reellt tl geom tt kvdrer ågot reellt tl. Värdemägde blir lltså ll icke-egtiv reell tl, {x R : x 0} [0, ). Ibld vill m sätt smm två fuktioer till e fuktio. Dett k br görs om de först fuktioes värdemägd ligger helt i de dr fuktioes defiitiosmägd. Eklst uppår vi dett geom tt de först fuktioes målmägd smmfller med de dr fuktioes defiitiosmägd. Defiitio 4.2 Smmsättige v två fuktioer f : A B och g : B C är e fuktio g f) : A C såd tt g f)x) gfx)). Oft hr m ett värde y fx) givet v e fuktio f : A B, och vill beräk vilket elemet x som gv dett värde. I bäst fll k vi defiier e fuktio g : B A såd tt smmsättigr f g) : B B och g f) : A A båd är idetitetsfuktioer, d.v.s. tt f g)x) x och g f)x) x. Med de y fuktio k m beräk vilket elemet som mtdes i i de först fuktioe, ovsett vilket värde som mtts ut. Defiitio 4.3 Låt f : A B vr e give fuktio. E fuktio g : B A, såd tt f g) : B B och g f) : A A båd är idetitetsfuktioer, klls ivers till f. Vi skriver oft fuktioe g som f. Exempel 4.4 Låt f : R R ges v fx) x 2. Vi k då ite defiier ågo ivers, eftersom det fis två värde på x som ger fuktiosvärdet 4, ämlige 2 och 2. Om vi defiierr g så tt g4) 2 får vi g f) 2) g4) 2 2 och om vi defiierr g4) 2 får vi g f)2) g4) 2 2. Det går lltså ite tt gör g f) till e idetitetsfuktio. Om vi däremot begräsr fuktioe f till icke-egtiv reell tl, d.v.s. vi sätter D f {x R : x 0}, så k vi defiier gy) y. Då får vi f g)y) f y) y) 2 y och g f)x) gx 2 ) x 2 x x. M vill turligtvis ku vgör är e fuktio hr ivers ut tt behöv t red på iverse, vilket k vr svårt. Viss hjälp hr m v följde två begrepp. 9

20 Defiitio 4.5 E fuktio vrs målmägd och värdemägd smmfller klls surjektiv. Defiitio 4.6 E fuktio f som ite vbildr två värde på smm värde, d.v.s. x x 2 fx ) fx 2 ), klls ijektiv. Dett är liktydigt med tt fx ) fx 2 ) x x 2. Defiitio 4.7 E fuktio som är både ijektiv och surjektiv klls bijektiv. Vi k u preseter följde sts. Sts 4.8 E bijektiv fuktio hr e ivers. Omvät gäller tt fuktioer med ivers är bijektiv. Bevis Vi tr tt fuktioe f : A B är bijektiv. Eftersom de är surjektiv fis till vrje b B mist ett A så tt f) b. Eftersom f är ijektiv fis till vrje b B mximlt ett A så tt f) b. Det fis lltså för vrje b B precis ett A så tt f) b. Defiier g : B A så tt gb) blir precis dett värde. Det är u ekelt tt ise tt f g)b) f) b och tt g f) gb), så både f g) och g f) är idetitetsfuktioer. Vi tr u tt fuktioe f : A B hr iverse f : B A. Eftersom f f )b) ff b)) b, b B vet vi tt för vrje b B så vbilds f b) på b. Därmed är värdemägde för f idetisk med målmägde och f är således surjektiv. Uder tgdet tt f hr e ivers visr vi lätt ijektivitet: vilket iebär tt f är ijektiv. fx ) fx 2 ) f fx )) f fx 2 )) x x 2, Som e följdsts k vi kostter tt eftersom iverse till e fuktio f hr ivers f är de ivers) är äve iverse bijektiv. Övig 4. Skriv fuktioe f : R R, fx) x + 6) som e smmsättig v fuktioer g : R R, där gx) x 2 och h : R R, där hx) x + 2. Övig 4.2 Vis tt fuktioe f : R R, defiierd som fx) x 3 hr e ivers. Övig 4.3 Vis tt smmsättige v två bijektiv fuktioer f : A B och g : B C hr ivers. Bestäm iverse, uttryckt i f och g. Övig 4.4 E permuttio är e omkstig eller sorterig) v ett ädligt tl elemet. Ett exempel på e permuttio är π , vilket är e omkstig v ordige Dett k ses som e fuktio f : [6] [6], där [] {, 2,... }. Vi täker oss då tt vi på plts x hr tlet fx). Exempelvis står 4 på plts, så f) 4. Vis, med hjälp v sts 4.8 tt permuttioer hr ivers. Bestäm iverse till π

21 5 Expoetilfuktioe Det hr u blivit dgs tt betrkt expoetilfuktioe f : R R som ges v fx) e x. Det tl som står ederst i dett fll e) klls bs och det tl x som står över klls expoet. De räkelgr vi kommer tt härled fugerr äve för fuktioer med dr bser, d.v.s. fuktioer på forme fx) x för e, me vi kommer huvudsklige tt håll oss till e x. För expoeter som är turlig tl vet vi vd e x borde betyd. För N defiierr vi e e } e {{... e}. st e 0 defiierr vi till dett följer v tt vi k täk oss e som e ett multiplicerd med stycke e). Det är ekelt tt ise följde räkelgr. Räkelgr 5. För två turlig tl och b gäller ) e e b e +b och, om b 2) e /e b e b. Av dett följer tt 3) e ) b e b. Av dess lgr följer tt det är turligt tt defiier e för egtiv som e. Eftersom är positivt blir dett ett begripligt uttryck. Vi skulle dock vilj defiier fuktioe e x för godtycklig reell expoeter. Vi börjr med tt titt på vd som häder om expoeter är rtioell och går därefter över till det reell fllet. Defiitio 5.2 För positiv heltl q defiierr vi e /q till tt vr det positiv tl sådt tt q e. Det är kske ite uppebrt tt ett sådt tl fis, och ite heller tt det br fis ett sådt positivt tl. Sts 5.3 Det fis ett tl R så tt q e. Dett tl är uikt. Bevis Låt A {x R : x q e}. Om det fis ett tl A så tt q e så är vi klr. Betrkt rs b sup A. Om b q < e vill vi fi ågot tl ε > 0 så tt b + ε) q < e. I så fll är ite b supremum till A, eftersom det fis större tl b + ε, till exempel) som ligger i A. 2

22 M visr lätt tt, om > b 0, q b q b) q + q 2 b + q 3 b b q ) < b)q q. Om vi sätter i b + ε får vi b + ε) q b q < b + ε b)qb + ε) q εqb + ε) q. Eftersom ε k väljs midre ä b får vi Vi väljer u vilket ger Vi hr därmed fuit det tl vi sökte. b + ε) q b q < εq2b) q. e b q ) ε mi b, q2b) q, b + ε) q b q < e b q b + ε) q < e. På smm sätt k m vis tt om b q > e så fis det ett tl b ε så tt b ε) q > e. Då k ite b vr supremum v A, eftersom det ite är de mist övre begräsige. Vi iser lltså tt b q e. Att det tl vi fuit är uikt är lätt tt ise, eftersom 0 < b q < b q. Vi k u defiier expoetilfuktioe för rtioell expoeter. Defiitio 5.4 Låt x p/q vr ett rtioellt tl p, q N, q > 0). Vi defiierr då e x e p q e /q ) p. Kommetr 5.5 Vrje bråk k skrivs på oädligt måg sätt. Om defiitioe ov sk vr meigsfull sk ll dess sätt ge smm resultt. Det är dock ite särskilt svårt tt vis och läms som e övig. Vi k kotroller tt räkelgr 5. stämmer äve för rtioell expoeter. Vi visr dett i först fllet, och lämr övrig fll som e övig. Vi tr här p, q, r, s Z, q och s större ä 0. e p q e r s e ps qs e qr qs e /qs ) ps e /qs ) qr e /qs ) ps+qr e ps+qr qs e p q + r s. Vi hr här vät först räkelge för heltlsexpoeter. Det k u vr lämpligt tt vis tt expoetilfuktioe e x : Q R är strägt växde och kotiuerlig. Med strägt växde mes tt x < x 2 medför tt e x > e x 2. Vi börjr med växdet. Vi vill vis tt x > y e x > e y. Skriv x och y så tt de hr gemesm positiv ämre. Vi får då x p q > r y p > r. q 22

23 Det är då ekelt tt ise tt e x e /q ) p > e /q ) r e y, eftersom e /q > rs fick vi e e /q ) q q, vilket ite stämmer). Expoetilfuktioe är således strägt växde för rtioell expoeter. För tt vis tt de är kotiuerlig räcker det tt vis tt om vi vrierr expoete lite så ädrs ite heller fuktiosvärdet särskilt mycket. Om vi k vis det hr vi uppått tt för ll ε > 0 k vi välj δ > 0 så tt x < δ e x e < ε. Därmed hr vi vist tt e x är kotiuerlig i. Låt ε > 0 vr godtyckligt och tg x < δ. Vi vill fi hur litet vi måste gör δ för tt uppfyll e x e < ε. Vi får då, för x > e x e e +x ) e e e x ) < e e δ ) fllet x < läms som e övig). Vi måste förviss oss om tt vi k gör e e δ ) midre ä ε. Dett uppås om e δ < ε e eller e δ < + ε e. Frå biomilstse iser vi tt m ) m + η) m η k > + mη. k Olikhete fås geom tt br t med två termer i summ övrig termer är positiv). Geom tt välj m så tt + ε e ) m > + m ε e > e och δ /m får vi tt e mδ e < + ε e )m e δ < + ε e. Vi hr u fuit ett δ > 0 som uppfyller villkore ov. Dett gjordes för godtyckligt ε > 0. Därv följer u kotiuitete. För tt u utök defiitioe v fx) e x till smtlig reell expoeter x defiierr vi e x sup e y. y Q, y6x För rtioell x ges dett supremum turligtvis v e x eftersom y < x e y < e x, y Q). M k u vis tt räkelgr äve gäller för godtycklig reell expoeter eligt defiitioe ov. Äve dett visr vi br för först räkelge. Vi vill vis tt e x e y e x+y. Det är smm sk som tt vis sup e z sup e z 2 sup e z 3. z 6x z 2 6y z 3 6x+y Vi tr hel tide tt z, z 2 och z 3 är rtioell.) Vi k flytt ihop expoetilfuktioer på västersid. Vi får sup e z +z 2 sup e z 3. z 6x, z 2 6y z 3 6x+y 23

24 Vi k u defiier mägder A {e z 3 : z 3 x + y} och B {e z +z 2 : z x, z 2 y}. Likhete k u skrivs sup B sup A. Det är uppebrt tt vrje elemet i B äve fis i A, eftersom z, z 2 Q och z x, z 2 y medför z + z 2 Q och z + z 2 x + y. M k äve vis tt givet z 3 Q, z 3 x + y fis z, z 2 Q så tt z 3 z + z 2, z x och z 2 y. Därmed fis vrje elemet i A äve i B, så A B, vilket ger sup B sup A. Vi k u begrud egeskper för fuktioe e x : R R. Det är lätt tt se tt de, liksom i det rtioell fllet, är växde. För tt vis tt de är strägt växde gör vi så här: Låt x, y R, x < y. Då fis två rtioell tl och b så tt x < < b < y. Eftersom expoetilfuktioe är strägt växde över rtioell expoeter och växde över reell expoeter får vi e x e < e b e y. Expoetilfuktioe är lltså strägt växde äve över reell expoeter. Att expoetilfuktioe är kotiuerlig ises v kotiuitete i det rtioell fllet smt v tt fuktioe är strägt växde. Givet tt vi vill h e x e < ε k vi väd smm δ som i det rtioell fllet och se tt det räcker tt x < δ för tt uppfyll krvet. Vi betrktr u expoetilfuktioe f : R 0, ), där fx) e x. Eftersom de är strägt växde är de ijektiv. Eftersom de är kotiuerlig, vtr mot 0 då x vtr mot och växer mot då x växer mot se övig 5.4), så är de också surjektiv. Därmed är de bijektiv och hr e ivers. De ivers sk vi beskriv i äst vsitt. Övig 5. Vis tt, för expoeter i N, räkelg 3 följer v räkelg. Vis äve tt räkelg 2 gäller för rtioell expoeter. Övig 5.2 Vis tt defiitioe v expoetilfuktioe för rtioell expoeter är vettig, d.v.s. tt för rtioell expoet x p/q r/s hr vi e /q ) p e /s ) r Ledig: Det räcker tt vis tt e /q ) p ) qs e /s ) r ) qs eftersom qs är ett heltl. Observer tt du får br väd räkeregler för heltlsexpoeter och defiitioe v e /q. Övig 5.3 Vis tt räkelg 3 gäller för rtioell expoeter. 24

25 Ledig: Eftersom e q ) /q ) q e q dett fås geom tt defiitioe för e /q geerlisers till dr bser ä e) iser vi tt e q ) /q e. Övig 5.4 Vis tt och tt lim x ex lim x ex 0. 25

26 6 Logritmfuktioe och stdrdgräsvärde Vi vet u tt fuktioe f : R 0, ) såd tt f x) e x är bijektiv, vilket medför tt e ivers fis. Defiitio 6. Iverse till expoetilfuktioe f x) e x klls logritmfuktioe och betecks f y) l y. Logritmfuktioe är defiierd på expoetilfuktioes värdemägd, vilket är 0, ) och dess värdemägd smmfller med expoetilfuktioes defiitiosmägd. Itresst är hur l verkr på produkter. Låt x, y > 0, vi hr e lxy) xy e l x e l y e l x+l y. Eftersom expoetilfuktioe är ijektiv får vi tt l xy) l x + l y. Atg tt x > 0, R och tt y l x d.v.s. x e y ). Då följer tt vilket ger Vi hr äve för x, y > 0 tt x e y ) e y l x l e y y l x. l x l y l x + l y l x + l y l x y. Vi smmfttr ovståede räkelgr. Räkelgr 6.2 Låt x, y > 0 och R då gäller tt. l xy) l x + l y 2. l x y l x l y 3. l x l x Sts 6.3 Låt fuktioe f : I I 2 där I och I 2 är itervll vr bijektiv, strägt växde och kotiuerlig, då följer tt iverse f : I 2 I är strägt växde och kotiuerlig. Bevis För tt vis tt f är strägt växde tr vi tt x > y och tt x, y I 2. Vi vill vis tt f x) > f y). Atg tt f x) f y). Då f är strägt växde följer tt x ff x) ff y) y och vi hr e motsägelse. Alltså är f strägt växde. 26

27 Vi visr tt f är kotiuerlig i e godtycklig pukt x 0 I 2 och därmed kotiuerlig för ll x I 2. Vi observerr tt för x I 2 såd tt x < x 0 är f x) uppåt begräsd v f x 0 ) och dessutom växde. Fr kpitel 3 vet vi tt västergräsvärdet lim f x) x x 0 existerr. På smm sätt k vi vis tt högergräsvärdet existerr i x 0 eftersom f är vtgde då x x 0 + och edåt begräsd v f x 0 ). Vi hr tt lim f x) f x 0 ) lim f x). x x 0 x x 0 + Vi utför ett motsägelsebevis för tt vis tt här råder likhet. Låt A lim f x) x x 0 och tg tt A < f x 0 ). Låt B A+f x 0 ) 2, d.v.s. medelvärdet v A och f x 0 ). Vi iser u tt det ej k fis ågot x < x 0 som vbilds på B, ty för dess x gäller tt f x) A < B. Vi vet tt f x 0 ) > B och tt f x) > B för x > x 0 eftersom f är strägt växde. Slutstse är tt det ej fis ågot x som vbilds på B. Dett strider mot tt V f D f I är ett itervll, lltså är f kotiuerlig. Följdsts 6.4 Fuktioe f : 0, ) R, f x) lx är strägt växde och kotiuerlig. Bevis Tg I R och I 2 0, ) i föregåede sts. Vi vet frå kpitel 5 vet vi tt x e x är bijektiv, strägt växde och kotiuerlig. Vi sk u vis ågr viktig stdrdgräsvärde. Lemm 6.5 l + t) lim t 0 t Bevis l + t) t t l + t) l + t) t Låt oss utför vribelbytet t s. Gräsvärdet t 0 kommer tt smmfll med s ±. Vi får då vi vet tt logritmfuktioe är kotiuerlig tt lim l + ) s ) l lim + ) s ) l e. s ± s s ± s Lemm 6.6 e t lim t 0 t 27

28 Bevis Låt oss direkt utför vribelbytet e t s, vilket ger t l + s) e t t s, då s 0 vilket är detsmm som t 0). l + s) Nu k vi ätlige kostter tt vi vlt e br bs för vår expoetilfuktio. Sts d dx ex ) e x. d dx l x) x Bevis Vi väder derivts defiitio d e x+h e x dx ex ) lim lim e x eh e x e h lim e x. h 0 h h 0 h h 0 h Äve de dr likhete följer frå tidigre lemm l x + h) l x l ) x+h x l ) + h x h h h då t 0. [ ] h x t l + t) x t x, Övig 6. M k defiier logritmfuktioer hörde till dr fuktioer ä x e x. Atg tt > 0 och låt oss defiier x log x som iversfuktioe till x e x, d.v.s. y x x log y. Vis tt log b x log b log x. Övig 6.2 Vis tt då > 0 följer tt d dx x ) x l. Övig 6.3 Lös ekvtioe log 3 x 2 3. Övig 6.4 Vis tt ) x + x 2 l 2 l x + l x

29 7 Tylors formel och ltertiv defiitio v tlet e Vi sk börj med tt vis e yttig formel vid itegrtio. Låt f och g vr två kotiuerlig fuktioer defiierde på itervllet [, b], där g är deriverbr och F e primitiv fuktio till f. Då följer vi produktlge för derivtio tt Vi itegrerr höger- och västerled, b Efter föreklig får vi d dx F x) g x)) f x) g x) + F x) g x). d F x) g x)) dx dx b b [F x) g x)] b f x) g x) dx + f x) g x) + F x) g x) ) dx. b F x) g x) dx. Vi smmfttr resulttet som klls prtiell itegrtio i ett lemm. Lemm 7. Låt f och g vr kotiuerlig fuktioer defiierde på itervllet [, b] och g vr deriverbr. Då följer tt b b f x) g x) dx [F x) g x)] b F x) g x) dx. Exempel 7.2 Låt oss bestämm e primitiv fuktio till fuktioe f x). l xdx l xdx x l x x dx x l x x + C. x D.v.s. F x) x l x x + C är e primitiv fuktio till f. Sts 7.3 Låt f och g vr kotiuerlig fuktioer i itervllet [, b] och g vr såd tt g 0 eller g 0 i itervllet. Då fis s, b) sådt tt b f x) g x) dx f s) b g x) dx. Bevis Om g x) 0 för ll x [, b] så k s väljs godtyckligt vrför?). Atg u tt g x) 0 för ågo pukt i [, b]. Låt oss studer fllet då g 0 fllet då g 0 k vi överför på det positiv fllet geom tt studer g). Låt M mx f x) och m mi f x). x [,b] x [,b] Då gäller tt och m f x) M mg x) f x) g x) Mg x). 29

30 Vi itegrerr över itervllet [, b] och får m b g x) dx Då g ite är ollfuktioe får vi m b b f x) g x) dx M f x) g x) dx b g x) dx M. b g x) dx. Eftersom f tr ll värde mell m och M fis ett s, b) sådt tt b f x) g x) dx f s) b g x) dx. Vi sk u vis de viktig Tylors formel, som hr stor tillämpigr iom fuktioslär. De tlr om hur fuktioer uppför sig loklt krig ågo pukt geom e jämförelse med ett polyom det s.k. Tylorpolyomet). Sts 7.4 Låt f vr e fuktio som är defiierd på hel R såd tt de först derivtor är kotiuerlig fuktioer. Då följer tt f x) för ågot α 0, x). Terme f k) 0) k! x k + f α) x! klls för restterme. R x) f α) x! Bevis Vi vet tt Dett k skrivs om till f x) f 0) + x 0 x 0 f t) dt f 0) + f t) dt f x) f 0). x 0 f t) dt x f 0) + [t x) f t)] x 0 t x) f t) dt 0 [ ] f 0) + f t x) 2 x ) x 0) x f t x) 2 t) f 3) t) dt f 0) + f 0) x + f 0) x x [ f 0) + f 0) x + f 0) x t x) 2 f 3) t) dt 2 t x) 3 f 3) t) 3! 30 ] x 0 x 0 t x) 3 f 4) t) dt. 3!

31 Om vi fortsätter på smm sätt får vi f x) f k) 0) x x k + ) k! 0 Vi tillämpr u medelvärdesstse för itegrler med t x) f ) t) dt. )! g t) x t) )! 0, då t 0, x). Vi får för ågot α 0, x) tt f x) f k) 0) x x k + f ) α) k! 0 f k) 0) k! x k + f ) α) x.! x t) dt )! Låt { k }, k N vr e tlföljd. Atg tt vi är itresserde v tt beräk summ v dess tl, d.v.s k. Det är emellertid ite självklrt hur m sk gå till väg för tt utför de dditio. Vi defiierr k lim k. Exempel 7.5 Låt oss studer Tylorpolyomet till f x) e x. Vi vet tt f k) x) e x för ll k, 2, 3,... och f k) 0) för ll k, 2, 3,.... Vi får för α 0, x) tt e x + x + x2 2 + x3 x eα 3!!. E itresst sk är tt för vrje givet x blir restterme midre och midre då vi ökr. Vi bildr skillde ) e x x k lim lim e x x k lim k! k! R x) x lim eα! x lim ex! ex lim Vi hr fått e ltertiv defiitio v expoetilfuktioe e x lim 3 x k k! x k k!. x! 0.

32 Tlet e som vi defiierde eligt e lim + ) k ltertivt defiiers som e k!. Exempel 7.6 Låt f x) cos x. Då får vi Tylorutvecklige cos x x2 2 + x4 4! x6 6! + x8 8!... + f 2) α) ) 2)! ) k 2k)! x2k + ) f 2) α) x 2. 2)! Äve för f x) cos x blir restterme lite för stor. Vi får idetitete På smm sätt k vi vis tt R x) x 2 0, då. 2)! cos x si x ) k 2k)! x2k. ) k 2k + )! x2k+. Expoetilfuktioe hr ett smbd med de trigoometrisk fuktioer sius och cosius. För tt ku vis dett väder vi oss v komplex tl. Vi börjr med tt utök vår defiitiosmägd för expoetilfuktioe till komplex tlplet. Defiitio 7.7 Låt θ vr ett reellt tl. Då defiiers e iθ iθ) k. k! Vi måste vis tt då iθ R, smmfller de defiitio med de urspruglig. Dett ises då iθ R om och edst om θ 0. Då θ 0 måste bör) vi verifier tt de oädlig summ verklige kovergerr. Det följer v likde räkigr som för Tylorutvecklige v e x. På gymsiet hr i trolige udervists tt e iθ cos θ + i si θ är e defiitio vilket m ju också k h). Me vi hr vlt tt defiier e iθ med hjälp v Tylorutvecklige, vilket vi tycker är mer ituitivt. Självklrt borde de typisk gymsiedefiitioe vr e följd v vår defiitio, vilket också stämmer. 32 x 2

33 Sts 7.8 Låt θ vr ett reellt tl. Då följer tt e iθ cos θ + i si θ. Bevis Vi väder defiitioe v e iθ, Tylorutveckligr v cos θ och si θ smt tt i k+4m i k för ll heltl k och m e iθ iθ) k i k θ k i 2k θ 2k + i2k+ θ 2k+ ) k! k! 2k)! 2k + )! ) ) k θ 2k + i )k θ 2k+ 2k)! 2k + )! ) k ) k 2k)! θ2k + i 2k + )! θ2k+ cos θ + i si θ. Dett vr llt vi ville förmedl. Övig 7. Vis tt Tylorutvecklige v fx) si x är ) k x 2k+ 2k + )! x x3 3! + x5 5!.... Övig 7.2 Vis tt då x, ) följer tt l + x) x x2 2 + x k k+ xk ) Övig 7.3 Vis tt cosx + y) cos x cos y si x si y med hjälp v formel e iθ cos θ + i si θ. k. Övig 7.4 Vis Eulers formler, d.v.s. tt. 2. cos x eix + e ix 2 si x eix e ix 2i 33