Om komplexa tal och funktioner

Transkript

1 Om komplexa tal och fuktioer Aalys60 (Grudkurs) Istuderigsuppgifter Dessa övigar är det täkt du ska göra i aslutig till att du läser huvudtexte. De flesta av övigara har, om ite lösigar, så i varje fall avisigar till hur uppgifte ka lösas. Ha dock ite för bråttom att titta på lösigara det är ite så ma lär sig. Du måste först oga fudera ut vad det du ite förstår. Glöm ite att hela tide reflektera krig vad du lär dig. Saker som är svåra att förstå kräver iblad att ma täker uder e lägre period. Iblad måste ma bara lära sig hur ma gör, för att förstå lite seare (är hjära fått mer att arbeta med). Om koordiatsystem i plaet Övig I ett Cartesiskt koordiatsystem har vi två vektorer u = (, ) och v = (, ). Åskådliggör dessa i e figur och rita äve ut deras summa. Övig Age puktera (, ) och (, ) (i ett Cartesiskt koordiatsystem) i polära koordiater. Övig Vilke rät lije beskrivs av de polära ekvatioe r cos(θ + π ) + = 0? Övig Skissera de kurva vars polära ekvatio är r = + θ π, Det komplexa talplaet Övig 5 Bestäm och om 0 θ 8π a) + i, b) i, c), d) i, e) i. Rita ut tale i det komplexa talplaet. Övig 6 Skriv följade tal på forme a + bi där a och b är reella: a) ( + i) + ( i) b) ( + i) ( i), c) ( + i)( i), d) ( i), e) (5 i), f ) ( i) Övig 7 Skriv på forme a + bi där a, b är reella de två komplexa tale e iπ/6 och e iπ. Övig 8 Vektorera i det komplexa talplaet vrids vikel π/ i positiv led. I vilka tal övergår då tale och + i? Övig 9 Rita ut ett komplext tal i det komplexa talplaet. Rita därefter ut de två tale z = iz och z = ( + i)z. Övig 0 Argumetet för z är π/ och arg w = π/. Beräka argumetet till zw och z/w. Vad ka ma säga om arg(z + w) eller arg(z w)? Övig Bestäm absolutbelopp och argumet för följade tal a), b) i, c) Age också tale på polär form. + i. Övig Rita i det komplexa talplaet ut de z som uppfyller a) z z = 0, b) z + i = Övig Beräka a) + i, b) 5i, c) 7, d) ( + i)( + i), e) + i, f ) i, g) i, h) 5i. Övig Skriv följade tal på forme a + bi där a, b är reella a) + i, b) i, c) i + i, d) i + i, e) ( + i), f ) Övig 5 E olikhet som ite äms i huvudtexte me är väldigt viktig (och allmä) är triagelolikhete z + w z + w. Geometriskt betyder de bara att det kortaste avstådet mella två pukter är det räta avstådet. Me för komplexa tal har de ett illustrativt bevis som bygger på att z = zz. Geomför detta bevis. Polyom i komplexa variabler Övig 6 Om p(z) är ett komplext :tegradspolyom, förklara hur Algebras fudametalsats medför att ekvatioe p(z) = w har lösigar (räkat med multiplicitet). Övig 7 Lös ekvatioera i. a) z = 5 + i, b) z ( + i)z 5 0i = 0. När det gäller a), beräka de både aalytiskt och geometriskt (se huvudtexte). Övig 8 Lös följade ekvatioer och rita ut röttera i det komplexa talplaet: a) z = 6, b) z = i, c) z =. Övig 9 Ekvatioe z z + z 0z + 5 = 0 har röttera z = + i och z = i. Lös ekvatioe fullstädigt. Övig 0 Age ett sjättegradspolyom med reella koefficieter som har ekelt ollställe i z = i och dubbelt ollställe i z = i. Övig Faktorisera följade reella polyom i första- och adragradsfaktorer: a) x, b) x +, c) x 5 x + x. Övig Gör ett utförligare bevis för satse om att är ett polyom med reella koefficieter har ett komplex ollställe, så är äve komplex-kojugatet ett ollställe.

2 De komplexa expoetialfuktioe Övig Skriv på forme a + bi där a, b är reella tale e z för följade z: a) 0, b) i π, c) l + i π, d) iπ, e) i. Övig Beräka ( + i )00. Svar och avisigar Övig Summa är de blå vektor y u u + v Övig 5 Om z = e iπ/6, beräka e iz. Övig 6 Bestäm alla lösigar till följade ekvatioer: a) e z = + i, b) e z = 0. Övig 7 Aväd Eulers formler för att härleda ett uttryck för cos x si y. Övig 8 Visa att cos z + si z = för alla komplexa tal z. Övig 9 Visa att cosh x sih x = för alla x. För ästa övig, titta ite i lösigara ia du har fuderat igeom de ordetligt. De ka ge lite isikt i fuktiosbegreppet. Övig 0 I huvudtexte sägs att ma ka se fuktioe f (z) = e z som e fuktio frå R R. Hur beskriver ma de fuktioe? Iterferes och ståede vågor Övig Två sädare A och B säder ut radiovågor med våglägde.0 km. Sädara är sykroiserade, d.v.s. de sväger i fas med varadra. E båt som rör sig rätlijigt mella puktera C och D har si mottagare iställd på sädaras frekves. Bestäm atalet amplitudmiima som båte mottagare registerar. Avståde AC och BC är 9.5 km respektive.5 km. Avtåde AD och BD är 0,0 km respektive.0 km. Övig På avståd ka ma höra ett mullrade ljud är ma ärmar sig ett stort vattefall. Av alla ljudfrekveser som skapas i vattefallet ka ågra stycke ge upphov till e ståede våg och resoasförstärkas. Hur beror ljudets lägsta frekves på vattefallets höjd? 5 Övig Det polära koordiatera (r, θ) för (, ) är (, π ) och för (, ) är de (, π 6 ). Övig Med hjälp av additiosformel för cosius samt det faktum att si π = cos π = / får vi att r cos(θ + π ) = r(cos θ cos π si θ si π ) = v t x y. I Cartesiska koordiater är därför ekvatioe för de räta lije x y + = 0 y = x +. Övig Samtidigt som vi roterar fyra varv rut origo ska vi öka radie med jäm fart. Resultatet blir e spiral. y x Problemet med att defiiera komplexa logaritmer Vi börjar med e lite repetitio av huvudmaterialet. Övig Förklara i dia ega ord varför uttrycket + i ite har e etydig betydelse och därför ite ska avädas. Följ seda upp med att förklara samma sak för l( ). Vad är det ma måste göra tydligt först, ia ma ka ge meig åt dessa uttryck? Nästa övig visar vad ma ka göra för att råda bot på mågtydighete. Övig Om a är ett komplext tal ka ma defiiera a som de lösig z till ekvatioe z = a som uppfyller π < arg z π. Beräka i och + i utifrå dea defiitio. Svara på polär form. E ytterligare illustratio av mågtydighet är ma räkar med komplexa tal ges i ästa övig. Övig 5 Vi har a) Re( + i) =, Im( + i) =, b) Re( i) =, Im( i) =, c) Re() =, Im() = 0, d) Re(i) = 0, Im(i) =, e) Re( i) = 0, Im( i) =. Vi ritar dem som vektorer i det komplexa talplaet + i Övig 5 Vi vet att om x > 0 så ka vi beräka x x geom att aväda x x = e x l x.vad häder om vi på samma sätt försöker beräka i i? i i i

3 Övig 6 Här behövs bara svar: arg( + i ) = π π = π, a) i, b) + 5i, c) 7 i, d) i, e) 65 i, f ) meda Övig 7 Vi har att e iπ/6 = cos π 6 + i si π 6 = + i, eiπ = cos π + i si π = Övig 8 Om z är ett komplext tal så blir e iθ z det tal ma får om ma vrider (vektor) z vikel θ radiaer moturs. I uppgifte ska vi vrida vikel θ = π/, vilket alltså svarar mot att multiplicera z med e iπ/ = i. Alltså övergår i i och + i i i( + i) = i. Övig 9 Vi får z geom rotatio ett kvarts varv moturs. Vad gäller z ka vi atige se det som z = z + z, eller så ka vi skriva + i = e iπ/, så vi får z ur z geom att först rotera 5 grader moturs och seda förläga med e faktor. Detta illusteras i figure eda 6 + i = =, arg( + i) = π/. Ur dessa resultat ka vi seda avläsa de polära forme för de olika tale: = e πi/, + i = e πi/, + i = e πi/. Övig a) Skriver vi z = x + iy så blir ekvatioe z z = x + iy (x iy) = iy = 0, d.v.s z ska vara ett reellt tal. Detta ka också ises geometriskt: z z + z z z z z b) z + i = z ( i) ska tolkas som avstådet frå z till talet i. Villkoret är att detta avståd ska vara, vilket betyder att z ska ligga på de cirkel som har medelpukt i i och radie : Övig 0 Vi har att arg(zw) = arg z + arg w = π + π = 7π, arg z w = arg z arg w = π π = π Däremot ka vi ite säga ågot om arg(z ± w). Jämför med logaritmlagara!! Övig Det är här e bra idé att rita ut tale i det komplexa talplaet (äve om ite är placerad på rätt ställe på axel). Övig Detta ska vara lätt u, så vi ger bara svare: a) i, b) + 5i, c) 7, d), e), f ), g) 5, h) 5. Övig a) +i = i (+i)( i) = i, + i + i b) i = 5 ( + i) = i, c) i +i = ( i)( i) = 7i, Vi ser då direkt att = och arg( ) = π. För de adra aväder vi Pytagoras sats för att beräka lägde och avläser vikel med hjälp av våra stadardtriaglar. + i = ( ) + ( ) = =, d) i +i = ( i) = i = i, e) ( + i) = ( +i ) = ( i ) = ( i) = i, där vi avät a), f) i = i. Övig 5 Vi har att z + w = (z + w)z + w = zz + zw + zw + ww = z + (zw + zw) + w = z + Re(zw) + w z + z w + w = ( z + w ). Här har vi avät att Re(z) z och att zw = z w vid olikhete.

4 Övig 6 Algebras fudametalsats säger att ett polyom alltid har (mist) ett ollställe. Om vi därför utgår ifrå ett :tegradspolyom p(z) så har det ett ollställe z. Eligt faktorsatse ka vi då skriva p(z) = (z z )q 0 (z) där q (z) är ett :tegradspolyom. Me då aväder vi algebras fudametalsats på q (z) och får ett z sådat att q (z ) = 0. Eligt faktorsatse ka vi då skriva q (z) = (z z )q (z) där q (z) har grad. Nu har vi att p(z) = (z z )(z z )q (z). Seda fortsätter vi på det sättet och varje gåg får vi e kvot som är ett gradtal lägre ä tidigare: p(z) = (z z )(z z )... (z z k )q k (z) där q k (z) har grad k. Me för k = blir det ett polyom av grad oll, alltså e kostat. Alltså får vi att p(z) = A(z z )(z z )... (z z ) där A är ett komplext tal. Övig 7 a) Vi börjar med de aalytiska lösige. Sätt z = x + iy. Då får vi ekvatioe (x + iy) = 5 + i x y + xyi = 5 + i, vilket är två (reella) ekvatioer: x y = 5 xy =. Detta ka lösas på olika sätt, me eklast blir det om ma observerar att ekvatioe z = 5 + i medför att z = 5 + i = 5 + = 69 =. Samtidigt har vi att z = z = x + y, så det fis alltså e tredje ekvatio: x + y =. För att u hitta x, y aväder vi först två av ekvatioera: x y = 5 x + y = x = 5 + = 8 x + y = x = 9 y = Vi ser alltså att vi ska ha x = ±, y = ±. Med detta ger oss fyra lösigar (, ), (, ), (, ), (, ), me bara två av dessa är korrekta. För att se vilka aväder vi de återståede ekvatioe som är xy = 6. Vi ser då att x och y måste ha samma tecke. Så lösige på uppgifte består av z = + i och z = i. De geometriska lösige bygger på följade figur:. b) Här börjar vi med att kvadratkomplettera västerledet: z ( + i)z 5 0i = (z ( + i)) ( + i) 5 0i = (z ( + i)) 5 i. Skriver vi u w = z ( + i) så är ekvatioe ekvivalet med att w = 5 + i. Me de löste vi i a) och fick w = ±( + i). Det följer att z ( + i) = ±( + i) z = ( + i) ± ( + i) d.v.s. lösigar är z = + i och z = i. Övig 8 a) Det eklaste sättet att lösa de är att faktorisera z 6 = (z ) = (z )(z + ) = (z )(z + )(z i)(z + i), me idé här är att vi ska lära oss lösa biomiska ekvatioer. Vi skriver därför z = re iθ. Då blir ekvatioe r e iθ = 6 r = 6 och e iθ =. Me detta betyder att r = 6 = och att θ = πk för ågot heltal k. Det seare iebär att θ = kπ/ för ågot heltal k, så vi har lösigara z k = e πi, k = 0, ±, ±.... Me här räkar vi upp samma lösig flera gåger. E fjärdegradsekvatio har fyra lösigar, så det är fyra lösigar vi ska ha. Vi tar de för k = 0,,, och får då z 0 = e 0 =, z = e πi/ = i, z = e π =, z = e πi/ = i. b) Vi börjar med att skriva om högerledet på polär form: i = ( + i πi ) = e. Skriv seda z = re iθ. Då har vi alltså att r e iθ = e πi r = θ = π + πk 0 för ågot heltal k. Lösige på detta är r = / och vi ska välja k = 0,,, så viklara vi får är i 8 + i θ = πi 9, θ = π 9 + π = 8π 9 θ = π 9 + π = π 9. 0 Lösigara är alltså Lösigara är därför z = ± 8 + i 8 + i = ± 6( + i) 6 = ±( + i) z 0 = / e πi/9, z = / e 8πi/9, z = / e πi/9. Här ka vi ite de trigoometriska fuktioera för viklara, så det fis ige aledig att skriva svaret på cartesisk form. c) Liksom i a) har vi två alterativ: atige att lösa de som e biomisk ekvatio eller utyttja att z + = (z i)(z + i) och seda lösa de två adragradsekvatioera geom att skriva x + iy. Vi håller oss till de första metode, att aväda metode för hur ma löser biomiska ekvatioer. Vi börjar då

5 med att skriva = e πi, och med z = re iθ betyder det att vi ska lösa ekvatioe r = r e iθ = e iπ θ = π + k π. Vi får de fyra lösigara z 0 = e πi/ = + i, z = e πi/ = + i z = e 5πi/ = i, z = e 7πi/ = i. Lägg märke till att här svarar vi på cartesisk form eftersom vi är väl förtroga med vikel π/. Övig 9 Polyomet har reella koefficieter, så äve tale i och + i är ollställe. Vi har alltså ett fjärdegradspolyom och fyra ollställe, och därmed, eligt algebras fudametalsats, alla ollställea: ± i, ± i. Övig 0 Eftersom polyomet ska ha reella koefficieter ska det äve ha ett ekelt ollställe i z = + i och ett dubbelt i z = i. Ett sådat polyom är (z ( i))(z ( + i))(z i) (z + i) = ((z ) i )((z i)(z + i)) = (z z + )(z + ) = z 6 z 5 + 7z 8z + z z + 5 Övig a) Det gör vi eklast med kojugatregel: x = (x ) = (x )(x + ) = (x )(x + )(x + ). b) Ett trick för dea är följade: x + = x + x + x = (x + ) ( x) = (x + x + )(x x + ), me det behöver ma ite se. Vad ma gör är börja med att lösa de biomiska ekvatioe z =, vilket vi gjorde ova. Dessa fyra lösigar kommer i komplexa par och var av dem ger ett adragradspolyom: (z ( + i )(z ( i ) Övig Låt polyomet vara p(z) = a k z k. Om vi kojugerar det får vi (lägg märke till hur vi aväder räkereglera för kojugerig) p(z) = a k z k = a k z k = a k z k. Eftersom polyomet har reella koefficieter gäller här att a k = a k för alla k och vi får att p(z) = a k z k = p(z). Så kojugatet av p(z) fås geom att vi räkar ut polyomet i kojugatet z. Det betyder att om p(α) = 0 så gäller att p(α) = p(α) = 0 = 0. Detta bevisar påståedet. Övig a) e 0 =, b) e iπ/ = i, c) e l e iπ/ = (e l ) / ( + i ) = + i, d) e iπ =, e) e i = e (cos( ) + i si( )) = e (cos si ). Övig Vi börjar med att skriva om det vi ska upphöja till 00 på polär form: + i = eiπ/. Eligt räkereglera för expoetialfuktioe får vi då att ( + i )00 = e i00π/. Frå detta måste vi ta bort så måga hela perioder vi ka för att se vad det är för tal. Nu gäller att 00 = + = + så här fis 6 hela varv. Alltså gäller att 00π ( + i )00 = e iπ/ = i. Övig 5 Börja med att skriv z på cartesisk form: = 6 π + π, och = ((z ) + = z z + (z ( + i )(z ( i ) Det betyder att z = e iπ/6 = ( + i ) = + i. e iz = e i( +i = e e i, = ((z + ) + = z + z + Detta ger oss faktoriserige (u byter vi z mot x eftersom vi talar om reella tal) (x x + )(x + x + ). c) Vi ser här att polyomet har ollstället x = och bryter vi ut (x ) får vi x 5 x + x = (x )(x + ) = (x )(x + x + )(x x + ) där sista likhete får som i b). och alltså är e iz = e. Övig 6 a) Vi har att + i = ( + i) = / e iπ/ = e l +i π. För att e z = e a måste z a vara ett helt atal varv, så det vi får är att där k är ett godtyckligt heltal. z = l + i π + kπ, b) Ekvatioe e z = 0 sakar lösigar. a = 0 är det eda högerled som ekvatioe e z = a sakar lösig; i alla adra fall fis oädligt måga lösigar.

6 Övig 7 Vi skriver cos x si y = (eix + e ix ) i (eiy e iy ) = i (ei(x+y) + e i( x+y) e i(x y) e i(x+y) ) = ( e i(x+y) e i(x+y) i Övig 8 Eligt defiitioe är ) ei(x y) e i(x y) i = (si(x + y) si(x y)). ( e cos z + si z = iz + e iz ) ( e + iz e iz i = ((eiz + + e iz ) (e iz + e iz )) = Övig 9 Om vi sätter z = ix i föregåede uppgift och aväder att cosh x = cos(ix), så följer resultatet, eftersom vi får att sih x = i si(ix) ) I det adra fallet ska vi lösa vars lösigar är z = + i = e iπ/6 z 0 = e iπ/ och z = e iπ/, och äve u ska vi ta de första rote. Amärkig Notera i exemplet att z blev defiierad geom att vi la till ett villkor med vars hjälp vi kude välja e av de två röttera och därmed får etydighet. Ma säger att ma väljer gre av (de mågtydiga) kvadratrotsfuktioe. Övig 5 Med i = e iπ/ får vi i i = (e iπ/ ) i = e i π/ = e π/ (vilket är ett reellt tal). Me vi ka också skriva e = e iπ/+kπ för ett godtyckligt helta k, vilket ger oss att i i = e π/ πk. i i svarar alltså mot oädligt måga reella tal! Vilket ska vi välja? För det måste vi bestämma vilke gre av logaritme vi ska välja, d.v.s. vilket k vi ska ta ova. cos (ix) + si (ix) = cosh x sih x. Övig 0 Avbildige z e z betyder x + iy e x+iy = e x (cos y + i si y). Detta är de komplexa versioe. I det reella talplaet skrivs exakt samma avbildig (x, y) (e x cos y, e x si y). Övig Vägskillade mella vågora i pukte C är x x = 9 km = 6λ där λ = är våglägde. Det betyder att båte startar i ett maximum. När båte rör sig mot D miskar vägskillade hela tide: i pukte D är de x x = 78 km = 9λ. Äve i pukte D fis ett maximum. När båte rör sig mella C och D passerar de maximum är vägskilladera är kλ, där k börjar i 6 och slutar i 9. Det fis sådaa k. Eftersom det fis ett miimum mella varje maximum fis det 85 miima. Övig De ståede våge i vattet (i vattefallet) reflekteras mot tuare material (vatte mot luft) upptill och mot tätare material ertill (vatte mot marke). De ståede våge begräsas därför av e buk och e od. För de lägsta frekvese gäller då att det λ/ = h, höjde på vattefallet. Frekvese blir därför f = v λ = v h där v.5 km/s är ljudets fart i vatte. Ett 0 m högt vattefall ger alltså upphov till e lägsta resoasfrekves på ugefär 0 Hz. Övig Dea övig överlåtes åt dig själv och huvudtexte, i samarbete. Övig För att bestämma i ska vi först lösa z = i = e iπ/. Lösigara (på polär form) är z 0 = e iπ/ och z = e iπ/+iπ = e 5π/. Vidare har vi kravet att π/ < arg z π/, och det är z 0 som uppfyller det villkoret. Alltså (med detta val av rotfuktio) i = e iπ/ = + i.