Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Transkript

1 Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle 1 Logik och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, m.m. 1. Visa de följade implikatioer. a) x 5 = x 5 b) x 0 = x 5 c) < x < x < 4 d) x > 5 = xx ) > 15 e) x > 4 = x 1)x 3) > 3. Skriv kotrapositioe till varje påståede i uppgift 1 utom 1c). 3. Visa att de följade implicatioer är felaktika. a) x 5 = x 5 b) x 0 = x 5 c) x > 5 = xx ) > 15 d) x > 4 = x 1)x 3) > 3 4. Skriv egatioe till de följade påståede. a) Det fis ett heltal så att < 0. b) Varje reella tal x är så att x 0. c) För alla x, y R är x + y = y + x. d) x > 8 = x 14x + 48 > 0. e) Om är ett heltal är Vilka av de påståede i uppgift 4 är rätt? Motivera i varje fall ditt svar. 6. Visa att om a) 1 delat med 7 har rest, och b) delat med 7 har rest, då har 1 delat med 7 rest Visa att om a) 1 delat med 4 har rest, och b) delat med 4 har rest 3, då har 1 delat med 4 rest. 8. a) Skriv de decimala heltal 7, 17, 1 och 3 i det biära talsystemet det vill säga i bas ). b) Skriv de decimala heltal 7, 17, 1 och 3 i det terära talsystemet det vill säga i bas 3). c) Skriv de decimala heltal 615 och 379 i det bablyoiska talsystemet det vill säga i bas 60). 9. För att visa e siffra eller ågra siffror i e decimal utvecklig upprepas i evighet skriva vi e pukt ova varje siffra som upprepas. Till exempel 7/3 = skrivs som. 3 och 5/99 = skrivs som a) Skriv de decimala utveckligar 0. 7, , och 0. 9 som bråk. b) Räka de första fyra siffrora i e decimal utvecklig för 1/8, 1/3, 1/ och 4/ Lös uppgifter 1.1, 1., 1.3, 1.4, 1.5 och 1.6 i Problem för evar. Fråga lektiosledare om du vet ite vad mista gemesamma ämare betyder.) Föreläsig Mägder, egeskaper hos reella tal, följder och iduktiosbevis Seast ädrad: 9 september 016.

2 Lektio Mägder, egeskaper hos reella tal, följder 1. Rita de följade delmägdera av R på reella lije. a) {1,, 5} b) {x R 0 x < } c) { Z = k för ågot k N} d) {x Z x = 3k för ågot k Z} e) {x R 0 < x 1 eller x 5x + 6 = 0}. Vilka av de följade mägdera är lika med itervallet [0, 4]? Motivera ditt svar. a) {x R 4x 7 och x 4} b) {x R x + 4 < 1 8x} c) {x R x x eller 8 6x x } d) {x R x 4x 0 och 8 6x x } e) {x R x 4x < 0, x 4x + 3 = 0 eller x + 8 = 6x} 3. Bevisa att följde a ) N defiierad geom uttrycket a = )! för varje N är uppåt begräsad. [Tips: Försök jämföra k)! med k k.] 4. a) Bevisa att if A = 1 och sup A fis ej där A = {x R x > 1 och x + 4x 5 0}. b) Bevisa att if A = 3 och sup A = 7 där A = {x R x 10x + 5 < 4}. c) Tillhör 3 eller 7 till mägde A? d) Bevisa att if B = och sup B = 7 där B = {x R 4x 36x }. e) Tillhör eller 7 till mägde B? 5. Lös uppgifter 1.51, 1.5, 1.53, 1.54b), 1.55b), 1.56 och 1.57 i Problem för evar. 6. Extra: a) Betrakta två följder a ) N och b ) N som uppfyller för alla N. Visa att 1 1 a b 1 1) supa b ) = 1. b) Hitta två följder a ) N och b ) N som uppfyller 1) för alla N me är så att sup ) ) a sup b > 1. c) Betrakta två följder a ) N och b ) N som uppfyller 1 för alla, m N. Visa att Hadledigstillfälle 1 mi{, m} a b m 1 sup Hadledigstillfälle 3 Läma i uppgifter 1a. Lektio 3 Iduktiosbevis ) ) a sup b = Ge e iduktiosbevis av de följade likheter som gäller för alla N. a) k=1 k 1 =

3 b) c) k=1 + 1) k 3 = k=1. Ge e iduktiosbevis av de följade olikheter. a) 4 för alla heltal 5. b) + 1 för alla N. c) för alla N. ) kk + 1) = Ge e iduktiosbevis av formel i avsitt.4.1 för summa av e geometrisk följd ar i 1 ) i N med kvote r: ar i 1 = a 1 r 1 r där a R och r 1. i=1 4. Hitta vad är fel med de följade iduktiosbevise. a) b) c) Sats. k k för alla k N. Bevis. Vi ka lätt kolla att bas fallet stämmer, det vill säger om vi tar k = 1 så är k = 1 1 = k. Nu atar vi att satse gäller för k = för ågot giva N och betraktar fallet k = + 1. I fallet k = + 1 har vi att + 1) + 1) Satse med k = + 1 Me stämmer eligt iduktiosatagadet, så satse är bevisad. Sats. k = 0 för alla k N 0. Bevis. Vi först kollar att bas fallet stämmer: Vi tar k = 0 så är k = 0 = 0 och satse gäller om k = 0. Nu atar vi att satse gäller för alla k för ågot giva N och betraktar fallet k = + 1. Vi skriver + 1 = i + j där i och j är två icke-egativa tal midre ä eller lika med. Då får vi säger att + 1) = i + j) = i + j = = 0 eligt iduktiosatagadet, så satse är bevisad. Sats. k + 1 < k för alla k N. Bevis. Som valigt atar vi att satse gäller för k = för ågot giva N och betraktar fallet k = + 1: Eligt iduktiosatagadet är + 1) + 1 < ) + 1 = + 1) som är satse i fallet k = + 1. Eligt iduktio är satse bevisad. 5. Frå avsitt.4. vet vi att )! := k k! k)!. ) Eligt motivatioe som också ges i avsitt.4. borde k) vara ett positivt heltal för alla, k N 0 med k. Vi ka räka ut direkt att 0 ) :=! 0!! = 1 och ) :=!!0! = 1 3) me att alla de adra värde är heltal är svårt att kotrollera direkt frå defiitioe ).

4 a) Aväder sats.9 Pascals idetitet) samt 3) för att ge e iduktiosbevis av faktumet att ) N k för alla, k N 0 med k. b) Rita e bild för att visa upp hur ditt bevis betäcker alla möjliga par av och k. [Tips: Täk på Pascals triagel.] Föreläsig 3 Fuktioer, polyom, grafer och mooticitet Hadledigstillfälle 4 Lektio 4 Fuktioer, polyom 1. Hitta alla möjliga par av reella tal a, b) som uppfyller a + b = a + b.. Lös uppgifter 1.3, 1.4, 1.5, 1.6 och 1.8 i Problem för evar. 3. Geom att aväder satser som fis i avsitt.5. av föreläsigs ateckigar bevis de följade satse. Sats. Om px) = k=0 a kx k är ett polyom av grad och det fis tal x 0 < x 1 < < x så att px j ) = 0 för alla j = 0, 1,..., så är a k = 0 för alla k = 1,,...,. 4. Hitta a, b, c R så att ekvatioe gäller för alla x R. Motivera ditt svar. a 5)x + 5b + c)x + c a) = 0 5. Aväd systemet av ekvatioer a 6) + b + a) + c + a) = a 6) + b + a) + 4c + a) = a 6) + 3b + a) + 9c + a) = för att sluta dig till e polymoekvatio i e variable x R med koefficieter som beror på a, b och c. Motivera ditt svar. Lektio 5 Koordiatsystem, mooticitet 1. Skissa grafera av följade fuktioer f : R R. a) fx) = x. { x om x, b) fx) = + x x om x >. c) fx) = x + 8x Visa att de följade fuktioer är växade a) f : R R defiierad eligt formel fx) = x. b) f : [0, ) R defiierad eligt formel fx) = x. c) f : R R defiierad eligt formel fx) = x 3. [Kom ihåg att vi får ite eller vet ite es vad det betyder att) derivera fuktioer!] 3. Bevisa att fuktioe g : [ 4, ) R defiierad eligt formel gx) = x +8x+17 för x [ 4, ) är strägt växade me fuktioe h: R R defiierad eligt formel hx) = x + 8x + 17 för alla x R är varke växade eller avtagade. 4. Lös uppgifter.38b) j),.39b) c) och.4 i Problem för evar. E fuktio f : D R kallas för uppåt begräsad om det fis ett C R så att fx) C för alla x D. E fuktio f : D R kallas för edåt begräsad om det fis ett C R så att C fx) för alla x D. E fuktio f : D R kallas för begräsad om de är både uppåt och edåt begräsad. Hadledigstillfälle 5

5 Dugga 1 Föreläsig 4 Former, Pythagoras sats, iversefuktioer, rötter, ratioella poteser Lektio 6 Former, Pythagoras sats, irratioella tal 1. Skissa mägdera a) {x, y) R x + y = 1}, b) {x, y) R x + y = r } och c) {x, y) R x a) + y b) = r }, förgiva a, b) R och r > 0. Motivera dia skisser med hjälp av Pythagoras sats.. Skissa mägdera a) {x, y) R x + y = 1}, b) {x, y) R x + y + x y = } och c) {x, y) R x 0, y 0 och x + y 1}. Motivera dia skisser. 3. Hur måga sätt fis det att rita fyra streck mella fyra pukter? Rita ågra exemplar. 4. a) Betrakta ett heltal m. Bevisa att om m är delbart med 3 då är m delbart med 3. b) Bevisa att c = 3 medför att c är ite ratioellt. 5. a) Betrakta ett heltal m. Bevisa att om m är delbart med 6 då är m delbart med 6. b) Bevisa att c = 6 medför att c är ite ratioellt. 6. Hitta ett heltal m så att m är jämt delbart med 9 fast m är det ite. Hadledigstillfälle 6 Lektio 7 Iversefuktioer, rötter, ratioella poteser 1. Eligt 3.11), för vilka a R är a /3 defiierat? För vilka a R får ma betrakta 3 a? Varför har vi begräsad värdea av a i defiitioe 3.11)?. Lös problem.1,.,.4,.5,.6 och.4 frå Problem för evar. 3. Lös problem 1.3, 1.33, 1.35, 1.36, 1.38a), e) och f), 1.39 frå Problem för evar. Föreläsig 5 Trigoometri, formler med trigoometriska fuktioer och arcusfuktioer Lektio 8 Trigoometri 1. Lös problem.43,.44,.45,.46 och.47 frå Problem för evar.. a) Betrakta e regelbude polygo med sidor 4) vilkes samtliga hör sitta på ehetscirkel, det vill säga att ehetscirkel är de omskriva cirkel till polygoe. Visa att ehetscirkels area A uppfyller si ) π A. b) Betrakta e regelbude polygoe med sidor 4) så att de ehetscirkel tagerar polygoes samtliga sidor. Visa att ehetscirkels area A uppfyller π A ta. ) 3. Bevisa med hjälp av adra trigoometriska likheter vi har bevisat att a) cos θ = 1 + cosθ))/, och b) si θ = 1 cosθ))/. 4. Aväd 3.0) och sats 3.10 för att bevisa cos θ 1 θ och för θ [0, π/]. cos θ 1 θ

6 a) Aväda sats 3. och figur 1a för att bevisa att c = a + b ab cos θ för e triagle med sidlägdora a, b och c och e vikel θ mittemot sida av lägde c. Likhete kallas för cosiussatse. a) E triagel delad i två. b) E triagel till. Figur 1: Två triaglar. b) Aväder cosiussatse och figur 1b för att visa π 3 1 si = 1) och π cos = 1). Kom ihåg att 4 ± 3) = 3 ± = 3 ± 1). 5. Extra: Aväd sats 3.10 och 4) för att bevisa att det fis exakt ett tal A så att π π si A ta ) ) för alla heltal 4. Räka ut A. [Tips: Täk på ifimum och supremum.] Lektio 9 Arcusfuktioer 1. Lös problem.71,.7,.73,.74 och.47 frå Problem för evar.. Extra: Lös problem.76 frå Problem för evar. Hadledigstillfälle 8 Läma i uppgifter 1b. Föreläsig 6 Expoetialfuktio, räta på räta, egeskaper hos expoetialfuktioe Lektio 10 Expoetialfuktio 1. Ata att expx) = och expy) = 8. Räka ut a) expx+y), b) expx) och c) expx+y).. Förekla följade uttryck där x, y R): a) b) expx) exp y) expx y) ; exp x) expy) 1. exp x) expy)) 3. Om x R uppfyller expx + 3) = expx) + exp3) räka ut möjliga värder för expx). 4. Kom ihåg att e := exp1). Aväder defiitioe 4.3) och sats 4.3 för att visa för alla N och i syerhet 9/4 e ) 1 e 1 1 )

7 5. För vilket x R är uttrycket 1 expx) defiierat? Hadledigstillfälle 9 Hadledigstillfälle 10 Läma i uppgifter a. Lektio 11 Mer om expoetialfuktio 1. I sats 4.4, del 5 visade vi att expoetialfuktioe är växade. Aväder del av sats 4.4 och sats 4.6 för att visa expoetialfuktioe är strägt växade.. Förekla följade uttryck där x, y R): a) b) expx+3) expx+) expx +5x+5) ; expx ) expx+4) expx +x 7) + 3 expx 6) expx+5) expx x 9). 3. Aväd Beroullis olikhet sats 4.1) för att bevisa det särskilda fallet av sats 4.: för alla N. 1 + ) ) a) Skissa på samma koordiataxlara grafe av expoetialfuktioe och polyomet x 1 + x + x /4. b) Bevisa att expx) 1 + x ) för x och speciellt expx) 1 + x + x 4 för x. Beakta att ditt bevis fukar då =. Fukar beviset om x <? Om det fukar ite, varför ite? Föreläsig 7 Naturliga logaritmfuktioe och irratioella poteser Lektio 1 Naturliga logaritmfuktioe, irratioella poteser 1..7,.8,.9,.11 och.14 frå Problem för evar.. Visa att la) a 1/ för alla a > 0 och N. Olikhete säger att de aturliga logaritmfuktioe växer lågsammare ä e godtycklig positiv potes. 3. Förekla följade uttryck: a) expl4) l3)) + expl3)); b) expl x + 1) + l x 1)) för x > 1; och c) lexp x + 1) exp x 1)) för x R. 4. a) För vilka x R är defiierat? b) För vilka x R är l ) 1 x 3 x l 1 x) l 3 x) defiierat? c) För vilka x R är defiierat? d) För vilka x R är l ) x 1 x 3 l x 1) l x 3) defiierat?

8 e) Vilka av uttrycke ova är lika? f).3,.36b) och.37 frå Problem för evar. 5..8,.35 och.36a) frå Problem för evar. Hadledigstillfälle 11 Hadledigstillfälle 1 Läma i uppgifter b. Lektio 13 Repetitio och frågor Föreläsig 8 Komplexa tal och de komplexa expoetialfuktioe Lektio 14 Komplexa tal , 1.67, 1.68, 1.69, 1.70 det vill säga bevisa del 3 av sats 4.9) frå Problem för evar , 1.7, 1.73, 1.78 och 1.79 frå Problem för evar. 3. Visa att wz = w z och w + z = w + z för alla w, z C. Det vill säga bevisa delar 1 och av sats 4.9.) 4. Visa att om P är ett polyom med reella koefficieter och P z) = 0 för ågot z C då är P z) = 0. Lektio 15 Komplexa expoetialfuktioe 1. Aväd de komplexa expoetialfuktioe för att defiiera si och cos på komplexa tal. [Tips: Titta på sats 4.10.]..65,.66,.67 och.70 frå Problem för evar. 3. Hitta alla lösigar z C till z = 1 för a) =, b) = 6, c) = 7, d) = 3 och e) = 5. Rita lösigar till a), b) och c) i det komplexa plaet. 4. Hitta alla lösigar z C till z = 9 för a) =, b) = 6 och c) = 7. Dugga /Tetame