b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

Transkript

1 Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras så att de ej helt eller delvis övertäcker reda utplacerade cigarrer. De som först ite ka fia plats för ytterligare e cigarr har förlorat. Visa att de som placerar de första cigarre alltid ka spela så att ha måste via. b) E dödsdömd probabilist får av skarprättare e sista chas att klara livhake på följade sätt. Ha får två lika lådor och kulor, av vilka tio är svarta och tio är vita. Ha skall placera kulora på ågot sätt i de båda lådora. Seda tar skarprättare på måfå e kula ur e låda. Om dea kula är svart, blir probabiliste avrättad, i aat fall blir ha frisläppt. På vilket sätt bör ha lämplige fördela kulora i de båda lådora? (Rudolf Tabbe.) 65. P är e pukt iuti triagel ABC med yta T. Geom P dras trasversaler parallella med sidora. Dessa trasversaler avskär av triagel tre parallelltrapetser, vars sammalagda yta är S. Visa att S 5T 3. (Are Pleijel.) 65. a, b och k är positiva heltal. k är ett primtal; a och b är relativt prima. Visa att a k i b och är relativt prima. i= k i i= 65. Udersök hur måga lösigar ekvatiossystemet { (a )x + ay + = ax + (a )y a + = (Ulf Persso.) har för olika värde på de reella kostate a. (Svar: Etydig lösig utom då a = eller a = /3. Oädligt måga lösigar för a =. Ige lösig för a = /3. Jämför de geometriska tolkige av skärige mella två lijer)

2 Elemeta 653. Fis det i biomialutvecklige av ( 3 x + 4 x ) 8, x >, ågo term av forme a, där a är e kostat? x (Svar: Ja) 654. Hur måga tal fis det mella och som iehåller exakt fyra 4-or? (Svar: 7) 655. Visa att ( ) = =. (Västerledet beteckar gräsvärdet, då N, av produkte av de N faktorera, =, 3,..., N.) 656. För vilka reella tal a fis det strikt positiva tal x i, i =,,..., så att x i = i= och x i <? i= (Ledig: det måste gälla att x i då i.) (Svar: a > ) 657. Visa, att kvadrate på varje udda (respektive jämt) heltal ka skrivas som skillade mella kvadratera på två heltal, av vilka det ea är e (respektive två) eheter större ä det adra Visa, att kvadrate på alla heltal med e femma som sista siffra ka skrivas som skillade mella kvadratera på två heltal, av vilka det ea är 5 eheter större ä det adra. si x 659. Ma vet att dx = π x. Visa att si x x dx = π. (Ledig: Itegrera t ex de seare itegrale partiellt.) 66. Låt µ, µ och ν vara parvis oberoede slumpvariabler. Sätt ξ = µ +ν och η = µ +ν. Visa att Kov[ξ, η] = Var[ν]. (Kov[ξ, η] = E[(ξ E[ξ]) (η E[η])]; Var[ν] = Kov[ν, ν]: E beteckar matematisk förväta.) Adra häftet 66. Visa att ( p p ) q + ( ) = q (p+q ) q = om p och q är positiva heltal. (Ö.)

3 66. f och f är två reellvärda fuktioer på (, ) med egeskape att om f i (x ) > a där x och a är godtyckliga reella tal och i = eller, så fis ett öppet itervall som iehåller x sådat att f i (x) > a för alla x i det öppa itervallet. Visa att om f = f + f är kotiuerlig, så är f och f kotiuerliga [a i ] är e give talföljd. Visa att x i och a i x i kovergerar samtidigt för alla val av [x i ] om och edast om a i a i < och lim i a i Visa att ( ) ν ν! ( ) då.! 665. Låt x vara större ä. Visa att ( ) (!) ν= [ ν (log x) ν log x µ] log x µ= då. (Ledig: Aväd föregåede uppgift.) 666. Lös ekvatiossystemet där och k är positiva heltal. (Svar: = 4, k = 5) = =. k k 3 k Tale,, 3,..., placeras i olika pukter på e cirkels periferi. Ma går seda rut cirkel och bildar alla produkter av itilliggade tal. Summa av dessa produkter beteckas med S. Bestäm maximum av S för varje fixt >. (Svar: 6 ( )) 668. Fuktioe f är defiierad för x >. Där är f (x)/x avtagade. Visa att f (x + x ) f (x ) + f (x ) för alla x > och x > Fuktioe f är kotiuerligt deriverbar på x och f () = f () =. visa att det fis ett x, < x <, sådat att f (x) = f (x). 67. Ma väljer tale x och y på måfå i (,). Bestäm saolikhete för att a) x y / 3

4 Elemeta b) x y = /. (Svar: a) 3/4; b) ) 67. f är e mootot växade positiv fuktio för x >. g är de iversa fuktioe till h, där h(x) = x /3 f (x). Visa att g (ax) a /3 g (x) för a. 67. M och N är ädliga mägder med m respektive elemet. Betrakta fuktioer frå M till N, vars defiitiosområde är hela M. a) Hur måga olika sådaa fuktioer fis det? b) Hur måga fuktioer fis det som har iverser? (Svar: a) m ; b) Iga om < m, aars! ( m)! ) Tredje häftet 673. E reell fuktio f är kotiuerlig och uppfyller f (x) + f (x ) = för alla reella x. Bestäm f. (Torgy Lidvall.) 674. Atag att f och g är två fuktioer, som är kotiuerliga, avtagade och positiva för x och sådaa att itegralera f (x)dx och g (x)dx divergerar. Låt h = mi(f, g ) vara de fuktio som defiieras av att h(x) = mi(f (x), g (x)). Ka det gälla att h(x)dx kovergerar? 675. P (x), =,,... är ett polyom av grad med reella koefficieter och med koefficiete framför x -terme. Dessutom gäller Visa att för varje if P (x)p m (x)dx =, om m. (x + a x a ) ( dx = P (x) ) dx, där if tages över alla reella tal a ν Bestäm kostate c så att fuktioe f defiierad på (, ) av 4

5 c/x 4 för x f (x) = 3/4 för x för x < blir frekvesfuktio för e saolikhetsfördelig. (Svar: c = 3/4) 677. E viss typ av radiorör har de i föregåede uppgift giva fördelige för si livstid (mätt i tim). Beräka medelvärde och stadardavvikelse för de sammalagda livstide för rör av dea typ. (Röres livstider atages oberoede av varadra.) (Svar: 7 och ) 678. På mägde av alla heltal defiieras e kompositiosregel geom a b = a + b. a) Är de associativ (dvs gäller (a b) c = a (b c))? b) Har de ett eutralt elemet (dvs fis det ett elemet e så att a e = e a = a för alla a)? c) Har varje elemet a e ivers (dvs fis det ett elemet a så att a a = a a = e, där e är ett eutralt elemet)? (Svar: a) Ja; b) Ja, e = ; c) Ja, a = 4 a) 679. Visa att summa av kubera på tre på varadra följade aturliga tal är delbar med Visa att log x + x dx = log x + x dx. 68. E fuktio f uppfyller differetialekvatioe f (x) + g (x)f (x) + h(x)f (x) = i ett öppet itervall J. Vidare är h(x) < för x J. Visa att f ej ka ha ett strägt positivt maximum i itervallet J. 68. Visa, att för varje α > gäller då är tillräckligt stort. +α > ( + ) 683. (x i ) är e följd av reella tal sådaa att x i A då i. Vi sätter, för alla i, x () = x i + x i+ och x (j ) = x(j ) (j ) + x i i+ för j =, 3,... i i 5

6 Elemeta Visa att lim j x (j ) i = A för alla i Mella stycke pukter är ekelriktade vägar giva så att ma edast ka röra sig i e riktig på varje väg. Vägätet har de egeskape att om ma lämar e pukt så kommer ma aldrig tillbaka till samma pukt. Vilket är det största atal vägar ett sådat system ka ha? (Svar: ( ) ) Fjärde häftet 685. Låt f och g vara reellvärda, kotiuerliga fuktioer i itervallet x. Atag att f är växade och g avtagade. Visa att f (x)g (x)dx För vilka f och g gäller likhet? f (x)dx g (x)dx. (Torgy Lidvall.) 686. Atag att f är e reell fuktio defiierad i (, ) såda att f (x + y) = f (x) + f (y) och f (x y) = y f (x) + x f (y) för alla reella x och y (jämför deriverigsoperator). Visa att f (ξ) = för alla reella algebraiska tal ξ. (Ett reellt, algebraiskt tal ξ är ett reellt tal som är rot till ågo algebraisk ekvatio med heltalskoefficieter.) 687. (f ) är e följd av reella, kotiuerliga fuktioer på x. Ka det gälla att {, x irratioellt lim f (x) =, x ratioellt? 688. Fuktioe x log x åskådliggörs av e av kurvora A D. Vilke? (Svar: Rätt kurva är C ) 689. Följade mägder är giva: 6 M = {z; Re z + Im z = 3} M = { {z;re z och Im z är heltal} M 3 = z;arg z < π } { M 4 = z; < arg(z 3i ) < π } M 5 = {z; z 3i < }

7 Bestäm a) M M M 3 b) M M 3 M 4 c) M M 4 M 5 (Svar: a) ; b) ; c) { + 4i }) 69. Bestäm f () 5 ( f () om f (x) = x ) x/. = (Svar: 5 + ) 5 ( log ) 69. Visa att för varje heltal gäller < 4 < ( + ). a b 69. M = är e matris med reella elemet a, b, c och d såda c d x x att M X = X M för alla matriser X = med reella elemet. x 3 x 4 a Visa att M =, där a är ett godtyckligt reellt tal. a 693. Visa att det fis positiva kostater c och c sådaa att för alla positiva heltal. c c 694. För e talföljd (a ) gäller att a = a a för, a och a giva. Visa, att om a och a är heltal, så fis oädligt måga sådaa att a = Atag att f är e kotiuerligt deriverbar, växade fuktio och att f () =. Atag vidare att f (x)/x är avtagade för x. Visa att f (x) ( x) för x <. Ledig: Betrakta likhete x f (t)dt = [ t f (t) ] x x t f (t)dt Fuktioe f är reell, defiierad för x >, deriverbar i och dessutom gäller för alla x, y > att f (x y) = f (x) + f (y). Visa att f (x) = C l x, där C är e reell kostat. Ledig: Härled e differetialekvatio som f satisfierar geom att aväda att f () = och f (x y) f (x) = x y x x f (y) f (). y 7