Robin Ekman och Axel Torshage. Hjälpmedel: Miniräknare

Transkript

1 Umå univritt Intitutionn för matmatik oh matmatik tatitik Roin Ekman oh Axl Torhag Tntamn i matmatik Introduktion till dikrt matmatik Löningförlag Hjälpmdl: Miniräknar Löningarna kall prntra på tt ådant ätt att räkningar oh ronmang lir lätta att följa. Avluta varj löning md tt tydligt angivt var! Notra att dnna tntamn int döm md poäng, utan gnom att prtationn kall vara godtagar på vart oh tt av d tr dlområdna (Enumration, Graftori, Träd oh ortring). Endat var är aldrig tillräkligt. För högr tyg (VG rpktiv, 5) akta ävn hur löningarna prntra. För tyg kräv ammanlagt i huvudak korrkt löta uppgiftr, varav hlt korrkt. För tyg VG kräv ammanlagt i huvudak korrkt löta uppgiftr, varav 5 hlt korrkt. För tyg 5 kräv ammanlagt 9 i huvudak korrkt löta uppgiftr, varav hlt korrkt. Enumration (mint n i huvudak korrkt löt uppgift för godkänt tyg Mint två i huvudak korrkt löta uppgiftr, varav n hlt korrkt, för han till högr tyg) 1. Väggarna i tt fmkantigt rum ka måla på ådant ätt att inga väggar om gränar mot varandra får amma färg. Varj vägg ka vara nfärgad. a. Om dt finn tillgängliga färgr, på hur många ätt kan rummt måla? Löningförlag. Om alla färgr använd måt n färg använda gångr. Dt finn ( 5 ) = 10 ätt att välja två väggar att måla md dnna färg, mn vi måt dra ort d 5 fall där väggarnaärrdvidvarandra.dövrigaväggarnakanmålapå!ätt.dttagr 5! = 10 färgningar. Om färgr använd måt n av färgr int använda, n av d kvarvarand använda 1 gång oh d övriga. Dt går int att använda n färg tr gångr utan att ryta mot villkort att två väggar rdvid varandra int får ha amma färg. Vi kan välja 5 väggar att måla md dn namma färgn oh för d övriga kan färgrna yta parvi. Alltå finn dt 5 = 10 färgningar. Da två altrnativ är orond oh uttömmand, å nligt additionprinipn är antalt färgningar md tillgängliga färgr = 0.. Vad är dt minta antalt färgr om höv för att dt ka gå att måla rummt? Löningförlag. Dt går att måla rummt md färgr Mn dt går int att måla rummt md färgr, ty om vi numrrar väggarna 1 5, måt n ådan målning g vägg 1 oh amma färg, äg röd, amt vägg oh amma färg, äg lå.

2 Nu kan vägg 5 int ha amma färg om varkn vägg llr 1, alltå varkn röd llr lå, å vi måt använda flr än färgr.. Använd inkluion/xkluion för att räkna på hur många ätt rummt kan måla om dt finn k tillgängliga färgr. Löningförlag. Dt finn k 5 färgningar inkluiv oäkta färgningar. En färgning kan vara oäkta för att vägg 1 oh har amma färg, llr vägg oh, oh å vidar, till vägg 5 oh 1. Låt F i,i = 1,,,,5 vara färgningarna om är oäkta för att vägg i oh i+1 har amma färg (F 5 motvarar 5 oh 1). Då gr inkluion/xkluion k 5 = C(k) +S 1 S +S S +S 5 där C(k) ärantalt äktafärgningarmdhögtk färgrohs n ärnittnavntykn F i.vad är da nitt? Dt gällr att F i = k då, ty vägg i oh vägg i+1 ka ha n av k färgr, oh d tr väggar om är kvar kan färga på k ätt vardra, vilkt md multiplikationprinipn gr k. I F i F j får vi gruppr av väggar om alla kan färga orond av varandra, å F i F j = k, på amma ätt F i F j F l = k oh md llr 5 parvia likhtr är alla hörn färgr fixrad, å da nitt innhållr k lmnt var. Notra att alla antaln lmnt är orond av vilka väggar dt rör ig om, för alla väggar är jämlika. Hur många trmr finn dt i S n? Dt måt vara ( 5 n) ftrom dtta är antalt ätt att välja n par av väggar om gr prolm, å 5 k = C(k) +5k 10k +10k 5k+k vilkt gr C(k) = k 5 5k 10k +10k +k. Notra att C() = 0, om i a oh C() = 0.. Tändtikor lägg i tt kvadratikt rutmöntr nligt ildn ovan. a. Låta n tknaantalt tändtikor omkrävförattildattrutmöntrmddimnionrna n n. Bkriv talföljdn a n md hjälp av n rkurionkvation oh lö dn. Löningförlag. Man måt kapa n+1 nya må kvadratr. För n av da räkr dt md tikor: d andra två få antingn av dt xitrand möntrt llr näta kvadrat. Dn ita kvadratn måt alla tikor lägga ut i. Alltå a n+1 = a n +n+ a 1 = Dn karaktäritika kvationn är r 1 = 0 md rot r = 1, å dn homogna löningn är a h n = C 1 n = C. Vi anättr partikulärlöningn a p n = An +Bn, då nollt ordningn trmr lir linjärt rond av dn homogna löningn. Inättningi kvationn gr a p n+1 = A(n+1) +B(n+1) = An +An+A+Bn+B = An +(A+B)n+A+B = a p n +n+ = An +Bn+n+.

3 oh om man jämför koffiintr får man kvationytmt md löning A =,B =. Alltå oh villkort a 1 = gr C = 0. A+B = A+B = B + a n = C +n +n. Kontrollra din löning gnom att itällt räkna antalt tändtikor om höv för att lägga ut n n rutor på följand ätt: Hur många horiontlla tändtikor höv? Hur många vrtikala tändtikor höv? Hur många tändtikor höv ammanlagt? Löningförlag. Dt höv n+1 kolonnr om n tikor, alltå n +n vrtikala tikor. På grund av ymmtri kräv dt lika många horiontlla, å dt kräv n + n tikor för tt möntr md idan n.. En andraordningnlinjär rkurionkvation md kontanta koffiintr har löningn n = n + n. a. Hur r rkurionkvationn ut, oh vilka är initialvärdna 1 oh? Löningförlag. Dn karaktäritika kvationn måt vara (r )(r ) = r 5r+ = 0. Dt räkr md n inhomogn kvation, ty följdn n = n + n är n linjärkomination av löningar till dn homogna kvationn Initialvärdna g av 1 = 5, = +9 = 1.. Antag att n (p1) oh n (p) rkurionkvation. Är då n (p1) xmpl. n+ 5 n+1 + = 0. är två partikulärlöningar till n förta ordningn inhomogn linjär + (p) n n partikulärlöning till kvationn? Förklara oh g Löningförlag. Låt kvationn vara n+1 +a(n) n = f(n). Då gällr nligt antagandt (p1) n+1 +a(n)(p1) n = f(n) n+1 +a(n)(p) n = f(n) ( (p1) ) n+1 +(p) n+1 +a(n)( (p1) n + n (p) ) = f(n) (p) å (p1) n + (p) n är int n löning till amma kvation. Graftori (mint två i huvudak korrkt löta uppgiftr för godkänt tyg Mint tr i huvudak korrkt löta uppgiftr, varav två hlt korrkt, för han till högr tyg) G: 9 5 1

4 . Låt G vara dn graf om avilda ovan. a. Är grafn ammanhängand?. Är grafn plan? Löningförlag. Grafn är int ammanhängand, ty komponntn i rött (hörn,,9) ndan hängr int amman md övriga hörn. Dn är plan ty dn kan rita om ndan Vilkn dlgraf indura av hörnn,,5,,,9? Löningförlag. En indurad dlgraf innhållr alla kantr om ingår i grafn dn är dlgraf till oh är mllan hörn i dn indurad dlgrafn. Dtta gr a. Ang n ammanhängand graf på hörn om har kromatikt tal. Löningförlag. Grafn ndan kan färga md färgr, å dt kromatika talt är högt. Dn har K om dlfraf (1,,,) å dt kromatika talt är mint. Alltå är dt kromatika talt Vilkt kromatikt tal har komplmntt till dn graf du angav i a? Löningförlag. χ =. Komplmntt kan färga md färgr nligt ndan. Komplmntt innhållr K (,5,,), å dt kromatika talt är. 1 5

5 . Låt G vara n graf md kromatikt tal oh H n graf md kromatikt tal. Kan G oh H vara iomorfa? Bvia att dt är omöjligt, llr g tt xmpl på tt ådant par av grafr. Löningförlag. Nj. Om f : G H är n iomorfi oh vi har n färgning av G kan vi låta hörnt f(v) ha amma färg om v. Dtta gr n färgning av H, för f(v) oh f(w) har n kant mllan ig om oh ndat om v oh w har dt. Alltå, om G oh H är iomorfa oh dt finn n -färgning av G, finn dt n -färgning av H. Då kan int χ(h) =.. En ipartit graf B = (V,E) kriv gnom att V = X Y, där X = {,,5,} oh Y = {,,1,15,1,0,1} oh {x,y} där x X oh y Y är n kant i B om oh ndat om x y. a. Skia grafn B, oh ang maximalt oh minimalt gradtal. Löningförlag. Maximalt gradtal: 5 (hörnt ). Minimalt gradtal: 1 (hörnt ) Avgör om dt finn n öppn llr lutn Eulrlinga i B. Löningförlag. Hörnn gradtal är (uppifrån oh nd, väntr fört) 5,,,,, 1,,,,,. Dt finn två hörn md udda gradtal, å nligt känd at finn n öppn Eulrlinga i grafn mn ingn lutn. En öppn linga är,,,, 15, 5, 0,, 1,, 1,, 1,.. Ang n kompltt mathning från X till Y, llr argumntra för varför dt int finn någon ådan mathning. Löningförlag. En kompltt mathning från X till Y är

6 . Dt kan int finna n kompltt mathing från Y till X, för Y har flr hörn än X har. (,) a (,) (,) d (,5) (,) (,0) (1,1) (,1) (,0) (,) t. Två tudntr har hamnat i n dipyt om löningn på tt flödprolm. D har funnit flödt i grafn ovan, där märkningn (,f) på n kant innär att kapaittn är oh flödt är f. a. Kontrollra att dt påtådda flödt vrklign är tt flöd. Löningförlag. Man kontrollrar att i alla hörn utom oh t är umman av inflödna lika md umman av utflödna amt att ingn kapaitt övrkrid.. Knny mnar att flödt är maximalt, mdan Lnny är äkr på att dt går att öka på flödt. Vm har rätt, oh varför?. Btäm värdt på tt maximalt flöd, oh ang tt minimalt nitt. Löningförlag. (. oh.) Vi förökr använda Ford-Fulkron algoritm på flödt i a. för att avgöra om dt är maximalt. Dtta gr ökningn (,) a (,) (,1) (,5) d (d,) t (,) (,) om når fram till änkan. Kantrna (, ) oh (d, ) hitta ty vi traktar tillfälligt nätvrkt om n oriktad graf ftrom dt kull kunna vara fallt att vi vill gräna flödt läng n kant ( okn om Ford-Fulkron algoritm). Alltå är flödt i a. int maximalt. Flödt läng md dn här ökningn är 1, vilkt dra av från kantn (d,) oh lägg till till d andra, oh vi får då att flödt kan ändra till a (,) (,) (,) d (,) (,1) (,) (1,1) (,0) t (,) (,1)

7 Nu är flödt. Är dt maximalt? Vi förökr göra tt tg till i algoritmn mn får ökningn (,) a (,1) (,5) (,) (,) om int når fram till änkan. Vi har dt minimala nittt om {,a,,,}. Kantrna om om ka ta ort då är (a,d),(d,),(d,),(,t) md kapaitt ++ = ((d,) är riktad akåt övr nittt).. Låt G = (V,E) vara n graf md V = {v 1,v,...,v n } oh E = kantr. a. Förklara varför n dg(v i ) =. i=1 Löningförlag. Varj kant förindr hörn oh dg(v) är antalt kantr vid v. Summrar man dg(v i ) räkna alltå varj kant gångr, n gång pr hörn dn ammanindr.. Antag att P = (V,E) är n plan graf, där varj gradtal är mint. Hur många kantr måt P mint ha? Löningförlag. Vi har nligt a. = n dg(v i ) i=1 n = n i=1 å n.. Använd Eulr forml oh dt faktum att f för att via att n ådan graf P int kan xitra. Löningförlag. Eulr forml för plana grafr ägr Vi har n oh givt f, å = n +f. n f vilkt gr + = 0 vilkt int går. Alltå kan n ådan graf P int xitra. Träd oh ortring (mint n i huvudak korrkt löt uppgift för godkänt tyg Mint två i huvudak korrkt löta uppgiftr, varav n hlt korrkt, för han till högr tyg)

8 a 1 f d F: 1 9 g h t 9. Låt F vara dn viktad graf om avilda ovan. a. Använd lämplig algoritm för att finna tt upppännand träd i F, där kantrna i trädt gr dn kortat tign från till varj annat hörn i grafn. Löningförlag. Vi användr Dijktra algoritm. a d f g h t Söknod Kant 0 0 (, ) 0 (, ) 0 5 (, ) 0 1 d (, d) g (, g) a (, a) f (d, f) h (g, h) 0 1 (g, t) Dtta gr trädt a f d 1 g h t. Är dt träd du hittat unikt, llr finn dt andra träd om lör optimringprolmt i fråga a? Löningförlag. Nj. I tgt där vi ökt från had vi kunnat välja kantn (, d) itällt för (,d).

9 a f d 1 g h t. Gr tt ådant träd du funnit i uppgift a okå information om kortat tign mllan hörn oh hörn g? Förklara! Löningförlag. Nj. Stign,,g har längd, mn i trädt i a. få tign,,,,g md vikt Brddn fört-ökning oh djupt fört-ökning gr om kant i allmänht int amma ökträd för n givn graf G. a. Antag att du gnomför djupt fört-ökning oh rddn fört-ökning i n kompltt graf på n hörn. Bkriv oh jämför rultatn! Löningförlag. Kalla hörnn 1,,,...,n. En rddn fört-ökning gr tt träd md två nivår där 1 är rotn oh alla andra nodr är på förta nivån, i ordningn d är numrrad då alla hitta från förta hörnt. En djupt fört-ökning gr n linj, då man från 1 går till till oh å vidar oh aldrig hövr gå akåt. Trädn lir olika mn nodrna hitta i amma ordning.. Antag att du gnomför djupt fört-ökning oh rddn fört-ökning i n ykl på n hörn. Bkriv oh jämför rultatn! Löningförlag. Md rddn fört-ökning hittar man nodrna,n 1, n,n oh å vidar. Man får tt träd om är kluvt vid rotn oh grnarna längdr kan kilja ig md om mt 1 (rond på om dt är n udda llr n jämn ykl). Dtta är n linj, mn vi har lagt rotn mitt på dn. Djupt fört-ökning gr okå n linj, mn rotn i na ändn, då vi örjar i tt hörn oh går runt hla ykln.. Antag att du gnomför djupt fört-ökning oh rddn fört-ökning i n kompltt ipartit graf K m,n. Bkriv oh jämför rultatn! Löningförlag. Låt E = X Y, x 1 X Brddn fört-ökning gr fört hörnt x 1, dan hla Y i ordning: y 1,y,... Sdan från y 1 får man hla X utom x 1 : x,x,... Djupt fört gr x 1,y 1,x,... upp till att n av mängdrna X oh Y tar lut. Säg att X tar lut fört, å att man int kan komma vidar från hörnt y m. Då ökr man utifrån x m oh hittar y m+1. Man kan fortfarand int ig vidar oh måt gå tillaka till x m, där man hittar y m+ oh å vidar. Trädt får m nivår. Fallt när Y tar lut fört lir liknand. Bonufråga: Finn dt någon ammanhängand graf om innhållr n ykl, om gr amma ökträd md rddn fört om md djupt fört? Löningförlag. Nj. När algoritmrna kommr till tt hörn i n ykl kommr djupt fört gå gnom ykln mdan rddn fört dlar på ig, om i. 11. Ett fulltändigt inärt rotat träd är tt rotat träd, där varj hörn i trädt har antingn två llr noll grannar på näta nivå längr ort från rotn. a. Använd tt fulltändigt inärt rotat träd för att (md ordinari prioritringrglr) rprntra dt aritmtika uttrykt a + d på ådant ätt att varj hörn md noll grannar på

10 lägr nivå rprntrar något av taln a,,,d, oh tt hörn md två grannar på lägr nivå rprntrar n räknopration. Löningförlag. oh + utför från väntr till högr å vi får trädt + a d. Antag att ordinari prioritringrglr int gällr, utan att uttrykt a + d är tvtydigt. Ang md hjälp av fulltändiga rotad inära träd två olika tolkningar av uttrykt om kiljr ig från tolkningn i uppgift a, oh ang ävn hur parntr kan ätta ut för att göra uttrykt ntydigt, oh motvara rpktiv träd. Löningförlag. a + a + d d a ( +( d) ) a ( (+) d ). Antalt olika ätt n att plara ut parntr i tt uttryk md n inära oprationr för att göra dt ntydigt uppfyllr rkurionn n n+1 = i n i, 0 = 1. i=0 Exmplvi kan man kriva ((a ) + ( d)). Använd additionprinipn oh multiplikationprinipn för att argumntra för att dnna rkurion är riktig. Ldning: Jut innan dn yttrta parntn ätt dit kan uttrykt trakta om att dt tår av två dlar, om parra av dn ita inära oprationn om kall utföra. På hur många ätt kan parntrna ätta ut i rpktiv dl? Löningförlag. I tt uttryk md 0 inära oprationr finn tt ätt att plara parntr. Alltå är 0 = 1. Antag att n > 0. Dn ita inära oprationn av n+1 om ka utföra kan ha i oprationr till väntr om ig oh n i till högr. Antalt ätt att plara parntr i dn väntra dln är i oh i dn högra dln n i. Da är orond oh kall göra amtidigt, å dt finn totalt i n i ätt (multiplikationprinipn). Mn vi måt ummra övr i för da fall är xkludrand oh uttömmand (additionprinipn). Dtta gr n n+1 = i n i. i=0