TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA AUGUSTI 2018

Transkript

1 Mkanik och maritima vtnskapr, Chalmrs tkniska högskola ENAMEN I FINI ELEMENMEOD MHA 9 AUGUSI 8 id och plats: 4 8 i M hust Hjälpmdl: ypgodkänd räknar. Lösningar Lärar: Ptr Möllr, tl (77) 55. Bsökr sal ca. kl 5. samt 7.. Lösningar: Anslås på kurshmsidan samt på institutionn (3 vån. i M hust) snast 3/8. Btygsättning: En fullständig och korrkt lösning på n uppgift gr poäng nligt vad som angs på uppgiftslappn. Smärr fl ldr till poängavdrag. Ofullständig lösning (svar på ställt problm saknas) llr omfattand fl gr int något poäng. Maximal poäng är. Dt krävs 8 poäng för btyg 3; poäng gr btyg 4; för btyg 5 krävs 6 poäng. Obsrvra att ovanstånd är btygssättning på nbart tntamn; för godkänd xamination krävs dssutom godkända inlämningsuppgiftr. Rsultatlista: Anslås snast /9 på samma ställ som lösningarna. Rsultatn sänds till btygsxpditionn snast 3/9 för kursdltagar som int har alla inlämningsuppgiftr godkända vid dtta tillfäll inrapportras btygt U (undrkänd). Granskning: isdag /9 3 i institutionns lokalr. änk på: Skriv så att dn som ska rätta, kan läsa och förstå hur du tänkr. Dn som rättar tntamn gissar int llr antar int vad du mnar/tänkr ndast vad som vrklign skrivs har btydls vid poängsättningn. Förklara/dfinira införda btckningar. Rita tydliga figurr. Ang i förkommand fall vad som är positiva/ngativa riktingar (på t.x förskjutningar och kraftr). Gör du antagandn utövr d som angs i uppgiftstxtn, så ang dtta xplicit och förklara dssa /PWM

2 Btrakta värmldning gnom tt golv som är uppbyggt nligt figurn. mpraturfördlningn u( x) gs av lösningn till randvärdsproblmt rä u C x [m],8,5 d du k < x <,8 m u( ) C u(,8 m) C Btong Isolring u C,5 där k,4 W/m C < x <,5 m, 7 W/m C,5 m < x <,5 m, 4 W/m C,5 m < x <,8 m är värmkonduktivittn och W/m )). du k är värmflödt (värmnrgi pr tids och aranht (t.x a: Variations och FE formulra problmt md tstfunktionr nligt Galrkins mtod. (3p) b: Btrakta tt linärt lmnt för problmt. På dtta är FE approximationn α + α x x α α N N x j h x j + x j x j + x Visa hur man md C matrismtodn kan ta fram uttryck för d två basfunktionrna och N (p) N c: Bräkna tmpraturn i d två gränsskiktn ( x,5 m rspktiv x,5 m ) gnom att lösa problmt md 3 linära lmnt. Elmntstyvhtsmatrisn för tt lmnt md längd h gs av K k h -- (3p) d: Bräkna värmflödt nligt FE approximationn. (p) 8 8 9/PWM

3 Btrakta randvärdsproblmt u u x + f i u på Γ Här är u u y) obkant, f f y) n givn funktion, är tt områd i y) plant och Γ dss rand. Låt a( u, v) ( v) ud ( v, vfd där v är n nästan godtycklig tstfunktion (viktsfunktion) och är gradintopratorn. x D inr produktrna a (*, *) och (*, *) är båda symmtriska och linära i båda sina argumnt. Dt gällr också att a( v, v), md a( v, v) v. Variationsproblmt, dn svaga formn av randvärdsproblmt, kan då skrivas: Bstäm u V så att a( u, v) ( v, v V a: Dfinira funktionsrummt V för dtta problm, dvs ang för vilka funktionr variationsproblmt har n väldfinirad mning (p) b: Visa att lösningn till variationsproblmt minimrar dn kvadratiska funktionaln Π( v) --a ( v, v) ( v,, d.v.s visa att Π( u) Π( v) v V, md likht ndast om v u (p) c: Btrakta n konform FE approximation. Md konform mnas att FE rummt är tt undrrum till V : V h V. FE-formulringn, md tstfunktionr nligt Galrkin, blir: V h Bstäm V h så att a(, v) ( v, v V h Visa att diskrtisringsflt u är nrgiortogonalt mot V h : a(, v) v V h (p) d: Låt a( v, v) btckna nrginormn av funktionn v. Visa att a u a (p) v a a /PWM

4 3 Btrakta n rktangulär skiva md brdd B och höjd H, som i sin mittpunkt har tt hål md diamtrn R. Matrialt är linärt lastiskt och skivan blastas md n kantlast (kraft/yta). Eftrsom vi här har två symmtriaxlar, räckr dt md att studra n fjärddl av skivan nligt figurn brvid. H y Dn svaga formn (variationsproblmt) av lasticittskvationrna blir i frånvaro av volymslast och utan införand av randvillkor R B x ( v) D( u) d Γ v t σ där Γ btcknar randn till områdt, t x n x + τ xy n y är traction vktorn, t y τ xy n x + σ y n y t x n n x n y är n utåtriktad nhtsnormal på Γ, x, v v x y) y) är n x vktor md tstfunktionr, u ε x ε y γ xy ε är töjningarna på grund av dn obkanta förskjutningn u u x y) u y y), och D är Hook matrisn som rlatrar spänningn σ σ x σ y τ xy till töjningarna nligt σ Dε a: Ang d randvillkor som krävs för att lösa problmt och utvckla randintgraln i dn svaga formn så långt som möjligt. (p) b: FE formulra problmt md tstfunktionr nligt Galrkins mtod och härld matrisn för tt lmnt md 3 basfunktionr. (3p) B Lösning a: Multiplicra diffrntialkvationn md n tstfunktion v d du områdt (intrvallt): v k. Eftr partialintgration fås,8m dv du k och intgrra övr du. Eftrsom är obkant vid x och vid x,8 m bgränsar vi valt av tstfunktionr till d som uppfyllr v( ) v(,8 m). Variationsproblmt blir då att hitta u så att du kv,8m,8m v( x),8m dv du k v( ) v(,8 m) u( ) C u(,8 m) C /PWM

5 FE formulring: Approximra dn obkanta funktionn md n linärkombination av basfunktionr: u Na ; här är N N ( x) N n ( x) n vktor md basfunktionrna och a a a n är obkanta nodvariablr. stfunktionrna väljs nligt Galrkins mtod: v,8m. Insättning gr k dn dn a md villkorn N( )a C och N(,8 m)a C Lösning b: Låt a j ( x j ) och a j + ( x j + ) vara FE approximationn i d två nodrna. Vi vill uttrycka approximationn som N aj + N aj + på lmntt. Samla d två basfunktionrna i radvktorn och nodvariablrna i kolumnvktorn a a j a j ; vi kan då N N N skriva N a Nα, där N x och α α α. Vi får då N,, N n + a j x j α + x j + α a j a Cα där C x j x j + Md C har man då, så och alltså h -- x j + x j α C a Nα NC a N NC x h -- x j + x j x j + x x xj h h Lösning c: Använd tt lmnt för varj matrial. Om lmnt och nodvariablr numrras ndifrån och upp, får vi bidragn K,8, K 7 och K till vänstrldt i FE formulringn. D fyra kvationrna blir då a a a a 4,8,8,8 7,8 7 7,6667 4,6667 4,6667 4,6667 a a a 4 Randvillkorn gr att a och a 4, så vi får,8 7,8 7 7,6667 4,6667 a 93,333 93,333 Första och sista kvationn har fåtts gnom att välja tstfunktionrna v N rspktiv v N 4, /PWM

6 mn ftrsom dssa val int uppfyllr villkorn v( ) v(,8m) är dssa kvationr ogilltiga; vi får då kvar 7,8 7 7,6667 a 93,333, som har lösningn a a 6,4 3 7,9 C Lösning d: Vid stationära förhållandn blir värmflödt d k lika i alla lmnt. Vi räknar d 7,9 här ut i dt övrsta lmntt: k, , W/m (minustcknt angr,8,5 att flödt går i ngativ x ld). Förlustn är cw pr kvadratmtr golvyta. Lösning a: Ingånd funktionr ( u och v ) måst uppfylla väsntliga randvillkor, d.v.s vara noll på randn, vara kvadratiskt intgrrbara samt ha kvadratiskt intgrrbara första drivator. V v: v på Γ v ( v), d <, vd < Lösning b: Välj godtycklig funktion v V och bilda w v u där u är lösningn till variationsproblmt. Vi har då där vi utnyttjat att a (*, *) och (*, *) båda är linära i sina argumnt. Vidar är dn inr produktn symmtrisk, så d två sista trmrna blir a( u, ( w, ; mn a( u, ( w, ftrsom u är n lösning till variationsproblmt. Slutlign konstatrar vi att a( w,, md likht ndast om w d.v.s då v u. Vi har då att π( v) π( u) + --a ( w,, md π( v) π( u) ndast då v u Lösning c: Vi har nligt variationsproblmt att π( v) π( u + --a ( u + w, a + ( u + w, -- ( a( u, u + + a( w, u + ) ( u, ( w, -- ( a( u, u) + a( u, + a( w, u) + a( w, ) ( u, ( w, π( u) + --a ( w, + -- ( a( w, u) + a( u, ) ( w, och nligt FE problmt att a(, v) ( v, v V h V. Subtrahras dss får vi a( u, v) a(, v) v V h. Utnyttja linäritt i första argumntt: a( u, v) v V h llr a(, v) v V h a( u, v) ( v, v V Lösning d: Utnyttja dfinitionn av nrginormn, att u samt att a (*, *) är symmtrisk och linär i båda argumntn a a(, ) a( u, u ) a( u, u) + a(, ) a( u, ) Sätt u + i sista trmn och använd linäritt a a( u, u) + a(, ) a( +, ) a( u, u) + a(, ) a(, ) a(, ) Här är a(, ) ftrsom V h, så vi har a a( u, u) a(, ) varur likhtn följr /PWM

7 Lösning 3a: På Γ finns ingn tangntiallast, så t x mdan blastningn i y ld gr att t y. Randn Γ är fri och oblastad, så t x t y. På symmtrirandn Γ 3 måst vi ha u x och t y ; på analogt sätt har vi u y och t x på Γ 4. Insättning gr då Γ 3 Γ Γ v t v x v x t v x v x + + y + v x Γ Γ Γ Γ 3 Γ 4 t y Γ 4 På Γ 3 och Γ 4 är t x rspktiv t y obkanta stödraktionr, så vi bgränsar valt av tstfunktionr till sådana som uppfyllr v x på Γ 3 och på Γ 4. Vi har då v t v x Γ Γ Lösning 3b: Approximra dn obkanta vktorn u md n linärkombination av basfunktionr: u x N Na, där N N N N innhållr basfunktionrna, N i N i y), y N N N N och a a x a y a x a y a Nx a Ny är nodvariablrna. Välj sdan vktorn md tstfunktionr nligt Galrkin, dvs som basfunktionrna: v gr då ( N ) D( N) d a N. N,,, N N, N n kvation och vi kan uttrycka rsultatt som tt kvationssystm om vi sättr v Γ N N ; varj val gr upphov till N. Insättning Ett lmnt md 3 basfunktionr på områdt, gr bidragt K ( N ) D( N ) d till vänstrldt i FE formn; här innhållr N d basfunktionr som är skiljda från noll på lmntt: B N N N 3 N N3 N x N x N N x x /PWM