LINJÄRA SYSTEM repetitions- och tentamensfrågor. Matrisräkning (rep.)

Transkript

1 LINJÄRA SYSTEM rptitions- och tntamnsfrågor Försökr hålla mig till ndanstånd frågställningar när jag sättr ihop tntamn. Hjälpmdl vid tntamn: Dt utdlad Fourir/Laplac-transformbladt kommr att bifogas. Miniräknar tillåtn mn knappast nödvändig. Formlsamling, typ Mathmatics Handbook, också tillåtn, ävn om jag tyckr att frågorna är av så grundläggand karaktär att ambitionn skall vara att klara dm utantill. Skrivkonvntionr : [S, xxx] avsr sida xxx i Spann. [A, xxx] avsr sida xxx i kopior ur Andrsson m.fl. Ft stil, stora bokstävr, t.x. A, btcknar matrisr Ft stil, små bokstävr, t.x. x, btcknar kolonnmatrisr, samt vktorr i allmänht Md T btcknas transponring. Matrisräkning (rp.). Avgör om följand likhtr gällr allmänt för alla matrisr, A och B, för vilka vänstrld och högrld är dfinirad. I d fall där likhtrna är falska, mn dt finns n riktig likht av liknand typ, ang dn! (a) (A + B) T A T + B T (b) (AB) T A T B T (c) (A + B) A + B (d) (AB) A B () dt (A + B) dta+dtb (f) dt (AB) dta dt B Svar: a) och f) är riktiga. b) och d) är falska, mn följand modifiringar är riktiga: (AB) T B T A T (AB) B A c) och ) därmot är obotligt falska.. Hur uttrycks md matrismultiplikation skalärproduktn mllan två vktorr, x och y, som är givna som kolonnmatrisr? Svar: x T y y T x 3. Vad har dtrminantr md kvationssystm att göra? Huvudsatsn för linjära kvationssystm: För n kvadratisk matris A är följand villkor kvivalnta: (a) dt A 6 (b) Ekvationssystmt Ax y är lösbart för varj högrld y (c) Ekvationssystmt Ax har ndast dn triviala lösningn x (d) A är invrtrbar () A:s kolonnvktorr utgör n bas. (f) A:s radvktorr utgör n bas. 4. Hur bräknas dtrminantn av störr matrisr? Man utnyttjar upprpad gångr följand gnskap: Om man till n rad/kolonn läggr till n multipl av n annan rad/kolonn, såändrasintdtrminantns värd. På dtta sätt skaffar man sig nollor i n rad/kolonn som vid Gausslimination. Sdan utvcklar man ftr dn rad/kolonn som innhållr många nollor, vilkt rducrar problmt till bräkning av lägr ordningns dtrminantr: Ex Till andra kolonnn lägg till (första) till trdj kolonnn lägg till ( ) (första) [utvckla ftr andra radn] ( ) [Till dn första kolonnn lägg till 5 (trdj)] [utvckla ftr första radn] ( ) +3 ( ) (3 5 ) 5

2 Ex.. En n n-matris: b a a... a a b a... a D a a b... a a a a... b Obsrvra att alla kolonnsummor är lika. Låt k vara dt gmnsamma värdt, d.v.s. k b +(n ) a. Addras radrna, 3,..., n till dn första, rhålls k k k... k a b a... a D a a b... a a a a... b Tänkr man sig n utvckling ftr första radn, insr man att n faktor k kan brytas ut ur dn:... a b a... a D k a a b... a a a a... b Till radr, 3,..., n addrar vi nu första radn multiplicrad md ( a) :... b a... D k b a b a Utvckla ftr första kolonnn: b a... b a... D k b a Utvckla dn mindr dtrminantn också ftr första kolonnn: b a... D k (b a) b a O.s.v. Gr D k (b a) n OBS. att samma rsonmang (upprpad utvckling ftr första kolonn) gr att dtrminantn av n triangulär matris är lika md produktn av diagonallmntn a a a 3... a n a a 3... a n a a 3n a a... a nn. a... a nn 5. Hur insr man att ([S, 56]) dt (λi A) λ n (a + a a nn ) λ n ( ) n dt A Svar: En kvivalnt dfinition av dtrminantr är dt A X µ produkt av n lmnt i A, ± tt ur varj rad och kolonn md tcknrglr, som tyvärr int låtr sig bskrivas nklt. (D som bhärskar Sarrus rgl för 3 3- dtrminantr notrar att dn gr just n sådan summa: a b c d f g h k ak + bfg + cdh gc hfa kdb Tänkr man sig dtta sätt att räkna ut dtrminantn av λi A, så lds man till likhtn ovan. 6. Snabb invrtring av -matrisr? µ µ a b d b c d ad bc c a (Gnralisras till A dt A adj A dtaljr i [S, 74], mn dnna är ndast av tortiskt intrss för störr matrisr.) 7. Snabb lösning av -systm? S.k. Cramrs rgl: µ µ µ a b x p c d y q p b q d a p c q x a b, y c d a b c d (Kan gnralisras till störr systm: obkant nr. k systmts dtrminant md kolonn k utbytt not högrldt. systmts dtrminant mn åtrign: ndast av tortiskt intrss.)

3 Linjära rum. Linjära avbildningar 8. Vad mnas md linjärt rum (vktorrum)? En mängd av objkt, på vilkn man har två oprationr dfinirad, ) addition, ) multiplikation md tal, som har samma gnskapr (räknrglr) som för gomtriska vktorr: u + v v + u λ (u + v) λu+λv tc. Exmpl, förutom plant och trdimnsionlla rummt av gom. vktorr: [A, 43-45] R n, (mängdn av alla) m n-matrisr, funktionr på n viss mängd, funktionr som är kontinurliga, funktionr som är drivrbara, tstfunktionr i distributionstorin, polynom, 9. Vad är tt (linjärt) undrrum till tt vktorrum? En dlmängd av tt vktorrum, som är tt vktorrum i sig självt, d.v.s. addition och multiplikation md tal ldr int utanför dlmängdn. Ex.: D vktorr som är paralllla md tt visst plan, utgör tt undrrum i rummt av alla trdim. gom. vktorr. Ex.. Polynomn av grad bildar tt undrrum i vktorrummt bstånd av alla polynom. Ex.3. D drivrbara funktionrna utgör tt undrrum i rummt av alla tänkbara funktionr på tt visst intrvall. Ex.4. D symmtriska n n-matrisrna utgör tt undrrum i rummt av alla n n-matrisr (ftrsom summan av två sym. matrisr, liksom produktn av n sym. matris md tt tal, också är symmtriska) [A, 46]. Vad är bas och dimnsion för tt vktorrum? Att {,, 3,..., n } är n bas för vktorrummt V btydr att varj v V på tt nda sätt kan skrivas på formn v v + v v n n där v j är tal (Obs. att vi har två krav här: ) varj v dt kan sägas btyda att j :na måst vara tillräckligt många, ) på tt nda sätt dt kan sägas innbära att vi int får ha några övrflödiga j.) Dimnsionn för tt vktorrum är antalt lmnt i n bas dt kan visas att alla tänkbara basr för tt visst vktorrum måst ha samma antal lmnt. Ex. Rummt av polynom av grad 5 har som bas funktionrna,x,x,x 3,x 4,x 5 ochdärmddimnsionn 6. D flsta funktionsrum har ingn sådan ändlig bas (t.x. rummt av alla polynom) och kallas därför oändligtdimnsionlla.. Vad mnas md linjär avbildning? Dn mindr abstrakta variantn, [A,46]: En avbildning som till varj vktor x i R n tillordnar n vktor y i R m nligt y Ax, A konstant m n-matris Mra gnrllt ([A, 4-4]): Varj avbildning F från tt linjärt rum till tt annat som uppfyllr F (λ u + λ u ) λ F (u )+λ F (u ) för alla vktorr u, u och tal λ, λ. Vilka linjära avbildningar kan rprsntras md matrisr? Alla avbildningar mllan ändligtdimnsionlla rum. Så fort man har n bas så kan man rprsntra n vktor md dss koordinatr och sdan avbildningn mdnmatris. Exmpl: Låt P n rummt av polynom av grad n. Elmntn i P 3 rprsntras så här a + a x + a x + a 3 x 3 a a a a 3 och analogt för lmntn i P (låtr vi svara mot 3 -kolonnmatrisr). Drivation kan btraktas som n linjär avbildning från P 3 till P. a + a x + a x + a 3 x 3 7 a +a x +3a 3 x På matrisform blir dtta a a 3a 3 3 a a a a 3 3

4 3 4-matrisn i högrldt är avbildningns matris rlativt basrna,x,x,x 3ª (i dfinitionsrummt) rsp.,x,x ª (i bildrummt). 3. Man brukar säga att värdrummt (bildrummt) till n linjär avbildning y Ax spänns upp av kolonnrna i matrisn A. Varför? Svar: Btckna kolonnrna i A md a, a,..., a n. Dfinitionn av matrismultiplikation gr att x.... Ax. x a a an..... x n. x a + x. a x. n a n... d.v.s. bildvktorn är n linjärkombination av kolonnrna i A, md x j som kofficintr. 4. Om dn linjära avbildningn F : R n R m vt vi hur dn avbildar vktorrna (här i fallt n 3),, Säg att bildrna är a b, d, g h c f k Svar: µ a b c d a b c d Motivring: Sökt matris A skall vara sådan att om så skall x + x + x x 4 4 avbildas på y f + y f µ y y A Mn linarittn innbär att x x x 3 x 4 x + x + x x 4 4 avbildas på x (a f + a f )+x (b f + b f )+... (a x + b x +...) f +(a x + b x +...) f varav avbildningsmatrisn kan avläsas. Allmänt: Kolonnrna i avbildningsmatrisn är koordinatrna (rl. basn i bildrummt) till bildrna av basvktorrna (i dfinitionsrummt). 6. Låt F vara n linjär avbildning från tt rum V md basn {,,..., n } till samma rum (man sägr kort: n avbildning på V ). Antag att basvktor k är n gnvktor till F. Vad sägr dig dtta om matrisn för F rlativt basn {,,..., n }? Kalla gnvärdt för λ. Att Vad är avbildningns matris? Svar: Ur förgånd fråga följr att bildrnas koordinatr bildar kolonnrna i avbildningsmatrisn: a d g b h c f k 5. Om dn linjära avbildningn F från tt rum md basn {,, 3, 4 } till tt rum md basn {f, f } vt vi att dn avbildar på a f + a f på b f + b f 3 på c f + c f 4 på d f + d f Vad är avbildningns matris rlativt ovan angivna basr? k avbildas på k + λ k + k n btydr att dn k:t kolonnn i avbildningsmatrisn innhållr nollor övrallt utom på rad k, där λ står. 7. Vad mnas md linjär oprator? Synonym för linjär avbildning mllan funktionsrum. 8. G xmpl på linjära opratorr: drivation : f (x) 7 f (x) translation : f (t) 7 f (t T ) 9. Vad mnas md linjär funktional? En synonym för n linjär avbildning mllan tt funktionsrum och rummt av rlla llr komplxa tal. 4

5 . G xmpl på linjära funktionalr. f (x) 7 Z b a f (x) dx f (x) 7 f (), d.v.s. dltafunktionn δ (x). G xmpl på gomtriska linjära avbildningar. Projktion av plants/rummts punktr (g. ortsvktorr) på n linj/plan gnom origo. Spgling i n linj/plan gnom origo. Rotation kring n linj gnom origo.. Ställ upp matrisn för ortogonal projktion av plants punktr på x-axln. (, ) avbildas på sig själv (, ) avbildas på (, ) Därmd svar: µ 3. Ställ upp matrisn för ortogonal projktion av plants punktr på linjn t (3, 4), t R. Låt x vara n godtycklig vktor och sätt n µ (faktorn /5 läggs till för att få n.) x P n x+(x P n x), md P n x (x n) n gr då n uppdlning av x i två vinklräta komposantr (x P n x) P n x (x n) (x n) n n varav dn första, (x n) n är parallll md n dn kallar vi vinklräta projktionn av x på n. Md x och n som kolonnmatrisr kan projktionn skrivas x T n n n x T n n n T x nn T x Alltså är projktionsmatrisn nn T µ µ Vad mnas md suprpositionsprincipn? För linjära kvationssystm: ¾ Ax b Ax b A (c x + c x )c b + c b för alla tal c,c Md ord: har man lösningar till två olika högrld för n och samma systmmatris, så har man också lösningar till varj linjärkombination av dssa högrld. Spcialfallt då b b : Varj linjärkombination av två lösningar till tt homognt kv.systm är också lösning till dtta systm. För linjära systm av diffrntialkvationr: x (t) Ax (t) f (t) x (t) Ax (t) f (t) (c x + c x ) A (c x + c x )c f + c f för alla tal c,c Md ord: samma som ovan! (Skrivr Ax-trmn till vänstr om likhtstcknt, till skillnad från Spann, för att dt int skall uppstå missförstånd: när man talar om linjära kvationrs högrld, så avsr man gntlign d trmr som är givna här f intd som rnt fysiskt står till högr!) Spcialfallt f f :samma som ovan! [A, 3-3] Basbyt. Egnvärdn och gnvktorr. 5. S, övn.3.. (Notra att matrisn som uttryckr d nya b-basvktorrna i d gamla -vktorrna, är transponatt till dn matris S som gr d gamla koordinatrna x i d nya koordinatrna bx.) a) x + x bx b + bx b llr på matrisform µ x x µ b bx bx b c) Sätt in ia),såfås µ µ b 3 b ¾ µ x x µ bx bx µ 3 µ 5

6 Att {, } är n bas mdför att framställningn är ntydig, d.v.s. µ 3 x x bx bx Transponra: µ x x x Sbx µ 3 µ bx bx Allmänt: Om vi inför nya basvktorr nligt b b. T. b n n så blir sambandt mllan koordinatrna x bx x S bx md S TT x n bx n d) Obs. att i och md att bildrummt är dtsamma som dfinitionsrummt, så ändras ävn bildvktorns koordinatr: x Sbx y Sby y Ax Sby ASbx by S ASbx 6. Dfinira bgrppt gnvärd och gnvktor för n matris. [S, 34] 7. Dfinira bgrppt gnvärd och gnvktor för n linjär avbildning F. Om n vktor v 6 i dt (möjlign abstrakta ) vktorrummt V avbildas på λv, d.v.s. F (v) λv, för något tal λ så kallas v gnvktor till F md gnvärdt λ. (Dtta förutsättr alltså att F är n avbildning från V till V, och int till något annat rum. I matrisfallt svarar dtta mot att matrisn förutsätts vara kvadratisk avbildning från R n till R n.) 8. Varför är dt bättr att tänka på matrisr som linjära avbildningar och på gnvärdn/gnvktorr som gnskapr hos n linjär avbildning snarar än som gnskapr hos n matris? Matrisrna som vi stötr på vid problmlösning är avhängiga av hur man väljr koordinatsystm, variablr, tc. Säg att F är ortogonal projktion på n viss linj ` i plant. Om vi väljr ` som x-axl och n normal till ` som y-axl, så får vi avbildningns matris till µ Om vi därmot väljr koordinatsystm så att ` får kvationn y x, så blir avbildningns matris µ / / / / Matrisn bror på basvalt! På samma sätt som tt och samma förmål bskrivs av människor md olika ord på olika språk, kan n linjär avbildning bskrivas av olika matrisr brond på valt av bas. På samma sätt som dt är lämpligt att i Svrig prata svnska och i Tyskland tyska, så är dt lämpligt att anpassa basvalt till problmställningn. Att inskränka sig till matrisr, är alltså litt som att stirra sig blind på ordns ljud och bokstävr och glömma dras btydls. Rlationn F (v) λv bror mllrtid int på basvalt. (Alltså måst d två matrisrna ovan ha samma gnvärdn och samma gnvktorr, om vi md vktorr avsr själva pilarna i plant som är obrond av koordinatsystmt, och int talpar som (, ) tc., som ndast är rprsntationr av vktorr m.a.p. tt utvalt koordinatsystm). En huvudanldning till vårt intrss för gnvktorr är att d vägldr oss till just tt lämpligt basval välj gnvktorr som basvktorr, så blir avbildningns matris diagonal och därmd nkl att räkna md! 9. Vilka rlla gnvärdn och gnvktorr har följand linjära avbildningar? (a) ortogonal projktion i plant på linjn gnom origo md riktningsvktor n? Svar: Vktorrna som är paralllla md linjn är gnvktorr md gnvärdt. Vktorrna som är vinklräta mot linjn är gnvktorr md gnvärdt. (b) ortogonal projktion i rummt på linjn gnom origo md riktningsvktor n? Svar: Som på förgånd fråga! Skillnadn är att gnvktorrna md gnvärd bildar nu tt hlt plan tt plan md n som normal. 6

7 (c) (snd) projktion i plant på linjn gnom origo md riktningsvktor n längs linjn gnom origo md riktningsvktor v. Skillnadn gntmot ortogonal projktion är följand: Vid ortogonal projktion går man från dn punkt som skall projicras vinklrätt mot dn linj på vilkn man skall projicra. Här ortogonal projktion av (, ) på x-axln: Vidsndprojktion går manmotdnlinj man skall projicra på längs dn angivna riktningn v. Här projktion av åtrign (, ) på x-axln längs riktningn (, ) : Svar: Vktorrna, som är paralllla md n, är gnvktorr md gnvärdt. Vktorrna, som är paralllla md v, är gnvktorr md gnvärdt. (d) spgling av plants vktorr i linjn gnom origo md riktningsvktor n? Svar: Vktorrna som är paralllla md n är gnvktorr md gnvärdt. Vktorrna som är vinklräta mot n är gnvktorr md gnvärdt. () spgling av rummts vktorr i dt plan gnom origo som har normalriktningn n? Svar: Vktorrna som är paralllla md spglingsplant är gnvktorr md gnvärd. Vktorrna som är paralllla md n är gnvktorr md gnvärdt. (f) vridning av plants vktorr kring origo vinkln θ? Svar: Om θ π är alla vktorr gnvktorr md gnvärdt. Om θ, så är, trivialt, alla vktorr gnvktorr md gnvärdt. Mn om θ 6 kπ för alla hltal k, så finns inga rlla gnvktorr. (g) vridning vinkln θ av rummts vktorr kring n axl gnom origo md riktningn n? Vktorrna paralllla md n är gnvktorr md gnvärdt. Om θ kπ, kudda hltal, så är ävn alla vktorr vinklräta mot n gnvktorr md gnvärdt. Om θ kπ,khltal, så är alla vktorr i rummt gnvktorr md gnvärdt. 3. Vad mnas md gnfunktion? En synonym för gnvktor i fallt linjär avbildning på tt funktionsrum. 3. Vad har drivationsopratorn D för gnfunktionr och gnvärdn? Vi sökr alltså funktionr f (x) mdgnskapnatt f (x) λf (x) Exponntialfunktionrna! Varj xponntialfunktion f (x) c λx, c tal 6 är n gnfunktion md gnvärdt λ. 3. Vad har translationsopratorn f (t) 7 f (t T ),Tfixt tal för gnfunktionr och gnvärdn? Vi sökr alltså funktionr f (t) sådana att f (t T )λf (t) Vi kan säga dirkt att alla T -priodiska funktionr är gnfunktionr md gnvärdt : f (t T )f (t) för alla t är just dfinitionn av priodisk funktion. Mn finns dt flr? Ja, alla xponntialfunktionr f (t) st är också gnfunktionr, md gnvärdt st, ftrsom s(t T ) st st (Dnna obsrvation är väsntlig i [S, 3], när man rsonrar sig till bgrppt övrföringsfunktion.) Mn finns dt ännu flr? Svart är int uppnbart, så jag avstår! 7

8 33. Hur kommr dtrminantn in, när dt gällr gnvärdn av n matris? [S, 34] 34. Hur många gnvärdn har n n n-matris? Svar: Högst n st. När [S, 35, sats 35] skrivr n styckn, så mnas n st., om man räknar md multiplicitt, d.v.s. om karaktristiska polynomt har faktorn (λ 5) 3, så räknar man 5 som gnvärd 3 gångr. 35. Att bstämma gnvärdn och gnvktorr m.h.a. karaktristiska kvationn. [S, 36-37, Ex.3., 3.] OBS. Dtta är n mtod något som sägr hur man kan räkna ut n viss sak, mn int vad dnna sak är för något! (Dssutom är dt int någon bra mtod för störr matrisr.) 36. Antag att u och v är två ick-paralllla gnvktorr till A md gnvärdn λ rsp. µ. Kan någon linjärkombination av dssa två αu + βv också tänkas vara gnvktor? Svar: Alla multiplar av n gnvktor är också gnvktorr A (αu) αau αλu λ (αu) analogt för v Därmot är linjärkombinationr av typn αu + βv, båd α och β 6 gnvktorr ndast om λ µ : A (αu + βv) c (αu + βv),ctal αλu+βµv cαu+cβv (ftrsom u v) ½ αλ cα (ftrsom α, β 6 ) βµ cβ λ c µ 37. Vad mnas md att n matris / linjär avbildning är diagonalisrbar? Btrakta [S, sid.4, sats 3.6] att A är diagonalisrbar om och ndast om dt finns n bas av gnvktorr som n dl av dfinitionn ([S, sid.4])! Att dt finns S md S AS diagonal är närmast tt ytligt symptom på dtta! 38. Om vissa typr av matrisr kan man säga att d är diagonalisrbara utan att gnomföra alla räkningar i dtalj vilka sådana typr kännr du till? ) Matrisr md n olika gnvärdn [S, 49, sats 3.9] (Spcialfall: triangulära matrisr md n olika diagonallmnt för triangulära matrisr är just diagonallmntn gnvärdn.) ) Rlla symmtriska matrisr (spktralsatsn) 39. G xmpl på n matris som int är diagonalisrbar. S [S, 49, Ex.3.8] 4. Diagonalisra n givn (litn) matris md pappr och pnna. S [S, 43, Ex.3.6] 4. (Hoppa övr dnna.) Viss information om gnvärdna till n matris A kan man ibland få utan att räkna ut dm xplicit. Ang några sådana mtodr! (a) summan av gnvärdna tr A [S, 56-57] (b) produktn av gnvärdna dta [S, 56-57] (c) OmA är symmtrisk, kan man md Gausslimination/kvadratkomplttringfårdapåantalt gnvärdn i tt visst intrvall [S, 34, sats 7.6] 4. Vad sägr spktralsatsn? [S, 4-6, satsr 6.9, 6., 6.] 43. Antag att u, u,..., u k är gnvktorr till matrisn A md olika gnvärdn. Vad kan sägas om gnvktorrna, om A är (a) symmtrisk? Svar: ortogonala, nl. [S, 5, sats 6.] (b) godtycklig? Svar: linjärt obrond, nl. [S, 49, sats 3.9] 44. Kontrollra, på snabbast möjliga sätt, att (3, ) är n gnvktor till matrisn µ Bstäm sdan, åtrign på snabbast möjliga sätt, alla gnvktorr! Lösning: µ µ µ µ 3 5 Alltså är (3, ) n gnvktor md gnvärdt 5. Matrisn är symmtrisk och då finns, nl. spktralsatsn, n ortogonal bas av gnvktorr. Dn riktning i plant som är ortogonal mot (3, ), nämlign (, 3) 8

9 dtfinns int flr! måst också vara n gnvktor: µ µ µ µ 5 3 Eftrsom gnvärdna är olika, så kan ingn annan vktor än d som är paralllla md antingn (3, ) llr (, 3) vara gnvktorr (s fråga ovan). Svar: t, t 6 är gnvkt. md gnv Låt µ 3 µ t 3, t 6 är gnvkt. md gnv. 5 A µ 3 Bstäm A n för varj hltal n. Lösning: Diagonalisra (om möjligt): Man får gnvktorrna µ md gnvärdt µ md gnvärdt (a) Vad är diagonalmatrisn? (b) Ang n matris som diagonalisrar A 999. Vad blir diagonalmatrisn? Svar a): Att A diagonalisras av S innbär att, om kolonnrna i S tas som ny bas, så blir matrisn för avbildningn y Ax rlativt dn nya basn, basn S AS, diagonal, d.v.s kolonnrna i S är gnvktorr till A och diagonalmatrisn S AS innhållr motsvarand gnvärdn som lmnt i huvuddiagonaln. Vi avläsr gnvärdna gnom att multiplicra A md diagonalisringsmatrisns kolonnr: Sätt så blir alltså S D S AS D A SDS 46. Matrisn A n µ, µ SD µ n S µ µ n µ n+ n n+ n A diagonalisras av matrisn Alltså är diagonalmatrisn 3 3 Svar b): En matris som diagonalisrar A diagonalisrar ävn varj potns av A : S AS D S A S S ASS AS D S A 3 S S ASS ASS AS D 3... Alltså: Dn givna matrisn diagonalisrar ävn A 999 och diagonalmatrisn blir ( 3)

10 Kvadratiska formr 47. Vad är n kvadratisk form för något? En kvadratisk form i två variablr är tt polynom i två variablr av typn q (x, y) ax + bxy + cy, a, b, c konstantr En kvadratisk form i tr variablr: q (x, y, z) ax + bxy + cxz + +dy + yz + fz a, b, c, d,, f konstantr Allmänt: En kvadratisk form i n variablr: nx q (x) a jk x j x k j,k där x (x,x,..., x n ) (Polynom i flra variablr där alla trmr har samma gradtal, som t.x. p (x, y, z) 4x 5 + x 3 y 7xy 4 (som gradtal räknas sammanlagda gradtalt för alla variablr) kallas homogna polynom. Därför skull man kunna säga: n kvadratisk form är tt homognt polynom av grad. Homogna polynom av grad som t.x. f (x, y, z) x +5y 3z kallas linjära formr och homogna polynom av grad 3 som t.x. kallas trnära formr.) f (x, y, z) x 3 +3x y y Hur rprsntrar man n kvadratisk form i n variablr md matrisr? T.x. om n 3, q (x, y, z) ax + bxy + cxz + +dy + yz + fz så visar matrisräkning att q (x, y, z) x y z På samma sätt i n variablr, md x x x... x n a b/ c/ b/ d / c/ / f x y z q (x) x t Kx md K symmtrisk Dt finns andra möjlightr för K-matrisn, mn konvntionn är att man användr sig av n symmtrisk matris, och då är dn ntydigt bstämd. 49. Varför är linjära och kvadratiska formr intrssanta? En anldning är Taylors forml, t.x. i två variablr f (a + h, b + k) f (a)+ +Ah + Bk + +Ch + Dhk + Ek för små h, k där konstantrna A, B, C, D, E fås ur f:s drivator i (a, b). Högrldt är tt uttryck av formn konstant + + linjär form i h, k + + kvadratisk form i h, k Om vi vt hur linära och kvadratisk formr uppför sig, så vt vi alltså ungfär hur n godtycklig olinjär funktion sr ut lokalt. 5. Hur transformras matrisn för n kvadratisk form vid tt linjärt koordinatbyt? Om x Sbx, så x T Kx bx T S T KSbx d.v.s. K övrgår i S T KS. 5. Vilkn är skillnadn mllan transformationsformln i förgånd fråga och motsvarand forml för linära avbildningar? linjära avbildn : A övrgår i S AS kvadr. formr : K övrgår i S T KS 5. Kvadratisk formr kan alltid diagonalisras (till skillnad mot linjära avbildningar!), d.v.s. S kan väljas så att S T KS blir diagonal och därmd q (x) λ bx + λ bx λ n bx n för några rlla tal λ, λ,..., λ n Hur kan man vara säkr på dt? Svar: P.g.a. spktralsatsn! Eftrsom K är symmtrisk, så finns n ortogonal S, så att S KS diagonal md K:s rlla gnvärd λ,..., λ n i diagonaln. Mn S ortogonal S S T

11 53. Vad btydr bgrppn positivt/ngativt (smi)dfinit rsp. indfinit för n kvadratisk form och hur kan dssa rlatras till gnvärdna till K? S [S,7,punktlistan] 54. Givt n godtycklig kvadratisk matris A, bilda K A T A (a) Förklara varför K är symmtrisk. (b) Kan någonting sägas om dn kvadratiska form som K rprsntrar positivt dfinit, tc.? 55. Minst två sätt att diagonalisra n kvadratisk form är tänkbara, vilka? ) Bstäm gnvärdn och gnvktorr till K, nl. förgånd fråga. ) Kvadratkomplttring, nl. [S, 8-3] 56. (Hoppa övr.) Hur kan man md Gausslimination avgöra om n kvadratisk form är positivt/ngativt dfinit? S [S,3] 57. Vad sägr tröghtslagn för kvadratiska formr? S[S,3,sats7.4] 58. (Hoppa övr) Md Gausslimination kan man (snabbt) bstämma antalt gnvärdn till n symmtrisk matris K ittgivtintrvall(a, b) hur? Förutsatt att inga gnvärdn är just a llr b : Antalt positiva pivotlmnt vid Gausslimination på K ai gr antalt gnvärdn >a.antalt positiva pivotlmnt vid Gausslimination på K bi gr antalt gnvärdn >b.diffrnsn gr antalt gnvärdn mllan a och b. 59. (Hoppa övr) Givt två kvadratiska formr i n variablr, md matrisr K och M, så är dt ibland önskvärt att kunna diagonalisra dm samtidigt, d.v.s. hitta invrtrbar S så att S t KS och S t MS båda är diagonala I tt viktigt spcialfall är dtta alltid möjligt, vilkt? Om dn na av dm, säg M är positivt dfinit. S [S,39, sats 7.7] Systm av linjära diff.kvationr. Exponntialmatrisn 6. Att lösa systm av diffrntialkvationr av typn ½ x (t) x (t) y (t) y (t) 4x (t) 3y (t), x () y () Altrnativ : Ensidig Laplactransformation: ½ sx X Y sy 4X 3Y µ µ µ s X 4 s +3 Y µ X Y µ µ s 4 s +3 µ µ s +3 (s ) (s +3)+8 4 s µ s s +s +5 +s Obs. att matrisn, som skall invrtras, kan skrivas si A, där A systmts kofficintmatris Cramrs rgl s [S, sid.75 övrst] gr (si A) (s ) (s +3)+8 µ s +3 4 s Dt är naturligt att dfinira transformn av n matrisfunktion som dn matris man får när man transformrar varj lmnt för sig. Då kan vi, för t>, skriva µ x (t) y (t) Eftrsom s +s +5 s s +s +5 så ½ µ ¾ L (si A) n L (si A) o µ (s +) +4 ½ ¾ L sin t t θ (t) s + (s +) +4 (s +) +4 L ½µcos t ¾ sin t t θ (t) n L (si A) o µ cos t +sint sin t sint cos t sin t t θ (t)

12 Man kan visa att, om man här strykr bort faktorn θ (t), så får man just xponntialmatrisn ta och ta L n (si A) o utan θ (t) ta µ x () y () gr lösningn till vårt systm för alla t, int nbart för t. I vårt fall µ µ x (t) cos t sin t y (t) cost t Altrnativ : (Fungrar nbart på diagonalisrbara matrisr.) Diagonalisra µ A 4 3 Egnvktorr är µ +i µ i Därför µ x (t) y (t) c µ +i md gnvärdt +i md gnvärdt i ( +i)t + c µ i ( i)t där konstantrna c,c bstäms av d givna värdna i t. Här är dt lämpligt att övrgå till rll form på följand sätt: Obsrvra att µ i ( i)t komplxa konjugatt till µ +i ( +i)t Om c c så ärävn hla dn andra trmn komplxa konjugatt av dn första. (Vi användr upprpad gångr att för godtyckliga komplxa tal z och w gällr z w z w därmd blir vår summa µ µ +i R c ( +i)t [säg att c a + ib] µ µ +i R (a + ib) µ (a b)cost (a + b)sint a cos t b sin t t (cos t + i sin t) t Sätt in t : µ µ a b a gr a / b 6. Matrisn µ har gnvärdna 5 och 5 och tillhörand gnvktorr är µ 3 t, t R µ t 3, t R Vad sägr dtta om lösningarna till systmt ½ x (t) 4x (t)+3x (t) x? (t) 3x (t) 4x (t) Svar: Lösningarna är µ µ 3 C 5t + C 3 5t, C,C godtyckliga konstantr ochsvarsomialtrnativ. 6. Vad är ta för någonting? (Brätta allt du kan...) Givt n konstant n n-matris A, finns n n n- matris Φ (t) (matrislmntn är alltså funktionr av t) som uppfyllr ½ Φ (t) AΦ (t), för alla t Φ () I (I nhtsmatrisn) Dnna Φ (t) btcknas ta. Kan fås, åtminston tortiskt, som summan av n oändlig sri ta X k t k k! Ak Varj lmnt är n linjärkombination av trmr av typn t k λt där λ är gnvärd till A och k är ick-ngativt hltal < än multiplicittn md vilkn λ är nollställ till A:s karaktristiska polynom.konstantrna blir bstämda xmplvis av värdna på x och x vid n viss tidpunkt.

13 63. Dt påstås att µ +t t ta 4t t 5t µ 7 för A 4 3 (a) Hur kontrollrar du att dtta är sant? Svar: Kontrollra att µµ d +t t dt 4t t 5t µ µ 7 +t t 4 3 4t t (b) Vad är lösningn till x (t) 7x (t)+x (t) x (t) 4x (t)+3x (t) x (6) x (6) Svar: 5t µ A(t 6) x (6) x (6) µ µ +(t 6) t 6 4(t 6) (t 6) µ 3 + 4t 8t +5 5(t 6) 65. Hur kan stabilittn i förgånd fråga avgöras utifrån matrisn A? S [S, 67, sats 4.]. 66. (Hoppa övr) En matris A har xponntialmatrisn µ ta ( + 3t) t t t 9t t ( 3t) t (a) Lös bgynnlsvärdsproblmt µ µ x (t) x (t) y A (t) y (t) µ µ x () 3 y () 4, 5(t 6) (b) Bstäm matrisn A (c) Är matrisna diagonalisrbar? (d) Ett kausalt linjärt tidsinvariant systm bskrivs av tillståndskvationrna ½µ µ µ x (t) x (t) x A + (t) x (t) y (t) 4x (t)+3x (t) w (t) Bstäm systmts impulssvar. () Bstäm systmts övrföringsfunktion. 67. (Roligt och bra tst, tyckr jag, fast om man har bråttom, så hoppar man nog övr dt också...) På tntamn i Linjära systm har n tknolog försökt bräkna xponntialmatrisn till n matris A och fått µ 4 ta 3t 4 t 3t t t 3t 4 t 3 4t (a) Utan räkning (och utan att vta matrisn A!) kan man s att rsultatt är fl hur? (b) Gnom att ändra på två siffror (mn int färr!) så kan man få tknologns svar till att vrklign bli xponntialmatris för n viss A vilka siffror och vilkn A? Lösning: Elmntn i xponntialmatrisn ta är linjärkominationr av trmr 64. Vad mnas md stabilitt för tt systm av diffrntialkvationr av formn t k λt, därλ är gnvärd till A x (t) Ax (t), där Att ta är btydr att A också är. Då kan dn int ha flr än gnvärdn! Mn tknologn A givn konstant n n matris har såväl t som 3t och 4t omöjligt! x (t) n kolonnmatris md obkanta funktionr? Ett annan orimlight som syns nästan lika nklt: S [S, 63]. Dt som där htr stabilt, brukar bnämnas asymptotiskt stabilt ta skall uppfylla ta I för t Mn för t blir tknologns svar µ Ändra 4t till 3t i lmntt längst nr till högr. Om vi sdan ändrar lmntt på rad, kolonn, till 5 3t 4 t, llr 4 3t 3 t så blir ävn dt andra uppnbara flt utradrat, mn vilkn variant skall vi välja? Och vad skull A vara? w (t) 3

14 Kombinrar vi ta I för t md xponntialmatrisns huvudgnskap d dt ta A ta för alla t sr vi att dt måst gälla d dt ta A för t Så,omvisammanfattardtvåvariantrnaovani (a +) 3t a t så är Φ (t) just xponntialmatrisn till dn konstanta matrisn A. Vi kontrollrar: µ µ µ µ µ µ är båda sanna. Därmd klart. 68. Låt A vara n kvadratisk matris. Är dtsantatt tat ta T? och drivrar, förslagsvis ftr n inldand uppdlning, så att dt hla blir mra övrskådligt Svar: ja. D gnrlla sambandn µ (A + B) T A T + B T för alla A, B (a +) ta 3t a t 3t t t 3t 4 t 3 4t (AA) T A T A T µ µ a + 3 3t a gr ftr upprpad användning och gränsövrgång + 4 t µ µ d a + a dt ta 3 3 3t 4 t ta Ã! T T X t k k! Ak k X så sr vi att nda möjlightn för A då skull vara t k A T k µ µ k! k a + a tat Vidar vt vi att spårt av A måst vara lika md summan av gnvärdna: 3(a + 3) ( a +4) 3 a 3 Att dtta a dugr, d.v.s. att µ µ 4 3 3t är xponntialmatrisn till µ µ 6 t µ 3 4 inss så här: Exponntialmatrisn ta bstäms ntydigt av att d dt ta A ta för alla t ta I för t d.v.s. om -matrisfunktion Φ (t) uppfyllr Φ (t) (någon konstant -matris A) Φ (t) Φ () idntittsmatrisn 69. (Svårar hoppa övr) Låt A vara n kvadratisk matris, vars alla gnvärdn har ngativ raldl. Sätt Förklara varför K tat ta dt (a) Intgraln ovan är konvrgnt, så K är n väldfinirad matris. (b) K är symmtrisk (c) K är positivt dfinit. (d) A T K + KA I Svar a): Obs. att, nl. förgånd fråga tat ta T Elmntn i ta är linjärkombinationr av funktionr av formn t k λt, λ gnvärd till A, khltal. Därmd blir också lmntn i produktn ta T ta av samma typ. Mn intgralr av typn t k λt dt 4

15 är konvrgnta om xponntialfunktionn är avtagand, d.v.s. R λ <. Svar b): Enligt fråga... ovan är varj matrisprodukt av typn M T M symmtrisk. Nu låtr vi M ta och får att intgrandnärnsymmtriskmatris. Mnintgration av n matris btydr dfinitionsmässigt att varj lmnt intgrras för sig rsultatt måst då också bli symmtriskt. Svar c): Vi vill visa att x T Kx > för alla vktorr x 6 Btraktar vi n fix vktorx, så bror dn int på t och vi kan därför flytta dn innanför intgraltcknt: x T Kx M (t) ta T ta Enligt fråga... ovan är x T tat ta x dt x T tat ta x dt x T M (t) x dt, där M positivt dfinit, om dt M 6 positivt smidfinit, annars Här gällr dt första altrnativt M (t) är positivt dfinit för varj t därföratt ta ta I dt ta dt ta dt ta 6 dt ta T ta dt ta 6 Alltså, för n fix vktorx 6, är Svar d): x T M (t) x > för alla t och därmd x T M (t) x dt > A T K + KA ³ A T tat ta + tat ta A dt Utnyttja nu ( baklängs ) dn grundläggand gnskapn hos xponntialmatrisn A ta d dt ta ta A såkanviskrivaintgrandnsomdrivatanavnprodukt: A T tat ta + tat ta A d dt tat ta + tat d dt ta d ³ ta tat dt M.a.o. vi har primitiv funktion och kan använda insättningsformln: Faltning A T K + KA lim h tat tai x x I I I 7. Vilkn typ av faltningar har du räknat på rdan på gymnasit? Svar: Multiplikation av polynom är n diskrt faltning. Om p (x) q (x) JX a j x j, j KX b k x k k så fås x n -kofficintn i produktn p (x) q (x) som nx a n k b k k (Vi multiplicrar ihop var och n av trmrna i p (x) md var och n av trmrna i q (x) och får alla möjliga produktr av formn a j x j b k x k En x n -trm får vi när j + k n, d.v.s. j n k.) 7. Ibland är dt intgralr av typn ibland intgralr av typn Z t f (t τ) g (τ) dτ f (t τ) g (τ) dτ 5

16 man kallar för faltningsintgralr. Hur hängr dt ihop? Svar: dn första formln är dn gnrlla dfinitionn. Om f och g båda är kausala, vilkt oftast är fallt i praktikn, så är, om t< f (t τ) g (τ) dτ R t f (t τ) g (τ) dτ, om t> varav dn andra formln. 7. Faltning md θ (t) är kvivalnt md... (fyll i!) Svar: intgration från : (θ f)(t) Z t f (τ) dτ 73. Hur ändras faltningn om vi translatrar n av faktorrna? Md andra ord: om vi har räknat ut faltningn, kalla dn h (t), av, säg, t θ (t) och t θ (t) kan vi då på något nklar sätt få fram faltningn av (t 5) θ (t 5) och t θ (t)? Svar: Ja, dt är bara att translatra faltningn lika myckt: h (t 5). Fint utskrivt: Dfinira (T a f)(t) f (t a). Då är (T a f) g T a (f g) Bvis (Dtta är [S, övn..4]): ((T a f) g)(t) T a (f g) För tillämpning, s [S, 9, Ex..4] T a f (t τ) g (τ) dτ f (t τ a) g (τ) dτ f (t a τ) g (τ) dτ 74. Antag att funktionrna f och g är övrallt utom (möjlign) på intrvalln [a, b] rsp. [c, d]. Faltningn f g är då övrallt utom (möjlign) på intrvallt... (fyll i!) Svar: För tt fixt t, kan faltningsintgraln (f g)(t) f (t τ) g (t) dτ 6 bli 6 ndast om dt finns τ sådant att t τ [a, b] och samtidigt τ [c, d] Sätt t τ s. Då är alltså t s + τ md s [a, b] och τ [c, d] d.v.s. t [a + c, b + d] Alltså: f g övrallt utom möjlign på intrvallt [a + c, b + d]. 75. Säg att f faltas md n funktion g, som är övrallt utom i tt rlativt litt intrvall kring, där dn är, och för vilkn g (t) dt Hur skull du md ord bskriva faltningn f g?hur förväntar du dig att grafn av f g sr ut jämfört md grafn av f? Svar: Säg att g utanför [ ε, ε]. (f g)(t) Z ε ε f (t τ) g (τ) dτ bror ndast på f:s värdn i intrvallt [t ε,t+ ε]. Om så Z ε ε mg (τ) dτ m f (τ) M då t ε τ t + ε, m Z ε ε Z ε ε f (t τ) g (τ) dτ Z ε ε f (t τ) g (τ) dτ M Mg(τ) dτ Sålds kan värdt av f g btraktas som tt viktat mdlvärd av f på intrvallt [t ε,t+ ε]. Grafn av f g kan förväntas vara jämnar och finar än grafn av f v. rippl smtas ut. 76. Frkvnsfunktionn för n stokastisk variabl X, som kan anta rlla värdn, är n funktion, f X, md gnskapn att sannolikhtn för att X skall anta tt värd i intrvallt [a, b] gs av intgraln Z b a f X (t) dt Enligt sannolikhtstoriböckrna, så fås frkvnsfunktionn för summan av två obrond stokastiska

17 variablr, X och Y, som faltningn mllan d nskilda frkvnsfunktionrna: f X+Y f X f Y Hur kan man övrtyga sig om rimlightn av dtta påstånd? Förslag: Om X och Y är diskrta stokastiska variablr, d.v.s. om d antar ndast hltalsvärdn, så är motsvarightn till frkvnsfunktionrna, f X och f Y, sannolikhtsfunktionrna p X (k) sannolikhtn att X antar värdt k p Y (k) motsv. för Y Sannolikhtsfunktionn för summan X + Y måst då gs av p X+Y (n) X k p X (n k) p Y (k) (Om Y k, så blir summan X + Y n om och ndast om X n k, och så för varj k. Sannolikhtn att X n k och Y k, fås gnom att multiplicra d nskilda sannolikhtrna, i och md att variablrna är obrond.) Dnna summa bör rimlign övrgå i n faltningsintgral när man tänkr sig kontinurliga stokastiska variablr. Distributionstori 77. Dltafunktionn δ (t) är uppnbarlign ingn funktion av samma typ som t, cos t, t, tc. Vad är dn för något? Finns två sätt att s på δ (t) : (a) δ (t) är tt slags gränsvärd av vanliga funktionr p n (t),t,, 3,... (nämlign av allt högr och smalar pulsr kring t ). Dn är tt gränsvärd i dn mningn att lim p n (t) ϕ (t) dt n xistrar för varj s.k. tstfunktion ϕ (funktion som är ) drivrbar, ) övrallt utom på tt bgränsat intrvall inskränkningar man inför för att garantra att intgralrna xistrar). Vi tänkr oss att dssa gränsvärdn är rsultatt av intgration md n funktion δ (t) δ (t) ϕ (t) dt df. lim p n (t) ϕ (t) dt n Dt är d int, mn skrivsättt fungrar, ftrsom gränsvärdt bror linjärt på ϕ : lim p n (c ϕ + c ϕ ) dt n lim µc p n ϕ dt + c n c lim n p n ϕ dt + c lim n för alla tstfunktionr ϕ och ϕ och alla tal c och c p n ϕ dt p n ϕ dt så R dt blir rätt om vi räknar md δ (t) ϕ (t) dt som md n vanlig intgral: δ (c ϕ + c ϕ ) dt c δϕ dt + c δϕ dt Btckningn δ (t) är n bkvämlight ungfär i sammastilsomdtärbkvämarattskrivaπ än Endast rationlla tal kan dlta i konkrta bräkningar på n dator, mn i härldningar och andra mllanstg är dt ingt som hindrar oss att arbta md irrationlla gränsvärdn av rationlla tal, som t.x. π. (b) δ är n linjär funktional på mängdn av tstfunktionr, d.v.s. n linjär avbildning från vktorrummt av tstfunktionr till d rlla taln: ϕ (t) δ tal som vi btcknar hδ, ϕi llr Linarittn innbär att δ (t) ϕ (t) dt hδ,c ϕ + c ϕ i c hδ, ϕ i + c hδ, ϕ i och därför är dt bfogat md intgralskrivsättt. 78. Vad mnas md drivatan i distributionsmning (distributionsdrivatan) av n funktion som nhtsstgt θ (t)? På vilkt sätt skiljr dn sig från dn s.k. klassiska drivatan som man stötr på rdan på gymnasit? I vilkn mning är θ (t) δ (t)? För vanliga drivrbara funktionr f och ϕ gällr (partill intgration) Z b a Zb f (t) ϕ (t) dt [f (t) ϕ (t)] b a f (t) ϕ (t) dt a 7

18 Ommannuantarattϕ utanför tt bgränsat intrvall och låtr a,b, så får man f (t) ϕ (t) dt f (t)( ϕ (t)) dt Om nu ϕ är n tstfunktion i mningn ) drivrbar oändligt många gångr ) utanför tt bgränsat intrvall så är ϕ också n tstfunktion, d.v.s. har också dssa två gnskapr. Därmd får högrldt mning ävn då f är n gnralisrad funktion. Då användr vi dt för att dfinira vänstrldt! θ (t) ϕ (t) dt df. ϕ () θ (t)( ϕ (t)) dt ϕ (t) dt [ϕ (t)] δ (t) ϕ (t) dt I klassisk mning är θ (t) drivrbar ndast för t 6 och drivatan är såväl för t> som för t<. Mn här sr vi att θ intgrrat md ϕ har samma ffkt som δ på ϕ. Åandrasidan: θ intgrrat md ϕ skull haft samma ffkt som θ intgrrat md ϕ, om θ vor drivrbar i klassisk mning. Därför sägr vi att θ δ. 79. Förnkla Svar: (s [S,8]) 8. Dt gällr att f (t) δ (t) f () δ (t) f θ (fθ) +... δ f θ (fθ) +... δ +... δ f (3) θ (fθ) (3) +...δ +... δ +... δ tc. md vissa konstantr på punktrnas plats. Vilka konstantr? Lösning: (fθ) f θ + fθ f θ + fδ f θ + f () δ Alltså skall första likhtn vara f θ (fθ) f () δ Drivra nu dnna likht: f θ + f δ (fθ) f () δ gr f θ (fθ) f () δ f () δ så har vi fått konstantrna i dn andra likhtn. Drivra ign: f (3) θ + f δ (fθ) (3) f () δ f () δ O.s.v. f (3) θ (fθ) (3) f () δ f () δ f () δ 8. Givt n obgränsat många gångr drivrbar funktion f (t), så gällr f (t) δ (t)...δ (t) f (t) δ (t)...δ (t)+...δ (t) f (t) δ (t)...δ (t)+...δ (t)+...δ (t) md vissa konstantr på punktrnas plats Vad är konstantrna? Lösning: f (t) δ (t) f () δ (t), nl. [S,8] Drivra dnna rlation (md produktrgln), samt tillämpa dn md f i ställt för f, så fås f (t) δ (t)+f (t) δ (t) f () δ (t) f (t) δ (t) f () δ (t) f (t) δ (t) f () δ (t) f () δ (t) Drivra nu dnna sista rlation f (t) δ (t)+f (t) δ (t) f () δ (t) f () δ (t) f (t) δ (t) f () δ (t) f () δ (t) f (t) δ (t) samt tillämpa dn md f iställtförf, så fås f (t) δ (t) f () δ (t) f () δ (t) f () δ (t) f () δ (t) f () δ (t) f () δ (t)+f () δ (t) 8. Drivra i distributionsmning grafiskt, t.x. [S, övn..] Lösning: ½ t f (t), t t, annars ½ f t, <t< (t) t, t > 8

19 (Ingnting mr, ty f är kontinurlig i t ±. Angr int någon drivata i t ±, ftrsom formlr för distributionr är rlvanta ndast om d gällr på hla intrvall, så att man kan intgrra md n tstfunktion.) ½ f, <t< (t), t > - - ¾ +4δ (t +)+4δ (t ) - - (Till dn klassiska drivatan tillkommr multiplar av δ i varj språngpunkt.) f (3) (t) +4δ (t +) 4δ (t ) + +4δ (t +)+4δ (t ) (Dn klassiska drivatan är nu. Tillkommr två st. δ för varj språng, mdan d två δ, som finns sdan tidigar, drivras.) 83. Tar man n godtycklig intgrrbar T -priodisk funktion f (t), räknar ut Fourirkofficintrna c n Z f (t) inωt dt, Ω π T T n priod och ställr upp funktionns Fourirsri X c k inωt n så är dt ingnting som garantrar att srins dlsummor kommr att konvrgra mot f (t) för varj nskilt t. Man kan mllrtid visa att för n myckt stor klass av funktionr, så konvrgrar srin mot f i distributionsmning. Vad mnas md dt? Svar: Z Ã N! X lim c k inωt ϕ (t) dt N n priod Z n priod n N f (t) ϕ (t) dt för varj tstfunktion ϕ (t) 84. (Allmänbildning) När dt gällr konvrgns av n följd av funktionr f n,n,, 3,..., på tt intrvall, f n f, när n, på intrvallt I, så brukar man skilja mllan Vad mnas? Svar: Punktvis konvrgns: punktvis konvrgns likformig konvrgns konvrgns i kvadratiskt mdl konvrgns i distributionsmning f n (x) f (x) för varj nskilt x I Likformig konvrgns: max x I f n (x) f (x), närn Konvrgns i kvadratiskt mdl (också kallad konvrgns i L ): Z f n (x) f (x) dx I Konvrgns i distributionsmning: Z Z f n (x) ϕ (x) dx f (x) ϕ (x) dx I I för varj tstfunktion ϕ som är utanför I 85. (Allmänbildning) G xmpl på n följd av funktionr, som konvrgrar (a) punktvis, mn int likformigt. (b) likformigt, mn int punktvis. 9

20 (c) i distributionsmning, mn varkn punktvis llr likformigt. Svar a): f n (x) x n, I (, ).8.6 Ma n när n Alltså: lim cos nx n xistrar int för något nskilt x, mn cos nx ϕ (x) dx.4. Dt gällr att x y x n,n,,..., 9 x n för varj x (, ) mn oavstt hur stort n vi tar så kan vi hitta x (nära ) sådanaattx n fortfarand. Svar b): Finns inga! Likformig konvrgns mdför punktvis konvrgns automatiskt! Svar c): f n (x) cosnx, I R Låt nämlign ϕ (t) vara n tstfunktion som är utanför intrvallt ( a, a) : Z a a cos nx ϕ (x) dx sin nx n a ϕ (x) a [subst. nx t] Zna sin t n n na na Z na Z a ϕ sin t ϕ µ t n a sin nx n µ t n n dt dt ϕ (x) dx Inför M max x R ϕ (x) (Obs. att ϕ också är utanför [ a, a], så maximum xistrar.) Då får vi Z a cos nx ϕ (x) dx n M na a för varj tstfunktion ϕ, varför vi sägr att f n (x) cosnx i distributionsmning (Rsultatt är intuitivt rimligt: cos nx växlar tckn allt snabbar när n ökar. Dtsamma kommr att gälla produktn ϕ (x)cosnx och intgration btydr att vi bildar tt slags mdlvärd. D positiva och d ngativa bitarna tar ut varandra.) 86. Snabb transformring m.h.a. distributionstori: Bstäm Fourirtransformn av trianglpulsn ½ t, <t< f (t), annars Drivra f (t) grafiskt i distributions- Lösning: mning: <t< f (t) <t<, annars f (t) δ (t +) δ (t)+δ(t ) Transformra dnna likht: (iω) F (ω) iω + iω F (ω) cosω ω 4sin ω ω µ sin ω/ ω/ 87. (Svårar?) I n lärobok om diffrntialkvationr hittar man följand Sats. Antag att E (t, τ) är n lösning till bgynnlsvärdsproblmt y (n) + a n y (n ) a y + a y, y (τ) y (τ)... y (n ) (τ) y (n ) (τ) y, a,a,... funktionr av t τ är tt fixt tal t > τ

21 Då är, för varj kontinurlig funktion f Z t t E (t, τ) f (τ) dτ n lösning till ½ y (n) + a n y (n ) a y + a y f (t) y (t )y (t )... y (n ) (t ) Frågan till dig är nu: Hur hängr dtta ihop md dt du har lärt dig av Spanns kompndium? Svar: Ovan dfiniras E (t, τ) för t>τ. Utvidga dfinitionn för alla t gnom att sätta E (t, τ) för t<τ och btrakta E som n distribution i variabln t, för varj fixt τ. Obsrvra att, i distributionsmning gällr E (n) + a n E (n ) a E + a E δ (t τ) ftrsom ) vänstrldt på intrvallt t>τ nl. satsns dfinition av E, ) vänstrldt är för t<τ nl. vår utvidgning, 3) E:s drivator upp till ordning n blir kontinurliga i t τ, mn E (n ) får språng i t τ. Därmd kommr distributionsdrivatan av vänstrldt att övrnsstämma md dn klassiska så när som på n dltafunktion i t τ p.g.a. ovannämnda språng. Skriv Z t t E (t, τ) f (τ) dτ E (t, τ) f (τ) θ (τ t ) dτ Kalla dtta för y (t). Då är, om drivation undr intgraltcknt fungrar: d k dt k E (t, τ) f (τ) θ (τ t ) dτ d k dt k E (t, τ) f (τ) θ (τ t ) dτ y (n) + a n y (n ) a y + a y ³ E (n) + a n E (n ) +... f (τ) θ (τ t ) dτ δ (t τ) f (τ) θ (τ t ) dτ f (t), för t>τ Att alla drivator blir för i t, syns också av drivationn undr intgraltcknt: d k dt k E (t, τ) f (τ) θ (τ t ) dτ Z t d k E (t, τ) f (τ) dτ t dtk när t t ftrsom dk E (t, τ) f (τ) är bgränsad dtk för k,,,..., n Transformmtodr Diffrntialkvationr 88. Hitta n bgränsad lösning till n diff.kvation av typn y y t θ (t) Tvåsidig Laplactransformation gr s Y (s) Y (s) s + Y (s)... 4 s 4 s + (s +) Som invrs transform till (s a) k tag nu (kom ihåg att!) (k )! tk at θ (t), om R a < (k )! tk at (θ (t) ), om R a > På dtta sätt blir varj trm, och därmd hla summan för y (t) bgränsad. I vårt fall blir svart: y (t) t (θ (t) ) ( + t) t θ (t) 4 vilkt nog är mra övrskådligt om vi skrivr dt som ½ y (t) 4 t, t < 4 ( + t) t, t > 89. Hitta n kausal lösning till n diffrntialkvation av typn i förgånd fråga: y y t θ (t) Laåplactransformra kvationn som ovan, mn vid invrstransformation, välj gnomgånd dt kausala altrnativt (k )! tk at θ (t) så blir ävn hlas summan för y (t) kausal!

22 Faltningssatsn. Intgralkvationr. 9. Hur bräknar man nklast faltningn mllan två funktionr som t.x. 9. f (t) g (t) Svar: M.h.a. faltningssatsn. +t och 4+t? x y f (y) dy x, f söks Obsrvra att vänstrldt är faltningn av f (t) och g (t) t. I Fourirtransformtablln hittar vi t +ω t + ω πδ (ω) t i πδ (ω) Faltningssatsn gr då att (om dt nu finns n Fourirtransformrbar lösning) 4 4+ω F (ω) πiδ (ω) F (ω) πi Utnyttja nu att (s fråga...) så fås µ+ 4 ω δ (ω) f (t) δ (t) f () δ (t) f () δ (t) F (ω) πiδ (ω) f (t) t (Dnna funktion är vrklign Fourirtransformrbar, iochmdattf (t) är dt (finns i tablln) och, om f (t) är transformrbar, så är tf (t) dt också.) 9. Hitta n funktion y (t) som uppfyllr intgralkvationn τ y (t τ) t Lösning: Vänstrldt är n faltning. Vi kan skriva kvationn som f y g, md f (t) t g (t) t Om dt nu finns n Fourirtransformrbar lösning, så måst F (ω) Y (ω) G (ω) π ω /4 Y (ω) i d (πδ (ω)) dω Y (ω) πδ (ω) ω /4 Enligt sambandt i förgånd fråga: Därmd Systmtori f (t) δ (t) f () δ (t) f () δ (t)+f () δ (t) δ (ω) ω /4 δ (ω) δ (ω)+ δ (ω) y (t) µ π t + π µ t π 93. Vad mnas md att tt systm i insignal-utsignal form är linjärt? [S, övn. 9.3] Lösning 9.3 : Utsignalfunktionn insignalfunktionn md t rsatt av t : Lösning 9.3f : S (c w (t)+c w (t)) c w (t ) + c w (t ) c S (w )+c S (w ) Alltså linjärt cos (cw(t)) c cos (w (t)) är i rgl int uppfyllt, t.x. för c Alltså olinjärt. Lösning 9.3i : S (c w (t)+c w (t)) c t+τ (c w (τ)+c w (τ)) dτ t+τ w (τ) dτ + c c S (w )+c S (w ) Alltså linjärt t+τ c w (τ) dτ

23 94. För vissa systm fås utsignaln ur insignaln gnom attfaltamdnvissfix funktion. Vilka systm och vad kallas dn fixa funktionn? Svar: Linjära tidinvarianta systm. Impulssvar. 95. S, övn.9. Lösning: w (t) gr utsignaln w (t) gr utsignaln c w (t)+c w (t) gr utsignaln c h (t τ) w (τ) dτ y (t) h (t τ) w (τ) dτ y (t) h (t τ)(c w (τ)+c w (τ)) dτ h (t τ) w (τ) dτ + c c y + c y, alltså linjärt (c) bstämma systmts stgsvar? Svar: S [S, 94-95] stgsvart Z t h (τ) dτ (d) bstämma systmts övrföringsfunktion? Svar: S [S, 4, 3] H (s) L{h (t)} 97. Hur kan man få tt LTI-systms impulssvar om man kännr till dss stgsvar? Svar: impulssvart d dt stgsvart (följr av att impulsn d dt stgt 98. Systm vars utsignal y (t) bror på insignaln w (t) h (t τ) w (τ) dτ nligt y (t) w (t T ) (fördröjning) y (t) w (t) (drivation) w (t) gr utsignaln w (t T ) gr utsignaln h (t τ) w (τ T ) dτ h (t τ) w (τ) dτ y (t) τ T x dτ dx h (t T x) w (x) dx y (t T ) därmd tidsinvariant 96. Givt n forml för impulssvart h (t) för tt LTIsystm, säg som i S, övn.9.4, llr hur kan man h (t) θ (t) θ (t ) (a) avgöra om systmt är kausalt? Svar: Kontrollra om h (t) för t < (b) avgöra om sytmt är insignal-utsignal stabilt? Svar: kontrollra om R h (t) dt <, d.v.s. konvrgnt. är också linjära och tidinvarianta. impulssvar? Svar: h (t) δ (t T ) h (t) δ (t) Vad har d för Man får alltså ta till distributionr, om bgrppt impulssvar skall kunna utsträckas till att gälla alla linjära tidsinvarianta systm. (Därav tt skäl att ägna tt kapitl åt distributionstori.) 99. För vilkn typ av systm är bgrppt övrföringsfunktion rlvant? Svar: Linjära och tidsinvarianta. Vilkt samband dfinirar bgrppt övrföringsfunktion? H (s) utsignal insignal när insignaln är w (t) st. Om tt systms övrföringsfunktion är givn, hur kan man bstämma utsignaln då insignaln är (a) cosωt, <t<? R H (iω) iωt (förutsatt att systmt är rllt) 3

24 ½, t < (b) cos ωt, t >? y (t) L {H (iω) L{w (t)}} S [S, 3, Ex.4.]. Vad är övrföringsfunktionn för tt systm för vilkt dt rådr tt samband av typn y +4y w mllan insignal w och utsignal y? Vad är systmts impulssvar, om systmt är kausalt? Är systmt stabilt? 3. Vad är övrföringsfunktionn för tt systm som är givn på tillståndsform ½ x (t) Ax (t)+bw (t) y (t) Cx (t)+dw (t) A, B, C, D konstanta matrisr w (t) kolonnvktor md insignalrna y (t) kolonnvktor md utsignalrna S[S,33,sats.3] 4. Vilkt samband finns mllan övrföringsfunktionns polr och systmmatrisn A i förgånd fråga? S [S,46-47] 5. (Md stabilitt avss här insignal-utsignalstabilitt.) Antag att tt kausalt systm har n rationll övrföringsfunktion H (s) T (s) N (s), T (s) och N (s) polynom utan gm. faktorr Förklara varför (a) Om täljarpolynomt T (s) har högr gradtal än nämnarpolynomt N (s), så är systmts stgsvar obgränsat och systmt därför instabilt. (b) Om H (s) harnpolmdraldl>, så är systmt instabilt. (c) Om H (s) harnpolmdraldl, så är systmt också instabilt. (d) Om grad T grad N och alla polr till H (s) har raldl <, så är systmt stabilt. Svar: Utför polynomdivision, så kan vi skriva H (s) K (s)+ R (s) N (s), md K (s) polynom och grad R < grad N Partialbråksuppdla sdan R (s) /N (s), så får vi H (s) K (s)+ X k C k (s p k ) m k p k polr till H (s), d.v.s. nollställn till N (s) v. komplxa m k hltal C k konstantr, v. komplxa (Vid pappr- och pnna-räkningar hållr vi ihop trmrna från komplxkonjugrad polr s +i + s i s s +4, t.x. mn dt är bara av bkvämlightsskäl. Principillt går dt att räkna md komplxa förstagradsfaktorr.) Obsrvra vidar att stgsvarts transform H (s) s och allmännar transformn av svart på n insignal iωt, nämlign H (s) s iω, kommr att vara av samma typ, md dn skillnadn att K rsätts av polynom av tt stg lägr gradtal, p llr p iω tillkommr llr så får man tt stg högr potnsr av s llr s iω ifall d rdan finns bland polrna till H (s) Dn kausala invrstransformn fås ur (m )! tm pt θ (t) δ (t) δ (t) s δ (t) s (s p) m Härav kan vi avläsa: a) Om grad K (s), så kommr stgsvarts transform H (s) s... 4

25 fortfarand att innhålla n polynomtrm, t.x. om om H (s) s ++ R (s) N (s), så H (s) s + R (s) N (s), där grad R < grad N Dn invrsa transformn, d.v.s. stgsvart, kommr att innhålla n δ (t) (llr rntav drivator av δ) och mr obgränsad än så kan n signal knappast bli! b) Om p är n pol md R p >, så kommr stgsvart att innhålla n trm av typn Ct k pt som int är bgränsad när t θ. (Trmr md olika p llr olika k kan int ta ut varandra, kan man visa.) c) Om p iω är n pol på imaginära axln, så btraktar vi systmts svar på signaln iωt. Svarts transform innhållr då n trm av typn C (s iω) m, m Utsignaln innhållr alltså n trm av typn Ct m iωt, m som är obgränsad när t. d) Om grad T grad N, så blir impulssvart av formn h (t) L H (s) cδ (t)+ X c k t j k pkt θ (t) k Om dssutom R p k < för alla polr, så är alla xponntialtrmr snabbt avtagand och därmd h (t) dt < alltså är systmt stabilt. (Tänk på δ (t) som n hög smal puls kring t md aran undr kurvan, så inss att dn int kan förstöra konvrgnsn. Därmot är dt litt svårar att utrda hur intgraln skall tolkas, om h (t) iunnhöll ävn drivator av δ (t). Därför har jag ovan tagit n annan väg i dt fallt.) 6. Sambandt mllan insignal w (t) och utsignal y (t) för tt visst linjärt tidsinvariant och kausalt systm gs av x (t) x (t) 3x (t)+w(t) x (t) 6x (t) 5x (t) w (t) y (t) x (t) x (t)+7w(t) (a) Skriv sambandn på matrisform ½ x Ax + Bw y Cx + Dw (b) Avgör om systmt är insignal-utsignalstabilt. (c) Bstäm systmts impulssvar. Svar a): µ µ µ µ x 3 x x x y (t) µ x +(7)w x d.v.s. matrisrna är µ 3 A 6 5 µ, B C, D (7) w Svar b): Laplactransformra kvationrna, så kan vi få systmts övrföringsfunktion sx AX + BW (si A) X BW X (si A) BW Y CX + DW C (si A) BW + DW ³ C (si A) B + D W För invrtring av -matrisr, s [S, 75] (si A) µ s 3 6 s +5 µ s +5 3 (s ) (s +5)+8 6 s µ s +5 3 (s +) +9 6 s H (s) Y (s) W (s) C (si A) B + D µ s +5 3 (s +) +9 6 s 3s +3 (s +) µ +7 5