Föreläsning 6. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 4

Transkript

1 Sigalbhadlig i multimdia - ETI65 Förläsig 6 Sigalbhadlig i multimdia - ETI65 Kapitl 4 Fourirtrasorm av aalog sigal, FT Fourirtrasorm av digital sigal, DTFT ortsättig LTH 4 Ndlko Grbi (mtrl. rå Bgt Madrsso) Dpartmt o Eltrial ad Iormatio Thology Lud Uivrsity 77

2 Digital sigalbhadlig, Istitutio ör lktro- oh iormatiostkik Filtrrig Iput output rlatios x() X() Filtr h() H() y()= x() * h() Y()=X() H() Vi har sambadt altig ör att bräka utsigal y( ) h( ) x( ) x( k) h( k) k Om båd ourirtrasorm av isigal oh ourirtrasorm av impulssvart xistrar ka vi okså utyttja sambadt Y( ) H( ) X ( ) oh s bräka ivrs ourirtrasorm Vi klassiirar ota iltr tr karaktrstik av H (), tx tt lågpassiltr som släppr igom låga rkvsr oh spärrar höga, högpassiltr som spärrar låga rkvsr oh släppr igom höga 78

3 Digital sigalbhadlig, Istitutio ör lktro- oh iormatiostkik Rlatio till z-trasorm Vi utgår rå tt kausalt impulssvar h (). Kausalt ibär att h ( ) ör Fourirtrasorm DTFT av impulssvar är då ligt tidigar Diitio: H( ) j h( ) h( ) j Vi diirad Z-trasorm av impulssvart som där H( z) z h( ) z j r är tt komplxt tal som vi otast skrivr som blopp oh as. H(z) är komplx uktio av komplx variabl. Viktigt: Om h () är kausal oh stabil år vi H( ) H( z) z j 79

4 Digital sigalbhadlig, Istitutio ör lktro- oh iormatiostkik Fourirtrasorm är z-trasorms värd på htsirkl om h() stabil oh kausal H( ) H( z) j värdt på htsirkl z Rita i i igur =/ = z=- =/4 =/ z=j z-pla Godtyklig pukt z= j = = z= =3/4 =3/ z=-j Viktigt: Ehtsirkl är vår rkvsaxl i dt diskrta allt =: =/4: >/4: H()= H() stort H() miskar 8

5 Digital sigalbhadlig, Istitutio ör lktro- oh iormatiostkik Utvidgig av Fourirtrasorm (s matt) A: Sius, osius (j stabila sigalr) j j x[ ] os( ) ( ) X ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) / Spktrum j j x( ) si( ) ( ) j X ( ) ( ( ) ( )) j B: Stg x ( ) u( ) stg X ( ) ( ) j X ( ( ) Obs. I ovaståd uttryk ags ) ör. X måst sda priodisras. 8

6 Digital sigalbhadlig, Istitutio ör lktro- oh iormatiostkik Filtrrig md idalt lågpassiltr Vi vill u göra tt iltr som iltrrar bort höga rkvsr oh bara bhållr låga rkvsr. x() X() Idalt lågpassiltr h() H() y()= x() * h() Y()=X() H() Vi har oh y( ) h( ) x( ) x( k) h( k) Y( ) H( ) X ( ) Hur ka vi diira tt lågpassiltr? Ett idalt lågpassiltr (ik-kausalt) diiras av k H idalt ( ), ör övrigt H(ω) dvs rkvskompotr midr ä, oörädrad mda rkvsr stött ä Hur sr dtta impulssvar ut?, släpps igom spärras hlt. 8

7 83 Digital sigalbhadlig, Istitutio ör lktro- oh iormatiostkik Ivrs ourirtrasorm av rktaglpuls Idalt lågpassiltr Ett idalt lågpassiltr (ik-kausalt) diiras av övrigt ör H idalt, ) ( Dss impulssvar blir då j d d H h j j j j si si ) ( ) ( Dtta impulssvar är båd ik-kausalt oh oädligt lågt. Vi måst trukra dt oh göra dt kausalt. h() H(ω)

8 Digital sigalbhadlig, Istitutio ör lktro- oh iormatiostkik Trukrig av idalt lågpassiltr Ett kausalt lågpass FIR-iltr ka vi å gom att välja ut N värd krig origo oh s ördröja impulssvart (N-)/ (N udda) N si ( ) h( ), N N ( ) h() (N-)/ Dtta är mykt valig mtod ör att göra FIR-iltr. M hur bra blir dt? Oh ka vi örbättra dt. Vi provar i Matlab. 84

9 Digital sigalbhadlig, Istitutio ör lktro- oh iormatiostkik Trukrig av idalt lågpassiltr Hur bra blir iltrt? h()=h idalt () tidsöstr Impulssvar Spktrum Övrst h idalt () H idalt () Mitt w rt () W rt () Ndrst h()= h idalt () w rt () H()= H idalt ()W rt () Brytrkvs OBS maxvärdt) =.5, lägd M=, gradtal N=M-= Amplitud vid brytrkvs är alltid -6 db (/ av N si ( ) h[ ] N N ( ) Matlab: h=ir(,*.5,boxar()); 85

10 Digital sigalbhadlig, Istitutio ör lktro- oh iormatiostkik Trukrig av idalt lågpassiltr md Hammigöstr. Ett hammigöstr diiras av M ( ) w ham mi g[ ] (.54.46os ) M M Hammigöstrt aväds väldigt ota i praktik vid trukrig av sigalr, spillt vid rkvsaalys. I Matlab är dtta ota dault. h[]=h idalt [] tidsöstr Impulssvar Spktrum Övrst h idalt () H idalt () Mitt w hammig () W hammig () Ndrst h()=h idalt () w hammig () H()=H d ()W hammig () M M si ( ) ( ) h( ) (.54.46os ) M M M ( ) Vi sr att dämpig ör höga rkvsr är klart bättr ä ör rktaglöstrt. Matlab: h=ir(,*.5,hammig()) 86

11 Digital sigalbhadlig, Istitutio ör lktro- oh iormatiostkik Varör ik vi problm vid trukrig. Kovrgsproblm ör si( x )/ x. Impulssvart ör tt idalt lågpassiltr är alltså av typ si( x )/ x oh som vi måst trukra ör att å tt kausalt iltr. Dtta gr vissa ktr (bivrkigar vid trukrig) som kallas Gibbs om. Villkor ör kovrgs av Fourirtrasorm var: Kovrgs: Om x () stabil, dvs x( ) Lit svagar kovrgs Om x( ) m x( ) För si( x )/ x har vi: x si( x) / x m x si( x) / x kost Alltså har vi här d svagar typ av kovrgs. Ekt av d svagar typ av kovrgs yppar sig är vi trukrar sigal. 87

12 Digital sigalbhadlig, Istitutio ör lktro- oh iormatiostkik Appdix Fourirsriutvklig av priodisk sigal (ör kädom). Exmpl rå örläsig. Spktrum rå klaritt. Övrst: Vågorm (7 ms, 6 priodr) Mitt: Fourirtrasorm av hla sigal Ndrst: Fourirtrasorm rå priod (röd kurva, omskalad 6 ggr) Dtta ldr oss till Fourirsriutvklig 88

13 Digital sigalbhadlig, Istitutio ör lktro- oh iormatiostkik Frå matt har vi lärt oss att priodisk sigal ka skrivas som summa av harmoiska dltor ligt x harmoisk ( ) A A os ( F ) A os ( F )... Hur hägr dtta ihop md Fourirtrasorm? Vi har sda tidigar Fourirtrasorm av puls (yrkatspuls) Fyrkatspuls Fourirtrasorm (spktrum) Vi bildar u priodisk sigal (harmoisk sigal) gom att upprpa yrkatspuls Fourirtrasorm av upprpad yrkatspulsr (dl av yrkatssigal) Gör vi u yrkatsigal oäligt låg blir sigals rgi oädlig oh vi ka u it bräka ourirtrasorm m väl skriva sigal som summa av harmoiska dltor ligt ova där A, A,, A,, A3, 3,... rlatras dirkt till Fourirtrasorm av puls ligt igur ova. 89

14 Digital sigalbhadlig, Istitutio ör lktro- oh iormatiostkik Fourirsriutvklig av priodisk sigal, ortsättig sid 9 E aalog sigal som är priodisk md priodtid T p, dvs x ( p t) x( t T ) md F ka skrivas som summa av siussigalr (harmoiska dltor) ligt x( t) T p T p X () T DC ivå k X ( k F ) komplxamplitud p k j k F T p X ( k F ) os( k F amplitud t arg{ X ( k F )}) där X ( ) är Fourirtrasorm av priod av sigal F as X ( F ) x( t) T p / T T p / j F t dt 9

15 Digital sigalbhadlig, Istitutio ör lktro- oh iormatiostkik Fourirsriutvklig av priodisk sigal, ortsättig 3 sid 4 E tidsdiskrt sigal som är priodisk md priodtid N, dvs x( ) x( N) md N ka skrivas som summa av komplxa siussigalr (harmoiska dltor) ligt x( t) N N k X ( k ) j k där X ( ) är Fourirtrasorm av priod av sigal X N ( ) x( ) j Tid-Frkvs Rlatior (Fig 4.3., Sid 7, 4: upplaga) 9