Föreläsning 10. Digital signalbehandling. Kapitel 7. Digitala FourierTransformen DFT. LTH 2011 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)

Transkript

1 Digital sigalbhadlig ESS040 Förläsig 0 Digital sigalbhadlig ESS040 Kapitl 7 Digitala FourirTrasform DFT LTH 0 dlo Grbic (mtrl. frå Bgt Madrsso Istitutio för ltro- och iformatiosti Lud Uivrsity 53

2 Digital sigalbhadlig, Istitutio för ltro- och iformatiosti Kapitl 7 Digitala FourirTrasform DFT Dfiitio: Fourirtrasform av tidsdisrt sigal DTFT X ( f x( f 0 x( X ( f j f j f df Kovrgs: Om x stabil, dvs x [ ] Lit svagar ovrgs x [ ] x[ ] bgräsad rgi 54

3 Digital sigalbhadlig, Istitutio för ltro- och iformatiosti Dfiitio: z-trasform Låt h [ ] vara tt ausalt impulssvar. Kausalt ibär att h[ ] 0 för 0. Vi dfiirar Z-trasform av impulssvart som där H( z h[ ] z z 0 j r är tt omplxt tal som vi oftast srivr som blopp och fas. H(z är omplx futio av omplx variabl. Vitigt: Om h [ ] är ausal och stabil får vi H( H( z z j 55

4 Digital sigalbhadlig, Istitutio för ltro- och iformatiosti Disrta Fourirtrasform DFT sid 456 läs sid övrsitligt Låt x [ ] { } Valig Fourirtrasform DTFT X ( f x( f 0 x( X ( f j f j f df 4 X( X(f f / - Välj lägd 8 och bräa X ( f i putr f 0, /, /,...,( / dvs f / gr d Disrta Fourir-Trasform (DFT X [ ] x[ ] DFT 0 xdft [ ] X[ ] 0 j j 0,,..., 0,,..., 56

5 Digital sigalbhadlig, Istitutio för ltro- och iformatiosti Priodicitt Valig Fourirtrasform DTFT X ( f priodis ty j f j ( f Disrta Fourirtrasform DFT Båd X[ ], x[ ] priodisa, (idx bräas modulo ty ' p, ' p, p hltal gr samma umrisa värd j ( p j ( p j j j p j p 57

6 Digital sigalbhadlig, Istitutio för ltro- och iformatiosti Om x( bara dfiirad för 0 - (lägd får vi X DFT ( X ( f f dvs X ( f i putr Kommtar: Om är jäm -pots a bräigara sabbas upp myct, log iställt för. Algoritm allas FFT. Algoritm bsrivs i Proais. apitl 8 m igår it i grudurs. 58

7 Digital sigalbhadlig, Istitutio för ltro- och iformatiosti Vitigt sambad 0 j ( l 0 om l 0 p om l 0 p ( l,modulo Proais otatio : ( l,modulo (( ( l Summa av putr jämt fördlad på htscirl = 0 C D B E A F G H Summa av värda i putra är: A+A+A+A+A+A+A+A=8 A+B+C+D+E+F+G+H=0 A+C+E+G+A+C+E+G=0 osv Jämför: Itgral av cos(t övr tt jämt atal priodr är oll utom för =0 59

8 Digital sigalbhadlig, Istitutio för ltro- och iformatiosti Spcilla gsapr för DFT Båd x [ ] och X [ ] priodisa, dtta mdför vissa spcilla gsapr, alla idx räas modulo Tolig av x[] x[]={ } x[-]={ } Cirulärt shift x[, modulo ] 0 j 0 X[ ] Exmpl på sift vid DFT x[]={ 3 4}, x[-]={4 3} 60

9 Digital sigalbhadlig, Istitutio för ltro- och iformatiosti Cirulär faltig vid DFT, lägd, sid X ( X ( X ( l0 x[ ] x [ ] x [ ] x [ l] x [ l,modulo ] (alla sigalr har samma lägd Exmpl på cirulär faltig Givt: x[]={ 3 4}, h[]={ } Sö cirulär faltig Grafis lösig y[ ] x[ ] h[ ] h[0-] x[] { } gr y[] = { } Problmt uppstår därför att =4 m rsultatt av faltig blir av lägd 7. Därför trillar värda rut. MATLAB: x=[ 3 4]; h=[ ]; y=ral(ifft(fft(x.*fft(h 6

10 Digital sigalbhadlig, Istitutio för ltro- och iformatiosti Valig faltig md DFT x[]={ 3 4}, h{]={ } Faltig mlla x[] och h[] gr y( av lägd 4+4- Välj lägd hos DFT: =8 Grafis lösig h[0-] x[] { } gr y[] = { } MATLAB: y=ral(ifft(fft(x,8.*fft(h,8 Jämför md förra sida y förra ={+3, 6+7, +4, 7+0} 6

11 Digital sigalbhadlig, Istitutio för ltro- och iformatiosti Samplig av sptrum gr priodicitt. Låt x a ( a u( X ( f j f Avläs X ( f i putr och bilda X ( X ( f u är x ( är oädligt låg svs m ivrs DFT av X ( gr svs av lägd. f Vad blir x DFT ( IDFT ( X ( X(f X( f 0 / - Dvs vad blir rsultatt av daståd räig? x( a u( DTFT X ( f a j f x DFT (? IDFT X ( X ( f f a j 63

12 Digital sigalbhadlig, Istitutio för ltro- och iformatiosti Samplig av sptrum gr priodicitt, fortsättig Lösig: X DFT ( X ( f f Ivrs DFT gr j j l j xdft [ ] X[ ] x[ l] 0 0 l j ( l x[ l] x[ l ] l 0 l [ l, modulo ] x [ ] priodisrat dvs x [ ] x[ l ] DFT l x priodisrat [ ] x[] x DFT [] (x(, x DFT ( ritat hldragt för lhts sull 64

13 Digital sigalbhadlig, Istitutio för ltro- och iformatiosti Visa priodicitt i tid md umrist xmpl DTFT och DFT av fyratpuls X ( f x... gr L st X L 0 L 0 x( x( j f j L si( f si( f L si( si( L j f L j Exmpl: Låt u si( L j Y ( X ( IDFT Y y ( samt Y L si( si( L j ( ( X ( ( bst y IDFT ( Y ( ( si( L och bst och Matlabod: =6, L=6 och L=0 =0:-; = ; Y=si(*pi*L*/(*./si(*pi*/(*.*xp(-j**pi*(L-*/(*; y=ral(ifft(y; Y=Y.*Y; y=ral(ifft(y; Hur sr y[] och y[] ut? Svar ästa sida. 65

14 Digital sigalbhadlig, Istitutio för ltro- och iformatiosti Fortsättig: =6, L=6, Matlabxmpl på priodicitt i tid, Matlabplot si( L j Y ( L si( y( IDFT ( Y Y ( si( si( L L j y ( IDFT ( Y =6, L=0, Y ( y( IDFT ( Y Y ( y ( IDFT ( Y 66

15 Digital sigalbhadlig, Istitutio för ltro- och iformatiosti E pratis tillämpig Öa upplösig i frvs md hjälp av zro paddig l. trailig zros Låt x[]={ } Tag =8 putrs DFT av x[] 4 X[] X(f f / - Tag =6 putrs DFT av x[] 4 X[] X(f f / - 67

16 Appdix Digital sigalbhadlig, Istitutio för ltro- och iformatiosti DFT i matrisform Dfiira W W j sid (för ädom X ( x( 0 x( W 0 X ( W 0,,..., 0,,..., Låt x( 0 x( x x( X( 0 X( X X( W W W D W W W ( ( ( Mdför att vi a sriva X = Dx - x = D X llr x * D X D D DD I 68