SYSTEM. Tillämpad Fysik Och Elektronik 1 SYSTEMEGENSKAPER. Minne Kausalitet Tidsinvarians. Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet. System.

Transkript

1 SYSTEM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET SYSTEMEGENSKAPER System y(t) y[n] Minne Kausalitet Tidsinvarians Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET Elektronik

2 Minne. Ex. System utan minne Ex. System med minne y[n] = k* y[n] = k + k x[n-] Kausalitet. y[n] bildas enbart av nuvarande och tidigare värden på x (Ex., x[n-], x[n-], osv). Tidsinvarians. Test: Om y(t) och x(t-t ) y(t-t ) så är systemet tidsinvariant TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 3 LINJÄRITET Linjäritet Test : Test : Antag följande: x (t) y (t) x (t) y (t) Om ax (t) + bx (t) ay (t) + by (t) är systemet linjärt Om är lika med y(t) blir skilt från så är systemet ej linjärt TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 4 Elektronik

3 EXEMPEL Är följande system systemet linjärt? Systemekvation: y[n] = x[n+] - x[n-] x [n] y [n] = x [n+] - x [n-] x [n] y [n] = x [n+] - x [n-] x 3 [n] y 3 [n] = x 3 [n+] - x 3 [n-] TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 5 Systemet är linjärt om: x 3 [n] = ax [n]+bx [n] y 3 [n] = ay [n]+by [n] x 3 [n] y 3 [n] = x 3 [n+]-x 3 [n-] = (ax [n+]+bx [n+])-(ax [n-]+bx [n-]) = a(x [n+]-x [n-])+b(x [n+]-x [n-]) = ay [n]+by [n]! Systemet är alltså linjärt! TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 6 Elektronik 3

4 INVERTERBARHET Ett system är inverterbart om man ur utsignalen kan återskapa dess insignal. System y(t) y[n] Inverterat system TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 7 STABILITET Ett system sägs vara BIBO*-stabilt om och endast om alla begränsade insignaler resulterar i en begränsad utsignal * BIBO, Bounded input - bounded output TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 8 Elektronik 4

5 EXEMPEL Ett system egenskaper beskrivs av differensekvationen : y[n] = + x[n-] +,5x[n-4] För stabilitet måste gälla att: M x < och y[n] M y < för alla n y[n] = + x[n-] +,5x[n-4] y[n] + x[n-] +,5x[n-4] y[n] M x + M x +,5M x = 3,5M x = M y < TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 9 IMPULSSVAR Ett LTI-systems impulssvar h är systemets utsignal för en impulsformad insignal δ vid t= eller n=. LTI-system Tidsdiskret: δ[n] h[n] Tidskontinuerligt: δ(t) n h(t) n t t TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET Elektronik 5

6 Ett LTI-systems egenskaper beskrivs fullständigt av impulssvaret! Det innebär att om impulssvaret är känt för ett LTI-system så kan utsignalerna beräknas för god-tyckliga insignaler! Detta utförs m.h.a. av faltning. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET FALTNING (TIDSDISKRET) LTI-system y[n] Tidsdiskret: är en godtycklig signal och δ [n] är en enhetspuls. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET Elektronik 6

7 = x[-4]δ[n+4] + x[-3]δ[n+3] + x[-]δ[n+] + x[-]δ[n+] + x[]δ[n] + x[]δ[n-] + TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 3 Vi inför H som systemets påverkan av insignalen TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 4 Elektronik 7

8 EXEMPEL. LTI-system y[n] x[]= x[]= x[]= = f.ö. h[]= h[]=.5 h[3]= h[n]= f.ö. Beräkna utsignalssekvensen y[n] för den givna insignalssekvensen då impulssvaret är h[n]. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 5 h[n] n n x[k] k h[-k] k h[n-k] n- n-3 n n- TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 6 Elektronik 8

9 x[k] k x[k] k h[-k] h[-k] - - k - - k TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 7 På samma sätt fås övriga y[n]. y[]= y[]=.5 y[3]=4.5 y[4]=3.5 y[5]= y[n]= om n< eller n>5 y[n] n TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 8 Elektronik 9

10 Kan naturligtvis även utföras med MATLAB: x=[ ]; h=[.5 ]; y=conv(x,h); stem(y); TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 9 FALTNING (TIDSKONTINUERLIG) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET Elektronik

11 Spegla impulssvaret i y-axeln: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET Shifta signalen tiden t. OBS positivt t åt höger! TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET Elektronik

12 Multiplicera med insignalen och integrera (i detta fall från a till t). TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 3 PARALLELKOPPLING AV SYSTEM h (t) h (t) Σ y(t) h (t)+h (t) y(t) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 4 Elektronik

13 EXEMPEL, PARALLELLKOPPLING AV TIDSDISKRETA SYSTEM x=[ ]; h=[.5 ]; h=h+h y=conv(x,h) alt. h= [.5 ] y=conv(x,h); y=conv(x,h); y=y+y stem(y) alt. Ger båda samma resultat: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET KASKADKOPPLING AV SYSTEM h (t) z(t) h (t) y(t) h (t)*h (t) y(t) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 6 Elektronik 3

14 EXEMPLEL KASKADKOPPLING AV TIDSDISKRETA SYSTEM x=[ ]; h=[.5 ]; h= [.5 ]; h=conv(h,h); y=conv(x,h); stem(y); alt. z=conv(x,h); y=conv(z,h); alt. Ger båda samma resultat: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 7 KAUSALA SYSTEM Ett system vars utsignal endast beror på nuvarande och tidigare insignaler (inga framtida) sägs vara kausalt. Men framtida insignaler kan associeras med k>n. Faltningen kan då skrivas som: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 8 Elektronik 4

15 STABILA SYSTEM Ett system är stabilt om en begränsad insignal alltid ger en begränsad utsignal (BIBO). Ett nödvändigt (och tillräckligt villkor ) är att: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 9 BLOCKDIAGRAM Sammankoppling av tre grundläggande operationer: Skalär multiplikation. y(t)=c; y[n]=c Addition. y(t)=+u(t); y[n]=+u[n] Integration eller tidsshift för tidskontinuerliga resp. tidsdiskreta system y(t)= x(τ)dτ eller y[n]=x[n-] TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 3 Elektronik 5

16 Multiplikation: c y(t)=c y[n]=c Addition: Σ y(t)=+u(t); y[n]=+u[n] u(t) u[n] Integration/fördröjning: y(t)= x(τ)dτ S y[n]=x[n-] TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 3 EXEMPEL BLOCKDIAGRAM y[n]+.5 y[n-]= x[n-]-.x[n-]=w[n] y[n]=-.5 y[n-]+ w[n] D w[n] Σ y[n] x[n-] D Σ D y[n-] x[n-] y[n-] D TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 3 Elektronik 6