Lösningar till Övningsuppgifter
|
|
- Anna Ek
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lösningar till Övningsuppgifter Digital Signal Processing Övningar med svar och lösningar Mikael Swartling Nedelko Grbic Bengt Mandersson rev. 07 Department of Electrical and Information Technology Lund University
2 Introduktion Lösning. Periodisk om det finns ett N så cosωn + N)) cosωn) för alla n. N är fundamental period om ω π N k där k och N är heltal och saknar gemensamma faktorer. a) cos0.0πn) cos0.0πn + 00)), periodisk. cos0.0πn) cos πn 00 ) så k N 00 ger N 00. b) Periodisk, N 7. c) Periodisk, N. d) sin3n) sin3n + N)) om 3N πp och p heltal. Då kan ej N vara heltal, ej periodisk. e) Periodisk, N 0. Lösning.5 a) Se c). b) xn) x a nt ) 3sinπnT 50) 3sinπn ) 3sinπn 6 ). Periodisk med perioden N 6 och frekvensen f /6. c) N 6 och T /300, så T p NT 0.0s d) x0) 0 och x) 3 3sin π ) 3sin π 50 Fs ), så 50 Fs och därmed F s 00Hz. Lösning.7 a) F s F max 0kHz 0kHz. b) xn) x a nt ) cos πn ) cos πn 5 8 ) men eftersom 5 8 > så är xn) cos πn 3 8 )) cos πn 3 8 ) cos πn 38 ) så xa t) cosπt 3000), det vill säga vikning till 3 khz. c) Vikning till khz. Lösning.8 a) Nyquist rate F N är den lägsta sampelfrekvensen så att vikning ej uppstår. F N F max 00 00Hz. b) F s 50Hz så F max 5Hz.
3 Lösning. Den analoga signalen är: x a t) 3cosπt 50) + sinπt 5) ) Sampla med F s 00Hz. ) xn) x a n cos πn 00 3cos πn 3cos πn ) + sin ) + sin ) + sin Rekonstruera med F rek 000Hz. y a t) 3cos πt 000 πn 5 ) 00 πn 5 ) 8 πn 3 ) 8 ) + sin πt ) 3cosπt 50) sinπt 375) 7) MATLAB-kod som illustrerar exemplet: >> t 0:0000 -)/000; >> x 3* sin 00* pi*t )+* sin 50* pi*t); >> y x :5: end ); >> subplot,,); plot t :00), x :00)); >> subplot,,); plot t :00), y :00)); ) 3) ) 5) 6) Lyssna sedan på signalerna: >> soundsc x, 000); >> soundsc y, 000); Lösning.3 Antalet nivåer är L x max x min a) b 7 b) b 0 + och antalet bitar är b log L. Lösning. Bithastigheten är 0Hz 8bitar 60bitar/s. F max 0Hz. /55V. Lösning E. Simulering i Matlab. Impulssvar och faltning, kapitel Lösning. a) 3
4 xn) b) För i: x n) x n + ) För ii: xn ) x n ) c) Alternativ ) i b). d) Spegla och fördröj k steg. e) xn) /3 δn + ) + /3 δn + ) + un) un ) Lösning.7 Systemen är: a) Statiskt ty utsignalen beror bara av insignalen vid samma tidpunkt. Icke-linjärt ty Eq...6) är ej uppfylld. Tidsinvariant eftersom en fördröjd insignal ger samma utsignal fast fördröjd. Kausalt eftersom utsignalen vid tidpunkten n ej beror av insignaler för tidpunkter > n. Stabilt ty begränsad insignal ger begränsad utsignal. b) Dynamiskt, linjärt, tidsinvariant, icke-kausalt, instabilt. c) Statiskt, linjärt, tidsvariant, kausalt, stabilt. e) Statiskt, icke-linjärt, tidsinvariant, kausalt, stabilt. h) Statiskt, linjärt, tidsvariant, kausalt, stabilt.
5 j) Dynamiskt, linjärt, tidsvariant, icke-kausalt, stabilt. n) Statiskt, linjärt, tidsinvariant, kausalt, stabilt. Lösning.3 ) Tillräckligt: Antag att n hn) M h <. Då gäller med begränsad insignal, alltså n xn) M x <, yk) hn)xk n) n hn) xk n) M h M x < 8) n det vill säga systemet är BIBO-stabilt. ) Nödvändigt: Antag att n hn). Bilda insignalen xn) { h n)/ h n) h n) 0, 0 h n) 0. 9) xn) är begränsad ty xn). Vi får y0) hn)x n) n n hn)h n) hn) n hn) hn) hn), 0) n det vill säga en begränsad insignal ger en obegränsad utsignal och systemet är inte BIBO-stabilt. Alltså måste n hn) < om systemet är BIBO-stabilt. Lösning.6 a) yn) hn k)xk) xk) hn k) xk) hl) ) n n k k n k l b) ) Grafisk lösning: h0 k) xk) hk) xk) yn) { ) yn) { ) yn) { 3 5 9) Grafisk lösning: Summera antidiagonalerna, yn) { 5 3 5, ) yn) 0 xk) hl) 0 3) n k l 5
6 ) Formel-lösning: yn) k ) k ) n k uk) un k) ) ) k ) n k un k) 5) k0 n ) k ) n k 6) k0 ) n n k k0 ) n n+ n 0 8) [ ) n ) n ] un) 9) 7) yn) 8 3 xk) hl) 3 n k l 0) Lösning.7 a) yn) { b) yn) { c) yn) { d) yn) { Lösning. a) Om a b: yn) Om a b: k a n n yn) a n k0 b k uk)a n k un k) ) ) k b a a n b a ) n+ b a an+ b n+ a b n 0 ) n k a n n + ) n 0 5) k0 b) yn) { ) 3) 6
7 Lösning.35 a) Parallell- och seriekoppling: hn) h n) [h n) h 3 n) h n)] 6) b) h 3 n) h n) n ) un ) 7) h n) h 3 n) h n) δn) + un ) 8) hn) δn) + 5 δn ) + δn ) + 5 un 3) 9) c) Falta med en komponent av xn) i taget. hn) δn + ) hn) 3δn ) hn) δn 3)) Utsignalen blir yn) { ) Lösning.6 För r xx l): n 0 +N r xx l) xn)xn l) N l + l 0 3) n nn 0 N+l r xx l) N l + 3) För r xy l): r xy l) xn)yn l) 33) n Lös grafiskt, dvs r xy l) r xx l n 0 ) 3) Lösning.6 a) r xx l) { b) r yy l) {
8 Lösning.6 xn) sn) + r sn k ) + r sn k ) 35) r xx l) xn)xn l) 36) n [sn) + r sn k ) + r sn k )] [sn l) + r sn k l) + r sn k l)] 37) n r ss l) + r r ss l + k ) + r r ss l + k ) 38) + r r ss l k ) + r r ssl) + r r r ss l + k k ) 39) + r r ss l k ) + r r r ss l + k k ) + r r ssl) 0) Låt r och r : r xx l) r ss l) + r r ss l + k ) + r r ss l + k ) + r r ss l k ) + r r ss l k ) ) z-transform, kapitel 3 Lösning 3. a) Xz) 3z z z b) Xz) ) 5 z 5 z Lösning 3. a) Xz) z ). Förläng med z. Nollställen: z 0 st). Poler: z st). c) xn) ) n un) så Xz) + z. Nollställe: z 0. Pol: z. f) xn) Ar n cosω 0 n + φ)un) Ar n cosω 0 n)cosφ sinω 0 n)sinφ)un) ) Xz) A Poler och nollställen ges av Xz) Az cosφ r cosω0 ) z ) cosφ r sinω 0 ) z sinφ r cosω 0 z + r z 3) z r cosω 0 φ) cosφ z re jω 0 ) z re jω 0 ) ) h) Nollställen: z 0 och z r cosω 0 φ) cosφ. Poler: z re ±jω 0. ) 0 Xz) z z 0 z ) 0 z 0 z 5) Poler och nollställen ges av Xz) z 0 z 0 /) 0 ) z z /) z 0 /) 0 z 9 z /) Nollställen: z ger z e jπk/0 för k...9. Poler: z 0 9st). OBS! Polen p och nollstället z släcker ut varandra. 6) 8
9 Lösning 3.8 a) b) yn) n k xk) k Y z) Xz) Uz) Xz) un) un) k xk)un k) xn) un) 7) uk)un k) z 8) n n + )un) 9) k0 Xz) Uz) Uz) z ) 50) Lösning 3.9 Skalning i z-planet: a n xn) Xa z) 5) Om vi har en pol eller nollställe i z re jω c erhålles efter multiplikation i tidsplanet att e jω 0z re jω c 5) ger ny pol eller nollställe i z e jω c+ω 0 ). Likaså e jω 0z re jω c z e jω c ω 0 ) 53) Polerna eller nollställena är inte längre komplexkonjugerade. Lösning 3. a) xn) ) n un) ) n un) ) n b) xn) cos π n ) ) un ) + δn) c) xn) un 6) + un 7) d) + z z Xz) + + z + z + z + jz ) jz ) ) + z A + jz + B jz där A och B 5) 55) Xz) z- xn) δn) + j)n un ) + j)n un ) 56) δn) e jπn/ + ejπn/) un ) 57) ) π δn) cos n un ) 58) 9
10 Alt. identifiering via FS α n sinβn)un) z där α och β π ger ) π sin n un) z z α sinβ z α cosβ + α z 59) z + z 60) ) π xn) δn) + sin n ) un ) 6) g) De båda svaren är samma signal, kolla gärna genom att sätta in n 0,,... Xz) + z + 3 z + z + + X z) 6) X z) z + z ) + 3/ + z ) 63) xn) δn) + n + ) )n un ) + 3 n + ) )n un) 6) δn) [ n ) )n + ) n ] un ) 65) Lösning 3.6 a) ) n x n) un ) ) n un ) x n) [ + ) n ] un) z z / z 66) z z + / z 67) x x z X X 68) X X z / z ) z ) + z ) z ) 69) z A z + B z + C z 70) Handpåläggning: A [ + ] 3 B [ ] / 3 C [ ] / 7) 7) 73) X X 3 z z 3 z z + z z 7) [ z X X - x x 3 ) n ] ) n 3 un ) + un ) 75) 0
11 c) ) n x n) un) x n) cosπn)un) z z 76) z + z + z + z + z 77) x x X X Handpåläggning: z X X 78) A + 3 B z ) + z ) A z + B + z 79) + / 3 3 x x z ) + z 8) [ ) n + ] [ ) n 3 3 )n un) + ] 3 3 cosπn un) 8) Lösning 3.35 a) y zs n) h xn) då systemet är i vila dvs y l) 0 l...n 83) Y zs z) Hz) Xz) 3 z z z + z 8) A 3 z + B + Cz z + z 85) A Az + Az + B + Cz 3 Bz 3 Cz 3 z ) z + 86) z ) Id.koeff. A + B A 7 A 3 B + C B 6 7 Y zs z) A 3 C 0 C 3 8 /7 /3 z + 6/7 + 3/8 z / z + / z ) 87) 88) /7 /3 z Y zs z) z- y zs n) /3 z /8 z / z + / z 89) / z / z + / z / z 7 / z + / z 90) [ ) n + 6 ) n cos n π ) ) 3 n sin n π ) ] un) 9) 7 3
12 d) yn) xn) xn ) ) ) π π ) y zs n) 5cos π xn) 0cos n n un) 5cos n ) un ) 9) un) Lösning 3.0 Kausalt LTI ) n xn) un) ) n un ) 93) ) n yn) un) 9) 3 a) Kausal in, kausal ut: begynnelsevillkor 0. Xz) z z z z z 95) Y z) 3 z 96) Hz) Y z) Xz) 3 z z 97) z z 7 z + z 3 z + 3 z 98) [ ) Hz) z- n ) n ] hn) + 3 un) 99) 3 b) yn) 7 yn ) + yn ) xn) xn ) c) Realisering: vn) xn) + + yn) z + 7 z d) poler < stabil 00) hn) kausal
13 Lösning 3.9 b) Y + z).5 [ z Y + z) + ] [ z Y + z) + z ] 0 0) Y + z).5z Y + z) + 0.5z Y + z).5 0.5z 0) Y + z).5 0.5z.5z + 0.5z z + / / z 03) Y + z) z- y zi n) ) n ) un) 0) c) Y + z) Y + z)z + y ) + 3 z 05) Y + z) z Y + z) z 06) Y + z) z ) + 3 z ) 07) z ) 3 z + z ) 3 z ) 7/ z + 3 z 08) Y + z) z- yn) 7 ) n ) n un) un) 09) 3 d) Y + z) Y + z)z + z y ) + y ) + z 0) Y + z) z Y + z) + + z ) Y + z) z ) + z ) ) z ) z + z ) 3) z ) 3/8 7/ /3 + z + + z z ) Y + z) z- yn) 3 ) n un) + 7 ) n un) + un) 5) 8 3 Lösning E3. A-III, B-I, C-II Ju längre avstånd från poler till enhetscirkeln, desto mer dämpat impuls-svar. Dubbelpol på enhetscirkeln beskriver ett instabilt system detta är anledningen att systemets poler aldrig bör ligga på enhetscirkeln, även om systemet inte är instabilt, jfr B-I. En insignalpol på samma ställe ger obegränsad utsignal, jfr A-III.) 3
14 Lösning E3. a) ) π xn) 3sin n un) z Xz) 3 z + z 6) yn) yn ) + 5 xn ) där y ) 3 7) Y + z) z [ Y + z) + y ) z ] + 5 z Xz) 8) Y + z) yn) z + 5 z + z ) + z ) 9) 6 + z z + z 5 + z 5 + z 0) ) n un) + 6 [ ) ) π π cos 5 n ) + sin n ) ) n ] un ) ) b) yn) 0 det vill säga nollställe vid ω 0 πf 0. T z) b 0 + b z + b z + z + z ) 0 ) z, ± j 3 e ±jπ /3 ger f 0 3 3) c) Pol på enhetscirkeln vid f. Nz) + a z + a z z + z 0 ) z, ± j 3 e ±jπ /6 ger f 6 5) Lösning E3.3 yn) yn ) + 3 yn ) xn) 6) 6 Y z) z z ) Xz) 7) Poler: Y z) z ) 3 Xz) 8) z ) p, { / 3/ 9) Y z) z ) 3 Xz) 30) z )
15 Låt xn) x n) + x n) där ) n x n) un) 3) x n) sin π ) n 3) X z) z Y z) z z z 33) H ω π ) e jπ e j π j 0.776e j ) yn) ) n + 9 ) 3 n ) n ) un) sin π ) n ) Lösning E3. Hz) Poler: p, e ±j π z + 0.5z 36) a) y zi n) ) n [ cos π n) + sin π n) ] un) 37) b) y zs n) z Hz) Xz) 38) [ z 0.5z 0.5z ] ) z + 0.5z + z 39) ) n sin π ) n un) + un) 0) c) ) n π y tr cos n + 3π ) ) n + sin π n cos π n ) ) n cos π n, n 0. ) d) y ss un) 3) 5
16 Lösning E3.5 yn) yn ) xn) ) Y z) z ) Xz) där p 5) Hz) z Hω) e jω 6) För n < 0: H π ) e jπ + j 7 e jarctan 0.97e j0. 7) För n 0: yn) 0.97sin π ) n 0. Y + n) y ) ) / z y ) / z yn) ) n un) 9) 7 Fouriertransform, signaler genom LTI-system och sampling, kapitel, 5 och 6 Lösning.8 a) e jπk/n N 0 för k 0,±N,±N,... N ejπk/n e jπkn/n n0 N e jπlnn/n N N för k 0,±N,±N, ln, l Z n0 n0 50) b) k k n n n, n 3 n 0 n 0, 3 n n 5 n, 5 k 3 k n, 5 n, 3, 5 n 0,, n 0, 3 n, 6
17 k 5 k 6 n n 5 n 3 n 0 n 0,,, 3,, 5 n n c) N +N N e jπ/n)kn +N { e jπ/n)ln e jπ/n)k l)n N k l 0,±N,±N 0 f.ö. nn nn N +N { e jπ/n)k l)n N k l ty sk n) s k+n n)) 0 f.ö. nn 5) 5) Lösning.9 a) Xω) un) un 6))e jωn 53) n b) 5 n0 Xω) ejω e jωn e jω6 sin3ω) e jω sin ) e j 5ω 5) ω 55) c) Xω) 56ejω e jω 56) d) Xω) α n sinω 0 n) un) e jωn 57) n α n e jω0n α n e jω 0n e jωn 58) j n0 j αe jω 0e jω ) j αe jω 0e jω ) 59) αe jω 0e jω + αe jω 0e jω j αe jω 0e jω αe jω 0e jω + α e jω ) 60) g) α sinω 0 e jω α cosω 0 e jω + α e jω 6) Xω) jsinω + sinω) 6) 7
18 Lösning.0 a) b) xn) π Xω)e jωn dω π Xω) cosωn) + jxω) sinωn)dω 63) π π π π [ π ] j Xω)sinωn)dω 0 ty Xω) jämn och sinωn) udda 6) π π cosωn)dω [ ] π sinωn) 65) π ω 0 π n ω 0 sinπn) πn sinω 0n) πn δn) sinω 0n) πn 66) Xω) cos ω + cosω 67) + ejω + e jω 68) xn)e jωn endast term med n 0,, finns 69) n xn) δn) + δn + ) + δn ) 70) Lösning. c) Multiplikation med e jω cn i tidsplanet ger skift ω c i frekvensplanet. Låt X L ω) vara ett idealt lågpassfilter med gränsfrekvens W / och höjden. x L n) W / e jωn dω sin W n) π W / πn F {x L n) cosω c n Xω) 7) cosω c n e jω cn + e jω c n Det vill säga xn) sin W n ) πn cosω c n 7) Lösning. a) X0) b) argxω) π [Xω) är reell och negativ för alla ω] π c) Xω)dω 6π π d) Xπ) 9 π e) Xω) dω 38π π [se Parsevals formel] 8
19 Lösning 5. a) W R ω) w R n)e jωn 73) n M n0 e jωn e jωm+) e jω 7) e jωm+)/ e jω/ e jωm/ e jωm+)/ e jωm+)/) sinω M+) sin ω e jω/ e jω/ 75) 76) M M M b) där w T n) w R n) w R n ) 77) { n 0... M w R n) 0 f.ö. 78) W T ω) W R ω) W R ω) e jω e jω M sin ω M sin ω 79) 9
20 Lösning 5.7 a) Ur FS: b) ger yn) xn) cosω 0 xn ) + xn ) 80) hn) δn) cosω 0 δn ) + δn ) 8) Hω) cosω 0 e jω + e jω e jω e jω cosω 0 e jω + ) 8) e jω e jω ) 0 e jω e jω 0) e jω 83) Hω) e jω e jω 0 e jω e jω 0 V ω)v ω) 8) φω) arg [ cosω 0 e jω + e jω] 85) arg [ e jω cosω cosω 0 ) ] { ω ω < ω0 ω π ω > ω 0 86) ω 0 π c) π xn) 3cos 3 n + π ) 6 < n < 87) ) yn) 3 π π H cos 3 3 n + π )) π 6 + φ 3 < n < 88) ω 0 π ) π H + e j π/3 3 ) + ) 3 89) ) π φ π 3 3 π yn) 3cos 3 n π ) 6 < n < 90) Lösning 5.5 Plotta Xf ) med hjälp av MATLAB. 0
21 Pol-nollställe Pol-nollställe Pol-nollställe Pol-nollställe Lösning 5.6 Välj ω 0 π hn) { 9) xn) { ) Exempelvis grafisk faltning: yn) { ) På grund av att insignalen startar vid n 0 syns en transient i utsignalen.
22 Lösning 5.35 H0) V V U U ) ) ) 9) G0) H0) 95) Lösning 5.39 H ω) a ae jω H 0) a a 96) H ω 3dB ) H0) 97) H ω 3dB ) a) acosω 3dB + ajsinω 3dB ω 3dB arccos a a a 98) H ω) a + e jω ae jω H 0) a a 99) ) H ω) a + cosω jsinω acosω + ajsinω ω arccos a + a 00) Pol-nollställe H är bäst ty nollställe i z. Lösning E. Välj nollställe z j, z j samt z. Detta ger Hz) b 0 +z + z + z 3 ). Om DC-nivån är erhålles b 0 / och b 0 b b b Hω) sinω) sinω/) ) ) 3 cos ω + cos ω 0) arghω) 3 ω + π om π/ < ω < π 0) Hω) periodisk.
23 Lösning E. Hz) + z D + z D z D + z D + z D 03) Hω) + e jωd + e jωd + cosωd 0) Poler: D 000 i origo. Nollställen: z D + z D + 0 ger z D 0.5 ± j 3 ) e j±π 3 e jπk för k 0,,...D, och slutligen z k e ±jπ 3D e jπk/d Lösning E.3 a) yn) xn) + 0.9xn D) ger hn) δn) + 0.9δn D) b) Hz) + 0.9z D zd +0.9 Z D med D 500 ger 500 poler i origo. Nollställen: z e jπk+jπ 05) z k 0.9 /500 e jπk/500+jπ/500 för k 0,,,...,99 ligger på en cirkel). 06) Lösning E. Hf ) sinω sinω/ Multiplikation med cosπn/8) flyttar spektrum ±/8. Hf ) spärrar alla frekvenser utom f 0 rita spektra). Ger yt) cosπ000t) 07) Sampling Lösning E.5 a) x a t) e 0t ut) 08) X a F) e 0+jπF)t dt e 0+jπF)t jπf) jπf 09) 0) X a F) b) Spärrad energi: 50 E s πf) ) X a F) df + X a F) df ) 50 0 df 3) + πf) [ arctanπ F ] 0 π 0 50 [ ] π 0π ) 5)
24 Hela energin: E tot 0π π spärrad andel är π.539 π % 6) c) Utan filter: Y f ) e 0n/00 e jπf n n0 e 0. e jπf 7) cosπf Med filter: Ỹ f ) Fs X a F) F s 00 + πf Fs ) πf ). 8) Ỹ f ) Y f ) f f f Lösning E.6 Spektrum för signal xat) ,500, ,000,500 Spektrum för signal xn) Spektrum för signal zn)
25 Spektrum för signal yn) Spektrum för signal yat) ,000,000,000 0,000,000 3,000 Således blir y a t) cosπ00t) + cosπ900t). Diskreta fouriertransformen DFT, kapitel 7 Lösning 7. Om xn) reell så är Xω) en jämn funktion, och argxω)) en udda funktion. Xω) är alltid en periodisk funktion med perioden π. Dessa samband gäller även då Xω) samplats till Xk). Det betyder att då så är X0) 0.5 9) X) 0.5 j ) X) 0 ) X3) 0.5 j0.058 ) X) 0 3) X5) X 3) j0.058 ) X6) X ) 0 5) X7) X ) j ) Lösning 7. a) yn) { Lösning 7.3 xn) blir lågpassfiltrerad då vissa värden i Xk) nollställs, ty k-värdena mellan k c och N k c representerar höga frekvenser från ω π högsta frekvensen) och neråt till πk c /N. Frekvenserna ω π och upp till πn k c )/N representerar periodiceringen. 5
26 Lösning 7. a) N sin π N n ) b) N sin π N l ) c) N cos π N l ) d) N cos π N l ) Lösning 7.7 ) X c k) [Xk k 0)) N + Xk + k 0 )) N ] ) X s k) j [Xk k 0)) N Xk + k 0 )) N ] Lösning 7.8 Cirkulär faltning: periodisera den ena signalen och falta som vanligt. x { ) x { 3 8) Då är y x x : y0) ) y) ) y) ) y3) ) Lösning 7.9 x n) { 3 x n) { 3 33) 3) x 3 n) x n) x n) 35) 3 Xk) DFT{x n x n e jπnk/ k ) n0 X 0) 7 X 0) 37) X ) j X ) j 38) X ) X ) 39) X 3) X ) + j X 3) X ) + j 0) X 3 k) X k)x k) ) 6
27 X 3 0) 77 ) X 3 ) 5 3) X 3 ) ) X 3 3) 5 5) xn) IDFT{Xk) 3 Xk)e jπnk/ n ) k0 x 3 0) 7 7) x 3 ) 9 8) x 3 ) 9) x 3 3) 9 50) Lösning 7.0 ) πkn xn) cos N 0 n N 5) N E x n0 xn) N n0 cos πk N n ) N n0 + cos πk N n) 5) 53) För k 0 och k N : E x N 5) 55) För k 0 och k N : E x N + e jπkn/n e jπk/n + e jπkn/n e {{ jπk/n N {{ ) Lösning 7. X k) för k är given. x n) xn 5 mod 8) x n) xn mod 8) X k) Xk)e jπ k8 5 57) X k) Xk)e jπ k8 Lösning 7.8 Y k) Hf ) där f k N. 7
28 Lösning 7.3 a) Xk) N b) Xk) δn n 0 )e jπkn/n e jπkn 0/N k 0,...,N n0 a N c) Xk) ae jπk/n d) xn) { 0 n N 0 N n N N jämnt 58) N/ Xk) e jπkn/n {k 0 59) n0 e jπk N/ N e jπk/n e jπk/ 60) e jπk/n )k k,...,n 6) e jπk/n X0) N 6) e) xn) e j π N k 0n obs fel i boken) Xk) N δk k 0 ) f) Xk) N δk k 0) + δk N k 0 ))) g) Xk) N j δk k 0) δk N k 0 ))) h) Förutsätt att N är jämnt xn) { n jämnt 0 n udda 63) Xk) N + ) n )e jπkn/n N n0 δk) + δ k N )) 6) Lösning 7. Xk) + e j πk/ + 3e jπk + e j 3πk/ { 7 j + j 65) Lösning 7.5 a) xn) { ) Xω) xn)e jωn e jω + e jω e jω + e jω 67) n 3 + cosω + cosω 68) 8
29 b) vn) { ) 5 V DFT k) vn)e jπ 6 k n 70) n0 3 + e j π 3 k + e j π 3 k + e j π 3 k + e j 5π 3 k 7) c) V DFT k) 3 + cos π 3 k + cos π 3 k för k Det vill säga V DFT k) Xω k ) där ω k π 6 k för k Lösning E5. Låt x n) { Xk) X k) sinπ k sinπ k. 6 och xn) är cirkulärt skift av x n). Skift påverkar endast fasen, således Lösning E5. a) yn) x n) { b) yn) xn mod 8) { Lösning E5.3 H FIR f ) H IIR f ) för f k N ty insignalen periodisk 7) { ) k h FIR n) IDFT H FIR N ) k H N N FIR e jπ kn/n 7) N k0 73) där ) ) k k H FIR H N IIR N h IIR m)e jπ km/n 75) m0 76) h FIR n) N h N IIR m) e jπ k/n n m) h IIR n ln) 77) m0 k0 l Jämför vikning h FIR n) 0 l a n ln a n [un) un N)] 78) an 9
30 Lösning E5. f 0 ±38 + n 00 { Lösning E5.5 -C, -F, 3-G, -H. Lösning E5.6 a) Hf ) + e jπf + e jπf + e jπ3f 79) 80) Hk) + e jπk/n + e jπk/n + e jπ3k/n ) för k 0...N. Hk) är sampel av Hf ) i punkterna f N k, k 0...N. b) H0), H) 0, H) 0 samt H3) 0. h p n) för alla värden på n Lösning E5.7 Y k/n) Xk/N) Lösning E5.8 a) yn) δn) + δn ) +.5 δn ) δn 3) b) Se ovan. c) M ; allmänt är M P + Q där P är impulssvarslängden och Q är insignallängden. Lösning E5.9 L y p n) b l för n 0...N 8) l0 30
31 Lösning E5.0 Metoden kallas overlap-add om beräkningen av utsignalen görs med DFT. Signal hn) Lösning E5. yn) )0 )n 0 n 9 0 f.ö. 83) Lösning E5. Figuren illustrerar hur uppdelningen görs. Exempel med M och N. y 0 n) y n) y n) Realiseringar, kapitel 9 Lösning 9.3 Välj tillståndsvariabeln vn) efter fördröjningselementet, vilket ger vn + ) vn) + xn) 8) yn) [vn + ) + 3xn)] + vn) 85) vn) + xn) + 6xn) + vn) 86) 3vn) + 8xn) 87) och tillståndsmatriserna F, q, gt 3 samt d 8. Impulssvaret blir ) n hn) 3 un ) + 8δn) 88) 3
32 3z 8 z Hz) + 8 z z 89) Lösning 9.9 a) f) yn) 3 yn ) 8 yn ) + xn) + xn ) 90) 3 Direkt I: ur differensekvationen Direkt II: ur F.S. + diff.ekv. Kaskad: z-trans av diff.ekv. Parallell: Hz) Hz) + 3 z z ) 9) z ) z 3 z 9) yn) yn ) yn ) + xn) xn ) + xn ) 93) Systemet innehåller komplexa poler, det vill säga D.F.II, kaskad och parallell är ekvivalenta. Lösning 9.5 OBS! Fel i Proakis upplaga 3: a ) 3. Hz) A z) + z + 3 z 9) B z) 3 + z + z ger K α ) 3 95) A z) A z) K B z) K + z + 3 z z + z ) 3 ) 96) + /3 8/9 z + 3 z 97) B z) 3 + z ger K α ) 3 98) A 0 z) + 3 z z ) ) 3 5/ 5/ 99) K 3 K 3 K 0 ) 300) 3
33 Lösning 9.9 a) K K 3 K 3 30) A 0 z) B 0 z) 30) A z) A 0 z) + K z) z B 0 z) + z + z 303) B z) + z 30) A z) A z) + K z) z B z) + z 3 z + z ) + 3 z 3 z B z) z + z 305) A 3 z) z + z z + z ) + z 3 B 3 z) + z 3 306) Nollställen: + z ) z 3 e jπk+) 308) z e jπk+)/3 för k 0,, z e ±j π/3 z ) 309) b) A 3 z) + 3 z 3 z + ) z z + z ) 30) + 3 z 3 z z 3 3) B 3 z) 3 z + 3 z + 3) A 3 z) z ) z + z ) ± 36 5 ± j 6 33) c) Om sista reflektionskoefficientens belopp är lika med ett ligger alla nollställen på enhetscirkeln. d) För a): Hz) + z 3 3) Hω) + e j 3ω e j 3ω/ e j 3ω/ + e j 3ω/) 3ω cos ) e j 3ω/ 35) 0 ω < π 3 θω) 3ω 36) π 3 < ω π θω) π 3ω Linjär fas symmetriskt FIR) För b): 37) Hz) + 3 z 3 z z 3 38) Hω) + 3 e jω 3 e jω e j3ω e j 3ω + π ) ) 3 sin ω + )) ω 3 sin 39) Alla nollställen på enhetscirkeln ger linjär fas. 33
34 Exempel på design av filter Lösning E8. a) p,,3 0, n, ±j, n 3 b) Hω) cos3ω/) + cosω/) c) arghω)) 3ω/ + fashopp med π d) ω ±π/, ω π e) Lågpassfilter. Lösning E8. a) p,,3 0, n, ±j, n 3 b) Hω) sin3ω/) sinω/) c) arghω)) π/ 3ω/ + fashopp med π d) ω ±π/, ω 0 e) Högpassfilter. Lösning E8.3 a) hn) 5 { 5 [δn) + δn ) + δn ) + δn 3) + δn )] b) Hz) /5 n0 z n 0. z 5 z c) Hf ) periodisk sinc, Hf ) 0 för f 0., 0., 0.6, 0.8 Lösning E8. Prova med :a ordningen: Hz) b 0 + b z. Hω) ωπ/ e jπ/3 ger b 0 / och b 3/. Lösning E8.5 H/5) H /5) 0 ger nollställen i z, e ±jπ/5. H/5) H /5) ger troligen två nollställen till. Linjär fas ger symmetriskt eller antisymmetriskt impulssvar. En test ger att eller 3 nollställen inte räcker. hn) 0.3δn) δn ) + 0.6δn ) δn 3) δn ) 30) hn) 0.536δn) δn ) 0.δn ) δn 3) δn ) 3) 3
35 Lösning E8.6 Hz) k z + )N z N Hω) k ejω + ) N e jωn 3) k e jω N/ e jω/ + e jω/) N k e jω N/ N cos ω ) N 33) H0) k N Hω) cos ω ) N 3) 35) Vid ω π 0.: Hω) ωπ 0. cos ) π 0. N > N < ) Vid ω π 0.: ) π 0. N cos < 0. N >.96 37) Det vill säga N < 6. Minimalt: N ) Hz) z + z + z + z ) 38) hn) { 39) Lösning E8.7 FIR-filter för linjär fas och 50 db dämpning innebär Hammingfönster. 6 db vid f f 0. vilket ger att vid 50 db och f 0.5 erhålles ) M.6 M.6 3. M ) 0.05 [ f hn) sincf n 6)) cos πn 6) ] 3 0 n 3 0 f.ö. 33) Lösning E8.8 { HdB 0.) 3dB ger 0. f c ) M 0.0 H db 0.5) 0dB ger 0.5 f c ) M.9 33) M M 39 udda) 333) { fc f c ) Välj f c 0.03, men något f c i intervallet 0.03 f c 0.8 duger. b n [ hn) ĥn 9) h dn 9)w H n 9) ] 335) för n 0,...,38. sinπ 0.03n 9)) πn 9) cos ) πn 9) )
36 yn) b 0 b b b 38 xn) z z... z Lösning E8.9 Ur diagram för Hammingfönster: { fc )M f c )M { M 33 f c ) w H n) cos πn 3 338) h d n) δn) f c sincf c n) 339) ĥn) h d n 6) w H n 6) 0 n 3 30) Lösning E8.0 Utgå från ett idealt BP-filter: h d n) f c sincf c n) cosπf 0 n) 3) Trunkera h d n) med hjäp av w H n). Hammingfönster tillräckligt ty max 0 db dämpning. { cos πn w H n) M M n M 0 f.ö. 3) Bilda ĥn) h d n) w H n) 33) Förskjut sedan ĥn) tills det blir kausalt: hn) ĥ n M ) Det som behövs bestämmas är alltså M, f 0 och f. Vi tittar först på den vänstra övergångszonen. Formelsamlingen ger { 0.05 f0 f ))M.9 0dB) ) 0.05 M.89 M ) 0.0 f 0 f ))M 0. 3dB) ) 3) Sedan tittar vi på den högra övergångszonen: { 0.5 f0 + f ))M 0. 3dB) 3) 0.75 f 0 + f ))M 0.9 0dB) ) 0.05 M.3 M 5. 36) För att uppfylla kraven vid båda övergångszonerna krävs M > max37.8, 5.): välj M 53. Vi hade dessutom kravet att vid frekvenserna 0.0 och 0.5 skall dämpningen vara 3 db, vilket innebär att när vi löser ut f 0 och f så måste vi använda ekv. ) och 3). Det M-värde som sättes in är nu M 53, i både ekv. ) och 3). { ekv ) 0.0 f0 f )) ekv 3) 0.5 f 0 + f )) { f f ) Alltså: h d n) sinc0.65n) cosπ 0.75n) 38) 36
37 { cos πn w H n) 5 6 n 6 0 f.ö. 39) och hn) h d n 6) w H n 6) 350) [ [0.330 sinc0.65n 6)) cosπ 0.75n 6))] cos πn 6) ] 5 0 n 5 0 f.ö. 35) Lösning E8. Centerfrekvensen är f , f c 0.33 och M ges ur uttrycket). Detta insättes i f f 0 + f c ))M 0. f ) för högra sidan lågpass) och i f f 0 f c ))M 0. f ) för vänstra sidan högpass). Bandbredden, f f f Lösning E8. Hz) skall ha linjär fas. Sätt H z) a+bz +cz ty första ordningen räcker ej. Genom att beräkna Hf ) ser vi att linjär fas fås om a cr 35) b ar cosθ) br cr cosθ) 355) Tillsammans med kravet på likspänningsförstärkningen ger detta H z) r r cosθ)z + z 356) Hz) är av ordning och har symmetriskt impulssvar. Detta ger arghf )) πf. Lösning E8.3 Sampling med 0 MHz ger vikning. Övertonerna viks till frekvensområdet MHz to 5 MHz och störningarna viks till 0 MHz to MHz. Detta ger ett bandpassfilter med följande krav Ett Hammingfönster ger L 9, f och f Impulssvaret blir )) πn 9) hn) cos f 8 sincf n 9))cosπf 0 n 9)) 0 n 8 357) 37
62n 105n) c) cos(3πn) d) sin(3n) e) sin(π. 1.8 Ett analogt elektrokardiogram (EKG) innehåller frekvenser upp till 100 Hz.
Kapitel Övningsuppgifter. Bestäm vilka av följande signaler som är periodiska och bestäm periodtiden. a) cos(.πn) b) cos(π 3 6n 5n) c) cos(3πn) d) sin(3n) e) sin(π )..5 Den analoga signalen x a (t) är
Läs merDigital Signalbehandling
Digital Signalbehandling Institutionen för Elektro- och informationsteknik Övningar och lösningar Proakis bok (upplaga 4) Nedelko Grbić Lund 4 Innehåll Övningsuppgifter 5 Lösningar till övningsuppgifter
Läs merÖvningsuppgifter. Digital Signal Processing. Övningar med svar och lösningar. Mikael Swartling Nedelko Grbic Bengt Mandersson. rev.
Övningsuppgifter Digital Signal Processing Övningar med svar och lösningar Mikael Swartling Nedelko Grbic Bengt Mandersson rev. 17 Department of Electrical and Information Technology Lund University Introduktion
Läs mer1. Vi har givet två impulssvar enligt nedan (pilen under sekvenserna indikerar den position där n=0) h 1 (n) = [ ]
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektro- och informationsteknik Kurskod: ESS00 Tentamen i Digital Signalbehanding Datum: 0 5 Time period: 08.00 3.00 Bedömning: Sex uppgifter. Varje uppgift
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Kurssammanfattning Fyra kärnkoncept Sampling Faltning Poler och nollställen Fouriertransform Koncept #1: Sampling En korrekt samplad signal kan rekonstrueras exakt, dvs ingen information
Läs merTentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3
Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg oktober 009 kl. 4.00-8.00 lokal: Johanneberg Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 808 Lösningar: Anslås torsdag okt.
Läs merTentamen i TMA 982 Linjära System och Transformer VV-salar, 27 aug 2013, kl
Tentamen i TMA 982 Linjära System och Transformer VV-salar, 27 aug 2013, kl 8.30-12.30 Examinatorer: Lars Hammarstrand och Thomas Wernstål Tentamen består av två delar (Del I och Del II) på sammanlagt
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT Spektrala transformer Tentamen 72 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merDIGITALA FILTER. Tillämpad Fysik Och Elektronik 1. Frekvensfunktioner FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM. x(n)= Asin(Ωn)
DIGITALA FILTER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 Frekvensfunktioner x(n)= Asin(Ωn) y(n) H(z) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 2 FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM
Läs merTIDSDISKRETA SYSTEM SYSTEMEGENSKAPER. Minne Kausalitet Tidsinvarians. Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet. System. Tillämpad Fysik och Elektronik 1
TIDSDISKRETA SYSTEM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 SYSTEMEGENSKAPER x[n] System y[n] Minne Kausalitet Tidsinvarians Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK,
Läs merRÄKNEEXEMPEL FÖRELÄSNINGAR Signaler&System del 2
t 1) En tidskontinuerlig signal x( t) = e 106 u( t) samplas med sampelperioden 1 µs, varefter signalen trunkeras till 5 sampel. Den så erhållna signalen får utgöra insignal till ett tidsdiskret LTI-system
Läs merFacit till Signal- och bildbehandling TSBB
Facit till Signal- och bildbehandling TSBB3 6-5-3 Maria Magnusson Seger, maria@isy.liu.se Kontinuerlig faltning (9p) a) Faltningsoperationen illustreras i figuren nedan. et gäller att x(t λ) e 4(t λ) u(t
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 3 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSignal- och bildbehandling TSEA70
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 2003-08-22 kl. 4-8 Lokaler: G36 Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl. 6.00. tel 0702/33 79 48 Hjälpmedel: Räknedosa, OH-film, medskickad
Läs merTentamen i ESS 010 Signaler och System E3 V-sektionen, 16 augusti 2005, kl 8.30 12.30
Tentamen i ESS 00 Signaler och System E3 V-sektionen, 6 augusti 2005, kl 8.30 2.30 Examinator: Mats Viberg Tentamen består av 5 uppgifter som vardera ger maximalt 0 p. För godkänd tentamen fordras ca 20
Läs merDT1120/DT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT/DT3 Spektrala transformer Tentamen 86 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs mer( ), så kan du lika gärna skriva H ( ω )! ( ) eftersom boken går igenom laplacetransformen före
Några allmänna kommentarer gällande flera av lösningarna: Genomgående används kausala signaler och kausala system, vilket innebär att det är den enkelsidiga laplacetransformen som används. Bokens författare
Läs merSystem. Z-transformen. Staffan Grundberg. 8 februari 2016
Z-transformen 8 februari 2016 Innehåll Z-transformen Tidsdiskreta LTI-system Överföringsfunktioner Frekvensegenskaper Z-transformen Z-transformen av en tidsdiskret signal y[n] ges av Y (z) = Z[y] = y[n]z
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 015-06-05 SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI65 Tid: 14.00 19.00 Sal: MA:10, C-J Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling
Läs merGRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen
GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen 26.02013 kursens övningsuppgifter eller gamla tentamensuppgifter, eller Matlab-, Scilab- eller Octave- programmerbara kalkylatorer eller datorer. 1.
Läs merMiniräknare, formelsamling i signalbehandling.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 05-0-4 DIGITAL SIGNALBEHANDLING, ESS040 Tid: 4.00 9.00 Sal: Sparta B, D Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling.
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 5 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB3 Tid: 28-5-29 kl. 8-2 Lokal: TER2 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 9. och.4 tel 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merDiskreta signaler och system
Kapitel 7 Diskreta signaler och system I detta kapitel diskuteras grundläggande teori för diskreta signaler och system. För diskreta signaler introduceras z-transformen, som ligger som grund för representationen
Läs merResttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19
Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19 Tillåtna hjälpmedel: Valfri miniräknare (utan möjlighet till trådlös kommunkation). Valfri litteratur, inkl. kursböcker, formelsamlingar.
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet G33(1) TER4(63)
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2017-01-07 Sal (2) G33(1) TER4(63) Tid 8-12 Kurskod TSBB16 Provkod TEN2 Kursnamn/benämning Provnamn/benämning Institution
Läs merFÖRELÄSNING 13: Analoga o p. 1 Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Ex) på användning av analoga p. 2 filter = tidskontinuerliga filter
FÖRELÄSNING 3: Analoga o p. Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Analoga filter Ideala filter Butterworthfilter (kursivt här, kommer inte på tentan, men ganska bra för förståelsen) Kausalitet t oh
Läs merImpulssvaret Betecknas h(t) respektive h(n). Impulssvaret beskriver hur ett system reagerar
6 Sjätte lektionen 6.1 Transformvärlden 6.1.1 Repetera Rita upp en tankekarta över följande begrepp där du anger hur de hänger ihop och hur de betecknas. Vad beskriver de? Impulssvaret Amplitudsvaret (frekvensgången)
Läs merExempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.11 September 14, 2015 Uppgifter markerade med (A)
Läs merExempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.1 August 25, 2015 Uppgifter markerade med (A) är
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03 Tid: 2004-06-0 kl. 8-2 Lokaler: Garnisonen Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl. 9.00 och 0.45. tel 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa,
Läs mer2 Ortogonala signaler. Fourierserier. Enkla filter.
Ortogonala signaler. Fourierserier. Enkla filter. ktuella ekvationer: Se formelsamlingen och förberedelsehäftet. För effektivvärdet av en summa av N ortogonala signaler gäller: ν rms = ν rms1 + ν rms +...
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 6 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSF1635, Signaler och system I
SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB Tid: 3-5-3 Lokaler: TER Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 8.5 och.3 tel 73-8 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film,
Läs meri(t) C i(t) = dq(t) dt = C dy(t) dt y(t) + (4)
2 Andra lektionen 2. Impulssvar 2.. En liten krets Beräkna impulssvaret för kretsen i figur genom att beräkna hur y(t) beror av x(t). R x(t) i(t) C y(t) Figur : Första ordningens lågpassfilter. Utsignalen
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 0-0-9 Sammanfattning av föreläsningarna 5-8, 30/ - / 0. Z-transformen ska avslutas och sedan blir det tentaförberedelser.
Läs merTeori... SME118 - Mätteknik & Signalbehandling SME118. Johan Carlson 2. Teori... Dagens meny
Tidigare har vi gått igenom Fourierserierepresentation av periodiska signaler och Fouriertransform av icke-periodiska signaler. Fourierserierepresentationen av x(t) ges av: där a k = 1 T + T a k e jkω
Läs merSyntes av digitala filter
Kapitel 8 Syntes av digitala filter 8. Digitala filter I kapitel 7 hade vi sambandet (7.8) för ett linjärt system, enligt vilket utsignalens z-transform är insignalens transform multiplicerad med systemets
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03, TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03, TSBB4 Tid: 00-0- Lokaler: G33 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 4.50 och 6.50 tel 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs mer7. Sampling och rekonstruktion av signaler
Arbetsmaterial 5, Signaler&System I, VT04/E.P. 7. Sampling och rekonstruktion av signaler (Se också Hj 8.1 3, OW 7.1 2) 7.1 Sampling och fouriertransformering Man säger att man samplar en signal x(t) vid
Läs merTentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3
Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg 19 oktober 2011 kl. 08.30-12.30 sal: Hörsalsvägen Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 1808 Lösningar: Anslås torsdag
Läs merKompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem
ompletterande material till föreläsning 5 TSDT8 Signaler och System I Erik G. Larsson LiU/ISY/ommunikationssystem erik.larsson@isy.liu.se November 8 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet KÅRA T1 T2 U2 U4
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2016-10-28 Sal (5) KÅRA T1 T2 U2 U4 Tid 8-12 Kurskod TSBB16 Provkod TEN2 Kursnamn/benämning Provnamn/benämning Grundläggande
Läs merLaplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer?
Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? 1 Bakgrund till transformer i kontinuerlig tid Idé 1: Representera in- och utsignaler till LTI-system i samma basfunktion Förenklad analys! Idé
Läs merTSDT08 Signaler och System I Extra uppgifter
TSDT08 Signaler och System I Extra uppgifter Erik G. Larsson ISY/Kommunikationssystem december, 2008 P. Ett LTI system har impulssvaret och matas med insignalen ht) = e 2t ut) xt) = e 3t ut) + cosπt +
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik. SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI265 Inlämningsuppgift 1 (av 2), Task 1 (out of 2)
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI65 Inlämningsuppgift (av ), Task (out of ) Inlämningstid: Inlämnas senast kl 7. fredagen den 5:e maj
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 04-05-7 SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI65 Tid: 4.00 9.00 Sal: MA:0 Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling
Läs merKryssproblem (redovisningsuppgifter).
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 212-1-29 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de tio lektionerna hör två problem som du ska
Läs merSYSTEM. Tillämpad Fysik Och Elektronik 1 SYSTEMEGENSKAPER. Minne Kausalitet Tidsinvarians. Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet. System.
SYSTEM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET SYSTEMEGENSKAPER System y(t) y[n] Minne Kausalitet Tidsinvarians Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET
Läs merTillämpad Fysik Och Elektronik 1
FREKVENSSPEKTRUM (FORTS) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 ICKE-PERIODISKA FUNKTIONER Icke- periodiska funktioner kan betraktas som periodiska, med oändlig periodtid P. TILLÄMPAD FYSIK
Läs merSF1635, Signaler och system I
SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)
Läs merMiniräknare och en valfri formelsamling i signalbehandling eller matematik. Allowed items: calculator, DSP and mathematical tables of formulas
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 209-06-07 SIGNALBEHANDLING i MULTIMEDIA, EITA50 Tid: 08.00-3.00 Sal: Victoriahallen, Victoriahallen 2A Hjälpmedel: Viktigt:
Läs merTSDT18/84 SigSys Kap 4 Laplacetransformanalys av tidskontinuerliga system. De flesta begränsade insignaler ger upphov till begränsade utsignaler
9 Stabilitet för energifria LTI-system Marginellt stabilt system: De flesta begränsade insignaler ger upphov till begränsade utsignaler Kap 2, bild 4 h t h( t) dt /< < t gäller för marginellt stabila LTI-system
Läs merSignaler några grundbegrepp
Kapitel 2 Signaler några grundbegrepp I detta avsnitt skall vi behandla några grundbegrepp vid analysen av signaler. För att illustrera de problemställningar som kan uppstå skall vi först betrakta ett
Läs merUlrik Söderström 19 Jan Signalanalys
Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se 9 Jan 200 Signaler & Signalanalys l Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt
Läs merTSDT15 Signaler och System
TSDT5 Signaler och System DATORUPPGIFTER VÅREN 03 OMGÅNG Mikael Olofsson, mikael@isy.liu.se Efter en förlaga av Lasse Alfredsson February, 03 Denna uppgiftsomgång behandlar faltning samt system- & signalanalys
Läs merMiniräknare och en valfri formelsamling i signalbehandling eller matematik. Allowed items: calculator, DSP and mathematical tables of formulas
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 08-05-3 SIGNALBEHANDLING i MULTIMEDIA, EITA50 Tid: 08.00-3.00 Sal: Vic A Hjälpmedel: Viktigt: Miniräknare och en valfri
Läs merUlrik Söderström 20 Jan Signaler & Signalanalys
Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se 20 Jan 2009 Signaler & Signalanalys Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt
Läs merMiniräknare och formelsamling i signalbehandling. [Allowed items on exam: calculator and DSP table of formulas ]
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 05-0-8 DIGITAL SIGNALBEHANDLING, ESS040 Tid: 4.00 9.00 Sal: MA:9 A-D Hjälpmedel: Miniräknare och formelsamling i signalbehandling.
Läs merSammanfattning TSBB16
Sammanfattning TSBB16 Frekvensfunktion =H(omega) Kombinationen av amplitud och faskarakteristik är unik. H(ω) = D(ω) e^jψ(ω)=y(t)/x(t). Detta är frekvensfunktionen. H(ω)=utsignal/insignal D(ω) = H(ω).
Läs merSignal- och bildbehandling TSEA70
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 000-03-8 kl. 4-8 Lokaler: Garnisonen Ansvariga lärare: Olle Seger, Maria M Seger besöker lokalerna kl 500 och 700 tel 070/33 79 48 Hjälpmedel: Räknedosa,
Läs merFouriertransformen av diskreta signaler
Kapitel 4 Fouriertransformen av diskreta signaler I detta kapitel beskrivs Fouriertransformer av diskreta signaler. I analogi med det kontinuerliga fallet har periodiska diskreta signaler ett diskret spektrum,
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB4 Tid: 2-8-7 Lokaler: TER Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalerna kl. 5.5 och 6.45 tel 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs mer2F1120 Spektrala transformer för Media Tentamen
F Spektrala transformer för Media Tentamen 68 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger p. Normalt gäller följande betygsgränser: :9 p, : p, 5: 7 p Tillåtna hjälpmedel: räknare, formelblad
Läs merDigitala filter. FIR Finit Impulse Response. Digitala filter. Digitala filter. Digitala filter
Digitala filter Digitala filter FIR Finit Impulse Response Digitala filter förekommer t.ex.: I Matlab, Photoshop oh andra PCprogramvaror som filtrerar. I apparater med signalproessorer, t.ex. mobiltelefoner,
Läs merKompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter Laura Enflo & Giampiero Salvi
Kompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter & Giampiero Salvi Komplex analys Om man endast använder den reella tallinjen är det inte
Läs merIntroduktion Digitala filter. Filter. Staffan Grundberg. 12 maj 2016
12 maj 216 Innehåll Introduktion Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om
Läs merTentamen i Signaler och kommunikation, ETT080
Inst. för informationsteknologi Tentamen i Signaler och kommunikation, ETT080 2 juni 2006, kl 14 19 Skriv namn och årskurs på alla papper. Börja en ny lösning på ett nytt papper. Använd bara en sida av
Läs merInnehåll. Innehåll. sida i
1 Introduktion... 1.1 1.1 Kompendiestruktur... 1.1 1.2 Inledning... 1.1 1.3 Analogt/digitalt eller tidskontinuerligt/tidsdiskret... 1.2 1.4 Konventioner... 1.3 1.5 Varför digital signalbehandling?... 1.4
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik Tentamen 6-6- SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI65 Tid: 8.-3. Sal: Vic, - Hela Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB4 Tid: -5-8 Lokaler: TER3 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 8.45 och.45 tel 8336, 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merLaboration i tidsdiskreta system
Laboration i tidsdiskreta system A. Tips Användbara MATLAB-funktioner: conv Faltning square Skapa en fyrkantvåg wavread Läs in en ljudfil soundsc Spela upp ett ljud ones Skapa en vektor med godtyckligt
Läs merImplementering av digitala filter
Kapitel 9 Implementering av digitala filter Som vi sett i kapitel 8 kan det behövas ett mycket stort antal koefficienter för att representera ett digitalt filter. Detta gäller i synnerhet FIR filter. Det
Läs merKan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet?
Kan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet? 1 Om svaret på frågan är ja så öppnar sig möjligheten att skapa en generell verktygslåda som fungerar för analys och manipulering
Läs merSignal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4. Multiplikationsteoremet. Derivatateoremet
Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4 Fouriertransformen, forts Mer egenskaper av fouriertransformen Enkel tillämpning: Filtrera bort oönskat buller från vacker visselton Fouriertransformen, slutsats
Läs mer0 1 2 ], x 2 (n) = [ 1
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik Tentamen 7-- SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI Tid: 8.-3. Sal: Vic - Hela Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling och
Läs mer1. Rita följande tidssekvenser. 2. Givet tidssekvensen x n i nedanstående figur. Rita följande tidssekvenser.
Lasse Björkma 999 . Rita följade tidssekveser. a) δ e) u b) δ f) u u c) δ + δ g) u d) u h) u. Givet tidssekvese x i edaståede figur. Rita följade tidssekveser. a) x c) x b) x + 3 d) x 3. Givet tidssekvesera
Läs merElektronik 2018 EITA35
Elektronik 218 EITA35 Föreläsning 1 Filter Lågpassfilter Högpassfilter (Allpassfilter) Bodediagram Hambley 296-32 218-1-2 Föreläsning 1, Elektronik 218 1 Laboration 2 Förberedelseuppgifter! (Ingen anmälan
Läs merFÖRELÄSNING 13: Tidsdiskreta system. Kausalitet. Stabilitet. Egenskaper hos ett linjärt, tidsinvariant system (LTI)
p. FÖRELÄSNING 3: Tidsdiskrea sysem. Kausalie. Sabilie. Linjära idsinvariana sysem (LTI-sysem) Differenial- och differens-ekvaioner Räkna på idskoninuerlig LTI-sysem med Fourierr. (kursiv) Räkna på idsdiskre
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB Tid: 205-0-, 8-3 Lokaler: U, U3, U Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalerna kl. 9.30 och.30 tel 073-80 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Tidsdiskreta signaler, kvantisering & sampling Tidsdiskreta signaler Tidskontinuerlig signal Ex: x(t) = sin(ωt) t är ett reellt tal ω har enheten rad/s Tidsdiskret signal Ex: x(n)
Läs merSignal- och bildbehandling TSEA70
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 2003-0-0 kl. 4-8 Lokaler: Examinator: U Maria Magnusson Seger Ansvarig lärare: Olle Seger besöker lokalen kl. 5 och 7. tel 259, 0702/337948 Hjälpmedel:
Läs merDigital signalbehandling Digital signalbehandling
Istitutioe för data- och eletrotei --8 Ly, Fuerst: Itroductory Digital Sigal Processig Kapitel. 7 Mbit/s. 96 Mbit/s., bit/s. a) b) - - CHALMERS LINDHOLMEN Sida Istitutioe för data- och eletrotei Sve Kutsso
Läs merLaplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer?
Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? 1 Vi har sett hur ett LTI-system kan ges en komplett beskrivning av dess impulssvar. Genom att falta insignalen med impulssvaret erhålls systemets
Läs merVad gör vi när vi bara har en mätserie och ingen elegant matematisk funktion? Spektrum av en samplad signal. Trunkering i tiden
Vad gör vi när vi bara har en mätserie och ingen elegant matematisk funktion? 1 Spektrum av en samplad signal Samplingsprocessen kan skrivas som Fouriertranformen kan enligt linjäritetsoch tidsskiftsatsen
Läs merDT1120 Spektrala transformer för Media Tentamen
DT Spektrala transformer för Media Tentamen 77 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: 3:9 p, 4: 3 p, 5: 7 p Tillåtna hjälpmedel: räknare,
Läs merFormelsamling. i kursen Medicinska Bilder, TSBB31. 1D och 2D Fouriertransformer, samt några formler för CT, SPECT, mm
Formelsamling i kursen Medicinska Bilder, TSBB31 1D och 2D Fouriertransformer, samt några formler för CT, SPECT, mm Maria Magnusson, maria.magnusson@liu.se 27 oktober 2016 1 1-D Tidskontinuerliga Fouriertransformer
Läs merÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp
ÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp Tid: Denna övn.tenta gås igenom 25 maj (5h skrivtid för den riktiga tentan) Plats: Ansvarig lärare: Bengt Carlsson Tillåtna hjälpmedel: Kurskompendiet
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03 Tid: 2006-05-3 kl. 8-2 Lokal: TER2 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 9.40. tel 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merLiten formelsamling Speciella funktioner. Faltning. Institutionen för matematik KTH För Kursen 5B1209/5B1215:2. Språngfunktionen (Heavisides funktion)
Insiuionen för maemaik KTH För Kursen 5B09/5B5: Lien formelsamling Speciella funkioner Språngfunkionen (Heavisides funkion) u() =, om > 0, 0, om < 0. Signumfunkionen sign =, om > 0,, om < 0. Rekangelfunkionen
Läs merFormler och Tabeller. Digital signalbehandling
Institutionen för elektro- och informationsteknik Formler och Tabeller Digital signalbehandling Bengt Mandersson Lund 0 Department of Electrical and Information Technology, Lund University, Sweden Innehåll
Läs merFöreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system
Föreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system Reglerteknik, IE1304 1 / 26 Innehåll Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering 1 Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering
Läs merc d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)
1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs merDigital Signalbehandling i Audio/Video
Digital Signalbehandling i Audio/Video Institutionen för Elektrovetenskap Laboration 1 (del 2) Stefan Dinges Lund 25 2 Kapitel 1 Digitala audioeffekter Den här delen av laborationen handlar om olika digitala
Läs merx(t) = sin(ω 0 t) (1) b) Tillåt X(ω) att innehålla diracimpulser (en generalliserad funktion). Vilken signal x(t) har spektrumet X(ω)?
3 Tredje lektionen 3. Frekvensdomänen 3.. Fourier och sinus a) Varför kan vi inte transformera med den vanliga fouriertransformen? = sin(ω t) () b) Tillåt X(ω) att innehålla diracimpulser (en generalliserad
Läs merSignaler & Signalanalys
Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se Jan 8 Signaler & Signalanals Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt enkla
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB Tid: --, kl. - Lokaler: U, U, U Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl.. och. tel. Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film, sa och
Läs merFöreläsning 1: Inledning till Digital signalbehandling i audio & video. Leif Sörnmo 11 mars 2009
Föreläsning 1: Inledning till Digital signalbehandling i audio & video Leif Sörnmo 11 mars 2009 1 Schema Föreläsningar: Måndag 10.15 12.00 i sal E:2311 Fredag 08.15 10.00 i sal E:2311 Övningar: Tisdag
Läs mer