Facit till Signal- och bildbehandling TSBB

Transkript

1 Facit till Signal- och bildbehandling TSBB Maria Magnusson Seger, Kontinuerlig faltning (9p) a) Faltningsoperationen illustreras i figuren nedan. et gäller att x(t λ) e 4(t λ) u(t λ) h(λ) e 4λ u( λ) x(t λ) h( λ) t λ t : y(t) t : y(t) t e 4λ e 4(t λ) dλ e 4t /8 e 4λ e 4(t λ) dλ e 4t /8 b) Tabell och skalningsteoremet ger X(f) 4+jπf, H(f). (ty t skalad med ). 4 jπf et gäller att Y (f) X(f) H(f) 4 +(πf). Tabell ger y(t) e 4 t /8.

2 Fourierserie (7p) a) Eftersom signalen är udda blir A n. Svar: B n T / x(t)sin(nω t) dt 4 T / t sin (nω t) dt T T / T T {part. int.} cos(nπ) { +, n udda, πn nπ n jämn. x(t) π πn, ( sin(ω t) sin(ω t)+ 3 sin(3ω t) ) 4 sin(4ω t)+... b) Svar: y(t) π ( sin(ω t) sin(ω t)+ ) 3 sin(3ω t) 3 Faltning och Korrelation (9p) a), b) f g(x,y) f g(x,y) g f(x,y) c) f g(x) f(λ)g(x λ)dλ {x λ s} f(x s)g(s)( )ds g(s)f(x s)ds g f(x)

3 d) f g(x) f(λ)g(x + λ)dλ {x + λ s} f( x + s)g(s)ds g(s)f( x + s)ds g f( x) e) Se kärnorna i uppgift b). Värdet i punkten (x, y) i kärnan f g ska överensstämma med värdet i punkten ( x, y) i kärnan g f. T ex så är både f g(, ) 3 och g f(, ) 3. 4 Rotation och interpolation (8p) a) Kalla inbilden f(x,y ) och den roterade bilden g(x, y). å gäller [ ] [ ][ ] [ ] [ x cos α sin α x x cos α sin α y sin α cos α sin α cos α y y ][ x y ]. Punkten (x, y) (, ) och vinkeln α 45 insatt i formeln ovan ger koordinaten (x,y ) (.77,.77). Närmsta granne interpolation ger g(, ) f(, ) i, dvs pixeln markerad med frågetecken kommer att få värdet i. b) Interpolationskärnans utsträckning är längd-enheter, dvs den sträcker sig över, pixlar. Pixlarna som blir involverade i beräkningen är de som är belägna på koordinaterna (x,y )(, ), (, ), (, ), (, ) dvs h, i, m och n. c) Interpolationskärnans utsträckning är 4 4 längd-enheter, dvs den sträcker sig över 4 4, pixlar, se figur. g(x) g(x) g(y) Pixlarna som blir involverade i beräkningen och är de som är belägna på koordinaterna 3

4 (x,y )(, ), (, ), (, ), (, ), (x,y )(, ), (, ), (, ), (, ), (x,y )(, ), (, ), (, ), (, ), (x,y )(, ), (, ), (, ), (, ), dvs b, c, d, e, g, h, i, j, l, m, n, o, q, r, s, t. c, d, g, j, l, o, r, s kommer att viktas med negtivt tecken och b, e, h, i, m, n, q, t kommer att viktas med positivt tecken. 5 Binär Bildbehandling (8p) a) För 4-konnektiv krympning till punkt, tag kärnorna B) och applicera dem. e utför krympning från norr. Vid mathchning sker nollställning. Rotera därefter B)-kärnorna 9 medurs och utför krympning från öster. Rotera därefter B)-kärnorna 8 medurs och utför krympning från söder. Rotera därefter B)-kärnorna 7 medurs och utför krympning från väster. Börja därefter om från början och fortsätt tills ingen förändring sker i fyra efterföljande faser. b) För 8-konnektiv krympning till skelett, tag kärnorna C) och applicera dem. e utför krympning från väster. Vid mathchning sker nollställning. Rotera därefter C)-kärnorna 9 medurs och utför krympning från norr. Rotera därefter C)-kärnorna 8 medurs och utför krympning från öster. Rotera därefter C)-kärnorna 7 medurs och utför krympning från söder. Börja därefter om från början och fortsätt tills ingen förändring sker i fyra efterföljande faser. c) För detektering av åsslut, tag kärnorna ) och applicera dem. Vid matchning sker ett-ställning. Operationen behöver bara utföras en gång över hela bilden. d) För detektering av åsförgrening, tag kärnorna A) och applicera dem. Vid matchning sker ett-ställning. Operationen behöver bara utföras en gång över hela bilden. 4

5 6 Sampling och rekonstruktion (p) Beräkna först X(f) F [x(t)] F [ 3 4 sinc ( )] 3t Λ 4 ( ) 4f. 3 Skissa sedan X(f), X s (f) och Y (f) enligt nedan. (Skalningen av X s (f) med f s kommer av att shah-funktionens fouriertransform blir skalad med /T, se formelsamling.) X(f).75 f Xs(f) fs.75. f Y(f) /3.5.5 f Ekvationen för Y (f) fås ur figuren till Y (f) (/3) Π(f) +(/3) Λ(4f) och inverstransform ger till slut y(t) (/3) sinc(t)+(/) sinc (t/4). 7 Tidsdiskret system (9p) a) H(z) (z j)(z + j) (z.75j)(z +.75j) z + z +.75 b) Y (z) X(z) z + z z +.75 z ( +.75 z )Y (z) (+z )X(z) y(n)+.75 y(n ) x(n)+x(n ) 5

6 c) x(n) Σ y(n).75 d) e) H Ω (Ω) H(e jω ) ejω + e jω +.75 cos Ω + + j sin Ω cos Ω j sin Ω π f Ω f s π 6 Ω Ω.6π cos(.6π).3 sin(.6π).95 Im z Re z z plane (z +.3 j.95)(z +.3+j.95) H(z) (z +.75 (.3 j.95))(z +.75 (.3+j.95)) (z +.3 j.95)(z +.3+j.95) (z +.3 j.7)(z j.7) 6