Lösning till tentamen i Medicinska Bilder, TSBB31, DEL 1: Grundläggande 2D signalbehandling

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Lösning till tentamen i Medicinska Bilder, TSBB31, DEL 1: Grundläggande 2D signalbehandling"

Gunnar Eliasson
för 4 år sedan
Visningar:

1 Lösning till tentamen i Medicinska Bilder, TSBB, -- Maria Magnusson (maria.magnusson@liu.se), Hans Knutsson, Mats Andersson, Gustaf Johansson DEL : Grundläggande D signalbehandling Uppgift (p) a) Filtret medelvärdesbildar i -omgivningar. (Medelvärdesbildning är ekvivalent med lågpassfiltrering.) Därför blir bilden suddig. b) Bilden blir fortfarande suddig, men mycket ljusare än tidigare. Uppgift (p) a) Efter linjär faltning erhålls en mörk ram runt bilden på grund av att värden utanför bilden kommer att påverka resultatet. Det är vanligt att dessa värden antas vara vilket vanligen representerar svart. Vid cirkulär faltning betraktar man bilden som upprepad eller cirkulär, dvs överkanten sitter ihop med underkanten och högerkanten sitter ihop med vänsterkanten. Därmed kommer de kanter som sitter ihop att påverka varandra. T ex blir överkanten mörkare och underkanten ljusare efter cirkulär faltning. Uppgift (p) Utför g(x, y) =DFT [DFT [f(x, y)] DFT [h(x, y)]], där g(x, y) noterar den cirkulärfaltade resultatbilden, f(x, y) noterar Foppa, h(x, y) noterar faltningskärnan paddad med nollor till samma storlek som Foppa, DFT noterar D DFT och DFT noterar D invers DFT. Uppgift 4 (5p) a) Insättning i formel ger F DFT [k, l] = N/ N/ n= N/ m= N/ f[n, m] e jπ(nk/n+ml/m) = 4+e jπk/n + e jπk/n + e jπl/m + e jπl/m = 4+cos(πk/N)+cos(πl/M)

2 b) Tabell ger F (u, v) =F [ 4δ(u)δ(v)+δ(u )δ(v)+δ(u +)δ(v) + δ(u)δ(v ) + δ(u)δ(v +)] = 4+e jπu +e jπu + e jπv + e jπv c) F DFT [k, l] =F (k/n, l/m) d) = 4+cos(πu)+cos(πv) [ ] L(u, v) =F x + y = 4π ( u + v ) Ett trigonometriskt samband ger att F (u, v) = 4+cos(πu)+cos(πv) = 4sin (πu) 4sin (πv) ). = 4π ( sin (πu) π + sin (πv) π F (u, v) och L(u, v) är alltså lika varandra för små värden på (u, v). e) F (u, ) och F (,v) visas i plotten nedan. Filtret multiplicerar låga frekvenser med ett värde nära och höga frekvenser med ett större värde. Filtret låter alltså höga frekvenser passera, det är ett högpassfilter. Det räcker med att skissa filtret i det nämnda intervallet eftersom fouriertransformen upprepar sig - filtret är ju samplat. 4 F(u,).5.5 u F(,v) v

3 Uppgift 5 (p) a) Den närmaste grannen till (.75,.5) är (, ). Välj därför f(, ) =. Svar: f(.75,.5) =. b) Se figur nedan. f(,)= (.75,) f(,)=4 f(,)= (x,y )=(.75,.5) (.75,) f(,)= Den tvådimensionella interpolationskärnan Λ(x) Λ(y) sträcker sig ut till den streckade kvadraten. Här väljer vi att utföra den bilinjära interpolationen först D i x-led och sedan D i y-led. Interpolationsfunktionen Λ( ) placeras först horizontellt i punkten (.75, ). Avståndet till (, ) är.75, Λ(.75) =.5 interagerar med f(, ). Avståndet till (, ) är.5, Λ(.5) =.75 interagerar med f(, ). Sedan placeras Λ( ) i punkten (.75, ) och interagerar med f(, ) och f(, ). Till sist placeras Λ( ) vertikalt i punkten (.75,.75). Avståndet till (.75, ) är.5, Λ(.5) =.75 interagerar med f(.75, ). Avståndet till (.75, ) är.75, Λ(.75) =.5 interagerar med f(.75, ). Beräkningarna blir f(.75, ) = f(, ).5 + f(, ).75 = =.5, f(.75, ) = f(, ).5 + f(, ).75 = =.5, f(.75,.5) = f(.75, ).75 + f(.75, ).5 = =.75 Svar: f(.75,.5) =.75. c) Egentligen är det 6 st värden som påverkar interpolationsresultatet då h(x) används istället för Λ(x), men eftersom de flesta funktionsvärdena är blir beräkningarna liknande som de i b)-uppgiften. Det gäller att h(.5) =.867 och h(.75) =.66. Detta ger f(.75, ) = f(, ).66 + f(, ).867 = =.9, f(.75, ) = f(, ).66 + f(, ).867 = =.8, f(.75,.5) = f(.75, ) f(.75, ).66 = =. Svar: f(.75,.5) =..

4 DEL : Röntgen och CT Uppgift 6 (p) Det spektrum som gäller efter det att det färdats genom människokroppen har förändras ungefär så som visas i figuren i den röda streckade kurvan, dvs de låga energierna har dämpats mer än de höga. Fenomenet kallas beam-hardening. Uppgift 7 (p) Luft hamnar på ca. Lungor hamnar mellan ca och ca. Mjukdelar hamnar mellan ca och ca 5. Ben hamnar på värden > ca 5. Tröskelvärdet kan sättas på ca. Uppgift 8 (p) Rebinning innebär att fanbeam-projektionerna interpoleras till parallella projektioner (ett sinogram). Uppgift 9 (4p) a) f(x, y) = Π(x) Π(y) ger att F (u, v) = sinc(u) sinc(v). b) p(r, ) = Π(r) och p(r, π/4) = Λ( r). c) P (R, ) = sinc(r) och P (R, π/4) = sinc (R/ ). d) I) F (R cos,rsin ) = F (R, ) = sinc(r) sinc() = sinc(r). II) P (R, ) = sinc(r). I), II) Detta ger att F (R cos,rsin ) = P (R, ). V.S.V. 8 III) F (R cos π/4,rsin π/4) = F (R/,R/ ) = sinc(r/ ) sinc(r/ ) = sinc (R/ ). IV) P (R, π/4) = sinc (R/ ) III), IV) Detta ger att F (R cos π/4,rsin π/4) = P (R, π/4). V.S.V. 4

5 DEL : Gamma-kamera, SPECT och PET Uppgift (p) Z = X = Y = K a k =5+++5=, k= K x k a k = =56 k= K y k a k = =56. k= Gammafotonens position: (x pos,y pos )= (X,Y ) Z = (56,56) (.55,.55) cm. Uppgift (p) Som synes i föregående uppgift ger en gammafoton signal i de närstående fotomuliplikatorerna. Positionen för gammafotonen beräknas som ett viktat medelvärde av de registrerade intensiteterna. Följdaktligen är det högre precision på gammafotonens läge än på avståndet mellan fotomultiplikatorerna. Uppgift (p) Ett radioaktivt material distibueras till patienten i båda fallen. Detta emitterar gamma-fotoner i SPECT-fallet och positroner i PET-fallet, där varje positron snart förenar sig med en elektron, massorna förbrukas och två fotoner med energin 5 kev skapas. I SPECT-fallet detekteras de fotoner som kommer i rätt vinkel, övriga fastnar i en kollimator. I PET-fallet färdas de två fotonerna i motsatt riktning och detekteras. För att två fotoner ska betraktas som simultana måste tidsfönstret (tidsskillnaden) vara mycket litet, typiskt -ns. Uppgift (p) Röntgenbilder och gammakamerabilder är projektionsbilder. CT- och SPECT-bilder är rekonstruerade bilder. Enheten för CT-bilder är röntgenattenuering [/m] eller Hounsfield-enheter [HU]. En SPECT-bild visar den radioaktiva aktiviteten. Enheten för en röntgenbild är röntgenattenuering multiplicerat med längd. Enheten för en gammakamerabild är radioaktivitet multiplicerat med längd. 5

6 Uppgift 4 (p) m j= A ji f k i är det beräknade projektionsvärdet. DEL 4: Viktiga begrepp/mätvärden Uppgift 5 (p) Formeln är: MTF = H(u, v) /H(, ). Den säger oss hur systemet påverkar olika frekvenser. Uppgift 6 (p) Punktspridningsfunktionen = h(x, y). FWHM är markerat i figuren nedan. FWHM ger det avstånd som två punkter måste vara separerade för att kunna särskiljas..5 FWHM DEL 5: Ultraljud Uppgift 7 (4p) a) Mottagens signal kan vara fasförskjuten. Produkten cos(v) cos(v + a) kan bli negativ under delar av perioden för vissa värden på a vilket då kan ge märkliga effekter, men cos(v) är ju en kvadrat av ett reellt tal och kan inte vara negativ. b) Med både en sinus och cosinus kan man skifta fasen i varje tidpunkt så den passar den inkommande vågen. Metoden blir då inte längre känslig för fasskift hos mottagaren. c) En godkänd förklaring inbegriper att studenten visat kunskap om att de delar av frekvensspektrat som är kan kastas utan förlust eller förvanskning. Och att vid nedsampling är nedsamplingsfaktorn lika med antalet gånger som max-frekvensen delas med. Dvs slänga vart N:e sampel betyder att den nya maxfrekvensen är den gamla delat på N och eventuella nollskilda frekvenskomponenter som finns över den nya maxfrekvensen kommer bidra till att signalen förvanskas (vikningsdistortion). 6

7 DEL 6: MRI Uppgift 8 (p) a) Bilden är suddig eftersom vi inte samplar tillräckligt mycket av de höga frekvenserna i k-space. Lösningen är att sampla längre ut i k-space med ökat samplingsavstånd. b) Vi har fått spatiell vikning (notera att huvudet förutom vikningsartefakterna är större än i de andra bilderna). Samplingsavståndet i k-space är för stort för att avbilda ett objekt med denna storlek. Lösningen är att minska samplingsavståndet. Om vi vill sampla lika långt ut i k-space som tidigare måste antalet sampel ökas. Uppgift 9 (6p) a) b) Övre halvan av k-space blir: där betecknar komplexkonjugat. f 4 f f f f f 9 f 8 f f f f f 9 f 8 f 7 f 4 f 5 f 4 f f f 7 f 6 f 5 f 6 f f f f 6 f 5 7

Relevanta dokument

Lösning till tentamen i Medicinska Bilder, TSBB31, DEL 1: Grundläggande 2D signalbehandling

Lösning till tentamen i Medicinska Bilder, TSBB31, 2017-10-19 Maria Magnusson (maria.magnusson@liu.se), Anders Eklund DEL 1: Grundläggande 2D signalbehandling Uppgift 1 (4p) a) f(x, y) = 30 Π(x/40, y/20)