6 2D signalbehandling. Diskret faltning.

Transkript

1 D signalbehandling. Diskret faltning. Aktella ekationer: Se formelsamlingen... D Diskret faltning. Beräkna g(x = (h f(x = λ= f(x = och h(x = -. h(x λf(λ, där Centrm (positionen för x = 0 är markerad med fet stil... D Diskret faltning. Beräkna f(x, y = g(x, y = (h f(x, y = α= β= och h(x, y = 0. h(x α, y βf(α, β, där Centrm (positionen för (x, y = (0, 0 är markerad med fet stil... D foriertransform a en separabel fnktion. Beräkna och skissa foriertransformen a f(x, y = sinc(x cos(πy. Ledning: Fnktionen δ( kan skissas så som i figren nedan, antingen som till till änster eller som till höger. δ ( δ(

2 .4. D foriertransform a faltningskärna. edanstående faltningskärna beräknar ett iktat medelärde. Centrm är markerat med fet stil. Sätt dirac-plser på faltningskärnas pixlar och kalla den f(x, y = g(x, y + h(x, y. Utnyttja separeringen för att få enklare beräkningar. Antag samplingsastånd =. Beräkna foriertransformen! / = / + /.5. D DFT a faltningskärna. Beräkna DFT:n a nedanstående faltningskärna f(n, m = g(n, m + h(n, m. Centrm är markerat med fet stil. Utnyttja separeringen för att få enklare beräkningar. / = / + /.. st D foriertransformer. Beräkna foriertransformen a följande tå-dimensionella fnktioner, som också isas som approximatia bilder. Skissa äen amplitdspektrm för wae och wae. a spalt: f (x, y = { b wae: f (x, y = 55 c wae: f (x, y = 55 55, if x < 5, y < 40, 0, annars. ( ( π + sin 5 5x ( ( π + cos 5 0x ( x ( y = 55 Π Π 0 80 ( π cos 5 0y spalt y wae y wae y Image: x x x Ledning för b: För att nderlätta beräkning a wae, skri om den enligt: wae: f (x, y = 55 ( ( π (x (y + sin 5 5x (y

3 .7. D foriertransform a sobel-x. edanstående faltningskärna kallas sobel-x och beräknar deriatan i x-led. Centrm är markerat med fet stil. Sätt dirac-plser på faltningskärnas pixlar och kalla den f(x, y = g(x, y h(x, y. Utnyttja separeringen för att få enklare beräkningar. Antag samplingsastånd =. Beräkna foriertransformen! /8 = /4 0 - /..8. D DFT a sobel-x. Beräkna DFT:n a nedanstående faltningskärna sobel-x. Kalla den f(n, m = g(n, m h(n, m och tnyttja separeringen för att få enklare beräkningar. Centrm är markerat med fet stil /8 = /4 0 - /..9. D foriertransform och rotationsteoremet. Uttrycket g(x, y = sin(πx beskier en D sinsåg och f(x, y = sin ( π [ x cos π + y sin π ] = R π/ [sin(πx] beskrier en sinsåg roterad π/. Beräkna först G(,, foriertransformen för den oroterade sinsågen, och skissa Im[G(, ]. Utnyttja sedan rotationsteoremet och gör en grafisk lösning för att skissa imaginärdelen a foriertransformen Im[F (, ]. Ge till sist en formel för foriertransformen F (,. Ledning: Positia dirac-plser kan markeras med en liten pnkt och negatia dirac-plser med ett litet kryss i det imaginära planet..0. SVÅR. ÖVERKURS: D foriertransform a icke-separabel fnktion. Beräkna foriertransformen a f(x, y = e x+y. Denna fnktion är inte separabel, ds f(x, y g(x h(y, så F (, = G( H( kan inte anändas. Anänd istället tekniken F (, = F [f(x, y] = F y [F x [f(x, y]], ds tag först foriertransformen i x-led (då y betraktas som en konstant och därefter foriertransformen i y-led (då betraktas som en konstant.

4 Sar och lösningsförslag. Faltningen erhålls som f(λ: h(x λ: - g(x: g(x, y = Separera f(x, y i tå enariabelfnktioner, t ex f(x, y = sinc(x cos(πy. }{{}}{{} g(x h(y Det gäller för en separabel fnktion f(x, y = g(x h(y att dess foriertransform är F (, = G( H(, där G( är den en-dimensionella foriertransformen a g(x och H( är den en-dimensionella foriertransformen a h(y. Tabell ger då att F (, = 0.5 Π(0.5 (δ( + δ( +, ilken kan skissas enligt figren nedan, antingen så som till änster eller som till höger

5 .4 Ansätt / / / / / } {{ } =f(x,y = / / / } {{ } =g(x,y + / / / } {{ } =h(x,y då är ( g(x, y = δ(y + + δ(y + G(, = δ(y ( e+jπ + + e jπ δ(x På samma sätt erhålls = cos(π +. H(, = cos(π + ilket ger F (, = cos(π + + cos(π.5 Sätt M = och anänd F (k, l = f(n, me j π (nk+ml n= m= = g(n, me j π (nk+ml + h(n, me j π (nk+ml n= ( = + e j m= n= m= π ( k+0l + π e j (0k+0l + π e j (k+0l ( π e j (0k l + π e j (0k+0l + π e j (0k+l = ej π k + e j π k + + ej π l + e j π l ilket reslterar i F (k, l = ( π cos k + + ( π cos l 5

6 . otera nedan att δ(, = δ( δ( och δ( a, b = δ( a δ( b. F (, = sinc(0 sinc(80 F (, = 55 [ δ(, + j ( δ( + 5 ] 5, δ( 5 5, [ F (, = 55 δ(, + + ( 4 δ 0 5, ( 5 δ 0 5, δ ( + 0 5, δ ( + 0 5, edan isas tå olika arianter på skisser för ardera F (, och F (,. ] F(, a F(, F(, 55/ a a a a a F(, 55/ a a a=5/5.7.8 F (, = G(, H(, = ( + cos (π / j sin (π F (k, l = G(k, l H(k, l = ( ( ( π π + cos l / j sin k

7 .9 Tabell ger att G(, = ( j δ( + j δ( δ( = j δ( +, j δ(,, se skiss nedan. Vi et att om en D-fnktion roteras en inkel φ = π/ så roteras också foriertransformen med φ = π/. Därför kan Im[F (, ] skissas enligt nedan. Motsarande formel är F (, = j ( π ( δ + cos = j δ ( +, + ( π, + sin j ( δ ( j δ cos,. ( π ( π, sin Im G(, Im F(,.0 F (, y = F x [f(x, y] = F x [e x+y ] = + (π ejπy = [ ] F (, = F y [F (, y] = F y 9 + (π ejπy = 9 + (π ejπy δ( 9 + (π 7