Signal- och bildbehandling TSBB14

Transkript

1 Tenamen i Signal- och bildbehandling TSBB14 Tid: kl Lokal: R41 och U15 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 9. och 1.45 el Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film, sax och följande abeller: Svärdsröm: Appendix ill Signaler och sysem, Söderkvis: Formler och abeller, Bea, Physics Handbook Beygsskala: poäng beyg poäng beyg poäng beyg 5 Beygslisa: Anslås senas 17/6 1

2 Ledning: Jag hoppas a de ine är on om id på enan, men jag är ine säker. Räkna därför de uppgifer ni känner er säkra på förs! Lycka ill! 2

3 1 Koninuerlig falning (8p) a) Besäm falningen [h g]() = där h() och g() ges av figuren nedan. (6p) h( λ) g(λ) dλ, h() 1 1 g() 1 1 b) Vilken regel är de som gäller mellan bredderna på ingångsfunkionerna h() och g() och resulafunkionen [h g]()? Sämmer denna regel för di resula i a)-uppgifen? (2p) 2 Omsampling och diskrea falningskärnor (8p) En bild ska förminskas med fakorn 2 i båda ledder. Dea görs i vå eapper, förs rad för rad och sedan kolumn för kolumn. Figuren nedan visas hur en rad behandlas. Cenrum på falningkärnan är markera med en jockare ram. släng varanna värde falningskärna a) Konsruera falningskärnan genom a sampla sinc-funkionen sinc(x/2) = sin(πx/2)/(πx/2) och runkera den ill längden 7. Anag a samplingsavsånde = 1. (2p) Ledning: (sin x)/x 1 då x. b) Beräkna falningskärnans koninuerliga fourierransform F (u) =F[f(x)]. (2p) Ledning: Sä en dirac-spik på varje sampelpunk. Dea ger f(x). 3

4 c) De visar sig a bildens lokala medelvärden ine bevaras då di filer används. Hur yrar sig dea då man iar på bilden? Jusera din falningskärna så a bildens lokala medelvärden bevaras! (2p) d) Varför hade de vari fel a ugå från den oskalade sinc-funkionen sinc(x)? Denna passar i sälle a använda vid en annan yp av omsampling - vilken? (2p) 3 Tidsdiskre sysem (8p) Figuren visar e idsdiskre sysem, h[n], som besår av vå seriekopplade idsdiskrea sysem, h 1 [n] och h 2 [n]. x[n] w[n] y[n] D D w[n 1].64 D D 1. h[n] h1[n] h2[n] a) Besäm differensekvaionerna för h 1 [n] och h 2 [n]. (2p) b) Besäm sysemfunkionerna H 1 (z) =W (z)/x(z), H 2 (z) =Y (z)/w (z) och H(z) =Y (z)/x(z). (2p) c) Skissa pol-nollsällediagramme för H(z). Markera poler med kryss och nollsällen med ring. (2p) d) Pol-nollsällediagramme visar a H(z) är e bandpassfiler. Besäm bandpassfilres cenrumfrekvens (den frekvens som släpps igenom bäs) både i normerad vinkelfrekvens Ω och frekvens f mä i Hz. Anag a samplingsfrekvensen var f s =1kHz. (2p) Ledning: De gäller a z = e jω på enhescirkeln. De gäller också a Ω=2πfT, där T är samplingsavsånde. (Dea samband använde vi på laboraion 2.) 4

5 4 Fourierserie (7p) Se figuren nedan som visar den periodiska signalen x() besående av de posiiva delarna av en cosinus-signal. 1 x() To To Fourierserieuvecklingen för den periodiska signalen är x() =A + A n cos (nω )+ B n sin (nω ). n=1 n=1 där A = 1 T /2 x() d T T /2 A n = 2 T /2 x()cos(nω ) d T T /2 B n = 2 T /2 x()sin(nω ) d T T /2 ω =2π/T De näsan färdigberäknande resulae blir x() =A cos (ω )+ 2 3π cos (2ω )+ 2 15π cos (4ω )+... a) Besäm A! (3p) b) Som synes innehåller x() inga sinusermer. Beräa hur du med en enda blick på formeln för B n sam figuren av x() kan säga a alla B n måse vara. (2p) c) Se figuren nedan. Signalen x() passerar e filer h() vars useende i fourierdomänen kan skissas ill höger i figuren. Lå filre vara sådan a de ger usignalen y() =cos(ω ). (2p) H( ω) x() h() y() 1 ωο? 2ωο 3ωο ω 5

6 5 Fourierransformen och dess eorem (12p) a) Här nedan ser du en esbild f(x, y) och absolubeloppe av dess fourierransform F (u, v). Dessuom visas en skalad och ranslaerad version av esbilden, g(x, y). f(x,y) F(u,v) g(x,y) Hur ser absolubeloppe av fourierransformen av g(x, y), dvs G(u, v), u? Välj e av nedansående alernaiv a) - f) och moivera di val med en kor redogörelse där orden ranslaionseoreme och skalningseoreme ingår. (4p) a) G(u,v)? b) G(u,v)? c) G(u,v)? d) G(u,v)? e) G(u,v)? f) G(u,v)?

7 b) Räkna u fourierransformen av ( ) x 32 g(x, y) =Π 1 Använd gärna abellslagning! (3p) ( y Π. 5) c) Vid insamling av daa från magnekameran är de den 2-dimensionella fourierransformen man mäer. (Magnekamerafysikerna kallar de k-rumme.) EPI är en snabb insamlingseknik, men den ger en förskjuning av varannan rad i fourierransformen som man måse kompensera för. En möjlighe vore a inerpolera fram korreka daa, men de ycker man ine blir illräcklig noggran. Isälle använder man sig av DFT och ranslaionseoreme. För DFT gäller e någo modifiera ranslaionseorem, nämligen DFT[f(x a, y b)] = exp( j2π(au + bv)/n )F (u, v), och dess släking i DFT-domänen, IDFT[F (u a, v b)] = exp(j2π(ax + by)/n )f(x, y), där N = bildsorleken.?? 2D fourier ransform? 2D fourier ransform Se figuren ovan och försök lisa u vad som ska så i boxarna med frågeecken, välj mellan 1D horizonell DFT 1D horizonell IDFT 1D verikal DFT 1D verikal IDFT 2D DFT 2D IDFT Tala också om vilken operaion som ska uföras i cirkeln med frågeecken. Anag a man har mä upp a varannan rad är förskjuen.25 pixlar. (5p) 7

8 6 TB3 (9p) Tony Blomqvis, en gång bronsmedaljör i junior-sm i orienering och därför kallad TB3, har en speciell passion för fladdermöss. Han brukar vara ue på kvällarna vid en bro över Sångån och spela in deras läen. Han har uppäck a de går a skilja på olika fladdermössindivider genom a sudera frekvensspekra av deras läen. Grov förenkla sänder fladdermössen u cosinussignaler med olika frekvens. Se figuren nedan där vå fladdermöss har sän u vå cosinussignaler med olika frekvens som illsammans bildar signalen x(). Dea ser man ydligas i fourierransformen X(f) som innehåller dirac-pulser belägna på 28 och 32 khz. TB3 har uppäck a hans fladdermöss har en frekvensskillnad på mins 4kHz. TB3 mäer signalen mellan idpunken L/2 och +L/2 och regisrerar därför y(). Därefer fourierransformeras y() och Y (f) erhålls. Som synes blir de bara en frekvensopp vid 3 khz. TB3 ycker a de är konsig efersom han är säker på a de var mins vå olika individer han spelade in. Han börjar missänka a hans busiga kusinbarn har skruva på mäurusningen. TB3, som ve a du jus har läs Signal-och Bildbehandling, ber dig om hjälp a lösa probleme. Signaldomän x() Fourierdomän X(f) 4 3 f w() 1? W(f)=? L/2 L/2 f y() Y(f) 3 f a) Vad ska de så i cirkeln med frågeeckne? Beräkna också W (f) och skissa den ungefärlig. (3p) Ledning: sin x 1 då x. x b) Tag hjälp av figuren och förklara för TB3 varför Y (f) bara visar en opp. (3p) c) Räkna u bredden L av w() så a Y (f) innehåller vå närliggande oppar och a värde går ner ill vid 3 khz. (3p) 8

9 7 Binär bildbehandling (8p) På denna uppgifen kan ni, om ni vill, ria direk i esen (enan) och lämna in den för a spara id. a) De här är en bild av e frö. Avsåndskarera de i d (8) -merik! (2p) = = 1 b) De här är fröes skele. = = 1 Kalla skelebilden s(x, y). Kalla avsåndskaran i a)-uppgifen a(x, y). Räkna u fröes medeljocklek genom a använda följande formel ( ) x y s(x, y) a(x, y) = y s(x, y).5 2 x Varför minskar man med.5 i formeln? Varför muliplicerar man med 2 i formeln? (2p) VÄND SIDA! 9

10 c) De här är en bild som ska eikeeras (labelling). Beskriv Run-Track (RT) algorimen (som vi använde på lab4) och visa e mellanresulae då 4 rader har avverkas. = = 1 Sis i RT-algorimen sker en ommärkning. Förklara hur den går ill och visa sluresulae. (4p) 1