Miniräknare och formelsamling i signalbehandling. [Allowed items on exam: calculator and DSP table of formulas ]

Transkript

1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik Tentamen DIGITAL SIGNALBEHANDLING, ESS040 Tid: Sal: MA:9 A-D Hjälpmedel: Miniräknare och formelsamling i signalbehandling. [Allowed items on exam: calculator and DSP table of formulas ] Observandum: För att underlätta rättningen: [In order to simplify the correction:] -Lös endast en uppgift per blad. [Only solve one problem per paper sheet.] -Skriv namn på samtliga blad. [Please write your name on every paper sheet.] Påståenden måste motiveras via resonemang och/eller ekvationer. [Statements must be motivated by reasoning and/or equations.] Poäng från inlämningsuppgifterna adderas till tentamensresultatet. [The points from the tasks will be added to the examination score.] Max Tot. poäng (tentamen + båda inl.uppg) = = 6.0 [Max Tot. score (exam + tasks) = = 6.0 ] Betygsgrönser för kursen: 3 ( 3.0p), 4 ( 4.0p), 5 ( 5.0p). [Grading; 3 ( 3.0p), 4 ( 4.0p), 5 ( 5.0p).]. Ett hjul till en hästkärra har 4 identiska och jämnt fördelade ekrar och snurrar med varvtalet 65 varv/sek moturs. Hjulet filmas med en digital videokamera som tar 5 bilder/sekund. Den digitala signalen decimeras med en faktor, dvs varannan bild tas bort ur sekvensen. Vilken digital rotationsfrekvens (dvs varv/sampel) kommer hjulet att uppfattas ha, genom att betrakta den inspelade och decimerade sekvensen? Vilken verklig frekvens [i Hz] och rotationsriktning kommer att uppfattas, medurs eller moturs? (0.5) [We have a rotating wheel with FOUR evenly distributed identical spokes which rotates with 65 revolutions/sec counterclockwise. The wheel is recorded by a digital video camera using 5 frames/sec. The digital sequence is further decimated by a factor two. Determine the digitally perceived rotational frequency (i.e. in revolutions/sample). What real frequency [in Hz] will be observed and also determine the direction of rotation.]. Följande differensekvation är given: [The following difference equation is given,] y(n) y(n ) + y(n ) = x(n) + x(n ) a) Bestäm systemfunktionen H(z) samt bestäm systemets poler och nollställen och rita upp dessa i ett pol-nollstäle diagram. Avgör om systemet är stabilt,

2 motivera ditt svar. (0.) [Determine the system function H(z), the system poles and zeros and plot these in a pole-zero plot. Determine if the system is stable, motivate your answer!] b) Bestäm impulssvaret h(n) till differensekvationen! (0.3) [Determine the impulse response h(n) of the system.] 3. Följande differensekvation är given, [The following difference equation is given, ] y(n) = 0.5y(n ) + x(n) där insignalen x(n) = ( 3 )n u(n) och vi har begynnelsevärdet y( ) =. Bestäm utsignalen! (.0) [where the input signal x(n) = ( 3 )n u(n) and initial condition y( ) =. Determine the output signal!] 4. En 3:e ordningens tidsdiskret FIR-krets är given på Lattice form, där lattice paramertrarna är givna av; [A 3:rd order FIR-system is given in a Lattice form, where the lattice parameters are given by;] [ ] k i = [k, k, k 3 ] =, 3, a) Bestäm motsvarande differensekvation och impulssvar h(n)! (0.3) [Determine the corresponding difference equation and impulse response h(n)!] b) Bestäm poler och nollställen samt skissa amplitudfunktionen H(ω) och fasfunktionen arg(h(ω)) inom intervallet π ω < π! (0.3) [Determine the poles and zeros and sketch H(ω) and arg(h(ω)) within π ω < π!] c) Bestäm utsignalen y(n) då insignalen är given av, (0.4) [Determine the output signal y(n), when the input is given by!] x(n) = 5 + cos(π/4 n π/4) < n < 5. Följande tids-diskreta signaler är givna; [The following discrete-time signals are given;] x (n) = [ ], x (n) = [ ] a) Bestäm resulterande modulo 3 sekvens ur faltningsuttrycket; y(n) = x (n) 3 x ( n). (0.) [Determine the resulting modulo 3 sequence from; y(n) = x (n) 3 x ( n)] b) Bestäm Fouriertransformen till x (n) och x (n) och beräkna därefter Y (ω) = X (ω) conj(x (ω)), där conj( ) betyder komplexkonjugat. (0.3) [Determine the Fouriertransforms of x (n) and x (n) and use these results to determine Y (ω) = X (ω) conj(x (ω)), where conj( ) means complex conjugate.]

3 c) Sampla resultatet från uppgift b), Y (ω) i tre punkter, dvs w = πk/3 där k = 0,, vilket motsvarar Y (k), (DFT:n av y(n)). Bestäm därefter invers DFT av Y (k), dvs bestäm sekvensen y(n). (0.5) [Sample the result from subtask b), Y (ω) in three points, i.e. w = πk/3 wherer k = 0,,, this is the equivalent of Y (k), (DFT:n of y(n)). Now determine the inverse DFT of Y (k), i.e. determine the sequence y(n). ] 6. De två studenterna Nick och Dick är båda intresserade av att följa temperaturvariationerna på sin hemort. Nick samplar temperaturen varje eftermiddag och skriver ner en sekvens av temperaturdata x (n), n 0. Dick samplar också temperaturen varje eftermiddag (på samma plats) men han skriver ner ett medelvärde av de sista 7 dagarnas temperatur och skapar därmed en sekvens x (n), n 0. Nick tycker att hans sekvens är mycket bättre eftersom han alltid kan skapa Dick s sekvens ur sin egen. Dick hävdar att även han kan skapa Nick s sekvens ur sin egen genom en linjär filtrering. [The two students Nick and Dick are both interested in following the temperature variations in their hometown. Nick samples the temperature at noon every day and writes down a sequence of temperature data, x (n), n 0. Dick also samples the temperature at noon every day (at the same place) but he writes down an average of the 7 latest temperature measurements creating a sequence, x (n), n 0. Nick believes that his method is better since he can always create Dick s sequence from his own sequence. Dick claims that he also can create Nick s sequence from his own using a linear filtering operation.] a) Bestäm ett villkor på hur Dick borde skapa sin sekvens för de första 6 samplena så att hans påstående blir korrekt! (0.3p) [Determine a requirement on how Dick should create his average for the first 6 samples in order for his claim to be true! ] Ledtråd: bestäm ett villkor för medelvärdesbildningen så att detta blir en linjär filtrering, dvs en faltning. [HINT: Determine the requirements for the averaging to become a linear filtering, i.e. a convolution. ] b) Introducera lämpliga beteckningar och ange ett slutet uttryck för hur Dick kan skapa Nick s sekvens ur sin egen. Den enda okända sekvensen i uttrycket skall vara Dick s sekvens! (0.7p) [Introduce adequate notations and specify a closed form expression on how Dick can create Nick s sequence from his own. The only unknown sequence in the expression should be Dick s sequence. ] Lycka till! Please remember to answer the Course Evaluation Questionnaire (CEQ), which will be sent out via ! 3

4 Lösningar till Tentamen SVAR. Hjulet snurrar med 65 varv/sek motsols. Sampeltakten är F s = 5 Hz vilket ger den normerade frekvensen inom fundamentalt frekvensområde (som i detta fallet är /8 f /8), dvs periodisk med perioden /4.; f 0 = 65 5 ± 4 k k heltal = 3 5 ± 4 k k heltal ( 3 = 5 0 ) ± 4 4 k k heltal = 0 ± 4 k k heltal Denna decimeras med faktor vilket ger, f d 0 = 0 ± 4 k k heltal = 5 ± 4 k k heltal ( = 5 ) ± 4 4 k k heltal = 0 ± 4 k k heltal Dvs den uppfattade decimerade digitala frekvensen är f0 d = varv/sampel, dvs 0 varv/sampel medsols. Det uppfattade verkliga frekvensen blir; 0 0 F s = 5 8 Hz Dvs 5 8 Hz medsols. SVAR a. Z-transformera differens-ekvationen, det ger H(z) för enligt, Y (z)( z + z ) = X(z)( + z ) H(z) = Y (z) X(z) = + z z + z H(z) har nollställen i z = 0 och z = och poler i z = ±j, vilket medför stabilitet (innanför enhetscirkeln). Figur pol-/nollställe diagram se figur nedan. 4

5 Imaginary Part Real Part Pol-nollställediagram i uppgift a). SVAR b. Genom att invers-transformera H(Z) erhålls impulssvaret h(n), dvs vi beräknar utsignalen då insignalen X(z) =. Då vi har komplexkonjugerande poler vet vi att vi får en linjärkombination av cosinus resp. sinus-termer. H(z) skrivs då som, Y (z) = H(z) = + z z + = 0.5z +.5z z z + z = cos (π/4)z + 3 sin (π/4)z cos (π/4)z + ( ) z = cos (π/4)z cos (π/4)z + ( ) z + 3 sin (π/4)z cos (π/4)z + ( ) z Från tabell (ur tex formelsamlingen) fås att impulssvaret blir; h(n) = ( ) n [ cos ( π 4 n) + 3 sin (π 4 n) ] u(n) SVAR 3. Då vi har begynnelsevärden använder vi Z + -transformen, som applicerad på differensekvationen och insättning av insignalens Z-transform (OBS insignalen är kausal ger Z-transform = Z + -transform) ger, 5

6 Y + (z) = Y + (z)z + y( ) + 3 z Y + (z) = Y + (z) = z Y + (z) z ( z ) + ( z ) ( z ) 3 Gör högerledet liknämnigt och partialbråksuppdela, Y + (z) = 3 z + ( z ) ( 3 z ) = 7/ z + 3 z Z y(n) = 7 ( ) n u(n) ( ) n u(n) 3 SVAR 4. a) Vi itererar enligt följande; (ur formelsamling har vi) A m (z) = A m (z) + k m z B m (z), där A 0 (z) = B 0 (z) = B m (z) = k m A m (z) + z B m (z) m = ; A (z) = A 0 (z) + k z B 0 (z) = + z B (z) = k A 0 (z) + z B 0 (z) = + z m = ; A (z) = A (z) + k z B (z) = + 3 z 3 z B (z) = k A (z) + z B (z) = z + z m = 3; H(z) = A 3 (z) = A (z) + k 3 z B (z) = + z 3 Detta ger differensekvationen, y(n) = x(n) + x(n 3) 6

7 samt impulssvaret, h(n) = δ(n) + δ(n 3) = [ ] 0 0 b) Poler och nollställen fås ur rötter till nämnarpolynomet resp täljarpolynomet i H(z), dvs H(z) = + z 3 = z3 + z 3 ger 3 st poler i origo samt nollställen enligt, n,,3 = 3 = e j πk+π 3 för k=0,, => n =, n = e jπ/3, n 3 = e jπ/3 Se pol-nollställe diagram samt amplitud- och fasfunktion, nedan Imaginary Part Real Part 3 Figure : Pole-Zero plot for task 4b) Amplitudfunktionen H(ω).5 H(ω) ω Amplitudfunktionen phase[h(ω)] phase[h(ω)] ω Figure : Amplitude and phase function plot for task 4b) 7

8 c) Insignalen består av en konstant (DC-komponent) med f 0 = 0, samt en cosinus komponent med f = /4. Den är icke-kausal med oändlig längd, dvs alla insvängningsförlopp kan antas ha upphört. Utsignalen ges då av följande uttryck y(n) = H(ω) ω=0 5 + H(ω) ω=π/4 cos(π 4 n π/4 + arg [H(ω)] ω=π/4 ) Ovanstående värden ges av, H(ω) ω=0 = H(z) z= = + 3 = H(ω) ω=π/4 = H(z) z=e jπ/4 = + e jπ3/4 = + i dvs H(ω) ω=π/4 =, arg [H(ω)] ω=π/4 = π 4 dvs, y(n) = 0 + cos(π 4 n) SVAR 5. a) y(n) = x (n) 3 x ( n) = [ 8 4 ] b) X (ω) = e jω + e jω X (ω) = e jω + e jω = X (ω) Y (ω) = X (ω)x (ω) = e jω + e jω + 4e jω + 4e jω e jω 4e jω = e jω + 5e jω 8 + 6e jω 4e jω OBS! Här ser vi att koefficienterna i resultatet motsvarar summan av antidiagonalerna i ovanstående led, dvs detta visar faltningstabellens konstruktion eftersom invers Fouriertransform [ motsvarar ] y(n) = x (n) x ( n) =, 5, 8, 6, 4 c) Vi samplar Y (ω), dvs byter ut ω > πk/3 vilket ger, Y (k) = e j πk/3 + 5e jπk/ e jπk/3 4e j πk/3 = (5 4)e jπk/3 8 + (6 )e jπk/3 = 8 + (6 )e jπk/3 + (5 4)e jπk/3 = 8 + 4e jπk/3 + e jπk/3 8

9 Eftersom e j πk/3 = e jπk /3 = e jπk ( /3), dvs +/3 varv är lika med /3 varv i vinkel (och pss är /3 varv lika med /3). Enligt definitionen av Diskret Fouriertransform (då N = 3) har vi, Y (k) = n=0 y(n)e jπkn/3 Genom indentifiering av y(n) med uttrycket för Y (k) fås att y(n) blir som i uppgift a), dvs y(n) = [ 8 4 ] 6. Svar: Both students Nick and Dick are collecting data about the same real temperature variations, x(n). Let us call Nick s sequence x (n) and Dick s sequence x (n). a) According to the question, x (n) is created by averaging the latest 7 days of temperature readings. This means that the impuls response of the averaging filter is given by: h(n) = i=6 δ(n i) 7 i=0 In order for the averaging of the first six samples of x (n) to become a linear filtering it needs to be calculated as: x (n) = i=n x(i) n = 0,,..., 6 7 i=0 where x(n) is the real temperature readings, OBSERVE that this is NOT an average of the first samples. For all other samples it is given by x (n) = i=6 x(n i) n 7 7 i=0 b) We know that Dick can create his sequence by convolution of Nick s sequence (since Nick s sequence is given by x (n) = x(n)): x (n) = h(n) x (n) where is the convolution operator and h(n) is given above. The question is how can we create x (n) from x (n) by linear filtering? We need to find a filter g(n) such that x (n) = i= g(i)x (n i) = g(n) x (n) = g(n) h(n) x (n) 9

10 This will be fulfilled if we construct the filter g(n) as an inverse filter if h(n), i.e. g(n) h(n) = δ(n) Now, by examining the convolution sum, see also fig (3) we conclude: (n = 0) g(0) h(0) = => g(0) = /7 = 7 (n = ) g(0) h() + g() h(0) = 0 => g() = /7 = 7 (n = ) g(0) h() + g() h() + g()h(0) = 0 => g() = 0 etc The above continues and provides a repeated sequence g(n) according to: g(n) = s(n mod 7), n 0 where s(n) = 7δ(n) 7δ(n ) where (n mod 7) stands for n modulus 7. Thus, the answer becomes: x (n) = n s(i mod 7)x (n i), where s(n) = 7δ(n) 7δ(n ) i=0 Figure 3: Assignment 6. Illustration of the convolution between h(n) and g(n). 0