TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA APRIL 2016

Transkript

1 Institutionn för tillämpad mkanik, Calmrs ENAMEN I FINI EEMENMEOD MHA 9 APRI 6 id oc plats: 4 8, Eklandagatan 86 Hjälpmdl: Ordböckr, likon oc typgodkänd räknar. ösningar ärar: Ptr Möllr, tl ( Bsökr sal ca. 5 samt 6. ösningar: Anslås på anslagstavlan, avdlningn för dynamik, /4. Btygsättning: En fullständig oc korrkt lösning på n uppgift gr poäng nligt vad som angs på uppgiftslappn. Smärr fl ldr till poängavdrag. Ofullständig lösning (svar på ställt problm saknas llr omfattand fl gr int något poäng. Maimal poäng är. Dt krävs 8 poäng för btyg ; poäng gr btyg 4; för btyg 5 krävs 6 poäng. Obsrvra att ovanstånd är btygssättning på nbart tntamn; för godkänd amination krävs dssutom godkända inlämningsuppgiftr. Rsultatlista: Anslås snast /4 på samma ställ som lösningarna. Rsultatn sänds till btygspditionn snast vcka 7 för kursdltagar som int ar alla inlämningsuppgiftr godkända vid dtta tillfäll inrapportras btygt U (undrkänd. Granskning: frdag /4 samt tisdag 6/4, Institutionn för tillämpad mkanik, plan i Nya M ust. änk på: Skriv så att dn som ska rätta kan läsa oc förstå ur du tänkr. Dn som rättar tntamn gissar intllr antar int vad du mnar/tänkr ndast vad som vrklign skrivs ar btydls vid bdömningn av n lösning. Förklara/dfinira införda btckningar. Rita tydliga figurr. Ang i förkommand fall vad som är positiva/ngativa riktingar (på t. förskjutningar oc kraftr. Gör du antagandn utövr d som angs i uppgiftsttn, så ang dtta plicit oc förklara dssa /PWM

2 Btrakta n al md längd oc vridstyvt ( som blastas md tt fördlat momnt f f( (momnt/längd. Om alns ögra änd stöds av n linär torsionsfjädr md styvt k (vid n rotation ϕ( av aländn gr fjädrn tt motålland vridmomnt kϕ( oc rotationsvinkln ϕ( mäts rlativt vänstr änd, gs vinkln som lösningn till randvärdsproblmt f( ( k d f < < d d ϕ( k ϕ ( d ( När ϕ( bräknats, kan vridmomntt i aln bräknas nligt M v ( d a: Härld dn svaga formn (variationsproblmt. (p b: Finit lmntformulra problmt md tstfunktionr nligt Galrkins mtod. (p c: åt f oc vara konstanta. Sätt k oc lös FE problmt md två lika långa lmnt md linära basfunktionr. Elmntstyvtsmatrisn för tt lmnt md längd är K (p d: När FE approimationn ϕ bräknats kan vridmomntt i ϕ torsionsfjädrn bräknas antingn som kϕ ( llr md M v (. Vilkt sätt ska vi förvänta oss g noggrannast d rsultat? Motivra ditt svar. (p : åt ϕ ϕ vara diskrtisringsflt. Enrginormn av dn M v ( d kϕ( akta lösningn är ϕ a f Bräkna nrginormn av diskrtisringsflt (. (p 6 a ösning a: Multiplicra diffrntialkvationn md n tstfunktion intrvallt Partialintgration av vänstrldt gr d v d vf d d d v( oc intgrra övr dv d d d vfd + v( d v( d I dn första randtrmn kan vi sätta in randvillkort vid, mn är obkant vid så vi d bgränsar våra val av tstfunktionr till d som uppfyllr v(. Funktionrna måst vidar vara kvadratiskt intgrrbara oc a kvadratiskt intgrrbar första drivata. Om vi dfinirar 6 4 9/PWM

3 V v: v( v dv + d d < Så kan variationsproblmt skrivas: Hitta ϕ V så att dv d + kv( ϕ( vfd d d v V ösning b: Approimra ϕ md n linärkombination av basfunktionr: ϕ ϕ N i ( a i Na, där N N ( N ( N n ( är n radvktor md basfunktionrna oc a a a n innållr nodvariablrna. Insättning i variationsproblmt gr i dv dn d d d sätta v c N, där c är godtycklig. Insättning gr + kv( N( stfunktionrna väljs nu som basfunktionrna v a vfd N, N,, N n, dvs Galrkins mtod, vilkt gr n kvationr som kan användas för att bräkna nodvariablrna a ; dtta är kvivalnt md att c dn dn d + d d kn ( N( a N fd För att dnna likt ska vara uppfylld för godtyckligt vald vktor c, så måst uttryckt innanför klammr parntsn vara n nollvktor; md btckningn B dn d ar vi alltså B Bd + kn ( N( a N fd ösning c: Md N N N N, a a oc dn givna lmntindlningn får vi k ar vi att N(, så md N N N kn ( N( Vidar, md f konstant, blir 6 4 9/PWM

4 N fd -- N f N d f -- N -- f där vi bräknad intgralrna som aran mllan rspktiv basfunktions graf oc aln. Vi ar också givt att B Bd Vi får alltså kvationssystmt a f Randvillkort ϕ( innbär att vi måst sätta a varvid a kolumnn i styvtsmatrisn försvinnr ; vidar kan vi int använda a kvationn, ftrsom dn ar fåtts gnom att välja tstfunktion v N oc N (, dvs N uppfyllr int randvillkort vid vilkt vi krävr ftrsom vi strukit motsvarand randtrm (s uppgift a. Ekvationssystmt rducras alltså till f Vi får alltså a f ösning d: Gnrllt gällar att flt i drivata,, är störr än flt i funktionn ϕ ϕ d d (mätt i någon norm, så kϕ( måst förvänta vara n bättr approimation än d dv dv ösning : åt a( v, v d + kv( v(. Vi sökr då. Enrgin i flt är lika d d a a(, md flt i nrgi: a(, a( ϕ, ϕ a( ϕ, ϕ. Här är a( ϕ, ϕ f givt; vi sökr 6 f a( ϕ, ϕ. f f a( ϕ, ϕ a Ka a f 7f /PWM

5 Då fås a a(, a( ϕ, ϕ a( ϕ, ϕ f Man önskar bräkna spänningarna som uppkommr på grund av tt övrtryck p i rörtvärsnitt nligt figurn. Eftrsom problmt ar två symmtrilinjr, nöjr man sig md att diskrtisra ndr vänstra fjärddln av områdt. Elasticittskvationrna på svag form blir då Γ Γ p sym Γ sym sym p p sym A ( v D uda v tdγ y Här är D n symmtrisk positivt dfi- Γ nit konstitutiv matris, u u u y är Γ 4 d obkanta förskjutningarna, v v v y n vktor md tstfunktionr oc traktionvktorn t på t gs av pn, där n oc n y är komponntrna till n utåtriktad ntsnormalvktor på t y pn y randn. Vidar gs diffrntialopratorn av a: Ang randvillkorn på d båda symmtrilinjrna Γ oc Γ, samt på d yttr bgränsningslinjrna Γ oc Γ 4. (p b: Finit lmntformulra problmt md tstfunktionr nligt Galrkin. Dfinira införda btckningar. (p c: Visa ur d basfunktionrna på tt lmnt md nodkoordinatrna ( i, yi kan ställas upp md dn s.k C matrismtodn (du bövr intplicit invrtra C matrisn. (p d: Basfunktionr blir N A [ y y + ( y y + ( y] N A [ y y + ( y y + ( y] N A [ y y + ( y y + ( y] y (, y (, y A (, y där är lmnttaran. Ställ upp lmntts matris. (p A B /PWM

6 ösning a: D båda yttr bgränsningslinjrna, Γ oc Γ 4, är fria oc oblastad så normal oc tangntialspänningarna måst vara på dssa. Md btckningarna t σ n + σ y n y oc t y σ y n + σ yy n y kan dtta uttryckas som t t y. För n symmtrirand gällr att tangntialspänningn oc förskjutningn ortogonalt mot randn är. u, t y på Γ Sammanfattningsvis: t, u y på Γ t, t y på ( Γ Γ 4 ösning b: Approimra d obkanta förskjutningarna, u u a i N i oc u y u y a iy N i, där a i oc a iy är obkanta nodvariablr, mdan N i N i (, y är valda basfunktionr. Om vi dfinirar i i N N N n a a a y a n a ny N N n kan vi skriva u u Na. Vidar ska tstfunktionrna nligt Galrkin vara n godtycklig linärkombination av basfunktionrna (altrnativt: väljs i tur oc ordning som N v N n,,,, ; låt c c vara n kolumnvktor md godtyckligt N c c n c n n N n valda kofficintr. Vi ar då v Nc. Insättning i dn svaga formn gr nu A ( Nc D ( Na da ( Nc tdγ c ( N D NdAa N tdγ Eftrsom c är n godtycklig vktor måst uttryckt inom parnts vara n nollvktor, så md B N fås alltså B DBdAa N tdγ llr Ka f. A A ösning c: Ansatsn på lmntt är u α + α + α y Nα (pss för u y, md N y oc α i α α α. Vi vill skriva dtta som u N i ai N a, där a a är nodvariab- a a lrna (för llr y förskjutningn på lmntt oc N N N N är lmntts basfunktio- om j i nr; basfunktionrna ska konstruras så att N i ( j, yj ( j,,. Vi tcknar nu om j i u ( i, yi N( i, yi α N ( i, yi a i d tr punktrna: u (, y u (, y u (, y y y y α α α a /PWM

7 y Md C ar vi då, så ( är invrtrbar om d tr punktrna (nodrna y Cα α C y a C a int liggr på n rät linj. Vi får då u Nα NC a N a, så N NC ösning d: På lmntt ar vi d från noll skiljda basfunktionrna Elmntts bidrag till B matrisn blir då N N N N N N N B N N N N N N N N N N N N N N N N N N N ( y y y ( y ( y y ( ( ( ( y ( y ( ( y y ( ( y y n Btrakta numrisk intgration av n funktion f nligt f( ξ dξ H i f( ξ i ; är är n antalt intgrationspunktr, ξ i ( i,, n punktrnas koordinatr H i motsvarand intgrationsviktr. Om vi konstrurar n lagrangpolynom av grad n så att i n l i ( ξ j j i j i n så gs intgrationsviktrna av H i l i ( ξ dξ. a: Md punktrs gaussintgration är intgrationspunktrna ξ --, ξ oc. 5 ξ -- 5 Bräkna intgrationsviktrna H, H oc H. dning: av symmtriskäl måst vi a H H (p /PWM

8 b: Ett Srndipity lmnt ar 8 basfunktionr på formn N i (, y αi + α i + α i y + α i4 + α i5 y + α i6 y + α i7 y + α i8 y y A 6 om lmntsidorna är paralllla md koordinatalarna. Då lmntt används för att approimra lösningn till tt problm som bskrivs av Poissons kvation, gs lmntstyvtsmatrisn av K kb B da där k > är n konstant oc B N ; är är A gradintopratorn oc N N N8 Hur många intgrationspunktr bövs för att intgrra fram Av lösningn måst framgå ur du kom fram till tt svar. (p n radvktor md d 8 basfunktionrna. akt md gaussintgration? ösning a: Md n ar vi tr styckn lagrangpolynom av grad n. Dt andra av dssa ( ξ ξ är ( ξ ξ l ( ξ oc alltså ( ξ ξ ( ξ ξ 5ξ 5ξ H dξ Eftrsom summan av d tr lagrangpolynomn är ar vi att H + H + H, så md H H fås H -- ( H K 5 ösning b: Vi ar är N i α i + α i4 + α i5 y + α i7 y + α i8 y, så matrislmntn i B innållr α i + α i5 + α i6 y + α i7 + α i8 y trmr som är kvadratiska i oc i y. Intgrandn B B innållr då 4 oc y 4 trmr, så vi måst intgrra 4 gradspolynom. Md n gausspunktr intgrras polynom av upp till grad n akt. Vi ar då n 4. Dt krävs alltså intgrationspunktr (i var riktning för att intgrra fram lmntstyvtsmatrisn akt /PWM