Atomer: rörelsemängdsmoment och spinn. Pauliprincipen och periodiska systemet.

Transkript

1 Förläsning 1 Atomr: rörlsmängdsmomnt och spinn. Pauliprincipn och priodiska systmt. Från kvantmkanikn, lösning till Schrödingrkvationn i 3 dimnsionr, har vi att lktronrna har rörlsmängdsmomnt L ( 1) Klassiskt gr n lktron i moturs bana kring n cntralpunkt upphov till n ström I = q /T där q är lmntarladdningn och T omloppstidn. Strömslingan, som omslutr n ara A =πr rsultrar i tt magntiskt momnt IA q r T q r r / q r q q m r L Elktronladdningn är ngativ strömmn riktad mdurs samt att är motriktad L L q L Potntilla nrgin för n magntisk dipol: U = -B SH1009, modrn fysik, VT013, KTH

2 Mn: i lösningar till Schrödingrkvationn rhölls, förutom att dt totala rörlsmängdsmomntt var kvantisrat, att n kvantisring av rörlsmängdns komponnt längs n axl var kvantisrad. När man läggr på tt magntfält skapar man n dfinirad axl, (standard är att dfinira dnna som z-axln). Kvantittr man då kan studra är basrad på B llr x B där i båda falln kvantisringn längs z-axln (kvantal m l ) är avgörand. q z L z q m m B där B är Bohr-magntonn q B 9, J/T Potntilla nrgin för n magntisk dipol: U B B z qb L z q Bm m B B Notra att m l båd kan ha positiva och ngativa värdn. Tillstånd md m l > 0 i magntfält B har högr nrgi än då z-komponntn av L är motriktad B. Dnna typ splittring av dgnrrrad nrginivår i magntfält som kan obsrvras i fotonnrgir i övrgångar kallas Zmanffktn. SH1009, modrn fysik, VT013, KTH

3 Innan vi går vidar och mätr om ffktn finns där: L ( 1) Eftrsom L vars storlk är aldrig är upplinjrad md z-axln kommr x B att vara 0. Klassiskt är vridmomntt på n dipol = x B motsvarand = = dl/dt Ur figurn fås: dl =Lsinθ dφ Mn vi också att dl = dt där q BLsin L kommr att prcssra kring z-axln md Larmor-frkvnsn: d L dt L 1 sin dl dt q B SH1009, modrn fysik, VT013, KTH

4 Är dt magntiska dipolmomntt för vät i grundtillståndt: 1) > 0? ) = 0? 3) < 0? SH1009, modrn fysik, VT013, KTH

5 Strn-Grlachs xprimnt En atomstrål passrar tt inhomognt magntfält. Fältt är symmtriskt i y-ld och homognt i x-ld kraft brond på dipolmomnt i z-ld. Klassikt: ingn kvantisring, alla värdn tillåtna. För vät (i grundtillståndt) obsrvrads två band, mn i grundstillståndt är l =0, dvs L = 0. Obsrvrat Elktronn har tt inr magntiskt momnt och därmd tt slags inr rörlsmängdsmomnt: spinn SH1009, modrn fysik, VT013, KTH

6 Spinn skall int ss som att n utbrdd lktron rotrar och därmd får tt rörlsmängdsmomnt utan är n rlativistisk kvantmkanisk ffkt. Vi (i partiklfysikns standardmodll) btraktar idag lktronn som n punktpartikl. Parants: (Jämför: Elktronn är dn nda stabila punktpartikl vi idag kan använda för att studra andra partiklar. I dagns läg har man i laboratorir acclrrat lktronr till ca 100 GV/c rörlsmängd. Dtta motsvarar n dbroglivåglängd h / p av ca m. Myckt bättr än så kan vi int uttala oss om utbrdning av n partikl. Elktriska dipolmomntt är (0,70,7)10-6 q cm. Protonn, som vi idag btraktar i dt närmast som n kulpås av kvarkar och gluonr (vilka är punktpartiklar) har n radi av m) Spinn kan ss analogt md rörlsmängdsmomntt för banrörls av lktronr. S s( s 1) s är tt kvanttal som bror av partiklslag. Varj partikl har tt bstämt s och kan int anta olika värdn. Dtta gällr för alla slags partiklar, int bara lktronr. För lktronr är s =1/, mdan för t.x. W - (förmdlar svag växlvrkan) och fotonn är s =1. Notra att för lktronn och andra spinn-1/ partiklar gällr: S 1 1 ( 1) 3 SH1009, modrn fysik, VT013, KTH

7 På samma sätt som för banrörlsmängdsmomntt är z-komponntn kvantisrad: S z m s där m s = -s, -s +1,... s -1, s För - : m s = -1/ llr m s =+1/ Magntiska momntt: g s q S Där gyromagtiska faktorn för lktronn, g,003 Faktorn gs av rlativistisk kvantmkanik (=) md kvantfälttortiska korrktionr faktorn något störr än. Totala vågfunktionn för väts lktron kan nu skrivas: Tillåtna värdn: n = 1,,... l = 0, 1,... n -1 m l = -l, -l +1,.. 0,..., l -1, l m s = -1/, 1/ n, m, m, s där n = huvudkvantalt l = rörlsmängsmomntskvanttalt m l = komponntn löngs z-axlm m s = spinnts komponnt längs z-axln Vi talar oftast om om spinnt som: m s = +1/ spinn upp () m s = -1/ spinn nr () SH1009, modrn fysik, VT013, KTH

8 Btrakta tt systm av två kvantpartiklar, (t.x. lktronr i n Hliumatom) md gmnsam vågfunktion r, ) ( r 1 Om partiklarna är av samma typ och rumsmässigt har visst övrlapp går d int att särskilja. Sannolikhtstäthtn måst då vara lika vid utbyt av d två partiklarna: Låt partiklarna vara i två tillstånd, a och b, vardra md n kombination av kvantal n, l, m l, m s. a S ab ( r 1 ) innbär då partikl 1 i tillstånd a. Variablsparation gr lösning av typn ψ ab = ψ a ψ b mn dnna gr i sig int symmtri vid partiklbyt. Eftrsom Schrödingrkvationn är n linjär diff-kvation, är dock också lösningar av typn: 1 ( r1, r ) a ( r1 ) b ( r ) a ( r ) b ( r1 ) (symmtrisk) ( r r ab 1, r ) ab( r, 1) och Aab ( r r r r 1, ) (, 1) 1 ( r1, r ) a ( r1 ) b ( r ) a ( r ) b ( r1 ) (antisymmtrisk) lösningar till S.E. För båda dssa lösningar gällr att sannolikhtstäthtn bvaras vid utbyt av d två partiklarna. Om vi bara btraktar spinn-dln kan vi konstrura symmtriska och antisymmtriska tillstånd nligt: Symmtriskt Antisymmtriskt + Tripltt-tillstånd - Singltt-tillstånd SH1009, modrn fysik, VT013, KTH

9 Pauliprincipn: Dt har visat sig i naturn att partiklar md halv- (1/, 3/,...) och hltaligt (0,1,,...) spinn uppträdr på oilka sätt. Bosonr Ett systm md j särskiljbara partiklar md hltaligt spinn har n symmtrisk vågfunktion m.a.p utbyt av partiklarna. Frmionr Ej särskiljbara partiklar md halvtaligt spinn har n asymmtrisk vågfunktion m.a.p. partiklbyt. Exmpl: partikl -partikl Foton Pion, π 0 ( r1, r ) ( r, r1 ) ab bosonr ab ( r1, r ) ( r, r1 ) spinn partikl lktron proton Omga frmionr 3/ 1 Vågfunktionn för två frmionr i xakt samma tillstånd: r, r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) 0 Pauliprincipn (th xclusion principl) ab ab spinn ( 1 a 1 a a a 1 Aaa Två j särskiljbara frmionr kan int vara i samma individulla kvanttillstånd ½ ½ SH1009, modrn fysik, VT013, KTH

10 Hur många lktronr kan finnas i n atom i tt n= tillstånd? 1) 3 ) 6 3) 8 SH1009, modrn fysik, VT013, KTH

11 Gnom att utnyttja att lktronr är frmionr och måst uppfylla Pauliprincipn kan man förklara dt priodiska systmt: huvudkvantal n = 1, Nomnklatur: xmpl: 1s s p 5 tillstånd md olika l angs md bokstav: s=0, p=1, d=, f=3... Antal - för viss n,l-kombination Varj kombination av n, l och m l kan nligt Pauliprincipn ha lktronr om dssa har olika m s ( rspktiv ). s-skal (l =0) hara bara m l =0 och därför max - p-skal (l =1) hara m l =-1,0,1 och därför max 6 - för visst l finns l+1 olika m l -värdn, vilkt tillåtr (l +1) lktronr i n,l-kombinationn (När lktronr fylls på i p-skal för högr atomtal, är dt oftast (brond på - i andra n,l skal) nrgimässigt fördlaktigt att fylla på i olika m l -värdn md lika riktad spinn (assymtrisk rumsdl, symmtrisk spinndl) därför att lktronrna, som har samma laddning hamnar längr ifrån varandra. (Hunds rgl). ) SH1009, modrn fysik, VT013, KTH

12 SH1009, modrn fysik, VT013, KTH

13 Rlativa nrginivår för olika skal som funktion av atomnummr. Md flr än n lktron i atomn, kommr lktronrna att skärma kärnladdningn för varandra. Systmt kan int lösas analytiskt utan bräknas md hjälp av dator i approximationr. Notra dock: kärnladdningn ökar md atomnummr. 1s skalt är närmast kärnan och har minst skärmning. Bindningsnrgin för n jon md bara n lktron är proportionll mot Z. (Z -brondt fås gnom att i alla härldningar för vät rsätta q m Zq ) (Mosly visad att spktrallinjr för övrgångar mllan n= och n=1 skaln ändras proportionllt mot (Z-1) ) Jonisationsnrgin för först frigjorda lktronn som funktion av Z. Ädlgasr är svårast att jonisra. Notra: hlium, 4,6 V för första frigjorda lktronn. Kvar finns n - bundn till kärna md Z=. Bindningsnrgin för dnna nda lktron i H + är då 13,6 V = 54, V SH1009, modrn fysik, VT013, KTH