Lösta exempel och gamla tentor i Materialfysik för E, IF1602 M. Göthelid Materialfysik, KTH-Electrum, Kista
|
|
- Rebecka Johansson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lösta xmpl oc gamla tntor i Matrialfysik för E, IF6 M. Götlid Matrialfysik, KTH-Elctrum, Kista (/8
2 Lösa xmpl oc gamla tantr i Matrialfysik för E, IF6 M. Götlid Matrialfysik, KTH-Elctrum, Kista (/8 Innållsförtckning (problmnummr inom parnts Fotolktriska ffktn (- Comptonspridning (-5 dbrogli oc lktrondiffraktion (6 Kvantmkanik (7-4 Atomfysik md Bors modll, vätatomn, kvanttal, atomspktra (5-7 Molkylr md kmisk bindning, vibrationr oc rotationr (8-5 Kärnfysik (6-46 Kristallstruktur, rciproka gittrt oc röntgndiffraktion (47-59 Frilktronmodlln (6-7 Gittrvibrationr, fononr oc trmiska gnskapr (7-76 Elktronr i priodisk potntial, nästan fria lktronmodlln (77-8 Halvldar (8-9
3 Exmpln i dnna samling är till viss dl gnkomponrad mn till största dln ämtad från kursböckrna Pysics for Scintists and Enginrs av Srway & Bicnr, Solid Stat Pysics av J.R. Hook & H.E. Hall, Introductory Solid Stat Pysics av H.P. Myrs, T Solid Stat av H.M. Rosnbrg, lösta problm i Fasta Tillståndts Fysik av Östn Rapp, samt tntatal funna på wbbn från olika kursr runt vårt land. Tal märkta md (T är tal från tntor givna i dn är kursn. Som avslutning ar jag bifogat 8 gamla tntor. Värdfulla insiktr om min gn bgränsad förmåga att prsntra korrkta lösningar ar undr årn framförts av kursns övningsassistntr: Mats Blomqvist, Sörn Kal, Ptrus Sundgrn, Annli Önstn, Birgr Emmot, Pål Palmgrn. Tack för dt. Mats Götlid, -8-
4 Fotolktriska ffktn (- Figurn till ögr visar uppställningn för tt fotolktriskt xprimnt nm ljus fallr mot n yta, stopp-potntialn är då 7 % av vad dn är då ljust ar våglängdn 4 nm. Bstäm md jälp av tablln vilkt matrial ytan är gjord av. Mtall Utträdsarbt (φ, V Cs.9 K. Ag 4.7 W Tablln visar data från tt fotolktriskt xprimnt. Bstäm Plancks konstant oc ytans utträdsarbt. λ(nm f ( 4 Hz K max (V Comptonspridning (-5. Röntgnstrålar md nrgin kv Comptonsprids mot n lktron i vila, oc ändrar riktning md θ 7. a bstäm Comptonskiftt b bräkna fotonns nrgi ftr kollisionn (f c bräkna lktronns kintiska nrgi ftr kollisionn (K 4. (T En foton Comptonsprids nligt figurn mot n fri partikl md massan m som för kollisionn bfinnr sj i vila. Dt kan inträffa att vinklarna φ oc θ får samma värd. Visa utgånd från konsrvringslagar för nrgi oc rörlsmängd att dtta värd måst vara mindr än (T En kv gammastrål Comptonsprids mot n fri lktron, i vila. Bräkna lktronns maximala kintiska nrgi ftr kollisionn 4
5 Elktrondiffraktion ( V lktronr infallr vinklrätt mot n yta oc sprids från n nickl-kristall nligt figur. Vid vinkln θ 5 obsrvras dt första intnsitts-maximat. Bstäm atomavståndt L. - θ L Kvantmkanik ( Man bstämmr n lktrons position i n atom md.5 nm prcision. Vad är dn minsta osäkrtn i lktronns fart? 8. En rubinlasr sändr ut ljus md våglängdn 694. nm. Antag att man vill skapa ljus md samma våglängd gnom n övrgång mllan två nivår, n oc n, i n ndimnsionll potntialgrop. Bstäm gropns brdd. 9. En partikl i n oändligt djup potntialgrop bskrivs av vågfunktionn: πx ψ ( x sin( < x < L L L ψ ( x för övrigt a Bstäm väntvärdt av x. b Bstäm sannoliktn att partikln är mllan x.49 L oc x.5 L. c Bstäm sannoliktn att partikln är mllan x.4 L oc x.6 L. d G argumnt för att rsultatn från a c int är motstridiga.. (T Dfktr i matrial kan fungra som absorptionscntra för ljus. En lktron är instängd i n dfkt, är modllrad av n.9 V djup ndimnsionll kvantgrop, md brddn nm. Elktronn bfinnr sj i grundtillståndt (nrgin bstämmr ni från dn oändligt djupa gropn a Vilkn är dn minsta nrgi som krävs för att fotoxcitra lktronn ur gropn? b Liggr dtta ljus i dt synliga områdt? c Vad får dt för invrkan på matrialts optiska gnskapr?. En lktron md nrgin K 5 V rör sig i positiv x-ld mot n potntialbarriär (U V som är. nm brd. a Vad är sannoliktn att lktronn tunnlar ignom? b Vad är sannoliktn att lktronn rflktras? 5
6 . I tt tunnlmikroskop ålls n skarp mtallspts myckt nära n yta, på avståndt L. Då n spänning, V T, läggs på uppstår n tunnlström mllan prov oc spts. Bräkna kvotn mllan tunnlströmmarna då L.5 nm oc L.55 nm. Låt C. nm -.. En lktron md nrgin E U träffar n potntialbarriär U. Bräkna andln lktronr som rflktras vid gränsskiktt. 4. (T En lktron är fångad i n kristalldfkt som kan bskrivas av n n-dimnsionll potntialgrop. Gropns brdd är. nm oc dss djup är 4 V. Elktronn kan i sitt grundtillstånd int tunnla ut ur dfktn, mn om dn xcitras till tt ögr tillstånd är tunnlingssannoliktn int längr noll. a Hur många bundna tillstånd finns i brunnn? Bräkna lktronns nrginivår E n utifrån antagandt att potntialgropn är oändligt djup. b Vad är tunnlingssannoliktn för dt övrsta bundna tillståndt om barriärn är. nm brd? Atomfysik: kvanttal, atomspktra, Bors atommodll ( En vätatom är i sitt första xcitrad tillstånd, n. Bräkna md jälp av Bors atommodll: a orbitalns radi r n b lktronns rörlsmängd c lktronns rörlsmängdsmomnt d lktronns kintiska nrgi dn totala nrgin f dn potntilla nrgin 6. Vilkt n är associrat md nm spktrallinjn i Lymans vätsri? Kan dnna våglängd associras md Pascn llr Bracktt srirna? 7. En liumatom jonisras till n liumjon (H +. Bräkna dn längsta våglängdn i jonns Lymansri, Balmrsri oc Pascnsri. 8. En litiumatom dubbljonisras till n Li-jon (Li +. Bräkna dn längsta våglängdn i jonns Lyman, Balmr oc Pascnsrir. 9. Två vätatomr kollidrar oc ar ftr kollisionn K. Strax ftr kollisionn mittrar d varsin foton md våglängd.6 nm. Vilkn astigt ad lktronrna för kollisionn?. En foton, md f.8 V, absorbras av n vätatom. a Vilkt är dt minsta n för vilkt atomn jonisras? b Vad är dn fotomittrad lktronns fart? 6
7 r a. Grundtillståndt för n lktron i vät gs av ψ s ( r π a a Visa att ψ är normrad. b Vad är sannoliktn att itta lktronn mllan r a / oc r a /?. En vätatom är i sitt fmt xcitrad tillstånd. Bräkna dt maximala rörlsmängdsmomntt för lktronn ftr mission av n 9 nm foton.. I tt lktronspinnrsonansxprimnt (ESR placras tt prov md oparad lktronr i tt magntfält B. Antag att dt ndast finns n lktron oc två nrgitillstånd, för m s +/. I ESR absorbras n foton om lktronn bytr spinnriktning från upp till nd. Vilkn fotonnrgi krävs för att spinnflippa n lktron i B.5 T? 4. (T En järnyta blyss md Al K α röntgnstrålning oc fotolktronr mittras från järnt. (a Bräkna Al K α röntgnfotonrnas nrgi oc våglängd.. (b Bräkna dn maximala kintiska nrgin os fotolktronrna från järnprovt. (c Bräkna dn kintiska nrgin för fotomittrad F p lktronr vars bindningsnrgi är 77 V. 5. (T Uppskatta nrgirna för Ni K α oc Ni L α röntgnmissionslinjrna. 6. (T Ett kopparprov bstrålas md fotonr md nrgin 56. V oc lktronr fotomittras. Koppars innrskalsnivår ar bindningsnrgir nligt diagram. a Bräkna dn kintiska nrgin för Cu p lktronr. b Dn fotomittrad p-lktronn lämnar n vakans som fylls av n M-lktron (n oc röntgnfotonr mittras. Vilka röntgnnrgir obsrvras? (p Elktronskal bindnings nrgi (V d 5. p 76. s. p 94. s (T Om lktronn i n vätatom rsätts av n taon, som ar samma laddning som lktronn mn är 49 gångr tyngr, minskar atomns dimnsionr så att taonn tillbringar n dl av sin tid inn i kärnan (protonn. Bräkna sannoliktn att taonn i sitt grundtillstånd bfinnr sig inn i kärnan givt att protonns radi är -6 nm. Vågfunktionn r a för vätatomn i grundtillståndt är ψ ( r s π a 7
8 Molkylr: kmisk bindning, rotationr oc vibrationr ( KCl är n joniskt bundn molkyl. Elktronaffinittn för Cl är.6 V, dvs. man tjänar.6 V på att jonisra Cl till Cl -. För att raktionn K + Cl > K + + Cl - skall sk måst.7 V tillföras. Vad är kaliums jonisationsnrgi? 9. Räkna ut dn potntilla nrgin för n jon i n NaCl-kristall. Borts från dt rpulsiva bidragt.. (T Växlvrkansnrgin mllan två atomr i n molkyl gs av uttryckt U ( r Jämviktsavståndt är Å oc sparationsnrgin är 4 V r B C r (a Räkna ut konstantrna B oc C. (b För att sparra atomrna fordras n kraft, F(r. Vid vilkt avstånd, r, är dnna kraft maximal?. a Bräkna trögtsmomntt I för n NaCl-molkyl runt dss masscntrum. Atomrna liggr.8 nm från varandra. b Bräkna dn mittrad våglängdn då molkyln går från tt tillstånd J till J.. Kraftkonstantn för n vibrrand HCl-molkyl är k 48 N/m. Vad är nrgiskillnadn mllan grundtillståndt oc dt första xcitrad vibrationstillståndt?. (T En syrmolkyl bindr svagt till n Pt-yta vid låg tmpratur. När ytan värms dissocirar molkyln (dvs. bindningn mllan syratomrna bryts oc d två syratomrna bindr iställt starkt till platinaytans atomr. För att bstämma vid vilkn tmpratur dtta skr studras ytan md vibrationsspktroskopi, där man bstrålar ytan md lågnrgtiska lktronr oc studrar dssas nrgiförlustr. Bräkna nrgiförlustrna när n O-O vibration (k 77 N/m rspktiv n Pt - O vibration (k 5 N/m xcitras. 4. (T En syratom bindr till n PtSn-lgring, där båd Sn oc Pt atomr finns på ytan. Man kan md vibrationsspktroskopi bstämma om syrt bindr till Pt llr Sn. Man bstrålar ytan md lågnrgtiska lktronr oc studrar dssas nrgiförlustr. Bräkna nrgiförlustrna då n Sn-O vibration (k 45 N/m rspktiv n Pt - O vibration (k 5 N/m xcitras. 5. (T En diatomär molkyl (X md bindningsavståndt r. Å vibrrar (ν oc rotrar (J. Dn xcitras till n ögr vibrationsnivå oc ändrar samtidigt sitt rotationstillstånd gnom att absorbra ljus av våglängdrna λ 4.5 µm oc λ 4.69 µm. Vilkn är molkyln? 8
9 Kärnfysik ( Använd kvation 44. för att bräkna bindningsnrgin för 6 F. 7. Ett radioaktivt prov ar n aktivitt på. mci. Eftr 4 timmar är aktivittn 8 mci. a Vad är söndrfallskonstantn oc alvringstidn? b Hur många atomr fanns från början? c Vad är aktivittn ftr timmar? 8. (T Ett 5 Curi starkt 6 Co prparat för mdicinskt bruk är innslutt i n blybållar. 6 Co β - -söndrfallr till n xcitrad nivå i 6 Ni, ndan btcknad 6 Ni*. 6 Ni* dxcitrar gnom att sända ut två fotonr (γ md nrgirna γ.7 MV oc γ.5 MV. Dn totala söndrfallsraktionn kan då skrivas: 6 6 Co Ni + γ + γ + + ν a Bräkna Q-värdt för söndrfallsprocssn. b Bräkna dn största kintiska nrgin, K max, os - partikln. c Hur stor ffkt upptas av blybållarn om alla γ oc - absorbras? Antag att mdlnrgin för - -partikln är alva K max. 9. (T Dn radioaktiva isotopn B kan skapas gnom raktionn C(n,p B. Q-värdt för raktionn är -.65 MV. D skapad B kärnorna söndrfallr gnom btasöndrfall tillbaka till C md n alvringstid på 7 ms. (a Ang söndrfallsraktionn. (b Vilkn är dn maximala nrgi som d mittrad btapartiklarna kan rålla? 4. (T För att åstadkomma fission i våra lättvattnraktorr användr man infångning av trmiska nutronr på 5 U. Därvid tillförs dn bildad kärnan n nrgi som är störr än dn aktivringsnrgi som bövs för att åstadkomma prompt inducrad fission. I naturn finns också dn tunga isotopn T som dock j kan fungra som bränsl i våra lättvattnraktorr. a Bräkna n undr gräns på aktivringsnrgin för T. M ( T.4577 u b Gnom nutroninfångning på T kan isotopn U skapas. Hur? c Bräkna om U kan vara tt lämpligt kärnbränsl då du bl.a. vt att aktivringsnrgin för 4 U är 6.5 MV? 4. (T Nuklidn 5 V finns i naturn (.5% av V-förkomstn mn är radioaktiv md n alvringstid på ca.5 x 7 år. Undrsök tänkbar(a söndrfallsväg(ar för 5 V samt ang motsvarand Q-värd(n. Motivra! [M( 46 Sc u] a Hur myckt nrgi frigörs i raktionn n + U Ba+ Kr + (? b Hur stor dl av systmts initialmassa ar avgivits? n 9
10 4. Gammastrålning absorbras av fast matria oc strålningsintnsittn avtar md dn tillryggalagda sträckan x i tt matrial nligt: I I -µx. µ är matrialts absorptionskofficint, som bror på gammastrålarnas nrgi. För bly (Pb oc.4 MV γ är µ.59 cm -. a Bstäm alvtjocklkn. b Vilkn tjocklk krävs för att strålintnsittn rducras till n tiotusnddl? 44. (T Kärnan 76 S kan skapas gnom btasöndrfall båd från 76 As oc 76 Br. I vilkt av dssa söndrfall fås dn ögsta nrgin os btapartikln? m( 76 S u m( 76 As75.99 u m( 76 Br u 45. (T Vårn 989 orsakad två amrikanska vtnskapsmän stor uppståndls då d rapportrad att d åstadkommit kall fusion vid tt lktrolysxprimnt. Man slår samman två dutriumkärnor H till antingn vät + tritium llr n nutron + H nligt: H + H H + H oc H + H n+ H. Antag att båda dssa vägar är lika sannolika. Hur många kärnraktionr pr skund krävs för att utvckla W? 46. (T I n bållar innsluts n viss mängd av tt radioaktivt prparat. Prparatt α- söndrfallr till n stabil isotop. Man mätr ffktutvcklingn som ftr 8 dygn sjunkit till 4 W. Undr d 8 dygnn ar. mg lium bildats, när man mätr ftr myckt lång tid ar dt bildats. mg lium oc ffktn ar sjunkit till nästan noll. a Hur myckt nrgi avgs vid varj söndrfall? b Hur stor ffkt utvcklads vid försökts början?
11 Kristallstruktur, rciproka gittrt oc röntgndiffraktion ( Antag att atomrna i tt gittr är årda sfärr. Bräkna packningstättn i sc, bcc, fcc. Vad är atomradirna i d olika strukturrna, givt att kubns sida är a? 48. Bstäm gittr oc bas för strukturrna a, b oc d i figurn. a NaCl, b CsCl, oc d BaTiO. 49. En gittrstruktur bskrivs av basvktorrna a, b, oc c. Ett plan i strukturn skär axlarna vid a, -b oc c. Bstäm plants Millrindx. 5. Visa att dt dirkta bcc gittrts rciproka gittr ar fcc-form. 5. (T Vid tt Dby-Scrrr xprimnt (våglängd.54 Å obsrvrads rflxr i följand vinklar; 8.78º,.77º, 5.8º, 67.º oc 74.5º. a Bstäm kristallstruktur oc gittrparamtr. b Bräkna dn atomära packningstättn för d plan som gr uppov till dn första av d ovan angivna vinklarna. 5. (T Vid tt Dby-Scrrr xprimnt (våglängd.5 Å obsrvrads rflxr i följand vinklar;.68º,.5º, 9.8º, 47.66º, 55.7º, 64.86º, 77.9º. (a Bstäm kristallstruktur oc gittrparamtr. (b Bräkna dn atomära packningstättn för d plan som gr uppov till dn första av d ovan angivna vinklarna. 5. En alkalialid studras i tt Dby-Scrrr xprimnt (Cu Kα, oc följand Braggvinklar uppmäts:.8, 5.9, 8.99,.7 oc Bräkna: a gittrparamtrn. b Millrindx för d plan som gr uppov till d obsrvrad diffraktionsvinklarna. c Millrindx för d plan som gr uppov till dn största tillåtna Braggvinkln. d Idntifira alkalialidn.
12 54. Vid K ar Al fcc struktur md a.9 Å. Dss linjära trmiska xpansionskofficint är.5 K -. Md ur stor vinkl ändras ( rflxn i tt Dby-Scrrr xprimnt om kristalln värms från K till 6 K? λ.54 Å. 55. (T Bräkna d två minsta spridningsvinklarna för CsCl oc CsI i tt röntgndiffraktionsxprimnt md Cu K α strålning (λ.54 Å. CsCl oc CsI är jonkristallr md nkl kubiskt gittr md basn Cl - jon (llr I - jon i (,, oc Cs + jon i (/, /, /. För CsCl är gittrkonstantn 4. Å oc för CsI 4.57 Å. Md spridningsvinkln mnas vinkln mllan dn inkommand oc dn utgånd röntgnstråln (dvs. dubbla Braggvinkln. 56. Figurn visar intnsittn som funktion av spridningsvinkln (dubbla Braggvinkln för nutronr diffraktrad från tt diamantprov i pulvrform (gittrkonstant.57 Å. D minsta spridningsvinklarna är, 49, 58 oc 7. a Vid vilkn spridningsvinkl kan nästa rflx förväntas komma? b Md ur myckt (i procnt kan man minska nutronrnas astigt om dt fortfarand skall vara möjligt att obsrvra 4 Braggrflxr? Antag att man kan mäta spridningsvinklar upp till 8. c Om man skull göra samma xprimnt md fotonr, vilkn nrgi skull dssa a för att g samma spridningsvinklar som i figurn ovan? 57. Räkna ut strukturfaktorn för fcc. 58. Man vill bstämma andln G i n Si -x G x -lgring md röntgndiffraktion md Cu Kα strålning (λ.54 Å. Antag att gittrparamtrn varirar linjärt md koncntrationn, oc att kristallstrukturn är dnsamma för lgringn som för d rna lmntn. Följand Braggvinklar (i gradr uppmätts: 4.5,.485, oc Hur stor andl G finns i lgringn? Gittrparamtrarna är 5.4 Å fär Si oc 5.66 Å för G.
13 Tillåtna rflxr för kubiska strukturr gs i figurn ndan. 59. (T Platina är n myckt viktig mtall inom katalys. Man kan modifira katalysatorns gnskapr gnom att tillsätta små mängdr av andra mtallr. På så vis kan man v. styra n raktion mot önskad produkt. Utgånd från n Pt( yta kan man skapa så kallad ytlgringar där man bytr ut t.x. n trdjdl av ytans platinaatomr mot tnn, s figur. Ytans priodicitt ändras då oc d basvktorr som bskrivr ytan ändras också. För att kontrollra ytans priodicitt oc symmtri användr man ofta lågnrgilktrondiffraktion (LEED. Här skall ni bräkna LEED-mönstrt från d två ytorna md givna basvktorr nligt figur. Vktorrnas längd är.77 Å i a. Ldtråd: LEED-mönstrt är dt samma som dt tvådimnsionlla rciproka mönstrt för ytan. a b Frilktronmodlln ( Bräkna Frminrgi oc Frmiastigt för Cu. Utgå från g(ε för att bräkna dt gnomsnittliga nrgiavståndt mllan tillstånd nära Frminivån i cm Cu. 6. Uppskatta andln lktronr som dltar i lktrisk ldning i n mtall. 6. Hallkofficintn för flytand Al är.9. - m /C. Vid 77 K är rlaxationstidn s. Uppskatta lktrisk oc trmisk ldningsförmåga för Al vid 77K. 6. (T Bräkna tillståndstättn för n ndimnsionll frilktronmtall.
14 64. (T En tvåvärd frilktronliknand mtall md Dbytmpraturn 5 K ar bcc-struktur md gittrparamtr 4. Å. (a Bräkna Frminivån i matrialt. (b Bräkna lktronrnas bidrag till värmkapacittn vid K för n mol av matrialt. 65. (T För aluminium som är n frilktronliknand mtall md kristallstrukturn fcc oc gittrkonstant 4.4 Å, gällr att utträdsarbtt är 4. V. a Bräkna avståndt mllan cntrum på två närmsta grannatomr. b Bräkna tt numriskt värd på Frminrgin, utgånd från frilktronmodlln, där varj atom bidrar md lktronr till lktrongasn. c Vilkn är dn maximala våglängd lktromagntisk strålning kan a för att fotomittra lktronr från Al? 66. (T Litium kristallisrar i bcc-struktur md närmsta grannavståndt. Å. (a Bräkna Frminrgin oc Frmivågvktorn. (b Bräkna, utgånd från frilktronmodlln, valnslktronrnas mdlnrgi. 67. (T En koppartråd är 4 cm lång oc ar n tvärsnittsyta som är mm. Vid.5 A ström gnom trådn uppmätts n. mv spänning mllan ändarna. a Bräkna rlaxationstidn τ. b Bräkna driftastigtn v. c Bräkna dn mdlfria väglängdn λ. 68. a Bräkna lktronrnas fria mdlväglängd i koppar vid rumstmpratur i frilktronmodlln. Antag att varj Cu-atom gr n lktron till ldningsbandt. Cu kristallisrar i fcc md gittrparamtrns.6 Å. Givt ρ Ωm, ε F 7.4 V. b Vid tillsatts av % As ökar rsistivittn till Ωm. Vad är dn gnomsnittligt tillryggalagda sträckan mllan kollisionr mot förorningsatomr? 69. Bräkna lktronrnas fria mdlväglängd i bryllium (B om rsistivittn vid rumstmpratur är Ωm, atomtättn är.. 9 m - oc valnstalt (fria lktronr pr atom är. 7. a Hur stort lktriskt fält bövs för att förskjuta Frmiytan δk i koppar, som motsvarar % av Frmivågvktorn. Använd rlaxationstidn τ. -4 s, E F 7.4 V, σ (Ωm -. b Hur stor är strömtättn vid dtta fält? 4
15 Gittrvibrationr, fononr oc trmiska gnskapr ( Bräkna n longitudinll fonons gruppastigt i [] riktningn i n nklt kubisk kristall md gittrparamtrn 5. Å md jälp av disprsionskurvan ndan. a i n punkt ungfär mitt på dn linjära dln b vid dn ögsta punktn på kurvan Disprsionsrlationr ω(k för akustiska fononr, uppmätta längs [ riktningn i n kristall. Högra ändan av k-axln angr Brillouinzongränsn. 7. a Bräkna maximala nrgin för n fonon i natrium, bräkna ävn dss vågvktor. b Bräkna vågvktor oc nrgi för n lktron vid Frmiytan i natrium. c Antag att lktronn oc fononn ovan kollidrar. Kan lktronns nrgi ändras kraftigt? Kan lktronns vågvktor ändras väsntligt? Antag att ljudastigtn är m/s, gittrparamtrn är 4. Å oc strukturn är bcc. 7. (T I tt xprimnt rölls följand värdn på dn spcifika värmkapacittn C. T (K C (J /kmol K a Bräkna Dbytmpraturn (θ D. b Bräkna spcifika värmkapacittn vid K. 5
16 74. (T Vid vilkn tmpratur ar n mol monovalnt koppar oc n mol trivalnt aluminium samma värmkapacitt? D tabllrad siffrvärdn kan möjlign vara till jälp. Al E F.58 V N N A θ D 48 K Cu E F 7. V N N A θ D 45 K 75. Vid tt xprimnt uppmätts värdn på värmkapacittn nligt lilla tablln. Idntifira matrialt oc bstäm dss Dbytmpratur. T(K C (mj/mol K γ(mj/mol K för några olika mtallr Na.8 Ti.5 K.8 V 9.6 Mg. Cr.4 Al.5 Mn 9. Pb.98 F 4.98 Cu.7 Co 4.7 Ag.65 Ni 7. Au.7 Pt (T Vilkn värmkapacitt (i J/mol. K ar diamant oc Cu vid T 4 K, T K oc T 4 K? Dbytmpraturn för Cu är 4 K oc för diamant är dn K. Elktronr i priodisk potntial, nästan fria lktronmodlln ( En ndimnsionll kristall ar gittrparamtrn a. Elktronnrgin ε(k gs av uttryckt: k 7 ε ( cos ka + cos ka ma 8 8 a Skissa bandt i första Brillouinzonn. Vrifira att lktronastigtn vid bandts bottn oc vid zongränsn. b Bstäm ffktiva massan, m* vid bottn oc toppn av bandt. 78. Bräkna tillståndstättn g(ε för n linjär atomkdja md disprsionsrlationn ε ( k A B cos ka. 6
17 79. Vilkt är dt minsta nrgigapt vid Brillouinzongränsn för att n divalnt fcc-mtall ska a dn första Brillouinzonn lt fylld? G numriska värdn för Ca md gittr-paramtrn 5.58 Å. Dn första Brillouinzonn visas i figur > 8. En lgring av X oc Y ar sammansättningn XY oc är linjär. Dn förkommr i två formr, dls n oordnad struktur där varj gittrplats upptas av X llr Y md samma sannolikt, oc i n ordnad form där varannan atom är X oc varannan är Y. Om dn oordnad formn ar n disprsionsrlation nligt ε ( k A B cos ka, ur sr dn ordnad lgrings disprsionsrlation ut? 8. En ypottisk monovalnt mtall ar nkl kubisk struktur md gittrparamtrn a. Använd frilktrontorin för att bräkna Frmisfärns radi. Bräkna dt kortast avståndt mllan Frmisfärn oc Brillouinzonn. Får la sfärn plats i första Brillouinzonn? 8. Frmiytan för n tvådimnsionll mtall snuddar Brillouinzonn som i figurn. Hur förändras lktronfördlningn i tt pålagt lktriskt fält i x-ld. Hur påvrkar Frmiytans form dm lktriska ldningsförmågan? Halvldar ( (T Btrakta gnldand kisl vid rumstmpratur (T K. Elktronmobilittn är. m /Vs oc ldningsförmågan är (Ωm -. Koncntrationn av lktronr i ldningsbandt är.4. 6 m -. a Bräkna ålns mobilitt b Matrialt dopas så att N D m -. Vad blir konduktivittn om alla donatorr antas jonisrad? 84. (T Vid K ar tt ögrnt G prov rsistivittn.9 Ωm. Bräkna bandgapt, då lktronrnas mobilitt är.8 m /Vs oc ålns mobilitt är.8 m /Vs. 85. Dt är känt att alvldar fungrar olika bra vid olika tmpraturr. Jämför dn lktriska ldningsförmågan för n n-dopad kislkristall n varm sommardag då T K md n kall vintrdag då T 5 K. N D x m -. ε.7 för kisl. a Bräkna jonisationsnrgin för n dopatom i kisl. b Bräkna förållandt mllan konduktivittn vid 5 K oc vid K. Antag att ndast dopatomrnas lktronr bidrar oc att µ E G E D. 7
18 86. (T Vid rumstmpratur ( K är lktronmobilittn i G.9 m /Vs oc ålmobilittn.9 m /Vs. Dn intrinsiska laddningsbärarkoncntrationn n i.. 9 m -. Matrialt skall dopas så att konduktivittn blir så litn som möjligt. Du kan välja mllan fosfor oc aluminium. Vilkt skall du välja, oc vilkt koncntration skall du dopa md? 87. (T Bstäm Frminivå oc konduktivitt i odopat GaAs vid K. 88. (T Ett kislprov är dopat så att laddningsbärarkoncntrationn från d jonisrad dopatomrna är myckt störr än dt intrinsiska bidragt, n i.4 x 6 m -. a Bstäm laddningsbärartyp, laddningsbärarkoncntration samt rsistivitt om Hallkofficintn är -8.7x -5 m /C. b Vad är tmpraturn om vi vt att dopkoncntrationn är.8 x m - oc dopnivån liggr 5 mv från bandkantn. 89. (T III-V alvldar används inom optolktronikn. Dssa kristallisrar i så kallad zinkblndstruktur, som är tt fcc-gittr md två atomr i basn. Gnom att blanda t.x. GaAs oc InAs kan bandgap oc gittrparamtr variras brond på sammansättningn. Ni ar i uppgift att konstrura n alvldarlasr av In -x Ga x As, sådan att dn mittrar ljus md våglängdn.4 µm. Antag att bandgapt oc gittrparamtrn varirar linjärt md x. a Bstäm x så att önskat bandgap rålls. b Vid vilkn Braggvinkl obsrvras dn första rflxn från ditt matrial i tt röntgndiffraktionsxprimnt md röntgnvåglängdn.54 Å? Tillåtna rflxr är + k + l, 4, En alvldar md dirkt bandgap blyss md ljus md fotonnrgi f > ε G, så att lktronålpar skapas. Bstäm uttryck för lktronns oc ålts kintiska nrgir oc vågvktorr. Bräkna numriska värdn för GaAs md bandgap.4 V oc fotonnrgi.6 V. 9. Ett Si-prov är rnat tills dt bara ar 8 donatorr pr m. Undr vilkn tmpratur är provt xtrinsiskt? E G. V, n i (K. 6 m -. (H&H InSb ar n dilktricittskonstant ε r 7 oc n ffktiv lktronmassa m *.5 m. Bräkna: (H&H 5. a En donators jonsationsnrgi b Banradin på grundtillståndt (för dopatomn c Vid vilkn donatorkoncntration börjar dopatomrnas bantadir att övrlappa? 8
19 9. Bstäm jonisationsnrgin för As-dopatomr i G md jälp av figurn (H&H Bräkna Hall-kofficintn för Na oc för intrinsiskt InSb vid K. Na ar bcc struktur md a 4.8 Å. InSb ar E G.5 V, m*.4 m, m *.8 m. Uppskatta Hallspänningn för tt prov md brddn 5mm, tjocklkn mm när n ma ström passrar i tt magtfält på.t. Antag N A N D. (H&H Du studrar pn-övrgångar av Si oc G. Antag att potntialn i utarmningsområdna x bstäms av kv. 6.7 oc utarmningsområdts brdd gs av kv Bräkna, där x w n + w p är avståndt till dn punkt från utarmningsområdts kant där majorittsladdningsbärarkoncntrationrna sjunkit till 5%. (H&H Kapacitansn os n pn-övrgång används tillsammans md n µh induktans för att skapa n rsonanskrts. Bräkna ändringn i rsonansfrkvns när spänning övr pnövrgångn variras från -V till -V. Låt N A N D m -, TK, ε r, n i. 6 m - oc övrgångns ara -6 m. (H&H Bräkna φ(x oc utarmningsområdts tjocklk för n gradd pn-övrgång. Dopkoncntrationn varirar nligt N D N A kx i la utarmningsområdt. (H&H µa flytr gnom n backspänd (.5 V pn-övrgång vid K. Bräkna strömmn när samma övrgång framspänns md samma spänning. (H&H 6.4 Några alvldarparamtrar E G (V a (Å µ (m /Vs µ (m /Vs m * (m m * (m ε Si G GaAs InAs
20 Lösningar Fotolktriska ffktn (- En foton absorbras av ytan oc n lktron fotomittras md dn kintiska nrgin K c nligt: K f φ φ. λ Elktronn bromsas av kollktorns potntial V. Elktronns nrgi minskas då md V. Dn potntial som lt stoppar flödt av lktronr kallas stopp potntial, V s. V c c K φ φ λ λ s V s ( Md λ 445 nm > c/λ.79 V. Stoppotntial.7 V s ( Md λ 4 nm > c/λ. V. Stoppotntial V s ( (.79.7 V. V V. V Svar: Mtalln är kalium. s s s 8 φ..8.v Vi vt att K max f φ. Plotta därför K max mot f. Lutningn gr så. Linjn skär f-axln där K max oc f φ. K max.5v f 68THz Vs K max då f 45. THz > φ.4 V. Js Comptonspridning (-5 Vi utgår från: λ λ' λ ( cosθ m c.4nm m c a λ 489 fm c c b f ' c( 68. kv λ' λ + λ 4.6 m c Enrgin bvaras i kollisionn, dvs., f f + K > K f f.7 kv
21 4 Enrgins oc rörlsmängdns bvarand gr kvationrna. p x cosθ γ cosφ λ λ' m v + p y sinθ γ sin φ λ' m v θ φ gr kvationn i y-ld: sinθ ( γ λ' m v som ar två lösningar: θ oc γmv λ ' gr n vinkl < 6. Inför därför lösning i kvationn för p x, vi får då: cosθ ( + γmv cosθ λ λ' λ' Vilkt tillsammans md Comptonskiftts kvation λ' λ λc ( cosθ gr λ + λ θ λ + λ C cos. C För små λ<< λ C är lösningn θ ~, för stora λ >> λ C är ögrldt ~.5 vilkt gr θ 6, dvs. dt finns inga lösningar för θ > 6, vsv. 5 Fotonn kollidrar md n lktron. Enrgin skall bvaras, dvs. fotonns nrgiförlust är dnsamma som lktronns nrgivinst. Enligt Compton ändras fotonns våglängd λ' λ ( cosθ där λ är våglängdn ftr kollision oc λ är för. Elktronn får mc maximal kintisk nrgi när fotonns nrgiförlustr är maximala dvs. spridningsvinkl 8 > E (foton 8 kv oc K max 6 kv. Elktrondiffraktion (6 6 Elktronvågn sprids mot ytan vars atomr fungrar som källor sfäriska vågor. Dssa intrfrrar oc konstruktiv intrfrns fås då väglängdsskillnadn δ L sinθ nλ. Vi sökr första maximum, dvs. n. Elktronrnas d Brogli-våglängd λ λ.67nm L.8Å.8nm me sinθ Kvantmkanik (7-4 7 En av Hisnbrgs osäkrtsrlationr sägr m v x > v x 58km / s 4πm x x p x 4π. Här är x.5 nm. p x
22 8 Enrginivårna för n lktron i n oändlig låda gs av E n ( n 8mL lktronn fallr från E till E. Ljusts nrgi f c/λ E E. λ λ E E ( (4 L L. 795nm 8mL 8mc 8mc. Ljus sänds ut då 9 a Väntvärdt av x gs av x L πx ψ ( x xψ ( x dx xsin ( dx L L 4πx 4πx sin( cos( x x L L L L L 4 8 π π L 4 L L L { 4.48iScaumMatHandbook } sin 4π L cos4π L + 8π π π b Sannoliktn att finna partikln mllan två punktr gs av intgraln P( x.5l.5l ψ ( x ψ ( x dx L.49L.49L.5L 4πx sin( x L L 8π L.49L sin πx ( dx L { Scaum :4.47} (.5.49 sin(4.5 sin(4.49 L π π L 8π L L c som i b.6l.6l P( x ψ ( x ψ ( x dx L 4πx sin( πx x sin ( dx L 8 L L π L.6L.4L.4L.4L.4 Elktronn lyfts från grundnivån i kvantgropn ut ur gropn, upp till.9 V ovanför gropns bottn. Dn minsta nrgi som krävs då är skillnadn mllan grundnivån oc.9 V. Räkna ut nrginivån i brunnn nligt sid i Srway. (E.76 V. a Fotonnrgin blir då V b λ c/e 49 nm. Synligt liggr mllan 4 oc 7 nm, dvs. 49 nm är synligt. c Matrialt absorbrar ljus md kortar våglängd än 49 nm.
23 Dn infalland vågn transmittras oc rflktras, T + R. För små T gällr nligt kv. 4. & 4. att: T. oc R.9897 CL där m( U E C. Här blir CL 4.58 vilkt gr T Tunnlströmmn I T ~ T. CL.5 T > T (.5 oc.55. T (.55. T /T.5. Dvs. n förändring av avståndt mllan yta oc spts md 5 pm gr n förändring i strömmn på 5%. Från förläsning vt vi (altrnativt visar r övningsassistnt ur dt liggr till att rflktansn för n lktron md nrgi E som träffar n potntialbarriär U gs av R ( k k där ( k + k me k oc k m( E U är vågtaln i d olika områdna. m ( U U ( Md E U fås R. 94 m ( U + U ( + 4 a Enrginivårna i n oändligt djup grop gs av E n ( n 4.8 n ( V. 8mL Våra nrginivår blir då E 4.8 V, E 6.7 V, E 7.65 V, E V. Tillstånd till ar lägr nrgi än 4 V oc är bundna. Svart är sålunda. b Tunnlingssannoliktn T gs av uttryckt T CL. L är barriärns tjocklk oc m( U E C. Md L. nm, U4 V oc E7.65 V är T.9 %. Atomfysik: kvanttal, atomspktra, Bors atommodll (5-7 5 a Radin för dn innrsta lktronbanan gs av Borradin a.59 nm. Övriga lktronbanradir gs av r n n a. Här är n oc radin blir då. nm. n 5 b Rörlsmängdn m vn m 9.97 kgm / s m r na 4 c Rörlsmängsmomnt m v r n. kgm s n n n / d Kintisk nrgi k k.66 K n. 4V rn n a n Total nrgi.66 E n. 4V n f Potntill nrgi E K + U > U E - K V
24 6 Gnrllt gällr dt att ljusvåglängdn från n atomär övrgång mllan nivårna n oc m gs av: R ( m, där Rydbrgs konstant R λ H H.977 * 7 m -. n Lymansrin m Balmrsrin m Pascnsrin m Brackttsrin m 4 a Vi sökr n för givt m oc λ nm. Skriv om kvationn ovan n m λr H n m λr λr m H H. Md givna värdn fås att n 5 b Kan givn våglängd förkomma i Pascn llr Brackttsrirna, dvs. md m llr 4? λr H.46 för givt λ. För m > saknas därför rll lösning på kvationn ovan..6z 7 För n-lktronatomr gällr att E n. Skriv om md Rydbrgs konstant oc E n c/λ > Z RH (. λ n n f i För Lymansrin är n f, för Balmrsrin är n f oc för Pascnsrin är n f. Dn längsta våglängdn gs av dn minsta nrgiskillandn, dvs. övrgångar där n i n f +. För H + är Z oc vi får: Lyman ( > λ nm Balmr ( > λ 6 nm Pascn (4> λ 467 nm.6z 8 För n-lktronatomr gällr att E n. Skriv om md Rydbrgs konstant oc E n c/λ > Z RH (. λ n n f i För Lymansrin är n f, för Balmrsrin är n f oc för Pascnsrin är n f. Dn längsta våglängdn gs av dn minsta nrgiskillandn, dvs. övrgångar där n i n f +. För Li + är Z oc vi får: Lyman ( > λ.5 nm Balmr ( > λ 7 nm Pascn (4> λ 8 nm 4
25 5 9 Vi antar att atomrna är i sina grundtillstånd för kollisionn. Dras kintiska nrgi är mv K för, där m.66* -7 kg. Eftr kollisionn är K ftr. K för ar absorbrats oc xcitrat atomrna. Vid d-xcitationn mittras två fotonr (λ.6 nm oc fotonnrgin E f c/λ. Enrgin bvaras, dvs. s km m c v c mv K för / 44.4 λ λ För att jonisra atomn krävs att lktronn lämnar atomn. Dvs. fotonnrgin måst vara störr än lktronns bindningsnrgi i dt aktulla tillståndt. Enrgin för n nivå gs av V n E n.66. a Sätt E n f.8 V oc lös ut n > n.44. Endast ltal gr tillåtna lösningar > är dt minsta tillåtna värdt på n. b md n är E.5 V. Elktronns kintiska nrgi K ½ mv V. Lös ut v 5 km/s. a Om ψ är normrad gällr att ( dv r ψ ( 4 ( 4 4 ( ( a ra r a a a a x x a dx x dr r a dr r r dv r a r ax ax a r π π π ψ ψ dvs. ψ är normrad. b Vad är sannoliktn att itta lktronn mllan r a / oc r a / Bräkna P(a / < r < a / { }.497 ( 9 ( ( ( 4 4 ( ( ( / / / / / / / / a ra r a a som dr r a dr r r dv r r P a a a r a a a r a a a a π π π ψ ψ
26 Fotonn avgs ftr n övrgång mllan två nivår m oc n, vars nrgir gs av.66 E n. Vi vt att m 6 oc att fotonns nrgi f E m E n c/λ.4 V. n f.4 n + m.4.66( A m 6 & n m n.66 n m Dvs. lktronn bfinnr sj på nivå n ftr mission. Dt maximala banrörlsmängdsmomntkvanttalt är n-. L l( l + l 6 Banrörlsmängdsmomntt { } Enrgin för d olika tillståndt gs av E Bo µ oc E Bo µ µ µ B m J / T Fotonnrgin 4 f E E Bo µ J 4. 4µ V 4 a K α strålning fås då n lktron fallr från L-skalt till n vakans i K-skalt. Fotonns nrgi f E L - E K. För att räkna ut E K oc E L använda uttryckn i avsnitt 4.8 i Srway, md Z för Al..6.6 E L ( Z V V oc E Z V V K ( vilkt gr f V. Från Ec/λ löss λc/e 8.5 Å. b K max f - φ {φ 4.5 V, tab. 4.} 464. V c Gnrllt gällr att dn kintiska nrgin för n lktron gs av: K f - φ - E B { vilkt i vårt fall blir} V 5 K α strålning avgs då n vakans i K-skalt fylls av n lktron från L-skalt oc "nrgivinstn" avgs i form av n foton. Enrgin kan bräknas som i avsnitt 4.8. För Ni gällr att Z 8. Enrgin för n lktron i.6 L-skalt md n K-skalsvakans gs av E L ( Z V 478V för dn nivå till vilkn dn fallr (notra att där saknas n lktron.6 E K ( Z V 994V Fotonnrgin för Ni K α blir då V. 6
27 Samma rsonmang för Ni L α gr:.6 E M ( Z 9 V 545V.6 E L ( Z V 98V Fotonnrgin för Ni L α blir då V. 6 a Dn kintiska nrgin gs av K f - E bind - φ. φ för Cu är 4.7 V > K 8. V b Röntgnnrgin gs av nrgiskillnadn mllan d i övrgångn inblandad nivårna. För röntgnmission gällr urvalsrglns l+. Till p kan därför ndast lktronr från s oc d ndfalla oc avg röntgnstrålning. D obsrvrad röntgnnrgirna är därför 8 V rsp. 98 V. 4r r a 7 Sannoliktstättsfunktionn för vät grundtillstånd är P s ( r a. (Srway 4.5. Notra är att a, dvs. radin bror på massan. För lktronn är a mk.59 Å oc för taonn är a.59/49 5 fm. Sannoliktn att itta taonn mllan r oc r -6 nm gs av intgraln av tättsfunktionn. (S xmpl 4.5 i Srway. P r P s 4 ( r a r r r a 4r dr a 4r + a + r a r fm.6% Molkylr: kmisk bindning, rotationr oc vibrationr (8-5 8 Jonisationsnrgin (K + lktronaffinittn (Cl dn nrgi som skall tillföras. Jonisationsnrgin (K V 4. V 9 Coulombkraftn mllan två laddad partiklar (- oc + på avståndt R är FCoul U Coul. 4πε R 4πε R k. I n kristall påvrkas n jon av n total 4πε potntial som är summan av bidragn från dss omgivning. Dvs. för n NaCl-kristall nligt figur 8 α U tot ( j i 4πε R 4πε R 4πε R ij Madlungs konstant α.748. Md R.8 nm får vi U 9.5 V J. 7
28 Sparationsnrgin är dn nrgi som krävs för att bryta molkylns bindning, räknat från potntialns minimum vid r r, jämviktsavståndt. Vi vt sålds att B C U(r - 4 V U( r 4V ( r r du ( r B C Vid jämvikt ar U(r minimum, dvs. + dr r r 8 Vilkt, md r r, gr 5 B r C ( a Från dtta lösr vi ut C 45 V Å oc B 5949 V Å. b Maximal kraft F(r fås då df/dr. du ( r df( r B 6C F ( r 4 dr dr r r 8 Lös ut r: r r 8 r. 5Å a m m I µ m + m ( r r u kg, m Na u, m Cl 5.5 u, r.8 nm µ.96 u oc I kgm. b E rot J ( J + I Räkna ut nrgiskillnadn mllan J oc J. E c c ( oc våglängdn λ I.6cm rot I I E rot Vibrationsnrgin gs av E k ( ν + vib π µ I grundtillståndt är ν, i dt första xcitrad tillståndt är ν. mm 5.5 k k µ (.97u E vib ( +. 6V m + m π µ π µ Elktronr som träffar ytan xcitrar vibrationr. Elktronns nrgiförlust är dnsamma k som nrgiskillnadn mllan två vibrationsnivår, dvs. E vib. π µ mm Bräkna rducrad massorna för d två kombinationrna: µ. µ OO 8 u, m + m µ PtO 4.78 u. Md givna k får vi: E vib (O-O 96 mv oc E vib (Pt-O 55 mv 8
29 4 Elktronr som träffar ytan xcitrar vibrationr. Elktronns nrgiförlust är dnsamma k som nrgiskillnadn mllan två vibrationsnivår, dvs. E vib. π µ mm Bräkna rducrad massorna för d två kombinationrna: µ. m + m µ SnO 4. u, µ PtO 4.78 u Md givna k får vi: E vib (Sn-O 64 mv oc E vib (Pt-O 55 mv 5 Molkylns totala vibrations oc rotationsnrgin är E ( ν + f + J( J +. I Vibrationskvanttalt ν,,, tc, oc rotationskvanttalt J,,. Molkylns k vibrationsfrkvns f där µ är dn rducrad massan oc k molkylns µ kraftkonstant. I är trögtsmomntt I µr, där r är bindningsavståndt oc µ åtrign är dn rducrad massan. Vid övrgångar är ν ± oc J ±. Ändringn i nrgi vid n övrgång blir då (s kv. 4. oc 4.4 i Srway ( E f + ( J + I md J +. E c/λ.75 V ( E f J md J -. E c/λ.65 V I För att bstämma vilkn molkyln är räckr dt att vta dn rducrad massan som vi kan lösa ut från I. Ta ( ( > I E E I (J + ( E E µ r µ (J + ( E E r 7u m m m µ { m m} m 4u dvs molkyln är N. m + m 9
30 Kärnfysik (6-4 6 Ekvationn skrivs Z( Z ( N Z C A C A C C 4, där A A E b Volymsbidrag ökar linjärt md antalt nuklonr, C 5.7 MV Ytbidrag: nuklonr vid ytan ar färr närmsta grannar oc därför n lägr bindningsnrgi. C 7.8 MV. Coulombrpulsion mllan d laddad protonrna. Z partiklar växlvrkar md Z-. Proportionll mot r. C.7 MV A 4 Rpulsion mllan nutronr i nutronrika kärnor. C 4.6 MV. Här är A 56, Z 6 oc N vilkt gr E b MV λt R 7 a R R λ ln(. t R Md t 4 timmar 44 skundr fås λ s - oc ln T 447sk. 4tim λ b Ci.7. söndrfall pr skund. R N. λ > N.9. atomr c R λt R R mci, λ s -, t 8 sk > R ( tim.9 mci. 8 a För tt β - -söndrfall är Q (M Co - M Ni c.85 MV. M Co u oc M Ni u. (Finns i tabll A b Q-värdt är nrgiskillnadn mllan kärnorna i grundtillstånd. Dnna nrgivinst dlas brodrligt mllan d två γ-strålarna, lktronn oc nutrinon. D två γ-nrgirna är givna. Rstrand nrgi dlas mllan lktron oc nutrino nligt figur 44.4 i Srway. K max för lktronn fås då nutrinons nrgi är noll (llr nära K max Q - γ - γ.95 MV c Enrgi pr söndrfall Q. Mdlnrgin för n lktron är givn, / K max, så ävn nutrinons nrgi. Alla γ oc - absorbras, dock ick nutrinon. Dvs. dn absorbrad nrgin pr söndrfall E abs Q - / K max.557 MV. 5 Curi 5 x.7 x söndrfall pr skund. Absorbrad ffkt nrgi/sk 5 x.7 x x.557 MV/sk 74 W.
31 9 Raktionn kan skrivas C + n B + p Q raktion [M( C + M n - M( B -M( H]c -.65 MV (Obs! Atommassor a Söndrfallt skr via β - -söndrfall nligt: B C + β - + antinutrino. b Btapartiklns maximala kintiska nrgi gs av: K max (β - Q β- Q β- [M( B - M( C]c Alltså är Q β- [M n - M( H]c - Q raktion MV.44 MV 4 (S givn massa i uppgiftn oc från tabll i bokn a Vid infångning av n trmisk nutron på T får dn nyskapad kärnan T n xcitationsnrgi E x ( M ( T + M n - M ( T c (nutronns kintiska nrgi << V försummas. E x ( x MV MV. Eftrsom T int fungrar i raktorn måst alltså aktivringsnrgin vara störr än ca 4.8 MV. b T + n -----> T + γ ---> Pa + β - + anti ν > U + β - + anti ν Som ovan är E x ( 4 U ( x MV 6.85 MV dvs. störr än aktivringsnrgin 6.5 MV. Alltså kan U användas som kärnbränsl oc klyvas vid infångning av trmiska nutronr. Halvringstidn är.59 x 5 år som gör att dt är tillräckligt långlivat. 4 Vi undrsökr om d olika söndrfalln (β -, β +, EC (lctron captur, α oc fission är nrgtiskt möjliga. Enl. tabll A i bokn är atommassan för 5 V u. β - : ldr till 5 Cr [M( 5 Cr u] Q β - ( x MV.8 MV > MV. Alltså uppfylls dt nrgtiska villkort för β - - söndrfall. β + oc EC ldr till 5 Ti. Q EC ( x MV.7 MV > MV. Q β + Q EC -. MV.85 MV > MV Alltså är nrgtiska villkorn uppfyllda för båd β -, β + oc EC söndrfall. Hur är dt md alfasöndrfall oc fission? Vi förväntar oss int alfasöndrfall vid så låga A-värdn mn kolla för säkrts skull: Q α (M X - M Y - M( 4 H x MV (söndrfall till 46 Sc. Insättning gr: Q α ( x MV dvs. < oc j nrgtiskt möjligt. Fission förväntar vi oss j på vänstra sidan om maximum på kurvan övr bindningsnrgin pr nuklon f(a (fig
32 4 Raktionns Q-värd angr ur myckt nrgi som frigörs, Q (m för m ftr c. Md givn raktion ( n + 9U 56 Ba+ 6Kr + n oc massor M(n.8665 u, M(U u, M(Ba 4.99 u, M(Kr u får vi a Q (m för m ftr c ( c.6 MV b andln ( / % 4 a Halvtjocklkn är dn tjocklk som alvrar intnsittn. Dvs. I (x I / > x ln/µ.46 cm b Samma som i a mn md I(x. I. > x 5.8 cm As -> 76 S skr via β - söndrfall. β Q m( As m( S 9.494MV. 968MV max 76 Br -> 76 S skr via β + söndrfall. + β Q m( Br m( S 9.494MV mc. 6MV max 45 Dn pr raktion avgivna nrgin gs av raktionns Q-värd. Så, vi bräknar Q-värdt för d två fusionsraktionrna: H + H H + H Q ( x MV 4. MV H + H n+ H Q ( x MV. 7MV Eftrsom d två raktionsvägarna är lika sannolika sättr vi mdlnrgin pr fusionsraktion ½( MV J. W J/s >.7. raktionr pr skund. 46 Antalt söndrfall pr tidsnt gs av aktivittn (llr dcay rat R λn λn oc avgivn ffkt P RQ. När alla kärnor söndrfallit ar dt bildats mg H vilkt 6 mg kg motsvarar N. N 4.5. Eftr 8 dygn ar / av d 4u kg radioaktiva kärnorna södrfallit, dvs N 8 / N... N 8 ln λ8 λ s. Vi vt ffktn, P 8, ftr 8 dygn. N 8dygn P8 4W a Enrgi pr söndrfall, Q 5. MV R λn P N b / P 4 W W P N λt
33 Kristallstruktur ( D tr kristallgittrn sc, bcc, fcc visas i figurn ndan. Placra n sfär i varj gittrposition oc låt dssa sfärr vara i kontakt md dn närmsta grannn. Från dtta får vi atomradin (r alva närmsta grannavståndt. Dvs. s.c. a r bcc a r fcc 4 a r 4 Bräkna sfärrnas volymsandl (V s av kubns volym V k a. s.c. ar n atom pr kub, 4πr 4πa Vs π dvs. V s packningsgrad 5.4% 8 V 6 bcc ar två atomr pr kub k V s 4πr 4π a 64 π a 8 V packningsgrad V s k π 68.% 8 fcc ar fyra atomr pr kub V s 4 4πr 4 4π a 64 π a V packningsgrad V s k π 74.% 6 48 a gittr fcc, bas Na i (,, oc Cl i (/,, b gittr sc, bas Cs i (,,, Cl i (½, ½, ½ d gittr sc, bas Ba i (,,,, Ti i (½, ½, ½, O i (½, ½,, (½,, ½ oc (, ½, ½ 49 För att ta fram tt plans Millrindx gör man på följand vis Bstäm plants skärningspunktr md vktoraxlarna Ta invrsn av dssa tal Sök minsta ltal md samma kvot Här är skärningspunktrna (, -, Invrsn är (/, -, Minsta ltalskombination (,-, vilkt sålds är plants Millrindx.
34 5 bcc gittrt bskrivs av vktorrna: a a a a ( xˆ + yˆ + zˆ, b ( xˆ yˆ + zˆ oc c ( xˆ + yˆ zˆ a är gittrparamtrn i dn konvntionlla kubclln. D rciproka gittrvktorrna skapas nligt πb xc a*, ao ( b xc πcxa b* oc ao ( b xc πaxb c* ao ( bxc Md givna vktorr fås a * π ( yˆ + zˆ, b * π ( xˆ + zˆ oc c * π ( xˆ + yˆ vilkt bskrivr tt fcc gittr. a a a. 5 Från d givna vinklarna oc sambandt sin θ λ ( + k + l kan kristallstruktur oc 4a λ gittrparamtrn a tas fram. är konstant oc ( + k + l antar ndast ltalsvärdn 4a sin θ nligt dn i uppgiftn givna figurn. Kvotn n gr kvotn mllan ( + k + l för sin θ olika vinklar. θ kvot / 4/ 8/ / / Jämför md figur oc idntifira fcc-strukturn. Därftr bräknas a från n tillåtn kombination av vinkl oc ( + k + l till a.77 Å. b Dn första planskaran ar (kl (. Packningstättn är dn dl av plant som upptas av atomr (är cirklar. Cirklarnas radi fås från alva närmsta grannavståndt r d/ a/.98 Å. Plants ntscll är rombisk md aran / (d. Packningstätt är.9. 4
35 5 Från d givna vinklarna oc sambandt sin θ λ ( + k + l kan kristallstruktur oc 4a λ gittrparamtrn a tas fram. är konstant oc ( + k + l antar ndast ltalsvärdn 4a sin θ nligt dn givna figurn. Kvotn n > gr kvotn mllan ( + k + l för olika sin θ vinklar. θ kvot alt / 4/ 6/ 8/ / / 4/ Dt finns två möjligtr, antingn sc llr bcc. Mn ( + k + l 7 är omöjlig, dvs. dt är int sc utan bcc. Därftr bräknas a för givn kombination av vinkl oc ( + k + l till a.87 Å. b Första planskaran (kl (. Packningstättn är dn dl av plant som upptas av atomr (är cirklar. Cirklarnas radi (r fås från alva närmsta grannavståndt (d, r d/ a/. Plants ntscll är rktangulär md aran a. Packningstätt blir då.8 5 Från d givna vinklarna oc sambandt sin θ λ ( + k + l kan kristallstruktur 4a λ oc gittrparamtrn a tas fram. är konstant oc ( + k + l antar ndast 4a sin θ ltalsvärdn. Kvotn n > θ sin θ kvot 4 5 Strukturn är nkl kubisk md a gittrparamtrn 4. Å b Millrindx för d plan som gr uppov till d obsrvrad diffraktionsvinklarna {}, {}, {}, {}, {} c Millrindx för d plan som gr uppov till dn största tillåtna Braggvinkln sin θ kl ( + k + l max 8. Största tillåtna värd som går att skapa är 7, vilkt fås för {kl}{5} oc {} 54 Dn linjära trmiska xpansionskofficint, α, angr ur myckt tt matrial ökar i längd till följd av n tmpraturökning nligt: L α L T. Här idntifirar vi L md a vid K. Vid 6 K ar avståndt ökat till a (6K.99 Å. Braggvinklarna fås från sinθ λ + k + l ; θ(k. oc θ(6k Spridningsvinklarna a är dubbla Braggvinklarna; 4. oc 9.68 vilkt gr n ändring på.. 5
36 55 tänk på formfaktorn!! Sambandt sin λ θ ( + k + l llr sinθ λ + k + l gällr som vanligt. 4a a För nkl kubisk struktur (s.c. gällr att ( + k + l,,, 4,... För CsCl får vi md λ.54 Å oc a 4. Å d två minsta vinklarna.77 rsp. 5., vilkt gr spridningsvinklarna (dvs. dubbla Braggvinkln.5 rsp..6. För CsI gällr att a Å. Mn!! Cs + oc I - ar lika många lktronr oc spridr lika bra. Dvs. vi sr int skillnad på d två jonsortrna i vår kristall oc dn ffktiva kristallstrukturn blir då bcc. Då gällr att ( + k + l, 4, 6,... Vilkt gr Braggvinklarna.78 oc 9.69 oc spridningsvinklarna 7.6 rsp Från d givna spridningsvinklarna oc gittrparamtrn kan vi md jälp av dt vid dt är lagt välkända uttryckt sinθ λ + k + l räkna ut nutronrnas a dbroglivåglängd oc vid vilkn vinkl nästa rflx kan förväntas dyka upp. För diamantstruktur gällr att ( + k + l, 8,, 6, 9. Från t.x. dn fjärd rflxn fås: 7.57 sin( λ.5å 6.5 o a Dn fmt rflxn gs av sin θ 9 θ sin( b För att få fjärd rflxn i 8 gällr som ovan λ.785å 6 Vi vt också att nutronrnas dbroglivåglängd gs av λ v mv mλ Låt v btckna astigtn för λ.5 Å oc v btcknar astigtn då λ.785 Å. v v mλ mλ λ λ Vi får då: % v mλ λ.5 c För fotonr gällr E c/ λ. λ.785 Å gr E 696 V, λ.5 Å gr E 8 V 6
37 57 Räkna ut strukturfaktorn för fcc. Strukturfaktorn gs av S kl j f j i π ( u + kv + lw j j j Alla atomr är av samma sort oc ar samma formfaktor f. I fcc-clln finns 4 atomr i positionrna (,,, (½, ½,, (½,, ½, (, ½, ½. Vi får då: S kl f j iπ ( u + kv + lw j j j f ( + k iπ ( + + l iπ ( + + k l iπ ( + S kl 4 för (, S kl för (, S kl för (, S kl 4 för (, S kl 4 för (, Endast rflxr md alla kl udda llr alla kl jämna gr tt bidrag. 58 Båd Si oc G kristallisrar i diamantstruktur, md gittrparamtrar 5.4 Å rspktiv 5.66 Å. Lgringns gittrparamtr varirar som a( x 5.4 a( x asi + x( ag asi x( x λ λ För röntgndiffraktion gällr sinθ + k + l a + k + l. a sinθ För diamant gällr att + k + l, _ 8, _, _6,.. Så md givna vinklar får vi a 5.465Å, 5.465Å, Å, Å från d olika vinklarna, från vilkt vi får x Dt rciproka mönstrt byggs upp av d rciproka vktorrna, vilka gs av kvation.9 i π ( b c Hook and Hall: a*. Här låtr vi a oc b vara d i figurn angivna vktorrna. a o ( b c Vktorn c saknas oc kan undr uträkningn sättas till plants normalvktor n md π ( b n π ( n a längdn. Vi får då a* oc b*. a o ( b n b o ( n a Dt gällr som i tr dimnsionr att a*. a π, b*. b π oc a*. b b*. a. Lägg x-axln så att för Pt(-ytan a aˆ x oc b a a xˆ yˆ + oc n ẑ π yˆ π Kryssningn gr då a * xˆ oc b * yˆ a a a a För Pt(-Sn ytan är a' xˆ + yˆ oc b' aˆ y oc n ẑ Notra att a är längdn på basvktorn för Pt(-ytan. b' n Kryssning gr a' * π π x a' (b' n a ˆ * π xˆ oc b ' yˆ a 7
38 Frilktronmodlln (6-7 ε F π 6 m Frmiastigtn (v F är lktronrnas astigt vid Frminivån, vilkt kan skrivas 8 6 Frminrgin (ε F gs av uttryckt ( n { n 8.5 m } 7. V mvf ε F 6 ε F vf.57 m / s. m Tillståndstättn g(ε angr antalt tillstånd pr nrgint. Avståndt mllan nrginivårna gs sålunda av /g(ε. F π ε g( ε V m ε 4 { ε } 8.85 J 5.5 V. 6 Vi utgår från n mtall vid T>. I dn övrsta figurn gs Frmifunktionn vid T oc för T>, oc dn undr figurn angr d bsatta tillståndn. I bokn antar man att dn skuggad dln kan bskrivas av två trianglar md basn k B T oc öjdn ½ g(ε F. Elktronr inom dtta intrvall bidrar till lktrisk ldning. Dras antal, N c, fås gnom intgration N c ε F + kt εf kt g( ε f ( ε dε. För att förnkla problmt antar vi att dn skuggad dln undr Frminivån ar samma ara som dn skuggad dln övr. F ε kt F ε F V m V m g( ε dε ( ε dε ( ε ( k T F ε F B π π ε kt F ε För Na är E F.5 V. Md T K är andln lktronr som bidrar till ldning.4 %. 6 Dn lktriska ldningsförmågan gs av σ n τ/m. Rlaxationstidn τ s. Hallkofficintn R H /nq. Md givt R H fås n.6. 9 m -. σ.9 8 (Ωm -. Dn trmiska ldningsförmågan K rlatrar till dn lktriska dito nligt Widmann-Franz lag K π k B T. K 556W / m K σ 8
39 6 jämför D-fallt i Hook and Hall. dn L L dk dn dk π π k E m L dn π k m de E me dk N( E m L de E m E N 64 a Frminrgin gs av E F (π, där N är antalt lktronr i volymn V. Välj m V dn kubiska clln där dt finns atomr som var oc n gr lktronr. N 4 oc V (4Å, vilkt gr oss E F 5.74 V. π k BnT b Elktronrnas bidrag till värmkapacittn gs av C pr atom. EF n är atomns valns. Md n oc multiplikation md N A fås.7 J/mol K. 65 a I fcc strukturn md gittrparamtr a gs närmsta-grann-avståndt d av a 4.4Å d. 86Å. π N b Frminrgin gs av E F (. I fcc innållr varj cllkub 4 atomr, som m V i dt är fallt var oc n gr lktronr till frilktrongasn. Dvs. cllns volym V a, oc antalt lktronr pr kub N 4x. Vi får sålds E F.7 V. c Fotomittrad lktronr från Frminivån ar dn ögst kintiska nrgin nligt K max f-φ c/λ - φ. När K max fotomittras inga lktronr, vilkt gr λ max c/φ 5nm. φ är 4.8 V nligt tabll i Srway. π N 66 Frminrgin gs som vanligt av E F. Litium är monovalnt oc bcc m V strukturn innållr atomr pr kub, dvs. N. Volymn V a. Här är närmstagrann-avståndt (d givt. För bcc är d / a. Md givna värdn får vi N/V m - oc E F 4.77 V. E F k F k F.o m m. 9
40 Mdlnrgin gs av E. Ef ( E N( E de f ( E N( E de Antag att T, f(e för <E<E F oc för övrigt. För frilktronmodlln är N(EC E oc vi får <E> /5 E F.86 V. 67 a Sambandt mllan rlaxationstidn oc dn lktriska konduktivittn gs av n τ σm σ τ. m n Lm Dn lktriska konduktivittn gs också av σ L/RA. Vilkt ldr till att τ. L, RAn A oc R är givna. Bräkna n. Cu ar fcc struktur md a.6 Å. En fri lktron pr atom 4 gr n, oc τ s a.5a b Driftastigtn gs av J nvdrift vdrift 7µ m / s 6 m n c Dn fria mdlväglängdn gs av λ v Frmi τ. Frmiastigtn gs av E F mvf k F (π n > v F m/s m m Vilkt gr oss n mdlfri väglängd λ m 68 a Vi vt att mdlfria väglängdn gs av λ τ v F. Rlaxationstidn τ fås från m ρ rsistivittn. Vi bövr n. Vi vt att Cu ar fcc struktur, dvs 4 atomr pr kub. n τ n N/V 4/(.6 Å m -. Md givn rsistivitt får vi τ s. Oc mvf 6 från EF vf.57 m / s λ 86Å b Enligt Mattisns rgl (.9 i bokn gällr att rsistivitt från olika källor kan summras, dvs. ρ ρ rn + ρ As, där ρ As är rsistivittn från arsnik förorningarna. Md givna data vt vi att ρ As Ωm. Samma rsonmang som i a kan användas, dvs. vi m räknar ut λ As τ As v F, md ρ As. Vi antar att E F oc gittrparamtr int n τ påvrkas. Svart blir sålunda λ 4 Å. As 4
41 69 Vi sökr λ τ v F. τ fås från rsistivittn n τ m 5 σ τ.67 s ρ m ρn 6 F F / mvf π m Frmiastigtn fås från E ( n v. m s Dn mdlfria väglängdn är sålds 8 Å. m τ 7 a Enligt kvation.4 i bokn är δk v E. Givt att m E 8 δk.k. F F.6 m gr oss n fältstyrka E 4.5 MV/m. b j σe { σ (Ωm -, s t.x. uppgift 67}.7. 4 A/m. Svarn i båd a oc b är lt orimliga, vilkt visar att Frmisfärn är obtydligt förskjutn vid normala strömmar oc fält. Gittrvibrationr, fononr oc trmiska gnskapr ( Gruppastigtn gs av v g dω/dk ω/ k, som kan mätas dirkt ur figurn. Frkvnsaxln är märkt md rätt nt. k-axln går från till första Brillouinzonsgränsn. För n nklt kubisk kristallstruktur (md gittrparamtr a vt vi att rciproka gittrt också är nklt kubiskt md sidan π/a. Brillouinzongränsn liggr då vid π/a.68 Å -..5 a ω/ k (mät t.x. mllan andra oc trdj punktn 8m / s.68 m b ω gr v g. 7 a Vi vt att nligt Dby gällr dt för ljudvågor att ω vk. Dn ögsta frkvnsn, oc därmd dn ögsta nrgin gs av ω ω D. Ekv.5 i bokn gr Dbyfrkvnsn nligt: 6π N ω 6π N ω D v. V v V oc nrgi 7.6 mv. D b För n lktron vid Frminivån gällr E m V vk. Md N oc V (4.Å får vi k.6. m - π N mef F.4V kf.9 m c Fononns nrgi är myckt lägr än lktronns nrgi vid Frminivån. Vid n kollision kan därför lktronns nrgi int ändras nämnvärt. Därmot är vågvktorrna av samma storlk oc n lktron kan därför ändra rörlsriktning ftr n fononkollision. 4
Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)
Förläsning 4: Hittills å kursn: Rlativittstori Ljusastigtn i vakuum dnsamma för alla obsrvatörr Lorntztransformationn x γx vt y y z z vx t γt där γ v 1 1 v 1 0 0 Alla systm i likformig rörls i förålland
Läs merUmeå Universitet 2007-12-06 Institutionen för fysik Daniel Eriksson/Leif Hassmyr. Bestämning av e/m e
Umå Univrsitt 2007-12-06 Institutionn för fysik Danil Eriksson/Lif Hassmyr Bstämning av /m 1 Syft Laborationns syft är att g ökad förståls för hur laddad partiklars rörls påvrkas av yttr lktromagntiska
Läs merATLAS-experimentet på CERN (web-kamera idag på morgonen) 5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
ATLAS-xprimntt på CERN (wb-kamra idag på morgonn) 5A1247, modrn fysik, VT2007, KTH Laborationr: 3 laborationr: AM36: Atomkärnan. Handlar om radioaktivitt, absorbtion av gamma och btastrålning samt mätning
Läs merFöreläsning 10 Kärnfysiken: del 2
Förläsning 10 Kärnfysikn: dl 2 Radioaktivsöndrfall-lag Koldatring α söndrfall β söndrfall γ söndrfall Radioaktivitt En radioaktiv nuklid spontant mittrar n konvrtras till n annorlunda nuklid. Radioaktivitt
Läs merFasta tillståndets fysik.
Förläsning 17 Fasta tillståndts fysik. (Fasta ämnn: kristallr, mtallr, halvldar, supraldar) Atomr kan ävn bindas samman till fasta ämnn, huvudsaklign i kristallform där d är ordnad på tt rglbundt sätt.
Läs merFöreläsning 1. Metall: joner + gas av klassiska elektroner =1/ ! E = J U = RI = A L R E = J = I/A. 1 2 mv2 th = 3 2 kt. Likafördelningslagen:
Förläsning 1 Eftr lit information och n snabbgnomgång av hla kursn börjad vi md n väldigt kort rptition av några grundbgrpp inom llära. Vi pratad om Ohms lag, och samband mllan ström, spänning och rsistans
Läs merTNA003 Analys I Lösningsskisser, d.v.s. ej nödvändigtvis fullständiga lösningar, till vissa uppgifter kap P4.
TN00 nals I Lösningsskissr, d.v.s. j nödvändigtvis ullständiga lösningar, till vissa uppgitr kap P. P.5a) Om gränsvärdt istrar så motsvarar dt drivatan av arctan i. Etrsom arctan är drivrbar i d så istrar
Läs merAnmärkning1. L Hospitals regel gäller även för ensidiga gränsvärden och dessutom om
L HOSPITALS REGEL L Hospitals rgl (llr L Hopitals rgl ff( aa gg( ff ( aa gg ( används vid bräkning av obstämda uttryck av typ llr Sats (L Hospitals rgl Låt f och g vara två funktionr md följand gnskapr
Läs merRäkneövning i Termodynamik och statistisk fysik
Räknövning i rmodynamik och statistisk fysik 004--8 Problm En Isingmodll har två spinn md växlvrkansnrginu s s. Ang alla tillstånd samt dras oltzmann-faktorr. räkna systmts partitionsfunktion. ad är sannolikhtn
Läs merLINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN
LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN Linjär diffrntialkvation (DE) av första ordningn är n DE som kan skrivas på följand form Q( () Formn kallas standard form llr normalisrad form Om Q (
Läs merTENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 22 dec 2016 Skrivtid 8:00-12:00
TENTAMEN Kurs: HF9 Matmatik, momnt TEN anals atum: dc Skrivtid 8:-: Eaminator: Armin Halilovic Rättand lärar: Erik Mlandr, Elias Said, Jonas Stnholm För godkänt btg krävs av ma poäng Btgsgränsr: För btg
Läs merDEMONSTRATION TRANSFORMATORN I. Magnetisering med elström Magnetfältet kring en spole Kraftverkan mellan spolar Bränna spik Jacobs stege
FyL VT06 DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I Magntisring md lström Magntfältt kring n spol Kraftvrkan mllan spolar Bränna spik Jacobs stg Uppdatrad dn 9 januari 006 Introduktion FyL VT06 I littraturn och framför
Läs merspänner upp ett underrum U till R 4. Bestäm alla par av tal (r, s) för vilka vektorn (r 3, 1 r, 3, 22 3r + s) tillhör U. Bestäm även en bas i U.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algbra Datum: augusti 04 Skrivtid:
Läs merKurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN2 (Analys) Datum: 21 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15. Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Elias Said
Kurs: HF9 Matmatik, Momnt TEN (Anals) atum: augusti 5 Skrivtid 8:5 :5 Eaminator: Armin Halilovic Undrvisand lärar: Elias Said För godkänt btg krävs av ma 4 poäng. Btgsgränsr: För btg A, B, C,, E krävs,
Läs merSEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER
Sparabla diffrntialkvationr SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En diffrntialkvation DE av första ordningn sägs vara sparabl om dn kan skrivas på d formn P Q llr kvivalnt d P d Q d Dn allmänna lösningn till
Läs merEkosteg. En simulering om energi och klimat
Ekostg En simulring om nrgi och klimat E K O S T E G n s i m u l r i n g o m n rg i o c h k l i m a t 2 / 7 Dsign Maurits Vallntin Johansson Pr Wttrstrand Txtr och matrial Maurits Vallntin Johansson Alxandr
Läs merKontinuerliga fördelningar. b), dvs. b ). Om vi låter a b. 1 av 12
KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLERR Allmänt om kontinurliga sv Dfinition En stokastisk variabl kallas kontinurlig om fördlningsfunktionnn ξ är kontinurlig Egnskar av fördlningsfunktion: Fördlningsfunktionn
Läs mer24 poäng. betyget Fx. framgår av. av papperet. varje blad.
Kurs: HF93 Matmatik, Momnt TEN (Analys) Datum: 9 januari 5 Skrivtid 3:5 7:5 Eaminator: Armin Halilovic Undrvisand lärar: Elias Said, Jonas Stnholm, Håkan Strömbrg För godkänt btyg krävs av ma poäng. Btygsgränsr:
Läs merOm i en differentialekvation saknas y, dvs om DE har formen F ( x, . Ekvationen z ) 0. Med andra ord får vi en ekvation av ordning (n 1).
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Rduktion av ordning REDUKTION AV ORDNING I) Diffrntialkvationr där saknas ( n) Om i n diffrntialkvation saknas, dvs om DE har formn F (,,,, ) 0, då kan vi sänka kvationns
Läs merKontrollskrivning Introduktionskurs i Matematik HF0009 Datum: 25 aug Uppgift 1. (1p) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:
Kontrollskrivning Introduktionskurs i Matmatik HF9 Datum: 5 aug 7 Vrsion A Kontrollskrivningn gr maimalt p För godkänd kontrollskrivning krävs p Till samtliga uppgiftr krävs fullständiga lösningar! Inga
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II, Inga hjälpmedel förutom: papper, penna, linjal, passare. Lycka till!
Institutionn för Mkanik S4-945 ntamn i S4 Mkanik II 945 Inga hjälpmdl förutom: pappr pnna linjal passar. Lcka till! ) A r l 45 o B Problm Radin A md längdn r på tt svänghjul som rotrar md n konstant vinklhastight
Läs mer5~ Atomer, joner och kemiska reaktioner
146 Atomr, jonr och kmiska raktionr 5~---------------------------- --Ifl nhå 11 1 sid. 148 I atomns inr sid. 152 Priodiska systmt Mtallr Jonr -- sid. 156 sid. 162 Syror och basr 2 sid. 166 Saltr sid. 170
Läs merTENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment: TEN2 (analys) Datum: Lördag, 9 jan 2016 Skrivtid 13:00-17:00
TENTAMEN Kurs: HF9 Matmatik, Momnt: TEN anals atum: Lördag, 9 jan Skrivtid :-7: Eaminator: Armin Halilovi Rättand lärar: Frdrik Brgholm, Elias Said, Jonas Stnholm För godkänt btg krävs av ma poäng Btgsgränsr:
Läs mer1 (3k 2)(3k + 1) k=1. 3k 2 + B 3k(A + B)+A 2B =1. A = B 3A =1. 3 (3k 2) 1. k=1 = 1. k=1. = (3k + 1) (n 1) 2 1
Uppgift Visa att srin (3k 2)(3k + ) konvrgrar och bstäm summan Lösning Vi har att a k = (3k 2)(3k+) Vi kan använda partialbråksuppdlning för att skriva om a k : a k = (3k 2)(3k + ) = A 3k 2 + B 3k(A +
Läs merAtomer: rörelsemängdsmoment och spinn. Pauliprincipen och periodiska systemet.
Förläsning 1 Atomr: rörlsmängdsmomnt och spinn. Pauliprincipn och priodiska systmt. Från kvantmkanikn, lösning till Schrödingrkvationn i 3 dimnsionr, har vi att lktronrna har rörlsmängdsmomnt L ( 1) Klassiskt
Läs merTentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2
Tntamn TMV20 Inldand Diskrt Matmatik, D/DI2 207-2-20 kl. 08.30 2.30 Examinator: Ptr Hgarty, Matmatiska vtnskapr, Chalmrs Tlfonvakt: Ivar Simonsson (alt. Ptr Hgarty), tlfon: 037725325 (alt. 0705705475)
Läs merFörra gången: fördelningar Omfattande system med många partiklar kan praktiskt bara beskrivas i statistiska termer.
örläsning 5 örra gångn: fördlningar Omfattand systm md många partiklar kan praktiskt bara bskrivas i statistiska trmr. Antal partiklar inom nrgiintrvall E till E +de gs av dn = D (E ) N (E ) de där D (E
Läs merdär a och b är koefficienter som är större än noll. Här betecknar i t
REALRNTAN OCH PENNINGPOLITIKEN Dt finns flra sätt att närma sig frågan om vad som är n långsiktigt önskvärd nivå på dn pnningpolitiska styrräntan. I förliggand ruta diskutras dnna fråga md utgångspunkt
Läs merKONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER ( Allmänt om kontinuerliga s.v.)
Kontinurliga fördlningar KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Allmänt om kontinurliga s.v. Dfinition. En stokastisk variabl ξξ. kallas kontinurlig om fördlningsfunktionn FF ξ är kontinurlig. Egnskar: Fördlningsfunktionn
Läs merLösningsförslag: Tentamen i Modern Fysik, 5A1246,
Lösningsförslag: Tntamn i Modrn Fysik, 5A146, 6-6- Hjälpmdl: 1 A4-blad md gna antkningar (på båda sidor), Bta oh fikkalkylator samt institutionns tabllblad utdlat undr tntamn. Examinatorr: Vlad Kornivski
Läs merarctan x tan x cot x dx dz dx arcsin x x 1 ln x 1 log DERIVERINGSREGLER och några geometriska tillämpningar
DERIVERINGSREGLER och några gomtriska tillämpningar DERIVERINGSREGLER ( f ( ) + g( )) ) + g ( ) ( af ( )) a ) a konstant ( af ( ) + bg( )) a ) + bg ( ) a b konstantr Produktrgln: ( f ( ) g( )) ) g( ) +
Läs merFöreläsning 5 och 6 Krafter; stark, elektromagnetisk, svag. Kraftförening
Förläsning 5 och 6 Kraftr; stark, lktromagntisk, svag. Kraftförning Partiklfysik introduktion Antimatria, MP 13-1 Fynman diagram Kraftr och växlvrkan, MP 13-2 S ävn http://particladvntur.org/ 1 2 3 Mot
Läs merTentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 8 juni 2009 Tid:
Tntamn i Matmatik HF9 H9 juni 9 Tid: Lärar:Armin Halilovic Hjälpmdl: Formlblad Inga andra hjälpmdl utövr utdlat formlblad Fullständiga lösningar skall prsntras på alla uppgiftr Btygsgränsr: För btyg A,
Läs merTENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004 TEN 05-06- Hjälpmdl: Formlblad och räkndosa. Fullständiga lösningar rfordras till samtliga uppgiftr. Lösningarna skall vara väl motivrad och så utförliga
Läs merVid tentamen måste varje student legitimera sig (fotolegitimation). Om så inte sker kommer skrivningen inte att rättas.
UPPSALA UNIVERSITET Nationalkonomiska institutionn Vid tntamn måst varj studnt lgitimra sig (fotolgitimation). Om så int skr kommr skrivningn int att rättas. TENTAMEN B/MAKROTEORI, 7,5 POÄNG, 7 FEBRUARI
Läs merLösningar till ( ) = = sin x = VL. VSV. 1 (2p) Lös fullständigt ekvationen. arcsin( Lösning: x x. . (2p)
Akadmin ör utbildnin, kultur oc kommunikation Avdlninn ör tillämpad matmatik Eaminator: Jan Eriksson Lösninar till TENTAMEN I MATEMATIK MAA0 oc MMA0 Basutbildnin II i matmatik Datum: auusti 00 Skrivtid:
Läs merUndervisande lärare: Fredrik Bergholm, Elias Said, Jonas Stenholm Examinator: Armin Halilovic
Tntamn i Matmatik, HF9, 8 oktobr, kl 5 75 Undrvisand lärar: Frdrik Brgholm, Elias Said, Jonas Stnholm Eaminator: Armin Halilovic Hjälpmdl: Endast utdlat ormlblad (miniräknar är int tillåtn För godkänt
Läs merRäkneövningar populationsstruktur, inavel, effektiv populationsstorlek, pedigree-analys - med svar
Räknövningar populationsstruktur, inavl, ffktiv populationsstorlk, pdigr-analys - md svar : Ndanstånd alllfrkvnsdata rhölls från tt stickprov. Bräkna gnomsnittlig förväntad htrozygositt. Locus A B C D
Läs merSlumpjusterat nyckeltal för noggrannhet vid timmerklassningen
Jacob Edlund VMK/VMU 2009-03-10 Slumpjustrat nyckltal för noggrannht vid timmrklassningn Bakgrund När systmt för dn stockvisa klassningn av sågtimmr ändrads från VMR 1-99 till VMR 1-07 år 2008 ändrads
Läs merTryckkärl (ej eldberörda) Unfired pressure vessels
SVENSK STANAR SS-EN 3445/C:004 Fastställd 004-07-30 Utgåva Trykkärl ( ldbrörda) Unfird prssur vssls ICS 3.00.30 Språk: svnska ublirad: oktobr 004 Copyright SIS. Rprodution in any form without prmission
Läs merRevisionsrapport 7/2010. Åstorps kommun. Granskning av intern kontroll
Rvisionsrapport 7/2010 Åstorps kommun Granskning av intrn kontroll Bngt Sbring, ordf Tord Stursson, 1: v ordf. Bngt Johns, 2: v ordf. Stig Andrsson Nils Prsson Rvisorrna Innhållsförtckning SAMMANFATTNING...
Läs mer2. Bestäm en ON-bas i det linjära underrummet [1 + x, 1 x] till P 2 utrustat med skalärprodukten
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algbra Datum: 6 januari 03 Skrivtid:
Läs merHOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
Armin alilovi: EXTRA ÖVNINGAR omogna linjära diffrntialkvationr OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Linjär diffrntialkvation (DE) md konstanta koffiintr är n kvation av följand
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2017, kl. 9:00-13:00
Tnamn i Mamaik, H9 sp 7, kl. 9:-: Eaminaor: rmin Halilovic Undrvisand lärar: Nils Dalarsson, Jonas Snholm, Elias Said ör godkän bg krävs av ma poäng. gsgränsr: ör bg,,, D, E krävs, 9, 6, rspkiv poäng.
Läs merRobin Ekman och Axel Torshage. Hjälpmedel: Miniräknare
Umå univritt Intitutionn för matmatik oh matmatik tatitik Roin Ekman oh Axl Torhag Tntamn i matmatik Introduktion till dikrt matmatik Löningförlag Hjälpmdl: Miniräknar Löningarna kall prntra på tt ådant
Läs merKOMPATIBILITET! Den här mottagaren fungerar med alla självlärande Nexa-sändare inklusive Nexa Gateway.!
Manual EJLR-1000 Läs avsnittt Viktig information innan du installrar dn här produktn Dt kan vara farligt att int följa säkrhtsanvisningarna. Flaktig installation innbär dssutom att produktns vntulla garanti
Läs merRevisionsrapport 2010. Hylte kommun. Granskning av överförmyndarverksamheten
Rvisionsrapport 2010 Hylt kommun Granskning av övrförmyndarvrksamhtn Karin Hansson, Ernst & Young sptmbr 2010 Innhållsförtckning SAMMANFATTNING... 3 1 INLEDNING... 4 1.1 SYFTE OCH AVGRÄNSNING... 4 1.2
Läs merre (potensform eller exponentialform)
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform KOMPLEXA TAL I POLÄR FORM och KOMPLEXA TAL I POTENSFORM, där, R (rktangulär form r(cos sn (polär form n n r (cosn sn n D Movrs forml r
Läs merNÅGRA OFTA FÖREKOMMANDE KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR. Fördelningsfunk. t 2
Likformig, Eponntial-, Normalfördlning NÅGRA OFTA FÖREKOMMANDE KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR Fördlning Rktangl (uniform, likformig) Eponntial Frkvnsfunk. f (), a b b a 0 för övrigt Fördlningsfunk. F () a,
Läs merS E D K N O F I AVM 960 AVM 961 AVM 971. www.whirlpool.com
AVM 960 AVM 961 AVM 971 S D K N O F I.hirlpool.com 1 S INNAN APPARATN MONTRAS INSTALLATION KONTROLLRA ATT ugnsutrymmt är tomt för installationn. KONTROLLRA att apparatn int är skadad innan dn montras i
Läs merDel 1 Teoridel utan hjälpmedel
inköings Univrsitt TMH9 Sörn Sjöström --, kl. 4- Dl Toridl utan hjälmdl. I figurn gs ulrs fra knäckfall (balkarna är idntiska, bara randvillkorn skiljr sig åt). Skriv n tta () vid dt fall som har lägst
Läs merMalmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.
Växa i trafikn Malmö stad, Gatukontort, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtagt av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbt md Malmö stad, Gatukontort. Txt: Run Andrbrg Illustrationr: Lars Gylldorff Växa
Läs merGRAFISK PROFILMANUAL SUNDSVALL NORRLANDS HUVUDSTAD
GRAFISK PROFILMANUAL SUNDSVALL NORRLANDS HUVUDSTAD INLEDNING Sundsvall Norrlands huvudstad Sundsvall Norrlands huvudstad, är båd tt nuläg och n önskan om n framtida position. Norrlands huvudstad är int
Läs merLektionsuppgifter i regressionsanalys
LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN Lktionsuppgiftr i rgrssionsanalys A A ENKEL LINJÄR REGRESSION Från n undrsökning av vilka faktorr som påvrkar prist på villor i n sydsvnsk ort insamlads n dl
Läs merom de är minst 8 år gamla
VIKTIGA SÄKERHETSINSTRUKTIONER LÄS NOGGRANT OCH SPARA FÖR FRAMTIDA REFERENS VÄRM INTE UPP OCH ANVÄND INTE BRANDFARLIGA MATERIAL i llr nära ugnn. Ångor kan skapa n risk för brand llr xplosion. ANVÄND INTE
Läs mer2. Hur många elektroner får det plats i K, L och M skal?
Testa dig själv 12.1 Atom och kärnfysik sidan 229 1. En atom består av tre olika partiklar. Vad heter partiklarna och vilken laddning har de? En atom kan ha tre olika elementära partiklar, neutron med
Läs merÅstorps kommun. Revisionsrapport nr 4/2010. Granskning av kommunens kommunikation med medborgarna
Rvisionsrapport nr 4/2010 Åstorps kommun Granskning av kommunns kommunikation md mdborgarna Bngt Sbring, ordf Tord Stursson, 1: v ordf. Bngt Johns, 2: v ordf. Stig Andrsson Nils Prsson Innhållsförtckning
Läs merBFL 111/ BFL 120 Fysik del B2 för Tekniskt Basår/ Bastermin
Linköpings Universitet Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi Avdelningen för Tillämpad Fysik Mike Andersson Lösningsförslag till Repetitionsuppgifter BFL 111/ BFL 120 Fysik del B2 för Tekniskt Basår/
Läs merTRAFIKUTREDNING SILBODALSKOLAN. Tillhör detaljplan för Silbodalskolan Årjängs kommun. Upprättad av WSP Samhällsbyggnad, 2012-12-04
TRAFIKUTRDNIN SILBODALSKOLAN Tillhör dtaljplan för Silbodalskolan Årjängs kommun Upprättad av WSP Samhällsbyggnad, 0--04 Innhåll Innhåll... INLDNIN... Bakgrund... Syft md utrdningn... NULÄS- OCH PROBLMBSKRIVNIN...
Läs mer1. (a) (1 poäng) Rita i figuren en translationsvektor T som överför mönstret på sig själv.
1. (a) (1 poäng) Rita i figuren en translationsvektor T som överför mönstret på sig själv. Solution: Man ser efter ett tag att några kombinationer återkommer, till exempel vertikala eller horisontella
Läs merPer Sandström och Mats Wedin
Raltids GPS på rn i Vilhlmina Norra samby Pr Sandström och ats Wdin Arbtsrapport Svrigs lantbruksunivrsitt ISSN Institutionn för skoglig rsurshushållning ISRN SLU SRG AR SE 9 8 UEÅ www.srh.slu.s Tfn: 9-786
Läs merICKE-HOMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA HÖGERLED
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr ICKE-OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA ÖGERLED Linjär diffrntialkation (DE) md konstanta kofficintr
Läs merINTRODUKTION. Akut? RING: 031-51 20 12
INTRODUKTION Btch AB är i grundn tt gränsövrskridand nätvrk av ingnjörr, tknikr, tillvrkar (producntr) som alla har myckt lång rfarnht inom Hydraulik branschn. Dtta inkludrar allt från tillvrkning och
Läs merTentamen i Kemisk termodynamik kl 8-13
Tntamn i misk trmdynamik 20040-23 kl 83 Hjälpmdl: Räkndsa, BETA ch Frmlsamling för kursrna i kmi vid TH. Endast n uppgift pr blad! Skriv namn ch prsnnummr på varj blad! Alla använda kvatinr sm int finns
Läs merNmr-spektrometri. Matti Hotokka Fysikalisk kemi
Nmr-spektrometri Matti Hotokka Fysikalisk kemi Impulsmoment Storlek = impulsmomentvektorns längd, kvanttalet L Riktning, kvanttalet m Vektorn precesserar Kärnans spinnimpulsmoment Kvanttalet betecknas
Läs mer4.1 Förskjutning Töjning
Övning FEM för Ingnjörstillämpningar Rickard Shn 9 5 rshn@kth.s Enaliga Problm och Fackvrk 7 7 7 59 4. Förskjutning öjning a) ε ε. Sökt: Visa att töjningn i lmntt är ( ) ösning: I hållfn fick man lära
Läs merDistributionsförare. Loggbok för vuxna. Underlag för APL-handledare/-instruktör på APL-företag
A Distributions ktör på DISTRIBUTIONSFÖRARE 1(5) Arbtsplatsförlagd dl av tstmodul, validring llr utbildning När du dokumntrar dn arbtsplatsförlagda dln i ndanstånd chcklista gör då ävn bdömning inom säkrhts-,
Läs merTEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA?
TEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA? Stjärnorna är klot av ht gas Flrtalt lysr ftrsom d fusionrar vät till hlium i sina ntrala dlar I dtta problm kommr vi att använda bgrpp från båd klassisk
Läs merTentamen 2008_03_10. Tentamen Del 1
Tntamn 28_3_ Tntamn Dl KS motsvarar (Dluppgift -2) Dluppgift Dt dcimala hltalt 95 är givt. a) Ang talt i dt hadcimala talsstmt. b) Ang talt i dt binära talsstmt. c) Ang talt md BCD-kod Dluppgift 2 z z
Läs merFöreläsning 7. Signalbehandling i multimedia - ETI265. Kapitel 5. LTI system Signaler genom linjära system
Sigalbhadlig i multimdia - ETI65 Förläsig 7 Sigalbhadlig i multimdia - ETI65 Kapitl 5 LTI systm Sigalr gom lijära systm LTH 5 dlko Grbic (mtrl. frå Bgt adrsso Dpartmt of Elctrical ad Iformatio Tchology
Läs merReferensexemplar. Vi önskar er Lycka till! 1. Välkommen till Frö-Retaget
t g a t R Frö ar pl m x ns r f R 1 1. Välkommn till Frö-Rtagt Hj, nu ska du och dina klasskompisar starta rt alldls gna förtag. Vi på FramtidsFrön har valt att kalla dt Frö-Rtag. Md Frö mnar vi att du
Läs merBeslut om frigränser för radioaktiva ämnen
Beslut Beslut om frigränser för radioaktiva ämnen Strålsäkerhetscentralen har enligt 17 1 mom. 4 punkten i strålskyddslagen (592/1991) beslutat att användning av radioaktiva ämnen och apparater innehållande
Läs merICH Q3d Elemental Impurities
ICH Q3d Elemental Impurities Douglas Baxter, Lina Helin, Lars-Gunnar Omberg, Karin Ylinenjärvi, Kristina Svedenbjörk, Heidi Bernas, Ilia Rodushkin Right Solutions Right Partner www.alsglobal.com 1 Right
Läs mer1. Låt M, +,,, 0, 1 vara en Boolesk algebra och x,
Matmatik CTH&GU Tntamn i matmatiska mtodr E (TMA04), dl A, 000-0-, kl.45-.45 Tlfon: Andrs Logg, tl. 0740-4590 OBS: Ang linj och inskrivningsår samt namn och prsonnummr på skrivningsomslagt. Ang namn och
Läs merArvika 2019_243 Stömne Bertil Persson Betongteknik AB DECIBEL - Huvudresultat Beräkning: VKV SWE99TM VKV typ Ljuddata
SVENSKA BESTÄMMELSER FÖR EXTERNT BULLER FRÅN LANDBASERADE VINDKRAFTVERK 2019-03-02 07:25 / 1 Beräkningen är baserad på den av Statens Naturvårdsverk rekommenderad metod "Ljud från landbaserade vindkraftverk",
Läs merLust och risk. ett spel om sexuell hälsa och riskbeteenden
Lust och risk tt spl om sxull hälsa och riskbtndn 2 / 11 GR Upplvlsbasrat Lärand GR Utbildning Upplvlsbasrat Lärand (GRUL) syftar till att utvckla, utbilda och gnomföra vrksamht md dn upplvlsbasrad pdagogikn
Läs merNFYA02: Svar och lösningar till tentamen 140115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges.
1 NFYA: Svar och lösningar till tentamen 14115 Del A Till dessa uppgifter behöver endast svar anges. Uppgift 1 a) Vi utnyttjar att: l Cx dx = C 3 l3 = M, och ser att C = 3M/l 3. Dimensionen blir alltså
Läs merLösningar till tentamen i Kärnkemi ak den 18 december 2000
Lösningar till tntamn i Kärnkmi ak dn 8 dcmbr 2000 Dl A Vilkn nrgi har d fotonr som utsänds vid annihilation av n positron? (2p) Svar: 5 kv 2 Hur förändras oftast jonladdningn när jonr md hög nrgi passrar
Läs merKnagge. Knaggarna tillverkas av 2,0 ± 0,13 mm galvaniserad stålplåt och har 5 mm hål för montering med ankarspik eller ankarskruv.
Knagg Knaggarna kan t.x. användas vid förbindning mllan ar och ar. I kombination md fäst är bärförmågan stor vid vältand och lyftand kraftr. Knaggarna tillvrkas av 2,0 ± 0,13 mm galvanisrad stålplåt och
Läs merRevisionsrapport 2/2010. Åstorps kommun. Granskning av lönekontorets utbetalningsrutiner
Rvisionsrapport 2/2010 Åstorps kommun Granskning av lönkontorts utbtalningsrutinr Bngt Sbring, ordf Tord Stursson, 1: v ordf. Bngt Johns, 2: v ordf. Stig Andrsson Nils Prsson Innhållsförtckning SAMMANFATTNING...
Läs merANALYS AV DITT BETEENDE - DIREKTIV
Karl-Magnus Spiik Ky Tst / 1 ANALYS AV DITT BETEENDE - DIREKTIV Bifogat finnr du situationr där man btr sig på olika sätt. Gnom att svara på dssa frågor får du n bild av ditt gt btnd (= din människotyp).
Läs merTentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801)
Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Torsdag 1 november 2012, 8.00-13.00 Kursansvarig: Magnus Paulsson (magnus.paulsson@lnu.se, 0706-942987) Kom ihåg: Ny sida för varje problem. Skriv ditt namn och födelsedatum
Läs merICEBREAKERS. Version 1.0 Layout: Kristin Rådesjö Per Wetterstrand
Icbrakrs 2 / 10 Götborgs Rgionn och GR Utbildning GR är n samarbtsorganisation för 13 kommunr i Västsvrig tillsammans har mdlmskommunrna 900 000 invånar. Förbundts uppgift är att vrka för samarbt övr kommungränsrna
Läs mer6.14 Triangelelement (CST Constant Strain Triangle)
Övning 4 FEM för Ingnjörstiämpningar ickard Shn 9 6 rshn@kth.s FEM anas md triangmnt 9 6.4 riangmnt (CS Constant Strain riang) Givt: unn påt, h E modu E Poissons ta På tunn påt kan man oftast göra antagand
Läs merWALLENBERGS FYSIKPRIS
WALLENBERGS FYSIKPRIS KVALIFICERINGSTÄVLING 23 januari 2014 SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET LÖSNINGSFÖRSLAG 1. (a) När bilens fart är 50 km/h är rörelseenergin W k ( ) 2 1,5 10 3 50 3,6 2 J 145 10 3 J. Om verkningsgraden
Läs merDelårsrapport 2014-08-31
TRELLEBORGS KOMMUN Srvlcriämndn 2014-09-22 Dlårsrapprt 2014-08-31 Sammanfattning Nämndsttal (tkr) Dlår 140831 Årsbudgt 2014 Prgns 2014 Avvikls Vrksamhtns intäktr 260 267 386 016 385 016-1 000 Vrksamhtns
Läs merTentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Lördag 15 december 2012,
Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Lördag 15 december 2012, 9.00-14.00 Kursansvarig: Magnus Paulsson (magnus.paulsson@lnu.se, 0706-942987) Kom ihåg: Ny sida för varje problem. Skriv ditt namn och födelsedatum
Läs merBengt Sebring September 2002 Sida: 1 Ordförande GRANSKNINGSRAPPORT 2/2002
ÅSTORPS KOMMUN GRANSKNING AV DELÅRSBOKSLUTET 2002-06-30 Bngt Sbring Sptmbr 2002 Sida: 1 Ordförand GRANSKNINGSRAPPORT 2/2002 1. Inldning I dnna rapport kommr vi att kommntra våra notringar utifrån vår rvision
Läs merInstuderingsfrågor Atomfysik
Instuderingsfrågor Atomfysik 1. a) Skriv namn och laddning på tre elementarpartiklar. b) Vilka elementarpartiklar finns i atomkärnan? 2. a) Hur många elektroner kan en atom högst ha i skalet närmast kärnan?
Läs merTentamen i Linjär algebra 2010 05 21, 8 13.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mamaika Iniuionn Ulf Janfalk Kurkod: ETE Provkod: TEN Tnamn i Linjär algbra,. Inga hjälpmdl. Ej räkndoa. Rula mddla vi -po. För godkän räckr poäng och min uppgifr md llr poäng. Godkända
Läs merMatematik 5 svar. Kapitel Test Blandade uppgifter Kapitel a) dy
Matematik 5 svar Kapitel 3... 1 Test 3... 26 Blandade uppgifter... 29 Kapitel 3 3101. a) y (x) = 2x y(x) = x 2 + C b) y (x) = x 2 x + 1 y(x) = x3 x2 + x + C 3 2 c) y x 2 + 2 = 0 y = x 2 2 y(x) = x3 2x
Läs merMateriens Struktur. Lösningar
Materiens Struktur Räkneövning 3 Lösningar 1. Studera och begrunda den teoretiska förklaringen till supralednigen så, att du kan föra en diskussion om denna på övningen. Skriv även ner huvudpunkterna som
Läs merAtomens uppbyggnad. Atomen består av tre elementarpartiklar: Protoner (+) Elektroner (-) Neutroner (neutral)
Atom- och kärnfysik Atomens uppbyggnad Atomen består av tre elementarpartiklar: Protoner (+) Elektroner (-) Neutroner (neutral) Elektronerna rör sig runt kärnan i bestämda banor med så stor hastighet att
Läs merLösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Teoridel
Lösningsförslag till deltentamen i IM601 Fasta tillståndets fysik Heisenbergmodellen Måndagen den 0 augusti, 01 Teoridel 1. a) Heisenbergmodellen beskriver växelverkan mellan elektronernas spinn på närliggande
Läs merEpipolärgeometri och den fundamentala matrisen. Epipolarlinje. Epipoler. Exempel. vara dess avbildning i två bilder genom
Epipoärgomtri dn fundamntaa matrisn Låt vara n punkt i kamracntrum rsp Låt Punktn bägg kamracntrum pipoarpant ti bägg avbidningarna ti vara dss avbidning i två bidr gnom samt d -dimnsiona motsvarightrna
Läs merMalmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.
Cykln Malmö stad, Gatukontort, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtagt av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbt md Malmö stad, Gatukontort. Txt: Run Andrbrg Illustrationr: Lars Gylldorff Min cykl Sidan
Läs merEnligt Hunds första regel är spin maximal. Med tvνa elektroner i fem orbitaler tillνater
Problem. Vad är enligt Hunds reglar grundtillstνandet av deföljande fria joner? Använd spektroskopisk notation. Till exempel, i Eu + (4f 7 ) skulle rätt svar vara 8 S 7=.Gekvanttal för banrörelsemängdsmoment,
Läs merTENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA APRIL 2016
Institutionn för tillämpad mkanik, Calmrs ENAMEN I FINI EEMENMEOD MHA 9 APRI 6 id oc plats: 4 8, Eklandagatan 86 Hjälpmdl: Ordböckr, likon oc typgodkänd räknar. ösningar ärar: Ptr Möllr, tl (77 55. Bsökr
Läs mer6.14 Triangelelement (CST Constant Strain Triangle)
Övning 4 riangmnt ickard Shn -- FEM för Ingnjörstiämpningar, SE rshn@kth.s 6.4 riangmnt (CS Constant Strain riang) Givt: unn påt, h E-modu E Poissons ta På tunn påt md fria tor kan man göra antagand om
Läs mer