Inledande modern fysik Del 2 Kompendium: Relativitetsteori och partikelfysik

Transkript

1 Inldand modrn fysik Dl 2 Kompndium: Rlativittstori och partiklfysik Marcus Brg oktobr 218 Dt här kompndit plus utdlat matrial ur Schutz utgör kurslittratur för kursmomntt Dl 2. Innhåll 1 Förkunskapr och littratur 1 2 Rlativittstori Einstin, Nwton och Maxwll Från klassisk fälttori till kvantfälttori Partiklfysik: introduktion och fnomnologi Söndrfall: från kärnfysik till subnuklär fysik Finns partiklar? Partiklfysikns apparatr Partiklarnas priodiska systm Vad mätr man? Partiklfysik: tortiska mtodr Fynmandiagram Torin för btasöndrfall Fängsling och mr om Fynmandiagram Sammanfattning: bvaringslagar Framtidn Rsursr och vidarläsning Spcill rlativittstori Partiklfysik Uppgiftr 21 7 Svar (prova själv först!) 25 1 Förkunskapr och littratur Förkunskapr: Från gymnasit och Dl 1 av kursn skall ni ha md r lit förkunskapr (allmänbildning) om ljusts hastight och matrians uppbyggnad som atomr och atomkärnor. Vi kommr också att bhöva lit grundläggand mkanik. S quiz på Canvas från dl 1, samt Vido : Rlativittstori. Spcill rlativittstori: Dt är tt kapitl om dt i Knight. Läs gärna dlar av dt mn dt är övr 3 sidor och int särskilt bra. Börja gärna iställt från gymnasibokn Fysik 3 (utdrag på Canvas). Brdvidläsning sdan i Schutz [1] (på Canvas) kap 1-3. Schutz används på kursn Allmän rlativittstori. Partiklfysik: Brdvidläsning i Matt Strasslrs blogg [2]. En mr avancrad bok som är bra är Rolnick [3], intrssrad studntr kan skaffa dn nu och bläddra i, mn läsa ftr Kvantfysik I på år 2. På mastrnivå är standardbokn Pskin & Schrodr [23], förutsättr kursn Avancrad kvantmkanik. 1

2 2 Rlativittstori Btrakta dt vanliga koordinatsystmt (x, y, z) (som obsrvatör O användr) rotrat md vinkl θ runt z-axln till ( x, ȳ, z) (som obsrvatör O användr). Md lit lmntär gomtri som jag diskutrar i Vido : Rlativittstori går man från (x, y, z) till ( x, ȳ, z) md transformationn x = x cos θ + y sin θ ȳ = x sin θ + y cos θ z = z t = t där dn sista kvationn t = t (tidn ändras int) vanligtvis är undrförstådd för rotationr. Ett rumsintrvall mllan två punktr gs av Pythagoras sats i tr dimnsionr: (2.1) ( r) 2 = ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2. (2.2) I uppgiftrna ombds du bvisa något som är uppnbart: undr rotationn i kvation (2.1) gällr ( r) 2 = ( r) 2, dvs. n vktors längd är oförändrad undr rotationr. Att vara oförändrad undr n koordinat-transformation som (2.1) kallas att vara invariant. I rlativittstori är dt int rummt som är dt cntrala bgrppt utan rumtidn, alltså rummt och tidn som n gmnsam nht. Man börjar då md att gnralisra rumsintrvallt ( r) 2 till dt s.k. rumtidsintrvallt md ljusts hastight c: ( s) 2 = c 2 ( t) 2 + ( r) 2. (2.3) Dt här kallas ibland Pythagoras sats i rumtidn. (Något är undrligt: om vänstrldt vor n kvadrat av något så bord int högrldt kunna vara ngativt. Vi skall dfinira dt noggrannar i kvation (2.32) ndan, mn för tillfällt, tolka bara vänstrldt som n btckning för högrldt.) Nu kan vi i analogi md invarians av längdn av n vktor undr rotation kräva att rumtidsintrvallt är invariant: ( s) 2 = ( s) 2. För rotationr härldd vi invariansn av rumsintrvallt från d xplicita uttryckn för ( x, ȳ, z), mn nu gör vi tvärtom: vi krävr invarians och sr vilka transformationr dt ldr till. Dt ldr till Lorntztransformationrna, som inkludrar rotationrna ovan samt n ny typ av transformation som är translation md konstant hastight v i x-riktningn: t = γ ( t v c 2 x ) x = γ(x vt) ȳ = y z = z där γ = 1 1 v 2 /c 2. (2.4) Dn här transformationn kallas n boost i x-riktningn. Formlrna i (2.4) kan vid första anblick vrka väsnsskilda från formlrna i (2.1) ovan, mn uppgift S1.18 i Schutz visar att d är närbsläktad, via d hyprboliska funktionrna sinh och cosh som är lit som sin och cos (därav namnn). Exmpl. En partikl rör sig md hastight v = c/2 rlativt tt laboratorium. Vi väljr koordinatrna (t, x) som partiklns vilosystm (obsrvatör O, s ndan) och att partikln är i origo där: x =. Då blir tidn t i laboratorits koordinatsystm (obsrvatör O), nligt kvationrna (2.4): t = γ(t v c 2 ) = t 1 (c/2) 2 /c 2 = t 1 1/4 = t 3/4 = t = 2 t 1,15 t (2.5) 3/2 3 Vi sr att tidn t som uppmäts i laboratorit är 15% störr än tidn t som förloppt tar i partiklns vilosystm. Till xmpl söndrfall går alltså långsammar stt från laboratorit. Dt kallas tidsdilatation (tidsutvidgning). Uppgiftrna ndan visar något övrraskand att alla obsrvatörr tyckr att alla andras förlopp vrkar gå långsamt; man kan växla O och O och får ändå tidsutvidgning. 2

3 En av d tidiga xprimntn ([4], 1963) som tstad tidsdilatation studrad myonr (instabila partiklar som söndrfallr) i kosmiska strålar från rymdn. D mätt 563 myonr/h i strålarna upp på tt brg jämfört md 412 myonr/h nr på markn. Utan tidsdilatation skull dt ha varit runt 3 myonr/h på markn ftrsom myonr söndrfallr fort (2 µs, och dt tar dm ungfär 6 µs att komma nr), mn tidsdilatation förlängd dras livstid stt från jordns koordinatsystm, så många flr övrlvr än vad man skull ha trott utan rlativittstori. I nyar xprimnt från 21 har tidsdilatation uppmätts för hastightr så pass låga som 1 m/s, md väldigt noggranna atomur [5]. Motsvarand fnomn för längd kallas längdkontraktion, som diskutras i Vido och i n uppgift ndan. Längdkontraktion är svårar att mäta dirkt än tidsdilatation, ftrsom oftast bara små partiklar rör sig i närhtn av ljusts hastight, och d rdan är så små. Bgrppt tid är cntralt i rlativittstori. Schutz inför n ny tidsnht, n som är bkant i andra sammanhang: mtr! Dt är ingt konstigar än när någon sägr Örbro liggr n timm bort, för man har givn hastight på motorvägn i åtank. Här har vi ljushastightn i åtank och man kan då mäta avstånd i tid, llr tid i avstånd som Schutz. Här bhållr vi SI-nhtr och skrivr ct övrallt där dt står t i Schutz (s uppgiftr om nhtr ndan). Nu skall vi gå in på rlativ rörls nligt Lorntz och Einstins mkanik: rlativittstori. Om n partikl har hastight u i x-koordinatsystmt och hastight ū i x-koordinatsystmt får vi ū = x t t 1 t 1 γ( x v t) = γ ( t v x ) = c 2 γ( x v t) γ ( t v c 2 x ) = x t v 1 v c 2 x t = u v 1 v c 2 u. (2.6) Antag först att v < c. Om vi sättr u = v så blir ū =. Dt btydr bara att om n partikl rör sig åt högr md prcis samma hastight som koordinatsystmt x rör sig, så vrkar dn stå stilla i dt koordinatsystmt. Dt stämmr övrns md vår vardagsförståls av rlativ rörls. Man kan alltså ävn i rlativittstori alltid hitta tt koordinatsystm där n givn partikl md v < c står stilla, och dt kallas partiklns vilosystm. Mn dt är dt nda md kvation (2.6) som stämmr övrns md vår vardagsförståls! Låt oss nu prova att sätta partiklns hastight u = c (t.x. för n foton), då blir ū = c v 1 v/c = c c v c v = c (2.7) obrond av v. Alla obsrvatörr md konstant hastight obsrvrar att fotonn rör sig md ljusts hastight. Man kan alltså int åka ifatt n foton, ns i princip, nligt rlativittstori. Ljusts hastight är alltså som du säkrt har hört konstant, dvs. samma för alla koordinatsystm. 1 Här är tt xmpl på hastightr som int är riktigt c. Exmpl. Om n partikl A rör sig md hastight u = c/2 och n annan partikl B åkr ftr dn md hastight v = c/3, vad blir hastightn ū i B:s koordinatsystm x? Enligt (2.6) har vi ū = c/2 c/3 1 (c/3)/c 2 c/2 = c/6 1 1/6 = c = c 5. (2.8) 6 I nwtonsk mkanik skull dt ha blivit u v = c/2 c/3 = c/6 som alltså är fl, mn ingn hlt värdlös approximation hllr. Hastightsadditionn v A/B = v A + v B som vi är vana vid från ickrlativistisk fysik (kallas Galilotransformation) gnralisras till följand additionsrgl om vi sättr u = v A, v = v B, ū = v A/B i kvation (2.6): v A/B = v A ( v B ) 1 ( v = v A + v B B) v c 2 A 1 + v A v B /c 2. (2.9) 1 Dt går därmot som du också vt långsammar i glas. Dt är populärt i atom- och molkylfysik att försöka sakta nd ljus, antingn gnom tt mr xotiskt mdium än glas, som Bos-Einstin-kondnsat [16] llr gnom att manipulra ljuspulsr [17]. D här xprimntn motsägr int rlativittstori, mn ibland framställs dt så i populärprssn. Partiklar som alltid rör sig snabbar än ljust ( takyonr ) skull lda till att kommunikation bakåt i tidn vor möjligt (s t.x. Sörn Holsts bok [21]), som d flsta fysikr tyckr vor absurt, därför utgår man oftast från att d int finns. Mn d motsägr int hllr dirkt rlativittstori! År 211 påstådds dt att nutrinr var takyonr, vilkt var fl [18], som Clas förutsad. 3

4 Mn någonting är konstigt md hastightsadditionsformln (2.9) som vi nklast sr i tt xmpl. Exmpl. Låt oss btrakta två bollar A och B md samma massa m som sittr ihop md n fjädr. Fjädrn är ihoptryckt i spänt läg som hålls fast av tt litt snör. Eftr n viss tid går snört av och bollarna skjuts ut åt motsatt håll. Figur 1 visar tt rumtidsdiagram: linjrna kallas världslinjr. I Nwtons mkanik är totala rörlsmängdn för och ftr mv A + mv B =, dvs. masscntrum är A B A B a) b) c) A B tid CM FIGUR 1: a) Boll A, boll B och dras masscntrum. b) vi zoomar ut i x-ld så man int sr systmts brdd. c) boll A:s vilosystm ftr fjädrutsträckningn, jämför l A och l B. stilla (figur 1b). Låt oss tsta att rörlsmängd är bvarad i Nwtons mkanik i två olika koordinatsystm. 2 Vårt nya koordinatsystm är boll A:s vilosystm ftr d skjutits iväg, som visas i figur 1c, där A:s strck ftr snört gått av är vrtikalt, dvs. A står stilla. 3 Där har systmt för utskjutningn rörlsmängd p för = 2m Wdnsday, April v CM 22, 215 = 2mv B, för masscntrum ftr xplosionn rör sig bort från A md hastight v CM, som har samma blopp som v A i dt ursprungliga systmt: v CM = v A = v B. I dt här systmt har boll B hastightn v B = v B + v CM = 2v B och därmd rörlsmängd p ftr = m 2v B. Så rörlsmängdn är åtrign bvarad i nwtonsk mkanik. Mn i rlativittstori har vi nu kvation (2.9) som gr v B < 2v B, int v B = 2v B, så dn vanliga rörlsmängdn p = mv är tydlign int bvarad, nligt Einstin! Eftrsom vi gillar bvaringslagar vill vi gärna hitta någon gnralisring av rörlsmängdn som är bvarad oavstt koordinatsystm. Låt oss börja om från början. Först inför vi lit notation: sammanfatta (ct, x, y, z) md numrringn (x, x 1, x 2, x 3 ). Dt är viktigt att, 1, 2, 3 int är xponntr, utan bara n numrring som råkar vara därupp. Varför man vill ha numrring upp skall vi s snar. Md numrring kan vi packa ihop (x, x 1, x 2, x 3 ) till n symbol x α där dt är undrförstått att α kan anta värdna, 1, 2 llr 3. Dt är n gnralisring av vktorsymboln x i tr dimnsionr (dvs. vanlig vktor, som vi brukar skriva som x för hand) till rumtidn, så x α kallas n 4-vktor i motsats till x som vi kan kalla 3-vktor om vi vill poängtra skillnadn. Md hjälp av x α kan vi skriva alla fyra Lorntztransformationrna på n rad: xᾱ = 3 Λᾱβ x β ᾱ =, 1, 2, 3, (2.1) β= där Λᾱβ är n 4 4-matris, n samling av 4 4 = 16 tal som vi läsr av från (2.4), varav d flsta är noll, t.x. Λ = γ, Λ 1 = γv/c, Λ 2 = tc. För r som kännr r hmma på flrvariablanalys kan 2 Om du int minns: x CM = (m 1x 1 + m 2x 2)/(m 1 + m 2). För spcialfallt m 1 = m 2 = m blir dt x CM = (x 1 + x 2)/2. Dfinira koordinatsystm rlativt masscntrum: x 1CM = x 1 x CM, x 2CM = x 2 x CM. Drivra dt: v 1CM + v 2CM = v 1 + v 2 2v CM = 2v CM 2v CM =. I masscntrumssystmt är alltså v 1CM = v 2CM, lika fart och motriktad hastight. (Om m 1 m 2 gällr dt int längr för hastightr. Visa själv att dt ändå gällr för rörlsmängdrna.) 3 Varför rör sig systmt åt högr innan utskjutningn i figur 1c? Vi vill hålla oss till konstanta hastightr här, så vi vill bhålla samma systm för och ftr utskjutningn. Tänk dig att fjädrn md bollarna liggr på markn, du börjar långt till högr och springr åt vänstr md hastight v A, och prcis när du springr förbi fjädrn så skjutr dn ut bollarna och du hållr prcis jämna stg md boll A. Dt är dt som illustrras i figur 1c: bollarna liggr först stilla på markn i sitt systm, mn rör sig åt högr md hastight v rlativt dig som springr åt vänstr. Om dt vrkar som tt rätt långsökt koordinatsystm så är dt för att dt är långsökt, bara lätt att räkna på och rita. 4

5 man också skriva kvation (2.1) som n partill drivata: Λᾱβ = xᾱ x β (2.11) dvs. om vi får n linjär koordinattransformation som funktionr xᾱ av d gamla x α så dstillrar man ut transformationsmatrisn gnom att drivra d nya koordinatrna md avsnd på d gamla. Exmpl. Btrakta 4 n fyrvktor A = (5,,, 2) m som jag har uppmätt i mitt systm O. Du är obsrvatör Ō och rör dig md hastight v i positiva x-riktningn. Från (2.1) kan jag räkna ut komponntrna av fyrvktorn A som du uppmätr i ditt koordinatsystm Ō. Först nollt komponntn: A = Λ A + Λ 1 A 1 + Λ 2 A 2 + Λ 3 A 3 (2.12) = Λ 5 + Λ 1 + Λ 2 + Λ 3 2 = γ = 5γ. På samma sätt får man A 1 = 5γ v c, A 2 =, A 3 = 2, så totalt har vi Aᾱ = γ(5, 5 v,, 2). (2.13) c (Vi skrv γ framför, dt är ofta praktiskt mn man kan förstås lika väl multiplicra in γ.) Md t.x. v =,8c så får man konkrta numriska komponntr för Aᾱ (prova!). Notra att ävn nollt komponntn A = 5 var givn i mtr, på samma sätt som ct är givn i mtr. Had vi haft andra nhtr för nollt komponntn än för d rumsliga komponntrna had dt int varit möjligt att skriva kvationr som (2.12), för man kan int addra storhtr md olika nht. En viktig gnskap hos Lorntztransformationrna, som vi räknad oss fram till i Vido, är att rum och tid blandas : 5:an från A dykr upp i dn rumsliga komponntn A 1 i kvation (2.13). Dt följr från vår ursprungliga forml x = γ(x vt): olika tidr t för O gr olika lägn x nligt Ō. Nu har vi n kompakt sammanfattning av Lorntztransformationrna i (2.1). I mkanik lärd vi oss att hastight är tt gränsvärd av tt längdintrvall dlat md tt tidsintrvall, dvs. lutningn i n x-t-graf. I rlativittstori kan vi introducra n fyrdimnsionll 4-hastight v α som tangntn till världslinjn i rumtidn: s figur 1. Dt kluriga är att tidsintrvallt i dfinitionn av hastight i rlativittstori bror på obsrvatör, alltså på koordinatsystm. Mn dt finns tt koordinatsystm som är spcillt: partiklns vilosystm. Så rimlign bord tidsintrvallt i dfinitionn av hastight vara partiklns gntid τ, dvs. tidn som partikln själv mätr. Md tidigar notation kallar vi t för gntid τ och t för t, då har vi t = γτ, så v α := xα τ = γ xα t (2.14) där := btydr dfiniras som. 5 Om vi användr Pythagoras sats i rumtidn, kv. (2.3), får vi (v α ) 2 = γ 2 ( xα ) 2 ( 1 c 2 ( t) 2 + ( r) 2 ) 1 ( ( t) 2 = 1 v 2 /c 2 ( t) 2 = c 2 1 v 2 /c 2 + v 2) = c 2 (2.15) dvs. kvadratn på 4-hastightn är konstant, oavstt vad vanliga hastightn är! Dt här är ganska spännand: längdn i kvadrat på n vanlig hastightsvktor v 2 = v 2 är ju samma oavstt hur man rotrar dn, mn (v α ) 2 är ännu mr invariant, dn har värdt c 2 obrond av 3-hastightn v! 4 Dt här xmplt är från Schutz s.38. Schutz användr Einstins konvntion att int skriva ut summatckn för upprpad indx, mn vi skrivr ut summatckn. Dssutom: x är n 3-vktor för oss bägg, mdan x för Schutz i huvudsak är dt vi kallar x α. Vi följr därmot hans konvntion att int sätta strck på själva x:t i xᾱ, fast många andra författar skrivr xᾱ. Hans tank är att x är n och samma vktor i alla systm, bara koordinatrna ändras. 5 Ovanstånd gällr för konstanta hastightr vilkt är dt vi mst pratar om här. Dt går också bra att dfinira ögonblicklig hastight gnom att ta gränsvärd τ som vanligt, isåfall är gränstagningn lim undrförstådd hla tidn. 5

6 Utifrån v α kan vi äntlign dfinira n rlativistisk rörlsmängd, som också kallas 4-rörlsmängd: p α = mv α, (2.16) där m är vilomassan, dn nda massa vi pratar om här. För komponntrna α = 1, 2, 3 får vi nligt ovan: p = γmv. Vi tstar att dn rlativistiska rörlsmängdn p α är bvarad i alla koordinatsystm. Exmpl, forts. I bollxmplt ovan är d rlativistiska rörlsmängdrna i masscntrumsystmt: p A = γ A mv A, p B = γ B mv B mn v A = v B, så γ A = γ B och fortfarand p tot = för och ftr. I boll A:s systm (c t, x) har vi för snört går av hastight v f ( f för för ), md v A = v. Enligt (2.9): v f = + v 1 + v/c 2 = v (2.17) vilkt bara bkräftar att om vi boostar från noll till tt systm som rör sig md hastight v, så blir hastightn v. I boll A:s systm (c t, x) har vi p tot,f = 2m f γv för snört går av. Varför måst vi sätta för på massan? För att dt skall bli någon rörlsnrgi ftr snört går av måst vi ta md potntilla nrgin hos fjädrn: m f c 2 = 2mc 2 + E pot, mdan m c 2 = 2mc 2. Eftråt har vi: v A = pr dfinition, och nligt (2.9) v B = v B + v B 1 + vb 2 = 2v /c2 1 + v 2 /c 2. (2.18) Nyckln till att visa att rlativistisk rörlsmängd är bvarad är följand idntitt: (γ vb ) 2 = Md för ftr har vi då: 1 1 v 2 B /c2 = 1 1 ( 2v 1+v 2 /c 2 ) 2 /c 2 p tot, = + γ vb m v B = γ vb = (1 + v 2 /c 2 ) 2 (1 + v 2 /c 2 ) 2 4v 2 /c 2 = (1 + v2 /c 2 ) 2 (1 v 2 /c 2 ) 2. (2.19) 2m v 1 + v 2 /c 2 = γ2 2m v = 2γm f v (2.2) där vi använd att nrgins bvarand gr γ = m f /m (s uppgift ndan). Totala rörlsmängdn ftr är p tot, = 2γm f v = p tot,f, så dn rlativistiska rörlsmängdn är bvarad ävn från boll A:s synpunkt. I n uppgift får du undrsöka dt här i tt rumtidsdiagram. Hur är dt md tidskomponntn av p α, dvs. p? (Kom ihåg att nollan int är n xponnt.) Från (2.15) har vi (p α ) 2 = m 2 (v α ) 2 = m 2 c 2. (2.21) För att känna ign dt här kan vi välja vilosystmt för partikln, v =, så (p α ) 2 = (p ) 2 = m 2 c 2, dvs. p = mc = mc 2 /c (v = ). (2.22) Dt kännr vi ign som vilonrgin mc 2 dlat md c. Så vi kan våga oss på att säga att tidskomponntn av n 4-rörlsmängd i allmänht skall vara totala nrgin E dlat md c: p = E/c (i allmänht), (2.23) som vi kommr att s gr dt här vårt vanliga koncpt av nrgi som spcialfall. Eftrsom (p α ) 2 = (p ) 2 + p 2 = E 2 /c 2 + p 2 = m 2 c 2 har vi alltså rlativistiska nrgin E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4. (2.24) Vi sr att för p = har vi E = mc 2, som är dn (myckt stora) vilonrgi som finns i n kropp bara av att dn har massa, som ni har studrat i kärnfysik i Knight. För v c får vi iställt dn bkanta ickrlativistiska kintiska nrgin E mc mv2 (s uppgift). Dt går också att räkna ut nrgin 6

7 E = hf hos n foton (s uppgiftr). Alla d här formlrna är alltså spcialfall av dn rlativistiska nrgiformln (2.24). Till sist kan vi äntlign härlda Dopplrskift av ljus som gs i Knight. För n masslös partikl är (p α ) 2 = m 2 c 2 =. Om fotonn rör sig utmd x-axln har vi p α = (E/c, p,, ) och därmd (E/c) 2 + p 2 =, alltså E = pc. I koordinatsystmt ( x, t) har fotonn nrgin Ē = p c = c 3 α= Λ α p α = cλ p + cλ 1 p 1 = γe γ v pc = γe(1 v/c) (2.25) c så förhållandt mllan frkvnsrna är, ftrsom E = hf så f = E/h: f f = Ē/h = γ(1 v/c) = 1 E/h där jag använd konjugatrgln i nämnarn. v c 1 v2 c 2 = 1 v c 1 + v c 1 v c = 1 v c 1 + v c, (2.26) Exmpl. (Knight) I ljus från n avlägsn galax obsrvrar man att n spktrallinj som vanlign har våglängd 656 nm är skiftad till 691 nm. Hur fort rör sig galaxn? Dt är praktiskt att uttrycka hur myckt linjn har flyttats mot dn röda dln av spktrat gnom rödskiftt z, som dfiniras som z = λ obsrvrad 1 = =,53. (2.27) λ standard 656 Eftrsom c = fλ har vi f = c/λ, och hastightn v kan vi lösa ut om vi kvadrrar (2.26), och notrar att λ = λ obsrvrad, λ = λ standard : 1 v/c 1 + v/c 1 v c = ( ) 2 ( ) f 2 = = f λ λ =,9 ( 1 + v ) c ( ) =,9 (2.28) 691 (2.29) (,9 + 1) v c v = = (1,9) (2.3), 1 c =,53c, (2.31) 1, 9 så galaxn rör sig bort från oss md drygt 5% av ljushastightn. Dt är int n slump att v cz, man kan visa md Taylorutvckling av ovanstånd formlr att v cz är n bra första approximation. För stora rödskift kommr yttrligar allmänrlativistiska korrktionr in som vi försummar här. Vi avslutar md tt förtydligand om vad kvadratrna ovan gntlign btydr. Vi sad att (p α ) 2 = (p ) 2 + p 2, mn vi kan skriva om dt som (p α ) 2 = (p ) 2 + p 2 = 3 α= β= 3 η αβ p α p β (2.32) md d 16 taln (komponntrna) η = 1, η 1 =, tc varav åtrign d flsta är noll. D nda som int är noll är för α = β, alltså η = 1, η 11 = +1, η 22 = +1, η 33 = +1. Dn här symboln η αβ kallas mtrikn. Vi sr att dt nda som är särskilt spcillt är mtrikns tidskomponnt η = 1 som är ngativ. Dt är η som skiljr rumtid från bara rum. Ett annat sätt att formulra kvation (2.32) är att introducra n variant av 4-rörlsmängdn: p α md indx nr: 3 p α = η αβ p α = ( p, p 1, p 2, p 3 ). (2.33) β= 7

8 Md dn här xtra notationn kan vi slutlign uttrycka 4-rörlsmängskvadratn som (p α ) 2 = 3 p α p α (2.34) α= och nu är minustcknt i η = 1 inbakat i p α iställt för i η αβ. Ekvationrna (2.32) och (2.34) gr dn prcisa btydlsn av kvadratn av p α. Dt kan vrka lit övrdrivt tung notation att ha indx upp llr indx nr bara för tt futtigt minustckn i kvation (2.33). Mn Schutz visar att indx upp transformrar md (2.11) och indx nr transformrar md invrsa transformationn (s uppgift). Objkt md indx nr kallas kovarianta (transformrar åt na hållt), indx upp kallas kontravarianta (transformrar åt andra hållt). Så gnom att skriva n nr, n upp som p α p α tydliggör vi att dt här n kombination av 4-rörlsmängdr som int bror alls på koordinatsystmt. När till och md samtidight bror på koordinatsystm är dt skönt att ha något som är invariant. Mtrikn är tt xmpl på n tnsor, tt objkt md flra indx. Låtr man komponntrna av mtrikn vara funktionr av koordinatrna kallas dn g αβ (x α ). Dt rprsntrar krökt rumtid, och dt är där allmän rlativittstori börjar. Mn dt får vi vänta md till n annan gång. 2.1 Einstin, Nwton och Maxwll Enligt rlativittstori kan ingn form av signal röra sig fortar än ljust, v c. En viktig princip i modrn tortisk fysik är att olika torir int får motsäga varandra där giltightsområdt bord övrlappa, ävn om d skapads för att bskriva olika fnomn. Så rlativittstori får hlst int motsäga t.x. Nwtons gravitationslag F = G N m 1 m 2 /r 2. Man kan börja md att göra s.k. tankxprimnt. (Dt finns n trvlig bok om hur sådana har använts i hla fysikns historia [12].) Tänk dig n gigantisk solar flar (solutbrott) där soln skickar ut massa i rymdn. Då bord jordns bana påvrkas n aning. Mn i gravitationslagn förkommr ingt tidsbrond, så jordn skull ögonblicklign (dvs. ftr skundr) ändra sin bana, trots att ljus tar 8 minutr att komma hit från soln. Dt är tt stort principillt problm för gravitationslagn att dn vrkar ögonblicklign övr hur stora avstånd som hlst. Nwton visst int att v c, mn rdan han insåg att dt var något problm md gravitationslagn: That on body may act upon anothr at a distanc thro a Vacuum, without th Mdiation of any thing ls, by and through which thir Action and Forc may b convyd from on to anothr, is to m so grat an Absurdity that I bliv no Man who has in philosophical Mattrs a comptnt Faculty of thinking can vr fall into it. Isaac Nwton, 1692 [11] Dt vill säga, han tyckt dt var absurt att dt int finns någon bärar (ng. mdiator) av kraftn, mn lämnad fritt åt läsarn att själv hitta n lösning på problmt. Lösningn kom 1915 md Einstins allmänna rlativittstori för gravitation, och lösningn var att gravitation sprids md gravitationsvågor, som rör sig md ljusts hastight. Hundra år ftr dt, år 215, lyckads xprimntalfysikr dtktra gravitationsvågor från kollidrand svarta hål md n lasr-intrfromtr [13]. Mn bord int Coulombs kraftlag för lktrisk kraft, som ju är snarlik Nwtons gravitationslag, också ha liknand problm? Nj, för lktromagntiska vågor had rdan n gn tori som är rlativistisk, Maxwlls kvationr, som kom för Einstin. Faktum är att dt dlvis var Maxwlls kvationr som ldd Einstin till rlativittstori, och hans första artikl om spcill rlativittstori, Zur Elktrodynamik bwgtr Körpr [15] handlar just om rlativistisk dynamik i lktromagntism. 2.2 Från klassisk fälttori till kvantfälttori Maxwlls lktrodynamik och Einstin gravitationstori är klassiska fälttorir, där d grundläggand objktn är fält, som lktriska fältt och gravitationsfältt, och klassisk btydr att d kom innan kvantfysik. (För n introduktion till fält, s Strasslrs blogg [2].) På kursn hittills har ni pratat om partiklar i ick-rlativistisk kvantfysik. Torin man får om man bakar ihop spcill rlativittstori 8

9 md ick-rlativistisk kvantfysik kallas kvantfälttori. 6 Kvantfälttori är dn klart mst modrna torin ni har stött på hittills i Inldand modrn fysik: dn blv tt mr llr mindr kompltt ramvrk på 195-talt, mn int förrän på 197- och 198-taln blv dn färdig i vrsionn vi användr idag. Nu skall vi s hur kvantfälttori används i modrn partiklfysik. 3 Partiklfysik: introduktion och fnomnologi 3.1 Söndrfall: från kärnfysik till subnuklär fysik I kapitlt om kärnfysik i Knight står dt om söndrfall. Alfasöndrfall är int särskilt konstigt rnt partiklmässigt: n kärna fallr i bitar. Gammasöndrfall är aningns konstigar: n foton skickas ut, mn fanns dt n foton i systmt förut? (Dn frågan had man kunna fråga rdan i atomfysik: hur kan n xcitrad atom, man skull kunna tro int har några fotonr i sig, plötsligt skicka ut n foton?) Mn btasöndrfall är konstigast av dm alla: n p ν. (3.1) Som Knight skrivr: visst, nutronn har tillräckligt md nrgi för att dt här skall hända ftrsom dn är tyngr än protonn, och E = mc 2. Mn är dt här int som om n lastbil plötsligt förvandlas till n Cadillac och n Volkswagn- bubbla? (Knight antar förstås att amrikanska studntr vt att Cadillac är n stor bil, som motsvarar protonn, och bubblan är n litn bil.) Md andra ord, är dt int någon skillnad på d olika partiklarna, får d byta fram och tillbaka hursomhlst? Dt tortiska ramvrkt som används i partiklfysik är alltså kvantfälttori (s ovan). I kvantfälttori bskrivs naturn av n mny av fält: fotonfältt, lktronfältt, osv. Har man tillräckligt md nrgi kan man xcitra tt fält, dvs. skapa små krusningar i dt. D här fältn är ganska tröga : man måst minst ha nrgin i partiklns vilomassa, ofta väldigt många lktronvolt, för att få till n riktig xcitring. Till första approximation kan nrgin i varj punkt i rumtidn bskrivas som n kvantfysisk harmonisk oscillator (s Knight), md nrginivårna ( E n = n + 1 ) ω. (3.2) 2 Vi vt att antalt fotonr är int bvarat från atomfysik: fotonr kan skapas och förintas. Mn vi har bvarandlagar som är uppfyllda, t.x. nrgins bvarand. Dt btydr att dt får flyttas övr nrgi från dt na fältt till dt andra, och ur partiklsynpunkt skapas n foton. Mn btraktar man fotonn som n litn våg i tt fält är dn här nrgiförflyttningn int konstigar än att n stn som släpps på n stilla vattnyta skapar vågor i vattnt: nrgi övrförs. Dt som är svårt att förstå är våg-partikldualitt: att fotonn är n partikl ibland, mn ibland också n våg, som ringarna på vattnt. Ur fält-synpunkt är dt alltså ingt konstigt i sig att olika partiklar kan konvrtra fram och tillbaka till varandra. Mn vi insr snabbt att d int kan konvrtra hur som hlst, t.x. kan int n lktron konvrtra till bara n foton om lktrisk laddning skall vara bvarad. Dt ingår i dn här kursn att lära sig lit om rglrna för vad som kan hända i partiklvärldn. Vi kan sammanfatta n första rgl: för att konvrtra fram och tillbaka mllan partiklar måst dt finnas n koppling mllan fältn som partiklarna är xcitringar av, vilkt dt tydlign gör mllan fotonfältt och lktronfältt. (I Matt Strasslrs blogg förklarar han koppling ur klassisk bmärkls: fältn A och B anss kopplad om A förkommr i vågkvationn för B, md n trm A B.) Att ha tillräckligt md nrgi i tt visst fält räckr alltså int för att skapa n xcitring i tt annat fält, om 6 Man skull kunna kalla kvantfälttori rlativistisk kvantmkanik, mn av historiska skäl brukar man int göra dt. Dt bror på att dt finns tt annat äldr ramvrk som på ytan är ganska likt, som rdan had namnt rlativistisk kvantmkanik, där man nvisas md partiklar och int fält. Dt ramvrkt är fullt md problm och utgör ingn fundamntal sammanhängand tori, så kvantfälttori är dn nda fungrand torin vi har för rlativistisk kvantmkanik. 9

10 d int kopplar till varandra. Hur starkt d kopplar till varandra kvantifiras av n kopplingskonstant som är nhtslös. (Åtrign, i Strasslrs blogg är kopplingskonstantn mllan fält A och fält B dn konstant y som står i produktn y A B i vågkvationn.) För lktromagntisk kraft bildar man kopplingskonstantn så här. Konstantn i Coulombs lag för lktrisk kraft mllan två lmntarladdningar är k 2 = 2 /(4πɛ ), där k är Coulombs konstant och ɛ är vakuumprmittivittn (s Physics Handbook). Tänkr man ftr lit (s uppgiftrna) sr man att produktn c har samma nht som k 2, så vi kan bilda n dimnsionslös kombination: α = k2 c = 2 4πɛ c (3.3) Dn här kallas finstrukturkonstantn, och karaktärisrar alltså hur starkt lktronr och fotonr växlvrkar md varandra. Man har sdan infört två till kopplingskonstantr så dt blir totalt tr styckn, n för var och n av d tr naturkraftrna vi kommr att prata om här: α (lktromagntisk) 1 3, α w (svag kärnkraft) 1 5, α s 1 (stark kärnkraft). (3.4) För dn fjärd naturkraftn, gravitation, är kopplingskonstantn Nwtons gravitationskonstant G N. Dt är tt djupt olöst problm i tortisk fysik att förna gravitation och kvantfysik, och problmt har att göra md att G N int är dimnsionslös. Två hypotsr för att lösa kvantgravitations-problmt kallas strängtori och loopkvantgravitation, mn ingn har som sagt löst dt än. 3.2 Finns partiklar? D flsta studntr har ingt problm att accptra nutronr, protonr och lktronr, för d finns ju i atomr som finns övrallt omkring oss och i cllrna i våra kroppar, och framför allt har man ju lärt sig om dm i skolan. Mn rdan vid nutrinn kan man börja bli lit nrvös. Tusntals nutrinr från soln passrar ignom våra kroppar varj skund, sägs dt. Mn om man aldrig märkr dm, finns d? Mn man skull kunna ha ställt samma fråga om kärnpartiklarna och lktronn. Kan man övrhuvudtagt s partiklar? Rdan från diskussionn av svptunnlmikroskop bord du ha blivit bkant md idén att man i modrn fysik int räknar att s sakr i optisk bmärkls (t.x. md ögonn, llr md tt optiskt mikroskop) som särskilt viktigt för att sakr finns. Dt är n intrssant diskussion i filosofi vad dt gntlign btydr att något finns, och n yrksfysikr måst sätta sig in i dn diskussionn på någon nivå, mn ur tt fysikprspktiv är dt i alla fall ganska klart att dt int är något särskilt spcillt md dn synliga dln av dt lktromagntiska spktrat. Kan vi göra bildr av sakr md lktromagntiska vågor av andra våglängdr så är d i någon bmärkls lika brättigad som optiska bildr. 7 (Dt är int hlt självklart, t.x. kan n mätning md röntgnstrålning av tt känsligt matrial vara n förstörand mätning, dvs. ha söndr dt man vill ta kort på, mn dt påvrkar int nämnvärt huruvida något finns.) Och när man har gått md på att man kan använda vilkn lktromagntisk strålning som hlst, och dssutom lärt sig att lktronr också utgör n slags våg, varför skull int bildr tagna md lktronr gälla som att d rprsntrar något vrkligt? Givtvis skall d dt, sägr fysikrn. För att ta tt konkrt xmpl: virus är storlksordningn tiotals nanomtr. Dt hjälpr int att bygga bättr och bättr optiska mikroskop, sådana kan aldrig ta kort på något som är mindr än ljusvåglängdn, som virus. Mn dt vor absurt för mdicinsk forskning att int accptra att virus finns. Partiklfysikns apparatr är i oprationll mning huvudsaklign stora mikroskop, där man användr partiklar för att titta på andra partiklar, lit grand som i tt svptunnlmikroskop. Md huvudsaklign mnar jag att man också i själva apparatn också gör dt n biolog skull kalla pr- 7 Dn nda gntliga bgränsningn är att sådana bildr int har någon naturlig färg, ftrsom färg ju är associrat md dt synliga spktrat. Mn man brukar t.x. i astronomi använda falska färgr, dvs. göra kortar våglängdr blå och längr våglängdr röda rlativt varandra, oavstt om dt är radiovågor, infrarött llr röntgnstrålning. Hursomhlst skull d flsta gå md på att tt svartvitt kort int mindr rprsntrar något som finns än tt färgkort. 1

11 parring, dvs. man måst i apparatn först producra dt man skall studra innan man kan studra dt, och produktionn skr i n partiklacclrator, som dn vid CERN utanför Gnèv. 3.3 Partiklfysikns apparatr Man skull kunna btckna lktronns upptäckt 1897 av Thomson i Cambridg som dn första partiklfysikn, som dt står om i Knight. Thomson skickad vad vi idag skull kalla n lktronstrål gnom magntiska och lktriska fält. Utifrån banans krökning och Lorntzkraftn F B = QvB på n laddning Q md fart v gnom tt magntfält B fick han n uppskattning av förhållandt /m. Dt här kommr vi att s om och om ign i modrna partikldtktorr. En annan milstolp var antimatria: upptäcktn av lktronns antipartikl positronn, av Andrson vid Caltch utanför Los Angls, Dirac md flra had då alldls nylign uppfunnit FIGUR 2: Andrsons första fotografi av antimatria (n positron), md blyplatta i mittn för att tydliggöra riktning [24, 25]. Vilkt håll åkr positronn åt? Hur pkar magntfältt? dt vi idag kallar kvantfälttori, som förutsad att varj partikl skull ha n antipartikl md samma massa. I kvantfälttori btraktar man sällan antipartiklarna som nya partiklar utan som andra manifstationr av samma fält. Idag kan man hitta anti-lktronr (positronr) på sjukhus i PET (Positron Emission Tomography). Antimatria förkommr naturligt mn kortvarigt t.x. i kosmiska strålar och i åskvädr, och i människokroppn producras några tusn positronr pr dag gnom söndrfall av kalium-4 [8]. Partiklfysikr blir därför lätt övrraskad när allmänhtn blir nrvös av antimatria, som av Browns bok Angls and Dmons [9]. FIGUR 3: Gamla apparatr: bubblkammar på Frmilab. Bubblkammarkort från Brkly Lab. Man sr n foton söndrfalla i lktron-positron-par. En lktron slungas ut från n atom samtidigt, s ndan. Ett stort framstg i apparatväg var bubblkammar, som du kansk har hört talas om, som Glasr fick noblprist för 196. Idag är bubblkammar mst musiförmål, mn kortn man tog md dm (figur 3) är bra xmpl på att s partiklar. Här sr man int partiklarna i något gntlig bmärkls, i synnrht har tjocklkn på strckn i figurn ingnting att göra md partiklns storlk, utan man sr bara bubblor som skapas i kammarn av laddad partiklar. Mn dt är ändå lockand att säga att tt visst spår är lktronn, tt spår är positronn, osv. Nästa stg i utvcklingn var trådkammar, där trådarna är tubr md gas som jonisras av partiklarna och lämnar fria lktronr, som drivs av tt lktriskt fält och förstärks till n lktrisk signal som prickas in där trådn sittr, som du sr i figur 4 upptäcktn av gluonn. D s.k. kvastarna (jts, riktad skurar av partiklar) uppstår 11

12 från stark växlvrkan, och d tr kvastarna i figurn uppkommr från kvark, antikvark och gluon. Mn dt går int att säga vilkn som är vilkn! Dt här har att göra md att kvarkar och gluonr är fängslad i störr partiklar som protonn och nutronn, mr om dtta snar. Man kan alltså ännu mindr s kvarkar och gluonr än andra partiklar. Dt snast stgt i partiklfysikns utvckling F IGUR 4: Tidig bild av tr kvastar: kvark-antikvark-gluon i trådkammar på PETRAxprimntt vid DESY i Hamburg, Man har idntifirat msonr π +, K + och K, s ndan. Ett annat xprimnt, DORIS, hävdar att d upptäckt gluonn först. [28] är d gigantiska dtktorrna på CERN, t.x. ATLAS-dtktorn (figur 5) som är 22 mtr hög. En sådan dtktor är uppbyggd av flra olika typr av dtktorr som dt kan vara värt att kort nämna. En kalorimtr bromsar in partiklar och mätr därignom dras nrgi, vilkt fungrar på d flsta partiklar mn är n förstörand mätning. En pixldtktor försökr dtktra partikln i varj cll llr pixl i dktktorn, som bstår av halvldar (n slags datorchip). TRT-dtktorn är som n vidarutvcklad trådkammar. Myonkammarn är utanför d andra och gr dtktorn n dl av sin storlk, mn dn bstår mst av magntfält som man böjr myonrna i, som Thomson böjd lktronbanan. Mn myonn är tyngr än lktronn och böjr av mindr, därav d stora myonkamrarna. F IGUR 5: Vänstr: ATLAS-dtktorn på LHC vid CERN. Högr: rotrbar 3D-rprsntation av data: H γ + γ. Fotonr är gula! Tusday, April 9, Partiklarnas priodiska systm Från dn här typn av xprimnt har man kommit fram till partiklarnas priodiska systm, som tillsammans md rglrna för hur d växlvrkar brukar kallas standardmodlln, s figur 7. Dt första man kan notra är att standardmodlln är aningns komplicrad. Å andra sidan är dt färr ingrdinsr än i dt vanliga priodiska systmt för grundämnn. Ett av huvuddragn i figurn är dt så kallad symmtribrottt, som händ tt kort ögonblick ftr Big Bang. Dt btydr att univrsum först var mindr komplicrat, t.x. var lktronn och nutrinon ν samma partikl, u och d var samma partikl osv. Fotonn, W och Z var alla fyra samma partikl, som bar lktrisk+svag = lktrosvag kraft. Ögonblickt då dt var så kallas dn lktrosvaga pokn, och slutad runt 1 12 s ftr Big 12

13 Standardmodlln F IGUR 6: Dtktoruppbyggnad från sidan, och n konkrt mätning tagn [32]. Varj partikltyp bhövr lit olika mätar. Svarta prickn är foton lktron + positron. 1:a 2:a d brutn lktrosvag symmtri c t Figur vnt display containing a clos-up viw prpndicular to th bam dirc b 3: Anmassa lktrisk tracks in th ID withladdning pt > 2 GV and η < 1.4. Only th hits in th pixl, SCT and T ar shown. Hr pixl hits (45.5 < r < 242 mm) ar shown as magnta dots, and SCT ντ ar shown in grn mm) TRT hits mm) abov tracking thrshold ar (554 < r < 182 g W+ γ W Z corrsponding to hits abov th TR thrshold. dots A photon convrsion vrtx (larg τ 1 as wllstark layr) as th associatd rconstructdlktrolctron (blu lin) and positron (rd lin svag kärnkraft 13 νµ 1 3 lptonr ν s H µ + 23 kvarkar u 3: 1 kärnkraft magntisk alignmnt procdur was dvlopd and th rsults of this procdur ar prs matria kraftbärar from studis of th TRT tracking paramtrs at low straw-occupancy ar prsn F IGUR 7: Elmntarpartiklarnas priodiska systm md 18 partiklar (plus dras antipartiktubs with a samma xnon-basd (X-basd) gas 1. mixtur, which was th baslin u dvar många u så ddt fanns lar). I dt u tidiga av filld partiklarna partikl, uunivrsum d d proton nutron.. u tracking uparamtrs Th TRT ar th straw.fficincy, th straw track position m u d s th numbr of TRT prcision hits. Ths paramtrs ar dfind latr in th tx π π+ Σ svral laks dvlopd in th gas pips th 212 priod, Bang! Dt som orsakar symmtribrottt ärduring Higgsfältt H. data-taking När univrsums tmpratur sjunkr undr to th claning mixing stations. In potntilla most cass, th laksoch ar locatd in in n viss (ändå väldigt hög) tmpratur ramlar H nd i and n grop i sin gn nrgi rpair is bryts. not possibl. of th high cost of thpåx-basd gas symmtrin mllan t.x. lktronn och nutrinon För mrbcaus dtaljrad bskrivning avlosing dt här Standardmodlln oprat th most affctd moduls with a significantly lss xpnsiv argon-bas populärvtnskaplig nivå, läs gärna Carrolls bok [25]. Att symmtribrott skr när tmpratur sjunkr invstigatd. In ordr to undrstand thisbitar TRT prformanc with such an A 1:a vattnt 2:awas 3: är som när tt glas vattn frysr till is: sr symmtriskt ut, mn dt bildas som sr olika studis wr prformd during th proton lad collisions in 213 whr lak ut på olika ställn i glast, s.k. domänr. u c Vi tåtrkommr till symmtribrott på trmodynamikn! and nd-caps wr supplid with th Ar-basd mixtur. Th rsults of ths Man kan också notra att kärnpartiklarna (proton, nutron) vrkar fattas i figur 7. Dt är för att brutn s d lktrisk 6.2.massa moduls with high lak rats hav bn routinly oprat lktrosvag d är uppbyggda av kvarkar: p = uud ochsction n =b udd, s TRT figur 8. Kvarkarna har alltså någon trdjdls laddning symmtri mixtur sinc th bginning of th scond priod of LHC opration, Run 2, wh lmntarladdning vardra: Qu = +2/3, ν νq µ d =ντ 1/3. Dt finns också många andra liknand partiklar + g γ W W Z som är uppbyggda av kvarkar, md tt samlingsnamn kallas alla sådana ( tjock 34 cm 2 s 1hadronr H dsign luminosity of 1partiklar a TRT straws occupancy can r µat anτ LHC stark lktrosvag kärnkraft på grkiska). Dt vanligast förkommand xmplt på sådana är pionn π, som är uppbyggd av två kärnkraft magntisk for track rconstruction, including a dg occupancis prsnt many challngs kallas baryonr på grkiska), d som är kvarkar. Hadronr som är uppbyggda av mtr tr kvarkar ( tung rsolution du to incorrct hit assignmnts, a dcras of hit fficincis, Monday 18 May lptonr kvarkar proton matria u u d kraftbärar of fak tracks du to random hit combinations. Studis of th TRT tracking ca u d particl nvironmnt ar rportd u d in...sction 7. For ths studis, spcial LHC u u u d s d fills with µ up to 7 and havy-ion collision runs wr analysd. nutron π π+ Σ In Sction 8, tracking prformanc in jt corsi at diffrnt TRT occup F IGUR 8: Sammansatta (int lmntar-)partiklar. Nuklonrna är för studis dt msta stabila atomkärnan. Alla andra hadronr är instabila, som msonrna π och π + och baryonn Σ. Wdnsday, May 6, 215 uppbyggda av två kvarkar, som pionn, kallas msonr ( mllan på grkiska). Elmntarpartiklarna 13 5

14 som int är kvarkar, alltså d tr lktronliknand partiklarna, µ och τ samt d tr nutrinrna, kallas md tt samlingsnamn lptonr ( tunn på grkiska, fast tau-lptonn är tyngr än protonn.) Exmpl. Protonn är n hadron och n baryon, mn int n mson och särskilt int (!) n lpton. Exmpl. En xotisk partikl är Σ = uds. Dn är nutral (därav nollan) för att Q = 2/3 1/3 1/3 =. Dn är hadron och baryon, mn int mson. För att bygga upp grundämnna i priodiska systmt räckr dt md lmntarpartiklarna u, d och. I atomfysik och kärnfysik har vi också stött på ν och γ. Nu tillkommr dt alltså några partiklar, mn för att int bli övrväldigad tar vi tt stg tillbaka innan vi går vidar. 3.5 Vad mätr man? Exprimntll partiklfysik handlar myckt om att räkna hur ofta någon viss typ av söndrfall llr växlvrkan har inträffat, gnom att studra dynamikn hos produktrna som blir kvar ftråt. Man inför storhtn spridningstvärsnitt σ. Rolnick [3, sktion 13.2] tar n liknls md n piltavla vars cntrumara ( bullsy ) har tvärsnittsara σ av total piltavl-ara A. Kastar man pilar slumpmässigt σ A FIGUR 9: Pilarna motsvarar protonr i partiklacclrator-strål. Visar tvärsnitt σ. inom aran A är sannolikht att träffa bullsy σ/a. Antalt träffar pr skund är R (som står för rat på nglska) R = träffar skund Thursday, Jun 4, 215 = antal som når väggn skund σ A = antal som når väggn skund A } {{ } Φ σ (3.5) där jag har infört Φ, dt är flödt. Man skall förställa sig att vi själva kan bstämma Φ i n xprimntuppställning, alltså man kan själv köpa n piltavla som är visst stor och kasta pilarna visst ofta. Sdan kan vi mäta R och utifrån dt räkna ut σ, som är dt man vill vta. Man sägr sdan att man mätr σ, fast dt man gntlign mätr är ju R. Tankn är att partiklar vars fält kopplar starkt till varandra (stor kopplingskonstant) har stort tvärsnitt σ, så tt sätt att komma åt kopplingskonstantn är att mäta σ. Man kan dla upp tvärsnittt i olika bidrag från olika procssr: σ = σ procss 1 + σ procss (På grund av vågpartikldualitt kan dt ibland bli intrfrns mllan olika procssr, så man kan int alltid bara addra tvärsnittn för olika procssr, mn dt ignorrar vi här. S gärna gratisbokn Fynman Lcturs [2], Vol III kap 4 för fördjupning om dtta.) Vill man göra n mr prcis mätning kan vi dla in piltavlan i små tårtbitsformad sktorr md vinkl dθ, och mäta hur många pilar som träffar varj sktor för att få dσ/dθ, dt diffrntilla spridningstvärsnittt pr radian, då får man totala tvärsnittt som n intgral övr vinklar, t.x. σ = 2π dσ dθ. (3.6) }{{} dθ xprimnt Dt diffrntilla tvärsnittt dσ/dθ för Ruthrfords xprimnt står i Physics Handbook. Dt gällr när man skjutr alfapartiklar mot tt statiskt mål, n guldfoli. Som vi kommr att s ndan är dt 14

15 i modrna partiklacclratorr ofta bättr att ha två strålar som man skjutr mot varandra iställt för att skjuta mot tt statiskt mål. Vi kan nu i ftrhand kolla att dimnsionsanalys av kvation (3.5) sägr att σ är n ara. För d myckt små tvärsnittsaror som är rlvanta i partiklfysik användr man bråkdlar av nhtn 1 barn = 1 28 m 2 [14]. Dt kan i sig vrka som n yttrst litn ara, mn dt är n rlativt stor ara i partiklvärldn, ungfär tvärsnittsaran av n hl atomkärna av uran. Eftrsom n stor atomkärna är ganska lätt att träffa av och dt finns talsätt i stil md dt är lätt att träffa n laduvägg ävn på nglska vald man nhtn lada (barn på nglska). Ett vanligt tortiskt uträknat tvärsnitt i partiklfysik är alltså myckt mindr än n barn, t.x. n fmtobarn, 1 15 barn = 1 43 m 2. Exmpl Man kan få n grov uppskattning av tvärsnittt för n viss växlvrkan om man vt kraftbärarns massa. Enligt xmpl för svaga kärnkraftn ndan, md Z som kraftbärar, får man svaga kraftns räckvidd r 1/m, som gr r = m. En cirkl md radin r gr då tvärsnittsaran: σ = πr 2 = π( m) 2 = m 2 = 1 7 barn = 1 nb (nanobarn). (3.7) Dt här är bara n uppskattning och i själva vrkt är tvärsnittt för många raktionr btydligt mindr (d är alltså mr sällsynta), nd till t.x. fmtobarn. Vi sr att σ r 2 1/m 2. Ett mått på hur många partiklar man har lyckats kollidra i tt visst xprimnt och mäta produktrna från är produktn av flödt Φ ovan (för dtaljr, s uppgiftrna) och tidn t man har haft igång dt flödt. Produktn Φ t angs i invrsa fmtobarn, alltså fb 1 = (1 15 barn) 1. Dt btydr att om man har n växlvrkan som har tvärsnitt n fmtobarn, vilkt tydlign är fallt för n dl sällsynta raktionr som skr via dn svaga kärnkraftn, så bhövr man ungfär n invrs fmtobarn av kollisionr för att få n sådan intrssant procss, dvs. antal av n viss procss = R t = Φσ procss t = (Φ t) σ procss (nht: fb 1 1 fb = 1). (3.8) Till xmpl lyckads LHC vid CERN få till 23 fb 1 kollisionr undr 212. Så ävn n yttrst sällsynt procss md så litt tvärsnitt som σ = 1 fb bör ha inträffat 23 gångr, plus minus statistisk osäkrht. Ett annat sätt att förstå tvärsnitt är mdlfriväg (man fr path) som btcknas l (och står i Physics Handbook), som är hur långt n partikl kan röra sig fritt innan procssn som vi har mätt tvärsnittt för (n växlvrkan) skr. Skickar man in partikln i tt matrial md dnsitt ρ får man mdlfrivägn l = 1 nσ, n = ρ M. (3.9) där M är atommassan i kg, så från dimnsionanalys sr du att n är partikldnsittn, hur många partiklar man har pr kubikmtr i målt, som ofta kan vara tt tungt grundämn (bly, guld, tc.). Enhtn för l blir alltså längd, som dt bör vara. Exmpl Du vt att nutrinr växlvrkar svagt, och vi väntar oss att tvärsnittt kansk är någon fmtobarn, mn dt sjunkr md nrgin, och vid så små nrgir som i btasöndrfall (MV) är dt runt n hundradls fmtobarn, σ = 1 17 barn = 1 45 m 2. Dnsittn hos bly är ungfär 114 kg/m 3 och n blyatom vägr 27 u, så mdlfrivägn är l = 1 nσ = 27 u ρσ = 27 1, kg 1 45 m kg/m 3 = m. (3.1) Dt här är ungfär tr ljusår! En nutrino kan passra ignom tt ljusår bly ganska obhindrat. Så hur kan man stoppa dm övrhuvudtagt? För dt första var dt här ju mdl-frivägn, alltså någon nstaka nutrino kan råka växlvrka md n blyatom tidigar än mdlvärdt, så man kan ha väldigt många nutrinr och hoppas stoppa någon nstaka av dm. För dt andra ökar tvärsnittt 15

16 md nrgin. Så högnrginutrinr från någon intnsiv källa går att dtktra, vilkt Cowan och Rins var först att göra 1956 (noblpris 1995), s uppgift. I modrna partiklacclratorr skjutr man alltså två strålar mot varandra, då finns dt ingt mål av bly md partikldnsitt n. Motsvarand rlvanta siffra är iställt antalt partiklar i na stråln gångr antalt partiklar i andra stråln, som man då räknar in i flödt Φ. 4 Partiklfysik: tortiska mtodr Eftr dn här allmänna övrsiktn skall vi g oss in på lit dtaljr. 4.1 Fynmandiagram Fynmandiagram är tt konkrt sätt att skissa vilka kopplingar som finns mllan d olika fältn som lmntarpartiklarna är xcitringar av. Dn amrikansk fysikrn Fynman var kansk int dn först som använd dn här typn av diagram, mn man brukar uppkalla dm ftr honom. Diagrammn utgår från s.k. Fynmanrglr: man introducrar n slags lgobitar som bara kan byggas ihop på vissa sätt. Om dt int går att bygga ihop tt visst diagram md d lgobitar man har så kan procssn int inträffa, llr inträffar åtminston väldigt sällan. Dt bästa md Fynman-rglrna är W + llr W q 1 q1 q q 2 q 2 q1 (kvark) mr sannolik mindr q sannolik W + llr W 2 f (matria) ν ν Z massiv f f g (bytr färg) q γ om lktriskt laddad f H massiv FIGUR 1: Fynmanrglr i standardmodlln.tillkommr växlvrkan mllan kraftbärar.. att dt mdföljr tt rcpt för hur man konvrtrar diagrammn till konkrta matmatiska uttryck för kvantfysiska sannolikhtsamplitudr (som vågfunktionn ψ(x) ni har pratat om), och kvadratn på dm ldr till n tortisk förutsägls av tvärsnitt σ för procssn. Mn för att kunna skriva nd d uttryckn skull vi måsta gå ignom avancrad kvantmkanik och dssutom analytisk mkanik, Wdnsday, Jun 8, 216 så på dn här kursn nöjr vi oss md att bara skissa diagrammn. Man börjar md att rita in- och ut- partiklar, t.x. in n, ut p + + ν i btasöndrfall. Sdan sr man om dt finns någon lgobit som kan koppla ihop dm. Finns dt int dt så kan procssn till första approximation int inträffa. Kraftbärarn finns int md bland varkn in- llr ut-partiklar FIGUR 11: Två lktronr rpllrar varandra via virtull kraftbärar (moln). Fynmandiagram är i sig bara skissr av rumtidsdiagram. Vill man göra tt riktigt rumtidsdiagram skall man som bkant rita fotonn md 45 gradrs lutning (vänstr llr högr!). utan bara i mittn av diagrammt. Dt känntcknar n virtull partikl, dvs. man påträffar dn int dirkt. Frågan är, om man skapar n sådan virtull partikl, hur läng lvr dn innan dn förintas Saturday 8 August 15 ign? I kvantfysik had vi x p. I rumtidn bord dt som gällr för x kunna gälla för t, och dt som gällr för p bord kunna gälla för E. Md andra ord, E t? (4.1) 16

17 Dn här rlationn är svårar att tolka än dn vanliga obstämdhtsrlationn för x och p, mn dn gr tt sätt att uppskatta livslängdn hos partiklar utifrån mätning av obstämdhtn i dras nrgi. Till xmpl Z-partikln har massa 91,2 GV, så partikln som skickar ut n Z-partikl har uppskattningsvis dn osäkrhtn. Partiklarna W + och W har liknand massa som Z. Exmpl. Uppskatta räckviddn för dn svaga kärnkraftn om kraftbärarn antas vara Z-partikln. En partikl som rör sig md ungfär ljusts hastight tar sig ungfär r = c t. Enligt E t = så är livslängdn hos n virtull Z-partikl approximativt t = / E där E = m Z c 2. Kraftbärarn Z tar sig då tt avstånd r = c mc 2 = Js m/s 91,2 1 9 V 1, J/V = m = 2 am (attomtr) (4.2) och bortom dt får dn svårt att övrlva och förmdla kraftn. Dt här avståndt är alltså n uppskattning av dn svaga kärnkraftns räckvidd, r 1/m. Dn svaga kärnkraftn sträckr sig int utanför atomkärnan, som är storlksordningn n fmtomtr. Svag kärnkraft är subnuklär fysik. 4.2 Torin för btasöndrfall Man skull kunna tänka sig tt Fynmandiagram för btasöndrfall som dirkt involvrar partiklarna i söndrfalln, dvs. nutron, proton, lktron och antinutrino, utan kraftbärar. Dt var grundn till Frmis tori för btasöndrfall [26]. Tyvärr had dn torin problm, och söndrfallt förmdlas iställt av W -partikln, s figur 12. Enligt ovan är nutronn och protonn int lmntära, utan uppbyggda av kvarkarna udd och uud, så söndrfallt på lmntarpartiklnivå är d u + + ν. u d u W u d d FIGUR 12: Fynmandiagram för btasöndrfall. Övrgångn ( u d ) är mr sannolik än ( u )( s ). Tortiska fysikr förutsad W:s xistns på 6- och 7-talt. W-partikln upptäckts till slut vid CERN 1983 [31], så att dn nu är n viktig dl av partiklarnas priodiska systm. 4.3 Fängsling och mr om Fynmandiagram Saturday 8 August 15 Stark växlvrkan obsrvrar man via kvastarna som i figur 4. Varför är kvarkarna och gluonrna fängslad i protonn och nutronn? Ingn vt, dt är tt av d olösta problmn i fysik, mn dt finns n dl bra idér. Dt man vt är att dt har att göra md att kvarkarna har färgladdning, dn laddning som bärs av gluonrna. Dn är int bara plus llr minus utan röd, grön llr blå! Namnn har ingt att göra md optiska färgr, dt är bara för att komma ihåg att R+G+B blir vit (färglös). Så hadronr är färglösa. Vad händr då om man försökr dra ut n röd kvark ur n proton, llr vad som kansk är nklar, ur n mson, som bara har två kvarkar? I figur 13 illustrras vad som händr om man försökr slita itu n mson: dt bildas tt nytt kvark-antikvark-par mllan dm och plötsligt har man två msonr. Fängsling splar roll för våra Fynmandiagram: om vi vill vara tydliga md vad som går att obsrvra skall vi rita färglösa tillstånd in och ut. Man skall btrakta hadronr som att d innhållr gluonr, vilkt i sin tur btydr att nya kvark-antikvarkpar kan bildas inn i hadronn från d gluonrna. Dt kan vara svårt att hålla rda på allt här, så vi sammanfattar allt i n rgl som vi användr på dn här kursn: figur 14. Nu tt xmpl: 17