Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning. A=kB. A= k (för ett tal k)

Transkript

1 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tllämpnngar av dffrnalkvaonr TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följand uryck används ofa olka problm som ldr ll dffrnalkvaonr: Tx A är proporonll mo B A är omvän proporonll mo B Formll bskrvnng d fnns al k så a A=kB k A= för al k B A är proporonll mo summan, A= k B C dffrnsn, A= k B C produkn, A= kbc kvon, B av B och C A= k för al k C Funkonns förändrngshasgh y llr y x Funkonn förändras md hasghn A y =A Funkonn förändras md hasghn som är proporonll mo A y =ka Funkonn förändras md hasghn som k är omvän proporonll mo A y A Funkonns förändras md hasghn y ka B C som är proporonll mo produkn mllan A och B C Uppgf Säll upp n dffrnal kvaon för funkonn y om a Funkonn y förändras md hasghn som är lka md y b Funkonn y förändras md hasghn som är proporonll mo y c Funkonn y förändras md hasghn som är proporonll mo d Funkonn y förändras md hasghn som är omvän proporonll mo y Funkonn y förändras md hasghn som är proporonll mo dffrnsn mllan och y Svar: k a y y, b y ky c y k d y y k y y Uppgf E radoakv ämn söndrfallr md hasghn som är proporonll mo dn mängd av ämn som fnns kvar a Säll upp n dffrnalkvaon som bskrvr förlopp b Av gram blr d kvar 9 gram fr år Hur många gram blr kvar fr år Sda av

2 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tllämpnngar av dffrnalkvaonr dy Svar a ky d k b dn allmänna lösnngn är y C k Vllkor y C och därmd y k 9 Från y 9 har v 9 k ln Allså y Härav y Svar b Uppgf En sfärsk snöboll md radn l m smälr på dygn ll dn mndr snöbolln md radn 8 m V anar, a volymn av snöbolln mnskar md n hasgh, som är proporonll mo snöbollns ara V förusär, a bolln bhållr sn sfärska form undr hla smälprodn a Bsäm n dffrnalkvaon för radn R som funkon av dn b Lös dffrnalkvaonn md avsnd på R c Bräkna fr hur lång d snöbolln är hl bora Tps: volymn V= R, aran A= R Lösnng: dv ka dr dr R kr k d d d Svar: a R k b R k C R C och k R 8 allså R c I följand uppgf används Nwons avsvalnngslag: Om n kropp md mpraurn T placras n omgvnng md mpraurn T R, kommr kroppns mpraurr y a förändras md hasghn som är proporonll mo skllnadn mllan förmåls mpraur och omgvnngs mpraur Md andra ord har v följand kvaon y k y T md bggynlsvllkor : R y T Uppgf E förmål md mpraurn C har fr n mnu rumsmpraur C svalna ll Hasghn md vlkn mpraurn sjunkr är proporonll mo skllnadn mllan förmåls mpraur och rumsmpraurn a Bsäm förmåls mpraur som funkon av dn Sda av

3 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tllämpnngar av dffrnalkvaonr b Efr hur lång d blr förmåls mpraur? Lösnng: dy dy dy k y kd kd d y y ln y k C k y D Sarvllkor y D 78 k y 78 k 8 k 8 Vllkor y 78 k ln k Svar a y 78 y 78 k k ln8/78 b y 78 8/ 78 k ln8/78 k 7 mn Svar b 7 mn Uppgf Tn aug En bhållar har formn av n kon md spsn ndå nlg fgurn Från början är bhållarn fylld md van ll höjdn, cm Van rnnr u gnom l hål bon Uflöd är, h cm /s, där h är vans höjd cm Hur lång d ar d nnan bhållarn är om?, h Lösnng: Vanvolymn V uppfyllr kvaonn blr dv, h * d Ekvaonn * har vå obkana funkonr V och h För a lösa kvaonn mås v lmnra n av dm Formln för volymn av n kon gr V r h, där r är vanyans rad På grund av -vnkln gällr r = h och allså h V Sda av

4 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tllämpnngar av dffrnalkvaonr Mod V lmnrar V h V drvrar samband V och får md hjälp av kdjrgln dv h dh dh h som v subsurar kv * : d d d dh h, h kv d V sparrar varablr h och och får, h dh d kv Ingrra: h dh d h llr C Från h= får v C ** 88 och därmd h 88 C Bhållarn är om om h= dvs C = Härav Svar: s dv Mod V lmnrar h ur kvaonn, h d h V dv V h = Insänng kvaonn gr, V, dvs d dv d 9,9V Dffrnalkvaonn kan sparras: V dv 9 9d Ingraon gr V 9 9 C, Vd dn är volymn V = Da gr C = ömmas får v gnom a säa V = = Uppgf C s 9 Sda av, Tdn för bhållarn a D har rgna undr n längr d Van har hl fyll m lång och m br dk Dks vrkala gnomskärnngsprofl har V-form, form av n halv kvadra, dlad längs n horsonll dagonal, m lång Rgn har upphör vd dpunkn = Anag a dk ndll är hl ä så a van ndas kan försvnna gnom avdunsnng uppå och a avdunsnngshasghn m /dag är proporonll mo dn fra vanyans ara Vd = fnns d V =m van dk dvs hl fyll dk Efr n dag fnns d kvar 9 m

5 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tllämpnngar av dffrnalkvaonr dvs V= 9 m När är dk orrlag? Lösnng: Lå h vara vanhöjdn vd dn >, md mä dagar och lå A bckna dn fra vanyans ara Enlg förusänngarna gällr dv ka * d Om h bcknar vans höjd då gällr h h V h och A h h dv dv dh dh V bräknar h d dh d d Ekvaonn * kan nu skrvas som dh h k h llr d dh k d Härav h k C ** Från vllkorn V =, V= och samband V h har v vllkorn för höjdn: h och h Subsuonn ** gr C och k Därför h är vanhöjdn v dn C Höjdn är om k C dvs om dagar k Svar: dagar Sda av

6 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tllämpnngar av dffrnalkvaonr Uppgf 7 I ndansånd vanank fnns lr van Vd = fnns d g sal ankn Tankn llförs van md hasghn lr pr mm och salnnhåll g pr lr Efr ordnlg mxnng förs u van md hasghn lr pr mm Lå y bckna anal g sal ankn vd dn d v s fr mmar a Säll upp n dffrnalkvaon för y och bsäm y b Hur myck sal fnns ankn fr mmar och mn Svara anal gram avrunda ll hlal gram Lösnng: a Ekvaonn: y y y y 8 * Bgynnlsvllkor: y Dn karakrsska kvaonn för dn homogna dln: r r / Härav yh C V ansär A och därmd y p y p Subsuon * gr A 8 A 8 och därmd y p 8 / Dn allmänna lösnngn är y C 8 Vllkor y mdför C=7 / och y 7 8 / Svar a y 7 8 b y= y 7 8 Sda av

7 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tllämpnngar av dffrnalkvaonr Uppgf 8 E mkansk sysm md n fjädr och n dämpar kan bskrvas md följand kvaon, md avsnd på y my by ky F a Bsäm dn allmänna lösnngn för y då m, b, k, F sn cos b Bsäm dn lösnng som sasfrar y, y Svar a Ekvaonn: y y y sn cos Lösnng: y x C C sn Svar b y x sn ================================================ Hasgh och acclraon vd n rälnjg rörls Lå s bskrva poson av objk som rör sg rälnjg längs s-axln x x-axln y- axln llr z-axln Då har v följand formlr för hasghn v, farn v och acclraonn : Posonn vd dn : s s Hasghn : v s Farn: v s Acclraonn: a s dn oala längdn av vägn som objk passrar undr dsnrvall är L v d Härav kan v bräkna posonn s om hasghn v s v d C Om v v acclraonn a då kan v bräkna hasghn v a d C är känd: och därfr ngrra n gång ll för a få posonn s v d C Uppgf 9 En parkl rör sg längs y-axln md acclraonn a lämplga nhr x m/s Vd dpunkn bcknar v parklns poson md y och parklns hasgh md v Sda 7 av

8 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tllämpnngar av dffrnalkvaonr Bsäm parklns poson y och v om y = och v Tps: y v, y v a Lösnng: Från y a har v y Därför fr n ngraon y d C, Allså v y C Från v nar v C dvs C= och därmd y V ngrrar n gång ll och får y d D Allså y D Vllkor y gr D= Därmd y Svar: y och v Uppgf En parkl rör sg längs y-axln md acclraonn a sn lämplga nhr x m/s Vd dpunkn bcknar v parklns poson md y och parklns hasgh md v a Bsäm parklns poson y vd dpunkn om y = och v= b I vlkn poson bfnnr sg parkln vd dpunkn c Bsäm dn oala längdn av vägn som parkln passrar dsnrvall Tps: y = v, v =a Lösnng: a Från v =a får v v a d sn d cos C Efrsom v= har v C= och därmd blr hasghn v cos Från y = v får v y v d cos d sn D Efrsom y= har v D= och därför blr parklns poson vd dpunkn y sn b y, parkln bfnnr sg gn sarpunkn y y c Dn oala längdn av vägn som parkln passrar dsnrvall är s v d / cosd / / cos d / cos d mr Sda 8 av

9 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tllämpnngar av dffrnalkvaonr cos för / Anmärknng: v cos cos för / / cos för / Lägg märk ll a parkln förs rör sg mo punkn 7 på y-axln, sdan mosa rknng ll - och därfr ll Svar: a y sn b y c Uppgf gammal namn En parkl rör sg längs y-axln Parklns poson vd dpunkn bcknar v md y hasghn md v och acclraonn md a För parklns rörls gällr följand: a y, y= och v= lämplga nhr x längdn mr, dn skundr a Bsäm parklns poson y b Bsäm längdn av dn oala vägn som parkln gnomlöpr undr dnrvall Lösnng: afrån a y har v kvaonn y y y y y y Från r r, Därför y C cos D sn Från vllkor y= har v C C och därmd y D sn Från v= får v y Nu y D cos D D Allså y sn Svar: a y sn b Om växr från ll då växr från ll V brakar rörlsn y sn vå dnrvall och, Mosvarand nrvall för är och Inrvall mosvarand nrvall för är I da nrvall varrar sn mllan sn och sn dvs mllan och Parkln sarar y= och når sn högsa punk y= vd [frsom y sn ] Därmd, undr dnrvall, passrar parkln sräckan vars - o Sda 9 av

10 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tllämpnngar av dffrnalkvaonr längd är L= mr Inrvall mosvarand nrvall för är Parkln går från punkn y= mo punkn y= Därmd, undr dnrvall, passrar parkln sräckan vars längd är L= mr Toal blr d L=L+L=+=9 mr Svar b: 9 mr Allrnav lösnng för b-dln Vägn= har v / Funkonn Efrsom v d cos d y d / cos är posv om cos cos cos / cos d / / cos d och ngav om om dvs om dvs cos d sn / sn sn / sn / 9 Svar: a Parklns poson vd dn är y sn / b Vägn= v d cos d 9 mr / / sn sn / Uppgf Om v användr följand gnskapr : spännngsfall övr n spol md ndukansn L är lka md L, spännngsfall övr mosånd md rssansn R är lka md R kan v md följand kvaon bskrva ndansånd LR-krs d L R u d Bsäm srömmn ndansånd LR- krs om a L= hnry, R= 8 ohm, u vol Vd = är srömmn = ampr b L= hnry, R= 8 ohm, u V och = A Sda av

11 Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tllämpnngar av dffrnalkvaonr Sda av Lösnng: a Från krsn får v följand dff kv u R d d L kv fr subs L och R 8 dla md kv Härav H C Parkulärlösnng : / / A A A p p p Allså: p H C För a bsämma C användr v bgynnlsvllkorn och får C C och Svar a Svar b