Kraftekvationen i olika koordinatsystem. Exempel 1.1: Naturliga koordinater. Exempel 2.8. Exempel 2.8. Exempel 1.

Transkript

1 Kaaonn ola oodnaym Exmpl.: aulga oodna Exmpl.: En ula ä uppädd på n x ålåd omad om n höguln md al axl nlg Exmpl.8 (Läca 5). D nmaa onal mllan ula och ålåd ä. omula dnalaonn ö ulan öl läng ålådn. Exmpl.8 Exmpl.8 ˆ( ) aco an b, 0, c c c dˆ( ) a a b () ( n ) co c c c c c d () n n() (co ) ( n ) () c c d () a () c b b a b n n ( co ) c c c c c b a n 0 b c c 3 4 Exmpl.: Cylndoodna Exmpl.: läggnng Exmpl.: En ln opp md maan m a na ändn a n äd md ädonann och naulga (opända) längdn, gu ndan! Dn anda ändn a ädn ä a öanad punn. Kng dnna pun oa n am md onana nlhaghn. Koppn an öa g på amn och ä ö ög yd n öl a n am a pol g a ( ) ( co ) (.7) D ana a onan mllan och amn am mllan och ammn ä gla. Hla öln hoonalplan. äm om unon a, a) dn adlla och anlla omponnn a umman a d a om a på. b) nomalan ån ammn på. D Kamua n 5 6

2 Sammananng: Kaaonn Clöl Sammananng: Kaaonn (macnum öl) a m Kaaonn ola oodnaym aulg Ca Cylnd m x a, xm ( ) m y a, ym n m ( ) m z a, zm z zm b 0 7 a ( ) m z 0 m a 8 Exmpl.3 Exmpl.3: läggnng a paln, 0 mg 9 ( - ld): mg co m ( - ld): mg n m () 0 0, () Exmpl.3 b, - och nglaga g (co n ) d u d du g u (co n ) d u0 () () 0 0

3 b bngaln 0 T 0 T 3 n U (, ) U(, ) d n 4 bngaln Exmpl. ˆ () ( ) ( ) T 0 T T ˆ dˆ U (, ) d ( ) ( ) ( ) Exmpl. Tyngdan ab Exmpl.: En hyla påa, om ögånd xmpl, a n onan a xco yn äm an ab då hylan ö g ån punn ll punn läng y-axln : ( y) y( y), y0, z z z z h g m och dä ån ll läng x-axln : ( x) xx, x0, U( gm, ) gm( ) mg( z z ) mgh 7 8 3

4 ädan ab Konaan ab ( l0) ( l0) U (, ) 9 U(, ) ( ) ( ) ( ) 0 onan ab Sammananng: ab Sammananng ab bngaln: : ˆ( ), 0, T, båglängoodna, U(, ) ( ) U(, ) U(, ) T T ˆ dˆ U (, ) d ( ) ( ) ( ) : d ( u) ( u), uu0, ut, du ut d( u) U(, ) ( u) du du u0 Kona aäl Kona aäl x yz () onll ng: V V() V(, x y,) z () V V V () gadv () ( ) x y x U(, ) V( ) V( ) U(, )

5 Sammananng: Kona aäl En a Sammananng ponll ng () ona aäl md ponaln V gadv : ˆ( ),,, md ( ) och ( ) 0 T co U(, ) V( ) V( ) 0 co 0 Tyngdan ponal: g m V( ) g m cumulad : (, ) d ( ) ädan ponal: ( ( l)), 0 V() ( l ) 0 Sa: m () 0,, å (, ) U (, ) 5 6 Exmpl 3. Exmpl 3.: lagd pal Exmpl 3.: En pal, md maan m, ä aa n na ändn a n lna och ö g n clbana md lnan äc. Lnan anda änd ä nun ll n x pun. V lägg paln och ana a dn nda påa a pännan S ån lnan. Eom paln uö n clöl md cln cnum ammanalland md gäll a paln hagh ä nlä mo S. S S ( S) Ean I Ean II Kn ng: T m Ean I: T Engan I: T ( ) T ( ) (, ) Engan II: m () 0,, å T ( ) T ( ) U(, ) 9 Ean II: E : ona a : c-ona a V V(): ponll ng gadv V : mana ngn E T V 30 5

6 Mana ngn baand Mana ngn und nan a on () 0 E 0 E ( ) E ( ) 0 0 E 0 E ( ) E ( ) 3 3 Exmpl 3. Exmpl 3.: Hylan lagd Exmpl 3.: En hyla md maan m an glda läng n ång om lgg alplan och ä omad om n aclbåg md adn. Hylan aa ån la dn öa punn, läg. äm hylan a då dn nå d unda läg, läg. Konan mllan hyla och ång ä gla och hylan påa a an Q V V() gm ( gm) dä och ä onan. (co n ) (3.3) gm ä lö, 0 m E T V ( gm) E 0 E E m m ( gm) ( gm) Exmpl 3.3 Exmpl 3.3: olln lagd C h g m

7 Kn ng Tanlaonöl dm Q T dm m dm Tl 0 T T m Man ng ö ammana opp Ean ö ammana opp l, 0 g Kn ng: T TT m m onll ng: V Vg V onll ng yngdaäl: V g( m m ) g Ela ponll ng: V ( ) l0 Man ng: l, 0 g E y y : En a alla y a öuom yngdan: y E T V EV V g Koppana lagda Exmpl 3.4 g 4 4 7

8 Exmpl 3.4: Hylan lagd Exmpl 3.5 D H V mg h C mg Exmpl 3.5: läggnng Sammananng: b, - och nglaga Sammananng ab, och nglaga ö pal: En a på n pal md haghn cumulad : (, ) ( ) d m () 0,,, : ˆ( ),,, ˆ( ) ( ), ˆ( ) ( ) å (, ) U(, ) En pal na ng g a: T m Ean ö n pal I: T En pal mana ng: E T V Ean ö n pal II: E Sammananng: b, - och nglaga Mana ngn baand: 0 E 0 E ( ) E ( ), 0 T ö l opp anlaonöl md haghn () : Ean: T T m,. ö ammana opp (la oppa + äda, anlaonöl) Koppn mana ng: E T Vg V T m V m V l l n n m, g, ( ) g, 0 Ean: y E 47 8