Föreläsningar i Mekanik (FMEA30) Del1: Statik och partikeldynamik. Läsvecka 5

Transkript

1 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Föläsnnga Mkank (FME) Dl: Sak och pakldynamk Läsvcka 5 Föläsnng : aklns knmak (Dynamcs /). V baka n pakl som ö sg umm. En pakl ä n punkfomg kopp som kaaksas av sn massa m. aklns läg vd dn, föhålland ll n gvn fnsam, gs av lägsvkon () T, gs av funkonn. Rölsn und dsnvall [ ] [ ] = ( ), T, ankuva k j Fgu. akl öls. aklns föskjunng (föflynng) und dsnvall [, ] + gs av vkon = ( + ) (). bsva a da ugö dn ffkva föflynngn und dsnvall. aklns vklga öls sk längs dn dl av bankuvan som bnd samman umspunkna md lägsvkona () och ( + ), spkv. S fgun ndan! aklns mdlhasgh, + gs av v und dsnvall [ ],[, + ] m v,[, + ] m () ( + ) () = = aklns hasgh v (), vd dpunkn, dfnas av v ( ) = lm v m +,[, ]

2 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva () () ( + ) k j Fgu. aklns föskjunng. V använd bcknngana d () () () v = =. aklns acclaon dfnas av d v ( + ) v () a ( ) lm = () () V använd bcknngana () () d v () d a = v = = =. Hasghsvkon ä d d angnll ll bankuvan. cclaonsvkons knng bo bland anna på bankuvans köknng. v a k j Fgu. aklns hasgh och acclaon. aklns fa gs av v () = v (). V ha följand

3 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Sas v a =vv (.) vs: D gäll a p = v = v v = v v + v v = v v = v a v vv vv Följdsas v = v a =, d v s om fan ä konsan så ä acclaonn vnklä mo hasghn. v a Fgu.4 aklns hasgh och acclaon vd konsan fa. m v nfö n HN-bas, j, k fx fnsamn så kan v skva. och dämd, fsom = j = k =, [ ] = () = x () + jy () + k z (), T, z v () = x () + jy () + kz (), a () = x () + j y () + k z () Rälnjg öls: En älnjg öls gs av [ ] = () = + s (), T, (.) dä ä n fx punk fnsamn och n konsan knngsvko, d v s =, =. Funkonn s= s () g dn av pakln llyggalagda säckan. m v välj s ( ) = så gäll a ( ) =. Hasgh och acclaon gs av S ndansånd fgu! v = s, a = s

4 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva v k j m v välj = och = Fgu.5 Rälnjg öls. få v n öls längs x-axln = () = x (), [ T, ] md hasgh och acclaon v = x, a = x. m ölsn, x= x (), ä gvn så bsäms hasgh och acclaon gnom a dva funkonn x= x () md avsnd på dn. x Fgu.6 Rälnjg öls. a Exmpl. Md ölsn gvn av x () = x + v + dä x, v och a ä konsan, hålls, a = v = a v = x = v + a α Exmpl. Md ölsn gvn av x ( ) = x cos β dä x, α och β ä konsan, hålls α α α v= x = x ( α cos β+ β( sn β)) = x ( αcos β+ βsn β) α α a= v = αx ( α cos β+ β sn β) x ( βα( sn β) + β cos β) = α x (( α β )cos β+ αβ sn β) 4

5 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva nag nu a acclaonn, x= x (), ä gvn. Hu bsämm v då ölsn x= x ()? V baka någa olka vanlg fökommand fall. Fall I: nag a acclaonn ä konsan, d v s x () = a, dä a ä n konsan. Da mdfö a a x () = c+ a x () = d+ c+ (.) dä c och d ä godycklga ngaonskonsan. dssa konsan kan bsämmas om v nfö såkallad bgynnlsvllko, x om v föskv läg och hasgh vd dpunkn =, x ( ) = x, x ( ) = v (.4) dä x och v ä gvna konsan. v (.) och (.4) följ a x ( ) = d= x, x ( ) = c= v och dämd kan ölsn skvas a x () = x + v + (.5) m v säll välj bgynnlsdaa nlg x ( ) = x, x ( ) = v dä ä n gvn dpunk så hålls ölsn a( ) x () = x + v( ) + v (.) följ a v= x () = v + a och dämd dss uyck hålls v v = a, v+ v x x =. m v mulplca v v v+ v = a ( x x ) v v = a s (.6) dä s = x x. Uyck (.6) ä ofa användba mn obsva a d föusä konsan acclaon! Fall II: nag a acclaonn ä gvn som n funkon av dn, d v s x () = f(), dä f ä n gvn funkon och a bgynnlsdaa gs av x ( ) = x, x ( ) = v. Da mdfö a x () = f ( q) dq + v, x() = ( f ( q) dq) dp + v + x (.7) Exmpl. nag a f( ) = a snω dä a och ω ä konsan. Då gäll a p a x( ) = ( asn ωqdq) dp + v + x = ( cos ωp) dp + v + x = ω 5 p

6 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva a a sn ω ( v ) x ω + + ω + Fall III: nag a acclaonn ä gvn som funkon av hasghn, d v s x () = gv ( ()), dä g ä n gvn funkon och a bgynnlsdaa gs av x ( ) = x, x ( ) = v. D gäll a dv x= = gv () d Da ä n så kallad spaabl dffnalkvaon, s kusn Endmnsonll analys! Dffnalkvaonn kan lösas gnom följand pocdu: Samla all som ha a göa md vaabln v på dn na sdan av lkhsckn och all som ha a göa md dsvaabln på dn anda sdan, d v s dv gv () = pplca ngalckn och sä u ngaonsgäns md hjälp av bgynnlsdaa Exmpl.4 nag a f () v v v d dv d gv () = = v (.8) = cv, dä c> ä n konsan. Insänng (.8) g dv v v = d = [ ln v] = ln = v( ) = v v cv c c v v dx c v c och dämd = v x () = + a, dä a ä n ngaonskonsan som bsäms av d c v v bgynnlsvllko x ( ) = x, d v s x( ) = a x a x c + = = + c och dämd v c v v c x () = + x + = x + ( ) c c c så gäll a v kan skva v= vx ( ) och Sas m v ( ), [ T, ] c dv d v x= v = ( ) (.9) dx dx vs: Efsom v ( ), [ T, ] så gäll a funkonn x x ( ), [ T, ] växand (ll avagand). Då xsa dn nvsa funkonn x ( ), x [ x, x] och dss dvaa gs av = ä monoon = dä x = xt ( ), T T 6

7 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva d dx = ( ) = dx d v och v kan skva v= v () = vx (( )) = vx ˆ( ). Md unyjand av kdjgln hålls dvˆ dv d dv dv dvˆ = = = v dx d dx d v d dx och dämd dv dvˆ dv a= = v = v d dx dx dä v fö nklhs skull skv v säll fö ˆv. V noa avslunngsvs a vlk slufö bvs. d v d vˆ vˆ dvˆ dvˆ ( ) = ( ) = = vˆ dx dx dx dx Exmpl.5 En flygplan, som jus ag mak, gö n nbomsnng fån fan v = kmh ll fan v = kmh. Mosvaand bomssäcka ä L = 6m. säm flygplans mdlacclaon a und nbomsnngn, d v s L a L L = adx L dä a bckna flygplans acclaon. Fgu.7 Inbomsand flygplan. Lösnng: Md ugångspunk fån (.9) hålls v L v v v a = adx vdv ( ) L L = L = = L L v v 7 v

8 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Md nsänng av v kmh =, v alnav mdlacclaon dfnas av = kmh och L 6m = hålls a. 5ms. En T a = ad ( v v) T T = T dä T ä bomsdn. Samband mllan d vå dfnonna gs av v + v v v v v v + v v v v + v a = ( ) = = T = a L T L L T L v T dä mdlhasghn v gs av T T L L v = vd ( x( T ) x( )) T T T = = = T T v T v + v Sålds gäll a a a v v v v v () = + v mn n om v () = + v. T T = om och ndas om L T T = v vlk x ä fall om Exmpl.6 En kula md massan m fall fån vla yngdkaffäl och ä då usa fö lufmosånd, dä mosåndskafn gs av Fd = cv och ä mokad ölsn. Hä bckna v kulans fa och mosåndskoffcnn c ä n posv konsan. säm kulans fa som funkon av fallsäckan. g x m x F d m v mg Fgu.8 Falland kula. Lösnng: Flägg kulan. Infö yngdkaf mg och lufmosåndskaf fgu. Nwon s anda lag g: Fd = cv nlg ovanansånd 8

9 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva ( ): Fd + mg = am dä v unyja (.8). Gnom spaaon av vaablna hålls dv c a = v = g v dx m v x vdv m c c c = dx= x ln( v ) x ln( v ) x c g v c mg = = mg m m c mg x m v= vx ( ) = ( ) (.) c mg D gäll a lm vx ( ) = v = vlk bnämns gänshasghn. Md m =. kg, x c c =. 65Nm s och g = 9. 8ms gs gafn fö (.) av v.5 v=v(x) 7.5 (m/s) v( x) x (m) Fgu.8 v= vx ( ) fö falland kula. Fgu.9 Falland kula v= vx ( ). Gänshasghn da fall ä v =. 85ms. Fall IV nag a acclaonn ä gvn som n funkon av läg, d v s x () = hx ( ), dä h ä n gvn funkon. Md bgynnlsdaa x ( ) = x, x ( ) = v följ av (.8) a x x d v d v v v ( ) = h( x) ( ) dx = h( x) dx = H ( x) H ( x ) dx dx (.) x x 9

10 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva dx dä H ä n pmv funkon ll h. Däav v= =± H ( ( x) H( x)) + v och dnna kvaon d g, f spaaon av vaablna, = d = ± x vau ölsn x= x () kan bsämmas. dx ( H( x) H( x )) + v x oblm /4 Th con fallng wh a spd v sks and pnas h block of packng maal. Th acclaon of h con af mpac s a= g cy, wh c s a posv consan and y s h pnaon dsanc. If h maxmum pnaon dph s obsvd o b y m, dmn h consan c. Fgu. oblm /4. Lösnng: D gäll a a= y() = g cy = h( y) md bgynnls daa y ( ) = y =, y ( ) = v. y En pmv funkon ll h ä H ( y) = gy c och (.) g då (md x= y) v v y y = H ( y) = gy c v = v( y) = v + ( gy c ) ym v + 6 gym vy ( m) = v + ( gym c ) = c =. y m Vlkn ä acclaonn fö konn då y = y? V ha m v + 6 gy g y v 6 gy v + 4gy a = g cy = g y = = < m m m m m m m ym ym ym d v s konn ha n acclaon uppå! Da anyd a modlln da poblm ha sna bgänsnnga.

11 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Koklnjg öls, Casska koodna (.) Md Casska koodna ( x, y, z ) ha v = x+ jy+ k z Hasgh och acclaon, fö n pakl som gnomfö ölsn x= x (), y= y (), z= z () gs då av v = = x + jy + kz, a = = x+ j y+ k z ankuva k j Fgu. Casska koodna. m v ha plan öls och ölsn fösggå xy -plan gäll a z () = och dämd v = = x + jy, a = = x+ j y aklns fa gs då av v= = x + y v och acclaonns solk av ndansånd fgu gäll a pakln bcknas md och vx = x, vy = j y. a= = x + y a. I Fgu. lan öls.

12 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Exmpl.7: Kaspaabln. aka n pakl ö sg f yngdkaffäl. Rölsn fösggå då vkalplan, d v s plan paallll md yngdacclaonn g. Md g = j ( g) kan v välja xy -plan som ölsplan. aklns acclaon gs av x= a = g = j( g) y = g (.) g a = g j Fgu. Kasöls. md bgynnlsdaa x ( ) = x, x ( ) = v,, y ( ) = y, y ( ) = vy, hålls, nlg (.5), x x () x vx, vx() x () v = + = = x, vy() y() v g = = y g y () = y+ vy, (.) x x v (.) följ a = och da nsa (.) g, om vx,, vx, x x g( ) x x v x, vy, g y = y+ vy, = y+ ( x x) ( x x) (.4) v v v x, x, x, d v s kaspaabln. m v unyja (.6) hålls samband vy vy, = g( y y) (.5) Kaspaablns högsa punk, sghöjdn y h, gs av vllko vy = d v s, nlg (.5), y v = y + g h y, Kasvddn x v gs av vllko y = y. Da nsa (.4) g kvaonn v v g x x x x = y, ( ) ( ) x, vx,

13 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva vlkn, föuom lösnngn x= x, ha lösnngn v v x= x + g x, y, m v nfö lvaonsvnkln, så a v, = v cos och v, = v sn, d v s x, y, x v = v + v ä paklns ugångsfa, gäll a y vy, an = och v x, y v v = y + sn, xv = x + sn (.6) g g h y h x v Fgu.4 Kaspaabln. Fgu.5 Kaspaabln. E soboskopfoo av n sudsand bodnnsboll.

14 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Föläsnng : Koklnjg öls, naulga koodna (/5): I d fall dä bankuvan ä gvn kan d vaa lämplg a använda så kallad naulga koodna. aklns bankuva kan då bskvas av funkonn dä s ang dn så kallad båglängdskoodnan. [ ] = ˆ( s), s s, s (.) T s s = s ankuva Fgu. Koklnjg öls md båglängdskoodna s. llmän gäll fö n kuva på paamfom (s kusn Endmnsonll analys!) 4 [ ] = ( u), u u, u (.) a kuvans längd (båglängdn) s mllan paamvädna u och u gs av u d s = s( u) = du (.) du u Då följ a ds d = > om d du du du, vlk v ana gäll. bsva a vkon d ä du angnvko ll kuvan. s ä sålds n växand funkon av u och ä dämd nvba, d v s u = s () s och v kan då skva = ( u) = ( s ( s)) = ˆ ( s), s s, s [ ] dä s = su ( ) och s = su ( ). m paklns öls längs bankuvan ss av funkonn s= s ( ), T, kan v fö paklns öls umm skva [ ] aklns hasgh och acclaon [ ] = ( ) = ˆ( s ( )), T,

15 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva d dˆ ds dˆ v = = = s, d ds d ds d d ˆ dˆ a = v = s + s (.4) d ds ds dä v vd dvaonn unyja kdjgln. V ska nu bäkna dvaona bankuvan ä gvn på fomn (.) gäll nlg (.) a d ˆ och ds d ˆ. m ds s dˆ dˆ s = du = ds ds s dˆ( s) Vkon = () s ä n nhsvko som ä angnll ll bankuvan punkn ˆ( s). S ds Mamakua 5 Läsvcka! d ˆ () s d () s = = κ() s n() s (.5) ds ds dä n() s ä bankuvans huvudnomal punkn ˆ( s ), n() s n() s =. bsva a fsom () s () s = så följ f dvng a d v s () s () s = och a n d () s () s = ds 5 d () s κ = κ() s = (.6) ds ä bankuvans köknng punkn ˆ( s). Kuvans så kallad bnomalvko b gs av [ ] () s = () s (), s s s, s b n T Da nnbä a ( n b) ä n HN-bas, kallad dn naulga basn höand ll bankuvan. unkn C, md lägsvkon = () s = ˆ () s + () s ρ() s C C n kallas bankuvas köknngscnum höand ll punkn på kuvan md lägsvkon ˆ( s) och ρ() s = κ() s dss köknngsad. Ckln md cnum C () s och md adn ρ () s kallas bankuvans köknngsckl. Dnna anga bankuvan punkn ˆ( s), s fgu ndan!

16 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva s s = s b n C ρ Köknngsckln k j Fgu. Dn naulga basn och köknngsckln. Exmpl.: Rälnjg bankuva nlg (.), d v s [ ] = ˆ( s) = + s, s s, s T dˆ( s) Då gäll a () s = =, d v s angnvkon ä konsan lka md. Sålds ds d () s = κ( s) =, s [ s, st] vlk nnbä a huvudnomaln n och bnomaln b j ä ds nydg dfnad da fall! Exmpl.: lan bankuva. I da fall kan v skva md nhsangnvkon [ ] = ˆ( s) = + xs () + j ys (), s s, s T dˆ( s) dx() s dy() s () s = = + j, ds ds ds d () s d xs () d ys () = + j ds ds ds d () s d xs () d ys () Kuvans köknng och huvudnomalvko gs av κ () s = = ( ) + ( ) ds ds ds och d () s d xs () d ys () n() s = = ( + j ) κ() s ds d xs () d ys () ds ds ( ) + ( ) ds ds Kuvans bnomalvko gs av 6

17 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva dx() s dy() s dx () s dy () s b() s = () s n() s = ( + j ) ( + j ) = ds ds dx () s dy () s ds ds ( ) + ( ) ds ds Sålds dx() s dy () s dy() s dx () s k( ds ds ds ds ) = ± k dx () s dy () s ( ) + ( ) ds ds dx() s dy () s dy() s dx () s dx () s dy () s =± ( ) + ( ) ds ds ds ds ds ds Dnna laon kan vsas gnom a unyja dx() s dy() s dx () s dy () s () s n() s = ( + j ) ( + j ) = ds ds dx () s dy () s ds ds ( ) + ( ) ds ds Vlk ä kvvaln md dx() s d x() s dy() s d y() s + = ds ds ds ds j n n n k Fgu. lan kuva. I fgun ovan gäll fö bnomalvkon a punkna och så ä = b gäll a = k. b 7 k mn punkn C Exmpl.. Ckulä bankuva. Da ä myck vkg spcalfall! Lå j k vaa n HNbas umm och lå vaa n fx punk. En ckulä bankuvan x-y-plan, md adn R>, gs då av ˆ( ) cos s s = s = R Rsn, s s, T R + j R [ ] d v s = R. åglängdskoodnan s ä laad ll vnkln gnom samband s = R, s fgun ndan. Fö cklbanan gäll a nhsangnvkon gs av

18 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva dˆ( s) s s s s ( s) = = ( R sn ) + j( R cos ) = ( sn ) + j cos ds R R R R R R och d () s s s s s () s = ( cos ) + j( sn ) = ( cos + jsn ) = = ( s) ds R R R R R R R R R = = n j s R Fgu.4 Cklöls. () s () s dä () s = = ä nhsvkon adll knng. S fgun ovan! v da följ, som () s R d () s föväna, a ρ = ρ() s = = = R, d v s bankuvans köknngsad ä konsan lka κ() s ds md cklns ad R. Köknngsckln fö bankuvan sammanfall md ckln själv, alla punk. Huvudnomalvkon gs av och bnomalvkon av d () s n() s = = R( ()) s = () s κ() s ds R b = n = k Sas Gv n öls fö n pakl = ( ) = ˆ( s ( )), [ T, ] dä = ˆ( s), s [ s, st] dfna bankuvan och s= s ( ), [ T, ] g båglängdskoodnan som funkon av dn. Då gäll fö paklns hasgh och acclaon v = s, s a = s + n (.7) ρ 8

19 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva a = s buka kallas angnalacclaonn och a n s = nomalacclaonn. ρ vs: V ha, nlg (.5)-(.6), dˆ v = s = s, ds d ˆ ˆ d s = a s + s = nκ s + s = s+ n ds ds ρ Exmpl.4: Rälnjg öls. fsom κ = ρ =. v = s = s, s a = s+ n = s (.8) ρ Exmpl.5: Cklöls. dä = och = n. v = s R = s, a = s+ n = R + ( R ) (.9) ρ Exmpl.6: Rymdsaonn ISS (Innaonal Spac Saon) ö sg un jodn n ckulä bana på n höjd av ca 46km. säm ymdsaonns omloppsd. Fgu.5 ISS. Lösnng: Gavaonskafn fån jodn på ymdsaonn gs av F = Mm G n dä M ä jodns massa, m ä ymdsaonns massa, ä avsånd fån jodns cnum ll ymdsaonn, d v s = = R+ h och G ä unvslla gavaonskonsann, d v s ISS 9

20 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva gr G = (.) M dä g ä yngdacclaonn vd jodyan och R ä jodadn. ISS R F h Fgu.6 ISS bana un jodn. Nwon s anda lag, F = a m, llämpad på ISS g ölskvaonn Mm s ng = ( s+ n ) m Da g d skaläa kvaonna = sm s = v M M gr g Mm s v v R GM = = = G = m v = + gr R h dä v unyja (.). Md R 67km, h = 46km och g = 9. 8ms hålls och omloppsdn τ bl då v 76ms π ( R+ h) τ = 94 mn v Exmpl.7: En kaspaabl kaasas av ugångsfan v och lvaonsvnkln. S Exmpl 6.7! säm köknngsadn a) ugångsläg, b) banans högsa punk. Lösnng: Fö acclaonn gäll da fall a = g. Md ugångspunk fån (.7) hålls s s s s s v a = v s+ v n = s s+ s n = b ρ = = ρ ρ ρ v a v g

21 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva a) I ugångsläg gäll s = v och v = v ( cos + j sn ). Md a = j ( g) hålls v g = k ( vgcos ) och dämd s v v ρa = = = v g vgcos gcos b) I banans högsa punk gäll a s = v cos och v g = k ( vgcos ) och dämd s ( vcos ) v cos ρb = = = v g vgcos g C b ρ b Kaspaabln C a ρ a Fgu.7 Köknngsad fö kaspaabln. Exmpl.8: En pakl gld längs n kuva som ugö n högskuvlnj md vkal axl. Kuvan gs paamfom av = ( u) = a cosu + jasn u + kbu, u, [ [

22 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva dä a> g skuvlnjns ad och π b> dss sgnng. säm dn naulga basn ( n b) och köknngn fö bankuvan. k s j Fgu.8 Högskuvlnj. Lösnng: åglängdn gs, nlg (.), av u d s = s( u) = du du u dä och dämd d du d = ( acosu+ jasn u+ kbu) = ( asn u) + jacosu+ kb du d ( asn u) ( acos u) b a b c du = + + = + = ( ) s s = s u = cdu = cu u = c Kuvan gs då av Tangnvkon gs då av s s s = ˆ( s) = acos + jasn + k b, s, c c c u [ ] och dˆ( s) d s s s a s a s b ( s) = = ( acos + jasn + kb ) = ( sn ) + j cos + k ds ds c c c c c c c c

23 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Köknngn gs då av d () s d a s a s b a s a s = ( ( sn ) + j cos + k ) = ( cos ) + j ( sn ) ds ds c c c c c c c c c d () s a s a s a κ ( s) = = ( cos ) + ( sn ) = ds c c c c c c d v s köknngn ä konsan och köknngsadn gs av ρ = ρ() s = =. Huvudnomalvkon gs κ() s a av och bnomalvkon av d () s s s n = n( s) = = ( cos ) + j ( sn ) κ() s ds c c a s a s b s s b = n = ( ( sn ) + j cos + k ) ( ( cos ) + j ( sn )) = c c c c c c c akln acclaon gs då, nlg (.7), av b s b s a sn + j( cos ) + k c c c c c s a a = s+ n = s+ n s ρ c Uppgf.: Vsa a angnvkon, ovansånd xmpl, blda n konsan vnkl α = accos b md z-axln och a bnomalvkon b blda n konsan vnkl c z-axln. β = accos a md c

24 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Sammanfanng aklns knmak Röls = (). Hasgh v = (). cclaon a = () Vd älnjg öls v a =vv Naulga koodna dv d v x= v = ( ), v dx dx v = s, s a = s + n ρ Cklöls v = R, ( a = R + R ) Cylndkoodna (.6-.7). Fö vssa poblm md cylndsymmsk gom kan d vaa födlakg a, säll fö Casska koodna använda så kallad cylndkoodna. Infö dn adlla knngsvkon paallll md x-y-plan och dfnad av x y dä cos = och sn = dä = cos + j sn (.) = x + y, s fgun ndan. Då gäll = x+ jy+ kz = cos + jsn + kz = + k z (.) bsva a = x + y + z = + z. Rölsn kan nu bskvas md cylndkoodnana (,, z) gnom funkonna = (), = (), z= z () (.) bsva a ( k ) ä n HN-bas dä basvkona och Vkon gs av (.) och fö gäll bo av koodnan. = ( sn ) + j cos (.4) 4

25 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva (,, z ) s s = s b n k j k (, y, ) ( x,, ) Sas Md cylndkoodna gäll vs: Md = + k z hålls Fgu.9 Casska, naulga och cylnd koodna. v = z + + k, a = ( ) + ( + ) + k z (.5) v = = + + k z+ kz dä k = och dä, nlg (.) och (.4), Da g d = ( cos + jsn ) = ( sn ) + j cos = (.6) d v = + + kz = + + kz v da följ vda a dä a = ( + ) + k z (.7) 5

26 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva d = ( ( sn ) + jcos ) = ( cos ) + j( sn ) = ( ) d dä v unyja (.). Da uyck och (.6) nsa (.7) g a = + + ( ) + ( + ) + k z = ( ) + ( + ) + k z vlk skull bvsas. Exmpl.9: V suda nu cklöls md ugångspunk fån cylndkoodna. V ana a cklölsn fösggå x-y-plan, z =, = R. Då gäll, nlg (.) = + kz = R och nlg (.5) v = R, ( a = R ) + R (.8) V kan skva a = a + a dä a = ( R ) kallas cnpalacclaonn och a kallas angnalacclaonn. m v jämfö md (.9) och d naulga koodnana så s v a dä = och = n. Md paklns fa v= s = R gäll a v = R ch dämd kan (.8) skvas v v = v, a = ( ) + v. R R R j a ( R ) Fgu. cclaonn cklöls. Exmpl.: En mya bfnn sg på n ckulä, hosonll och oand skva. Dn kyp längs n bsämd ad på skvan md dn konsana fan v lav skvan som oa kng n fx 6

27 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva axl md dn konsana vnklhasghn ω lav n gvn fnsam. S fgun ndan! säm myans hasgh och acclaon lav fnsamn som funkon av myans adlla läg. j ω Fgu. Mya på kausll. Lösnng: D gäll a = v, = och = ω, = sam a z =. v (.5) följ då a dä = v = () = v+. v = + + kz = v + ω a = ( ) + ( + ) + k z = ( ω ) + v ω Exmpl.: Md föusännga som fögånd xmpl, anag a d saska fkonsal mllan myan och skvan ä µ. Hu lång adll ld kan då myan gå nnan dn böja glda? s Lösnng: Myan påvkas, föuom av yngdkafn k ( mg), dä m ä myans massa, av konakkafn R fån dn oand skvan. Då gäll nlg Nwon s anda lag k( mg) + R= am = ( ( ω ) + v ω) m (.9) m v lå konakkafn psnas av och N ä nomalkafn så följ av (.9) R= F + k N dä F = F + F ä fkonskafn = ω F = vωm N = mg F m (.) Fö a myan skall kunna hålla ak kus kävs nlg (.) n sdokaf F. m myan fösök öka 7

28 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva sabln gnom a öka fan bl bhov av sdokaf baa sö. Ickgldnngsvllko gs av F µ N F + F µ N ( ω m) + ( v ω m) µ mg s s s ω + 4v ω µ g µ g 4v ω ω 4 s s Md = () = v + hålls vllko v + µ g 4v ω µ g 4v ω s s ω vω v Exmpl.: En mkansm bså av n hylsa vd som kan öa sg på n fx vkal sång. En spåfösdd sång oa md vnklhasghn och vnklacclaonn kng n fx axl vd. vsånd fån axln ll dn vkala sångn ä b. Md n app följ hylsan spå sångn och vngas dämd ll n vkal öls. säm hylsans hasgh och acclaon uycka, och. Fgu. Mkansm. Lösnng: nag a ölsn fösggå x-y-plan, d v s z =. Enlg (.5) gäll då a v = +, a = ( ) + ( + ) v dn gvna gomn följ a Da g b b bsn = = ( sn ) = (.) cos cos cos bsn b b b v = + = + ( sn cos) = + = j cos cos cos cos v (.) följ a 8

29 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Da g bcoscos bsn ( cos )( sn ) bsn b( + sn ) bsn = + = + 4 cos cos cos cos b( + sn ) bsn b a = ( ) + ( + ) = ( + ) + cos cos cos b bsn bsn bsn bcos bsn ( + ) = ( + ) + ( ) + = cos cos cos cos cos cos b bsn b bsn ( sn + cos)( + ) = y( + ) cos cos cos cos j Fgu. Mkansm. 9

30 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Sammanfanng: Koodnasysm Kassk Koodna: ( xyz,, ) as: (, jk, ) = x+ jy+ kz v = = x + jy + kz a = = x+ j y+ k z Naulg Koodna: s as: (,, ) n b = () s v = = s a = = s + n s ρ Cylndsk Koodna: (,, z) as: k (,, ) = + kz v = = + + kz a = = ( ) + ( + ) + k z

31 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Föläsnng : Rlav öls (.8): Röls bskvs alld lav n fnsam. m man by fnsam bl ölsbskvnngn allmänh n annan och bond på hu fnsamana ö sg lav vaanda. V baka vå fnsama, n fx F: ( j k ) och n ölg R: ( j k ). Vad som ä fx och vad som ä ölg da sammanhang ä naulgvs upp ll bakan. Lå = () bckna lägsvkon fö punkn föhålland ll. Rfnsamns R hasgh föhålland ll F gs då av v = = x + jy + kz aka n pakl öls. I föhålland ll F bskvs ölsn av = () och föhålland ll R av l = = l (). Gomsk gäll a () = () +, l (). m v dva da m a p dn hålls samband v () = v () + v () (.), l dä v = ä paklns hasgh föhålland ll F ( dn absolua hasghn) och v, l =, l ä paklns hasgh lav R (dn lava hasghn) v (.) följ följand samband mllan acclaon a () = a () + a () (.), l m dn ölga fnsamn sakna acclaon föhålland ll dn fxa, d v s om a () = då gäll a dn absolua acclaonn a och dn lava a, l ä lka, d v s a () = a (), l I dn ovansånd dskussonn ufö fnsamana n lav anslaonsöls. I allmänh kan man änka sg a fnsamana dssuom oa föhålland ll vaanda. Då bl sambandn mllan hasgh och acclaon d båda fnsamana ma komplca. M om da näsa kus mkank., l k F j k R j Fgu. Rlav öls.

32 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Kafkvaonn (.-.4). V ha dga famhåll bhov av n så kallad fnsam nä man vll bskva ölsn hos pakla och malla koppa. Rfnsamn ä någon oföändlg mall suku lav vlkn dn bakad koppns öls kan bskvas. aka n pakl öls lav n bsämd fnsam. nag a pakln vd n vss dpunk ( = ) ha läg och hasghn v och a ölsn däf gs av = ( ) = + v, (.) d v s pakln ä vla om v = ll älnjg öls md konsan hasgh v om v. Efanhn säg oss a da fall gäll a pakln n påvkas av någon suland kaf, d v s, F = dä F bckna summan av d kaf som vka på. mvän gäll a om F = och ( ) =, ( ) = v så gs dn fosaa ölsn av (.). Dnna fanh uycks Nwon s ncpa (687) på n fom som buka kallas Nwon s fösa lag. bsva a paklns acclaon da fall ä lka md nollvkon. Nwon s fösa lag kan då uyckas F = a = (.4) En fnsam vlkn Nwon s fösa lag (öghslagn) gäll kallas n nalam. In alla fnsama ä nalama. nag x a dn fxa amn F fögånd avsn ä n nalam och a fö dn ölga amn R gäll a a. Då följ av (.4) och (.) a F = a = a = a l Lkalds komm vaj fnsam som oa föhålland ll n nalam n a vaa n nalam. Exmpl.: En fnsam R fom av n lasbl accla älnjg öls föhålland ll n änk nalam F, som hä psnas av dn fasa makn. nag a fnsamns R acclaon föhålland ll F gs av a = j a. aka n pndlkula som ä upphängd ak på lasblns lasuymm. ndln ha n konsan uslagsvnkl β. Da nnbä a pndlkulans acclaon lav fnsamn R, a, l = och a pndlkulans acclaon lav fnsamn F, a = a. Flägg pndlkulan. Infö yngdkafn g m och kafn fån lnan S. D gäll a F = gm + S mn a a, l = och dämd följ a fnsamn R n ä n nalam. I nalamn gäll Nwon s anda lag gm+ S = a m= a m vlk md g= k ( g) g spännkafn S = a m gm= jam k( gm ) = ( ja + k gm )

33 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva k S gm g Vnkln β gs då av cos β = = = S ( a m) + ( gm) a + g. a k j R k β S g m F j Fgu. Tanslaand fnsam, a <. Exmpl.: aka n puck som vla på n hosonll kausll på avsånd b fån kausllns cnum. nag a konakn mllan puck och kausll ä gla, d v s µ s = och a kauslln R oa md vnklhasghn ω > föhålland ll n nalam F. Lå ( j k ) vaa fx nalamn och lå ( ) vaa fx dn oand amn. g k R b g m j F R Fgu. Roand fnsam. Flägg puckn. å puckn vka yngdkafn gm = k( mg) = ( mg) och konakkafn mllan kausll och puck R = N. uckn bfnn sg vla föhålland ll nalamn. Sålds gäll a a = och dämd följ, nlg (7.), a F = gm + R= ( ) mg + N = N = mg I dn oand fnsamn ufö puckn n cklöls md vnklhasghn ω och dnna ä däfö n n nalam. D gäll a

34 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva a, = ( ) l bω R Fgu.4 Roand fnsam. Nwon s anda lag koppla, sn modna fomulng, samman kaf och acclaon dn bömda fomln F = a m (.5) dä m ä paklns massa och F bckna kafsumman, d v s om pakln påvkas av kafsysm bsånd av anal punkkaf ( F, ),...,( F, ) så gäll a n n F = F (.6) = Ekvaonn (.5) kallas ävn kafkvaonn. Dn ä glg n nalam. F a k Inalam j Fgu.5 En pakls öls lav n nalam. 4

35 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Fnns d n kafkvaon ävn n fnsam som n ä n nalam? Ja, d gö d mn d kävs då a man nfö så kallad öghskaf. aka dn accland fnsamn R Exmpl. ovan. aka n pakl som ö sg md acclaonn a, l lav dnna fnsam och md acclaonn a lav nalamn F. Då gäll, nlg (.) a a = a + a, l Vda gäll, fsom F ä n nalam, a F = a m dä fall pndlkulan F = gm + S. v da följ då a F = a m= ( a + a ) m F a m= a m (.7), l, l m v nu nfö öghskafn (sysmpunkskafn) F = m sys a och skv F = F + F (.8) l sys så kan (.7) skvas F = a (.9) l m, l vlk uyck kafkvaonn dn accland fnsamn. bsva dock a v hä ha vngas nföa dn fkva öghskafn F sys och adda dnna ll d vklga kafna nlg (.8). V kan uycka d så a Nwon s anda lag ha åuppäas dn accland fnsamn mn ll ps av a v bhöv nföa n öghskaf. I fall md pndln hålls gm+ S+ F = ( g a ) m+ S = a m (.) sys, l m v nfö gl = g a så kan (.) skvas g m+ S = a l, l m a jämföa md kafkvaonn nalamn gm+ S = a m d v s acclaonn ändas fån a ll a, l nä v gå fån nalamn ll dn accland amn och yngdacclaonn ändas fån g ll g l. bsva a yngdacclaonn g l bl dsbond om n a ä konsan. Nwon s dj lag uyck lagn om vkan och movkan mllan koppa. aka vå koppa och som ä konak n punk. Flägg koppana och nfö kafvkan fån på 5

36 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva psnad av punkkaf-momn ( R, M, ) och kafvkan fån på ; psnad av ( R, M, ). S ndansånd fgu! Då gäll nlg Nwon s dj lag R = R, M = M Dnna lag ä själva vk n konskvns av vllko a Nwon s anda lag skall gälla fö alla koppa. R M M R Fgu.6 Nwon s dj lag. Exmpl.: Ndansånd fgu ä hämad u n lmnä fyskbok. da md sö kaf och vnn! Fgu.7 Vm vnn dagkampn? Fgun ovan ä mssvsand! V flägg d båda konahnna och, och nfö y kaf nlg ndansånd fgu. bsva a konakkafn R fån på ä lka so och mosa kad 6

37 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva konakkafn fån på nlg Nwon s dj lag. V ana a konahnna ö sg som n kopp md acclaonn a posv å hög. Kafkvaonn g fö : och fö : ( ): f + R = am, ( ): N mg = (.) ( ): f R = am, ( ): N mg = (.) mg mg R R N f N f Fgu.8 Flagda konahn. m v kombna (.) och (.) hålls kvaonn f f f f = am ( + m) a= m + m (.) Da uyck kafkvaonn hosonll ld fö dn kopp som bså av d båda konahnna llsammans. v (.) följ a f > f a> d v s vm som vnn dagkampn bo m på bnsyka än amsyka! Huuvda konahnna kan använda sn fulla bnsyka bo naulgvs på vlkn fkonskoffcn som åd konakn mllan sko och undlag och på das masso. V ha nämlgn bgänsnngana f µ s, N= µ s, mg och f µ s, N= µ s, mg dä µ s, ä vlofkonsal mllan konahnns sko och undlag och µ s, ä mosvaand fö konahnn. Inom scnc fcon och annan fkonslau sä man bland Nwon s dj lag u spl fö a dägnom uppnå övaskand och damaska ffk. aon von Münchhausn, gnlgn Honmus Cal Fdch Fh von Münchhausn, födds dn maj 7 på famljns samgods sadn odnwd yska Ndsachsn, och dog dä fbua 797. Münchhausn dlog, som kavalllöjnan ysk jäns, fälåg mo ukana och bfodads 75 ll ymäsa. Som passonad jäga och gladlyn sällskapsman, blv han bykad fö sn fömåga a vd glas bäa d ms goska och fanasfulla ankdo fån sna jak och kgsävny. aonns hso (münchhausad) löp und hans namn omkng bland folk och llgodogjods av Rudolf Ech Rasp, som London gav u aon Munchausn's naav of hs mavllous avls and campagns n Russa (785). (U Wkpda) 7

38 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Nwon s laga hlosophæ Nauals ncpa Mahmaca 687 Isaac Nwon

39 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Kafkvaonn fö koppa: I Läsvcka, föläsnng nföd v Eul s laga som gundläggand ölslaga mkankn. D ugö n uvdgnng av Nwon s anda lag ll laga som gäll fö allmänna koppa och n nba pakla. aka n kopp som påvkas av sysm av y kaf och momn Då gäll n nalam y F : ( F, M, ), ( F, M, ),,( F, M, ) n n n F = a dm M = a dm, (.4) dä n F = F, M = ( F ) + M (.5) = n = ä kafsysms kafsumma och momnsumma. Ekvaon (.4) kallas kafkvaonn och (.4) kallas momnkvaonn. a dm C F Inalam Fgu.9 Kopp öls. Vd sask jämvk fö koppn gäll a =, och dämd, nlg (.4), F =, M = (.6) m koppn bså av pakla, =,..., n så uycks Eul s laga av n F = a m, = n M = a m (.7) = 9

40 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva dä m ä massan hos pakl. a Fgu. aklsysm öls. V komm dnna kus a all väsnlg ägna oss å kafkvaonn. Momnkvaonn komm a sudas näma näsa kus. V ha följand Sas Kafkvaonn ä kvvaln md F = a (.8) G m dä G ä koppns masscnum och m ä koppns massa. vs: Kafkvaonn, nlg Eul, (.4) d d F = adm = dm = dm ( Gm) Gm Gm d = d = = a dä v unyja a G = dm m m = dm., Kafkvaonn, (.4), fö n kopp ä allså dnsk md Nwon s anda lag fö n (änk) pakl md massan m placad och mdföljand koppns masscnum G och påvkad av kafsumman F. Kafkvaonn ä sålds n kvaon fö masscnums öls. S fgun ndan! bsva a dnna kvaon gäll oavs koppns konsuon. Dn gäll fö alla koppa såväl fasa och flyand koppa som gas. Koppns öls (oaon) kng s masscnum bsäms av momnkvaonn (.4). Da skall v suda näsa kusmomn. V komm dnna kus a fokusa på kvaonn (.8). 4

41 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Sammanfanng: Kafkvaonn n F = a m, G F = F = F G G a G Fgu. Masscnums öls. 4

42 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Kafkvaonn olka koodnasysm (.4-.5): Fö a kunna hana kafkvaonn på ffkv sä mås man kunna psna dn olka koodnasysm. V komm nämas a fomula kafkvaonn Casska koodna. Lå ( j k ), ( x, y, z ) vaa fx nalamn och lå G = xg + jyg + k zg, ag = xg + jyg + kzg, F = Fx + jfy + k Fz Kafkvaonn F = a ä då kvvaln md komponnkvaonna: G m Fx = agx, m Fy= agy, m Fz = agz, m F G G a G k Inalam j Fgu. Masscnums öls Casska koodna. Exmpl.4: T sla klossa, och md massona m, m och m, spkv, lgg på hosonll bod nlg ndansånd fgu. Klossana ä konak md vaanda öv sdoyo som anas vaa glaa. Klossn påvkas av n hosonll kaf F. Konakn mllan klossana och bod ä säv md d saska fkonsal µ s och d knmaska fkonsal µ s. V ana a F > µ smg, dä m= m+ m + m. säm konakkafna mllan koppana! F Fgu. Masscnums öls Casska koodna. 4

43 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva Lösnng: Flägg klossana. Infö yngdkafn, konakkafn mo bod och konakkafn (nomalkafn) mllan klossana. j F G mg f N G mg mg N f N N N G f Fgu.4 Flagda klossa. Fö klossn gäll: ( ): F f N = x m, ( ): N mg= y m = (.) G G Fö klossn gäll: ( ): N f N = x m, ( ): N mg= y m = (.) G G Fö klossn gäll: ( ): N f = x m, ( ): N mg= y m = (.) G m v adda kvaonna (.) -(.) hålls kvaonn G F f N + N f N + N f = x m + x m + x m G G G d v s F f f f = x m+ x m+ x m= xm (.) G G G G. V ana a dä G ä masscnum fö dn sammansaa koppn f = µ N, f = µ N, f = µ N dä N, N, N > och µ, µ, µ µ s. Dämd följ, av (.) -(.), a F f f f F µ ( N + N + N ) = F µ mg > s s 4

44 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva vlk, nlg (.5) nnbä a x G >, d v s klossana accla å hög. Då gäll a x = x = x = x och f = µ kn, f = µ kn, f = µ kn och dämd, nlg (.). G G G G v (.) följ a v (.) följ a F F µ kmg = xgm xg = µ kg (.4) m F m + m N = F µ kmg ( µ k g) m = F m m F m N = xg m ( ) + f = µ k g m + µ k gm = F m m bsva a nomalkafna N och N ndas bo av dn anbngad kafn F och klossanas masso, mn ä obond av fkonn. Dämo ä naulgvs acclaonn hos klossana, nlg (.4), bond av fkonn. Exmpl.5: E flygplan flyg på n höjd h öv makyan och ha n konsan hosonll hasgh v. Fån flygplan släpps n låda md uusnng. å lådan s n fallskäm som löss u på ko d mn md n dsfödöjnng τ f d a lådan lämna flygplan. Ef d a fallskämn löss u ha lådan ndas n konsan vkal hasgh v. Hu lång säcka ha flygplan llyggalag då lådan landa? Fgu.5 Flygplan. Lösnng: Infö fx Cassk koodnasysm ( j k) nlg ndansånd fgu. Fö flygplan F gäll a ( ): x () =, x ( ) = v x () = v, ( ): y () =, y ( ) = y () = F F F F F F 44

45 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva j L F mg Flägg lådan L. Infö yngdkafn. Då gäll Fgu.6 Lådan flagd. ( ): = x m, x ( ) =, x ( ) = v x ( ) = v L L L L g ( ): mg = ylm, yl( ) =, y L( ) = yl( ) = gτ Vd dpunkn = τ bfnn sg lådan läg xl( τ) = vτ, yl ( τ ) =. Däf fall lådan vkal md fan v. nag a lådan landa på makn vd dpunkn = T. Då gäll a gτ gτ h= + v( T τ) T = τ + ( h ) v v gτ Flygplan ha vd dnna dpunk llyggalag säckan: xf( T) = vt = vτ + ( h ). v Exmpl.6: E mkansk sysm bså av vå koppa och, md massona m = 4 kg och m = 8 kg, spkv. Koppana ä föbundna md n lä, fullkomlg böjlg och oänjba lna. Lnan löp öv fya sso nlg fgun. Dssa ä alla fkonsf lagad på sna axla. Tssonas masso kan fösummas. Kopp kan öa sg fkonsf (ulla uan a glda på små läa hjul) längs luand plan md lunngsvnkln α =. Kopp häng f yngdkaffäl. Sysm släpps fån vla ugångsläg nlg fgun. säm d båda koppanas hasgh d läg dä kopp ha ö sg säckan m. fån ugångsläg. g = g = 9. 8 ms. 45

46 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva g Fgu.7 Mkansk sysm. Lösnng: Flägg d båda koppana nlg fguna ndan. Infö spännkafn S lnan, yngdkafna mg, mg och nomalkafn N, N mllan kopp och d luand plan. bsva a spännkafn lnan j ändas fsom ssona ä läa och fkonsf lagad. Infö koodnan x fö kopp och y fö kopp. Fö kopp gäll: dä dä m m ( ) : S m g sn α = m ( x), ( ) : mgcosα N N = (.5) = 4kg och α =. Fö kopp gäll = 8kg. ( ): S + mg = m y (.6) mg x S S S S S y α N N mg Fgu.8 Fläggnng av koppana och. Ekvaonn (.5) g N+ N = mg cosα mn ä fö övg onssan sammanhang. V ha sålds vå kvaon, (.5) och (.6), mn obkana; S, x och y. Dn fland kvaonn gs av vllko a längdn hos lnan ä konsan. Lnans längd L gs av L = L() = x() + y() + b 46

47 Mkank, Dl, Sak- och akldynamk 4, Ugåva dä b ä n konsan. Kav a lnans längd ä konsan g Ekvaonna (.5), (.6) och (.7) g då L = x + y = x + y = x = y (.7) m msnα y = g (.8) 4 m + m 9 Md bgynnlsvllko y ( ) = y, y ( ) =, dä y g bgynnlsläg fö, hålls dä m msnα m msnα a y () = g y () = g + y = + y (.9) 4 4 m + m m + m 9 9 m msnα a = g =. 46ms 4 m + m 9 vlk byd a accla uppå. V sök nu dn dpunk då ha ö sg m fån ugångsläg. Da g vllko y ( ) = y, d v s a = = a V dnna dpunk ha, nlg (.9), hasghn y ( ) = a = a = a. 94ms a v (.7) följ då a x ( ) = y ( ) =. 65ms 47