18 december (skrivningstid 5 timmar) LÖSNINGAR. Vid tveksamma fall: kontakta skrivningsvakten innan hjälpmedlet används.

Transkript

1 Department of ppied Meanis Tentamen i Håfastetsära för I 18 deember (skrivningstid 5 timmar) FORMLI LÖSNINGR Hjäpmede 1. Läroböker i åfastetsära o mekanik.. Handböker, formesamingar o sammanfattningsbad i åfastetsära, matematik o fysik. Dok ej sammanfattningar med östa exempe eer OHkopior från föreäsningarna om avanerad åfastetsära. 3. Eementarfa för bakböjning (4 sid). 4. reakonstanter ( sid). 5. Ordböker o språkexikon. a medtagna böker måste vara skrivna på svenska, engeska, tyska, franska eer ryska; de får inneåa normaa marginaantekningar (inkusive omskrivningar av ingående former), men inga ösningar ti probemuppgifter. Lösa antekningar, varken andskrivna eer trykta, är inte tiåtna. 6. Miniräknare med tangentbord o sifferfönster i en enet (periferieneter, såsom t.ex skrivare o bandspeare, tiåts inte). Vid tveksamma fa: kontakta skrivningsvakten innan jäpmedet används. Lärare nders Ekberg, te (77) 3480 Lösningar nsås på ansagstavan vid ingången ti institutionens okaer (a våningen i södra trappuppgången, nya maskinuset) på förmiddagen dagen efter tentan. Betygsättning En fuständig o korrekt ösning på en uppgift ger poäng enigt vad som anges på uppgiftsappen. Smärre fe eder ti poängavdrag. Ofuständig 1

2 ösning, många fe, eer metodfe eder ti att uppgiften inte ger något poäng. Normat görs en eetsbedömning av skrivningen när poängsätts; en snä bedömning av en ösning kan kompenseras av en årdare bedömning på en annan. Maxima poäng på tentan är 15 o betygsgränserna är enigt föjande: 6-8 poäng ger betyg poäng ger betyg poäng ger betyg 5 Resutatista nsås på samma stäe som ösningarna senast onsdagen den 9/1 00. Granskning Måndag den 14/1 k ats meddeas på kursens emsida samt på rättningsistor (p.g.a. ombyggnation i M-uset) Tänk på: Uppgifterna är inte ordnade efter svårigetsgrad väj ut de uppgifter du tyker att du beärskar o börja med dessa. nge varifrån du ämtar de ekvationer som används. Om du gör antaganden utöver vad som anges i uppgiftstexten: förkara dessa. Bedöm om möjigt rimigeten i dina ösningar. Om du tyker resutatet verkar orimigt, men inte kan itta några fe i ösningen eer tror att du räknat rätt, så påpeka detta. Kontroera dimensionen i dina svar en ösning med fe dimension i svaret ger inga poäng. Skriv så att den som ska rätta kan äsa (d v s skriv tydigt) o ge förkaringar så att beräkningarna går att föja. Rita tydiga figurer; det måste framgå vad som är positiva/negativa riktningar på krafter, förskjutningar, et.

3 UGIFTER 1. En träbak består av två iopspikade pankor enigt Fig. 1. Spikarna sitter med ett entrumavstånd. Baksektionen beastas med en tvärkraft, T. Bestäm (uttrykt i T, o ) den skjuvkraft, F varje spik måste överföra. (3p) /5 T T /5 FIG. 1 Fritt uppagd träbak beastad med en punktast o med en sektion uppbyggd av två iopspikade pankor. a) Sidvy av den spikade baken; b) den sammansatta tvärsektionen med spikpaering. * /5 tyngdpunkt t F t /5 Tyngdpunktsäget ges av ( 5 ) 10 = ( ) = ( 5) + ( 5) Yttrögetsmomentet är ( 5) 3 I y ( 5) = + + ( 5) -- = 4 Statiska ytmomentet av avskjuvad de är S ( 5) = = Detta ger en skjuvspänning i snittet adees under fänsen, som är: S τ T ( 3 0) T = = = T I y ( 5) ( 4 4) ( 5) Skjuvkraften i varje spik bir då F τ T = = = -- T

4 . En bak, med ängden L = 3 m o med ett tunnväggigt, irkuärt tvärsnitt med diametern d = 0. m o tjokeken t = 0.01 m, monteras o beastas med en exentrisk punktast enigt Fig.. (unktasten angriper via en et ste ävarm). Bestäm maximat som kan tiåtas om ögsta tiåtna effektivspänning enigt Tresa får vara σ e = 300 Ma i punkt. (3p) r r t = 0.01 m z ϕ EI = L = m d = 0. m d = 0. m FIG. Konsobak beastad med exentrisk punktast (OBS! ej proportione skiss) a) Sidvy; b) konsobakens tvärsnitt. o den exentriska astens paering. I punkt ger asten ger ett vridande moment M v = ( 3 )d o ett böjande moment M = L. πtd 3 d Sektionen ar ett areatrögetsmoment I y = , radien a = -- o tjokeken 8 = t (enigt Lunds betekningar). M 4L Detta ger, i punkten, en böjnormaspänning σ z = ----z = o en I y πtd M skjuvspänning av det vridande momentet τ v 3 zϕ = = Här är L = 10d, πa πdt 4030 viket ger en spänningsmatris som: ( z, ϕ, r) = S πtd Eftersom skjuvspänningen är no på ett pan med norma i r -riktning, så får vi direkt en uvudspänning som σ r = 0. Övriga uvudspänningar fås ur: σ σ + z σ ϕ σ z + σ 1, ϕ. Numrera τ = ± + = 0 ± 409 zϕ uvudspänningarna i storeksordning. Detta ger σ 1 = , σ = 0 o σ 1 = x [ ( πtd) ]. Huvudspänning enigt Tresa fås som σ et = σ 1 σ 3 = 409 ( πtd). Krav 6 πtd 6 σ et max = kn (med insatta värden)

5 3. Baken i Fig. 3 ar eastiitetsmoduen E, areatrögetsmomentet I o ängder enigt figuren. Den beastas med en punktast i ena änden (D). a) Beräkna nedböjningen δ under punktasten om baken enbart är beastad med denna punktast! (p) b) Beå D. Hur stor punktast B (strekad i figuren) måste appieras i punkt B för att totaa ändnedböjningen δ (av D o B ) ska bi no? (1p) D B D B C D δ FIG. 3 Sidvy av baken i probem 3. a) Nedböjning av D : Dea upp i två eementarfa enigt figur. δ D 3 D1 = , M, o, viket ger 3EI C = D Θ D C = δ D 3 3EI D1 = EI δ D 3 a D = = δ. EI D b) Nedböjning av B : Θ B ( ) C B = = o δ B 3 b. 16EI 4EI D = = δ 4EI D a b Sätt δ D = δ D 3 B 3 D. Detta ger = EI 4EI B = 4 D a D d M C D1 + M C Q C Q C D d D b B Q C d D Q C 4. Den fritt uppagda baken i Fig. 4 ar ett rektanguärt tvärsnitt o beastas med en vertika o en orisonte ast (båda med magnituden ) i en sektion enigt Fig. 4. Beräkna största böjnormaspänningen i baken! (3p) 5

6 Notera att stöden ritats som s k gaffestöd i perspektivritningen. Detta betyder inget annat än att de beter sig som fritt uppagda ( triange- o ru- ) stöd i såvä vertika som orisonte riktning. a x b z y / FIG. 4 Fritt uppagd bak beastad med en vertika o en orisonte ast a) Sidvy av baken; b) bakens tvärsektion; ) perspektivskiss av baken med de angripande asterna. I sektionen där asterna angriper fås: M y = M z = = reatrögetsmomenten är ( ) 3 4 ( ) 3 4 I y = = o I 1 4 z = = Största böjnormaspänningen bir (p g a negativt M z ): M y σ x, max I y M z 3 z min y I max = = = z a) Eementstyvetsmatrisen för ett stångeement är K e = E L Visa med ett enket exempe ur assembering av eementstyvetsmatriser ti en goba styvetsmatris går ti. Det ska framgå vad de oika dearna av den gobaa styvetsmatrisen kommer ifrån! (1p) 6

7 1 3 eement 1 eement Studera en stång indead i två stångeement. Den gobaa styvetsmatrisen bir (förutsatt att eementängderna, eementareorna o eementens E-moduer är desamma): K = E L δ 1 1 E o används i ekvationen L 1 1 δ = δ 3 3 Här är δ förskjutningarna o krafterna i de tre noderna. I den gobaa styvetsmatrisen kommer de fyra översta vänstra eementen från det första eementet o de nedersta fyra eementen från det andra eementet. b)varför är den maximaa spänningen vid en sprikspets ett dåigt mått på materiapåkänningen vid sprikan? Ge exempe på ett mått man kan använda istäet! Vad beskriver detta mått? (1p) Vid sprikspetsen bir spänningen teoretiskt oändig om man använder eastisk teori (använder man pastiitetsteori, så får man ett ändigt värde, men ändå probem p g a öga gradienter o, i faet med ideapastiskt materia, ett maxvärde som är oberoende av astnivån). Istäet är det ämpigt att använda spänningsintensitetsfaktorn. Den beskriver storeken på (den eastiska) spänningssinguariteten. ) Vad innebär åfastetsmässig redundans? (1p) tt man byggt in en övertaiget i strukturen. Ett exempe är när man bygger en bro som karar att fungera även då en bropeare bir avsagen. 7