Massa, rörelsemängd och energi inom relativitetsteorin

Transkript

1 Massa, rörelseäng oh energi ino relatiitetsteorin Vi et iag att inget föreål e en iloassa större än noll (t.ex. elektroner, protoner oh ryfarkoster) någonsin kan röra sig snabbare än ljuset. Partiklar e iloassan noll (t.ex. fotoner) rör sig för sin el exakt e ljushastigheten. Hur so helst är ljushastigheten en största öjliga gränshastighet för ett objekt i uniersu. Hur kan et koa sig att t.ex. en ryfarkost inte kan aelereras geno enna gränshastighet? Experientellt har an i partikelaeleratorer obsererat att en artikels assa förefaller ara beroene a hastigheten. Vi skall speifiera en aning. Partikeln har en iloassa, ilket en gång för alla är en MASSA partikeln har. En proton har (ilo)assan a, kg, en elektron (ilo)assan a 9,9. -3 kg os. O partiklarna aelereras, koer e i årt inertiala koorinatsyste att bete sig so o e hae en relatiistisk assa på är är iloassan. Einstein beräknae äen etta, en i nöjer oss e en lättare ersion a teorin enna gång. Vi skall experientera en aning e etta. Vi anäner en grafräknare (i etta fall TI-84 +). Vi lagrar ljushastigheten inne. 3, 8 /s i räknarens oreln atas in. Obserera att i nu unersöker hur assan, kg reagerar på höga hastigheter. Variabeln X står för hastigheten. Grafskärens gränser ställs in. Obserera att an kan ata in ären e en lagrae hastigheten C.

2 Bilen isar att en relatiistiska assan ökar ot oänligheten å hastigheten närar sig ljushastigheten. På bilen ser i att å hala ljushastigheten uppnåtts, koer assan att ha ökat e a 5 %. Ökar assan erkligen? Inte egentligen. En obseratör so rör sig e objektet ser assan so konstant lika e iloassan. I årt inertiala koorinatsyste är situationen änå en att assan förefaller ha ökat. En följ a etta är att et är sårare att aelerera årt objekt ytterligare, efterso a. Större assa kräer era kraft för en bestä aeleration. Då hastigheten närar sig ljushastigheten, äxer relatiistiska assan ot oänligheten, ilket gör et oänligt sårt att aelerera partikeln ytterligare. Nu skall i stuera a so sker e rörelseängen. Vi börjar e efinitionen p. Dynaikens grunlag skrier i anligen i foren a eller. Det här gäller å är konstant! En allännare for a ynaikens grunlag är ärför: p ( ) en ilket ger ( ). Vi antar nu att kraften riktas i rörelseriktningen. Vi kan å unika ektorateatiken oh se på foreln oan skalärt. Viare tänker i oss att i unersöker läget oentant, et ill säga uner ett kort tisinterall t. t ( ) a är a är en oentana aelerationen. Alltså får i: a eller a. Hur ser en oentana aelerationen ut grafiskt?

3 Vi utför ett nueriskt experient e räknaren. Vi utgår igen ifrån en assa på, kg oh enna gång en kraft på, N. Bilsekensen oan isar a so sker e aelerationen. ån att ha arit, /s atar en ot noll å hastigheten närar sig ljushastigheten. Vi ljushastigheten upphör aelerationen att ge kroppen högre hastigheter. Saanfattningsis har i ett uttryk för en relatiistiska rörelseängen: ( ) Nu öergår i till energin. Vi antar att en partikel aelererats a en kraft. Vilken är partikelns kinetiska energi å? x Enligt ef inition: Ek x, en () ilket ger ( ): E k ( ) x ( ) V i partialintegrerar (e regeln: u u u ) 3

4 E k + Vi förlänger en anra teren e oh får: + eller kort oh kraftigt: ilket uttryker partiklens kinetiska energi. Obserera att o, et ill säga assan är lika e iloassan, är. O assan är lika e iloassan, befinner sig partikeln i ila oh en kinetiska energin bör ara noll! Teren kallas partikelns iloenergi. Motsarane kan teren E E benänas en totala energin för partikeln. Ytterligare ett iktigt saban skall i härlea. Vi utgår från en relatiistiska assan: oh karerar: 4

5 4 örlängning e ( ) ger: 4 4 ( ) eller 4 4, är en första teren är införa p. Då har i: E oh är i i en anra teren kan E 4 4 p eller E p, ilket äen kan skrias i foren E + p Denna forel kopplar ihop en partikels totala energi e rörelseängen. 5