1 Den Speciella Relativitetsteorin

Transkript

1 1 Den Speciella Relativitetsteorin På tidigare lektioner har vi studerat rotationer i två dimensioner samt hur vi kan beskriva föremål som roterar rent fysikaliskt. Att från detta gå över till den speciella relativitetsteorin är ett steg som nog är mindre än vad de esta tror. Eftersom ni redan har läst relativitetsteori i tidigare kurser så tänker jag försöka attackera det hela ur ett mer matematiskt perspektiv denna gången. För att förstå vad teorin verkligen betyder så börjar vi med att deniera rotationer mer matematiskt. 1.1 Rotationer i matematiken Låt oss börja med att fråga vad en rotation är för något? Vi har en ganska klar bild av vad det innebär att rotera ett föremål rent fysikaliskt, men hur bekriver vi en rotation i matematiken? Rotationer i två dimensioner Betrakta staven i ett koordinatsystem nedan. Staven har några egenskaper som vi direkt kan lägga märke till. Den har en utsträckning längs med x-axeln som är x = 3, samt en utsträckning i längs med y-axeln som är y = 2. Vi kan även beräkna stavens totala längd mha Pythagorassats vilket ger en längd på l = ( x) 2 + ( y) 2 = = 13. Om vi nu roterar staven relativt vårat koordinatsystem så kan vi tänka oss att vi får följande situation, 1

2 Det som har hänt är att stavens utsträckning i x-led samt y-led har ändrats, vi har nu x = 2 samt y = 3. Däremot håller nog de esta med om att stavens längd är fortfarande är oförändrad. Detta är essensen av vad en rotation är för något. Det är en transformation av ett objekt på ett sådant sätt att dess x och y koordinater förändras men objektets längd bevaras. I matematiken säger vi att en rotation i två dimensioner är ett sätt att få x och y koordinaterna att byta värde samtidigt som talet: förblir oförändrat. l = ( x) 2 + ( y) 2, Rotationer i tre dimensioner För det tre dimensionella fallet (dvs med en x,y- samt z-axel) så blir det lite krångligare att förställa sig saker (samt att måla beskrivande bilder) men precis som innan så vill vi att föremåls längd ska bevaras. Vi vill att talet: ska förbli oförändrat. 1 l = ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) Invarians Att längden är oförändrad vid en rotation är något som känns tämligen trivialt. Men faktum är att detta är början av en mycket djupare analys. Stavens längd är en av dess fysikalisk egenskaper. När vi talar om egenskaper hos förmål så vill vi att dessa ska vara oberoende av hur vi väljer att 1 Är du inte övertygad om att denna ekvation beskriver avståndet mellan två punkter i tre dimensioner så är det en bra övning att hitta en formel för avståndet mellan två motsatta punkter i ett rätblock. 2

3 roterar dem. En fysiker säger att dessa egenskaperna är invarianta under rotationer. Flera exempel på egenskaper som är invarianta under rotationer är stavens massa, elektrisk laddning, fart etc. Stavens x- och y-koordinater är däremot inte invarianta under rotationer och är därför inte några fundamentala egenskaper hos staven. Dessa egenskaper lägger vi därför ingen vikt vid eftersom det beror påfrån vilket håll man tittar. 2 I allmänhet så verkar alla fysikaliska lagar vara invarianta under rotationer. Det nns inget fysikaliskt förlopp som får olika utfall beroende på från vilken vinkel vi analyserar det. 2 Från Rum till Rumtid Den speciella relativitetsteorin förenar rummet och tiden till ett större rum, den s.k. rumtiden. Abstrakt så tänker vi oss att ett koordinatsystem inte endast består av en x-, y- samt z-axel men även en tidsaxel som är vinkelrät till de tre rumsliga axlarna. Pga svårigheterna med att måla något i fyra så kommer vi dock att nöja oss med att i de esta fall tänka oss en värld där partiklar endast lever i en rumslig dimension. I speciell relativitetsteori så utgår vi från att fysikaliska mätresultat inte bara är oberoende av hur vi roterar vårat koordinatsystem utan även vilken hastighet en observatör har relativt experimentet. För en partikel som är i vila upplever vi således att den sveper ut en lodrät linje i ett rumtidsdiagram, Medan en annan observatör som föryttar sig relativt partikeln med konstant hastighet sveper ut en lutad linje 3, 2 Det nns med andra ord ingen mening med att önska sig en hockeyklubba med x- koordinaten 1 m i julklapp. 3 Ju större vinkel från y-koordinaten en linje gör i ett sådant diagram - desto snabbare färdas partikel. I regel brukar vi normera axlarna på ett sådant sätt att den linje som ljuset sveper fram längs är i 45 o. Eftersom inget färdas snabbare än ljuset så kommer ingen partikel kunna lite med en vinkel mer än 45 o (mät från tidsaxeln). 3

4 Den viktiga frågan är nu, vad nns det för egenskap hos linjen som partikeln sveper ut som inte ändras för observatörer som föryttar sig relativt den? En snabb gissning skulle kunna vara: ( t) 2 + ( x) 2, men detta visar sig vara fel. Det visar sig istället vara: ( t) 2 ( x) 2. 4 Ledtråden till detta är att ljusets hastighet är oberoende av vilken hastigheten som en observatör har 2.1 Einsteins kontroversiella påstående De transformationer som tar oss mellan bilderna med partikeln ovan kallas för Lorentz transformationer. De åstadkomms genom att man byter hastighet relativt det man studerar. Det Einstein påstod var att fysiken är invariant under byte av hastighet. Låt oss nu tänka efter: Finns det något experiment som vi skulle kunna tänka oss att detta inte stämmer överrens med? Innan Einstein kom in i bilden så tänkte man sig att detta inte gällde för ljusets hastighet. Ljusets hastighet trodde man berodde på vilken hastighet som observatören hade relativt den källa som skickat ut ljuset. Alltså, mätresultatet är beroende på observatörens hastighet. Detta visade sig inte stämma. Och ett enklare sätt att formulera Einsteins postulat är då genom att säga att ljuset har samma hastighet för alla observatörer. Betrakta nu en ljusstråle som skickas ut i från en punkt i ett rumtiddiagram, låt oss ta origo. Denna ljusstråle kommer att tillryggalägga en sträcka c t efter tiden t. För ett koordinatsystem kan vi nu skriva detta som, c t = ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2 4 På lektionen pratade vi istället om ( x) 2 ( t) 2 men det visar sig att vi slipper lite jobbiga minustecken om vi talar om denna kvantiteten istället. 4

5 där våra koordinater x, y, z beskriver hur långt ifrån origo ljusstrålen har nått. Ekvationen ovan är även ekvivalent med påståendet att, 0 = ( x) 2 ( y) 2 ( z) 2 + (c t) 2. Givet att vi sätter in våra mätvärden för x, y, z så beskriver ekvationen ovan att ljuset färdas med hastigheten c = m/s. Detta är alltså något som är sant för alla observatörer oavsett om de byter sin vinkel relativt experimentet eller om de färdas relativt mig som ljuskälla. Precis som en rotation i tre dimensioner ska bevara längden, l = ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2. Så vill vi att en Lorentz transformation ska bevara vårat tal, eller ekvivalent ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2 (c t) 2, ( x) 2 ( y) 2 ( z) 2 + (c t) 2. Detta gäller inte bara linjer som ljuspartiklar tillrygga lägger utan detta är en koordinatoberoende kvantitet för alla linjer i rumtid diagrammen. Faktum är att vi skulle kunna sammanfatta hela den speciella relativitetsteorin genom att säga att när man gör Pythagorassats i rumtiden så måste man sätta ett minustecken framför tidsdelen. 2.2 Tidsdilationen För att bli bekanta med det som sagts ovan samt för att se kraten i detta sättet att räkna så ska vi nu ta oss an tidsdilatationen och tvillingparadoxen från speciell relativitetsteori. Betrakta exemplet då Dag benner så på jorden och mäter tiden som det tar för mig att färdas till vår närmsta stjärna α Centauri som benner sig 4 ljusår bort med hastigheten 0.5 c. För att räkna ut detta med de ekvationer som vi känner till sedan tidigare så använder vi: T DAG = T Daniel. 1 v2 c 2 Men eftersom det är 4 ljusår till stjärnan och jag färdas med halva ljusets hastigheten så vet vi att Dag kommer att uppfatta hela det som att resan kommer att ta 8 år, dvs: T DAG = 8år. 5

6 Detta ger, om vi sätter in det i ekvationen ovan T Daniel = 8år 1 v2 c 6.9år. 2 Å andra sidan så skulle lika gärna jag hävda att det är Dag som färdas bort från mig och därmed kommer jag uppleva det som att Dags tid går långsammare. Om vi istället använder oss av tidigare diskussion kan vi studera bilden nedan, Detta är scenariot ur Dags perspektiv. Lägg märke till att jag även har målat in hur han upplever att mitt koordinatsystem ser ut. Min tidaxel är parallell med den linje som jag sveper ut och han påstår därmed att den tiden som jag mäter är lika med längden på denna sträcka. Detta ger ( t) 2 ( x) 2 = år. Å andra sidan så upplever jag att det är Dag som färdas och därmed upplever jag att han mäter upp tiden 6.9 år, Vem är det som har rätt? I fallet ovan så är det ingen som har rätt eller fel. Vi ser helt enkelt skeendet från två olika perspektiv. Men skulle jag sedan vilja åka tillbaka till jorden 6

7 för att berätta för Dag om min resa så kommer jag att behöva accelerera och därmed byta inertialsystem. Det som händer då är att jag kommer hem år äldre, medan Dag har åldrats 8 2 = 16år. 7