Stela kroppens rotation kring fix axel

Transkript

1 FMEA10 01 Sammafattig av Föreläsig om Stela kroppes rotatio krig fix axel (FMEA10) Föreläsig 1: Kiematik ( ) Cirkelrörelse: E partikel P rör sig i e cirkelbaa med radie R. Vi iför cyliderkoordiater ( r θ z) så att bakurva ges av r R z 0. Detta iebär att bakurva ligger i xy-plaet. Det gäller att r e och därmed r R Cirkelrörelses vikelhastighet defiieras av v r eθ R θ och a eθ R θ + e ( R θ ) (1.1) r r r ω e e (1.) Det gäller att e e cosθ + e siθ och därmed e e ( θsi θ) + e θcosθ e θ. Detta ger r x y r x y θ ω er e r er eθθ e zθ (1.3) Av detta följer att ω r e R R zθ er e θ v. Partikels hastighet ka således skrivas θ v ω r (1.4) Figur 1.1 Cirkelrörelse. 1

2 FMEA10 01 Atag u att cirkelrörelse sker i ett pla med ormalvektor 1 eligt edaståede figur. Låt C betecka cirkels cetrum. Atag att r OC c. Med ω ω där ω θ erhålles ω r ω ( r + r ) ω ( c + r ) ω r v (1.5) OC CP CP CP dvs. sambadet (1.4) gäller äve i detta fall. Det följer att partikels fart ges av v v ω r ωrsi β ω R θ R (1.6) Figur 1. Cirkelrörelse. Partikels acceleratio ka u beräkas geom direkt derivatio av (1.4) a v ω r+ ω r ω r+ ω ( ω r) (1.7) där vi utyttjat sambadet (3.4) ytterligare e gåg. Uppgift 1.1: Jämför uttrycke (1.1) och (1.7) för acceleratioe. Försök idetifiera termera! Vi studerar återige e partikel i cirkelrörelse eligt figur 1.1 ova. Vikelhastighete för cirkelrörelse: ω ezω ω θ. Partikels hastighet v ω r e R R zω er e θ ω (1.8) Partikels kietiska eergi T v vm eθωr e θωrm mr ω Oz ω (1.9)

3 FMEA10 01 där Oz mr (1.10) kallas partikels tröghetsmomet med avseede på axel ( O e z ). Partikels rörelsemägdsmomet (med avseede på O) ges defiitiosmässigt av H r v e e e e (1.11) O m rr θ ωr zmr ω zhoz där HOz Oz ω. Vi betraktar u e stel kropp som ka rotera krig e i rummet och i kroppe fix axel ( O ) se Figur 1.3 eda. Då gäller att kroppes vikelhastighet ω ω och att kroppes hastighet i pukte O; v O 0 och därmed v ω r ω r r ω (1.1) P OP OP OP Kroppes kietiska eergi T dm dm dm v v r r r P P P OPω OPω P OP Pω (1.13) där rop ( rop si β) ( rop si β) r OP rop och dp rop r OP dvs. det vikelräta avstådet frå de materiella pukte P till rotatiosaxel. Således T 1 O ω (1.14) där d dm (1.15) O P P Tröghetsmometet O beräkas således som produkte av masselemetet dm P och kvadrate på det vikelräta avstådet till rotatiosaxel d P summerat över kroppes alla materiella pukter P. Observera att O är e kostat skalär som ger e karakteriserig av kroppes massfördelig krig rotatiosaxel. Om kroppes materiella pukter ligger ära axel så är d P lite och tröghetsmometet blir då litet med motsatt förhållade om d P är stort. 3

4 FMEA10 01 Figur 1.3 Stel kropps rotatio krig fix axel. Vi beräkar u kroppes rörelsemägdsmomet med avseede på O. Eligt defiitioe gäller HO rop vp dmp rop ( ω rop ) dmp rop ( ω rop ) dmp rop ( rop ) dmpω (1.16) där vi har utyttjat hastighetssambadet vp vo + ω rop ω r OP. Rörelsemägdsmometets kompoet med avseede på axelriktige ges av HO HO rop ( rop ) dmpω ( rop ) ( rop ) dmpω rop dmpω ( d dm ) ω P P O ω (1.17) Således H ω (1.18) O O Mometekvatioe MO H O implicerar följade kompoetekvatio i axelriktige där 0. 4

5 FMEA10 01 d d MO MO H O ( OP ( OP ) dmpω) ( OP ( OP ) dmpω) dt r r dt r r d ( O ω) O ω (1.19) dt eftersom O är e kostat. Således ges mometekvatioes kompoet i axelriktige av M ω (1.0) O O Tröghetsmometets egeskaper: Låt betecka e kropp med massa m. etecka med O ( ) dess tröghetsmomet med avseede på axel ( O ) dvs. O ( ) dpdmp (1.1) a) Tröghetsmometet är icke-egativ kostat dvs. ( ) 0. b) Tröghetsmometet är additivt. Atag att 1 ( 1 ). Då gäller O ( ) ( ) + ( ) (1.) O O 1 O c) Steier s sats: Låt G betecka kroppes masscetrum. Då gäller ( ) ( ) + md (1.3) O G där d beteckar avstådet mella axlara ( O ) och ( G ). Av detta följer speciellt att O ( ) G ( ). O Figur 1.4 Steier s sats. 5

6 FMEA10 01 evis för Steier s sats: Det gäller att OP OP OG GP OG GP r r ( r + r ) r + r ) OG GP OG GP r + r ) + ( r )( r ) och därmed d + r + ( r )( r ) (1.4) GP OG GP r r ( ) ( O rop dmp d + rgp + ( OG ) ( GP )) dmp r r d dmp + rgp dmp + ( OG )( GP ) dmp md + G ( ) + ( rog ) ( rgp dmp ) md + G ( ) (1.5) d) Tröghetsmomet med avseede på koordiataxlar: Låt ( ex ex e z) O vara ett kartesiskt koordiatsystem. Tröghetsmometet m a p x-axel 0 där OP x OP y OP z OP e r O x P P x OP P d dm dm (1.6) r e x + e y + e z och därmed e r e ( e x + e y + e z ) x OP x x OP y OP z OP e e y + e e z ) e y + e ( z ) y + z d dvs. x y OP x z OP z OP y OP OP OP P ( y + z ) dm O x OP OP P (1.7) O Figur 1.5 Tröghetsmomet m a p koordiataxlar. 6

7 FMEA10 01 På samma sätt erhålles ( x + z ) dm O y OP OP P ( x + y ) dm O z OP OP P (1.8) e) Pla massfördelig: Atag att zop 0 P dvs. alla materiella pukter ligger i xy-plaet. Då gäller O x yop dmp O y xop dmp ( x + y ) dm O z OP OP P (1.9) av detta följer sambadet + (1.30) Oz Ox Oy Föreläsig : Fysisk pedel lagerreaktioer ( ) Exempel.1 (De fysiska pedel). De fysiska pedel är e stel kropp som är friktiosfritt lagrad på e fix horisotell axel (rotatiosaxel) geom pukte O. Atag att kroppes massa är m och att dess tröghetsmomet m a p rotatiosaxel är. estäm rörelseekvatioe för pedel. Figur.1 Fysisk pedel. Frilägg pedel. för de yttre kraftera på pedel dvs. tygdkrafte mg reaktioskrafte R R och reaktiosmometet (couple) M frå lagrige på pedel. Vi har R R Mz z 0 e M (.1) eftersom pedel atas vara friktiosfritt lagrad på axel. 7

8 FMEA10 01 för vikel θ mella vertikale och lije mella O och pedels masscetrum G eligt edaståede figur. för ett koordiatsystem ( e e e ) så att pedel sväger i det vertikala x-y-plaet. Pedels vikelhastighet ω ezθ. x x z O Figur. Fysisk pedel frilagd. Rörelseekvatioe (mometekvatioe) för pedel: Eligt (1.0) gäller (ω θ ) M θ (.) Oz Oz där Oz och mometkompoete (om r e dsi θ + e ( dcos θ) ) OG x y MO z ez MO ez rog gm ez rog e y ( gm ) e ( e dsi θ + e ( d cos θ)) e ( g) m mgdsiθ (.3) z x y y där d r OG. Således mgdsiθ θ θ + ω siθ 0 (.4) där mgd ω (.5) För små svägigar krig det vertikal jämviktsläget gäller rörelseekvatioe ( siθ θ ) 8

9 FMEA10 01 θ+ ωθ (.6) 0 Egevikelfrekvese för små svägigar ges då av (.5). Lösige till (.6) svarade mot begyelsedata θ( 0) θ0 θ( 0) θ0 ges av θ0 θ( t) θ0cosωt+ siωt (.7) ω Exempel. (Jämförelse mella de fysiska och de matematiska pedel). Vi akyter till datorlaboratioe med ADAMS och studerar e matematisk och e fysisk pedel eligt figure eda. Vi atar att pedelståge är mass-lös och har lägde L att partikel och klotet vardera har massa m samt att klotet är homoget och har radie R. Figur.3 Matematisk och fysisk pedel. Svägigstide för de matematiska pedel ges av τ L π (.8) g Svägigstide för de fysiska pedel ges av τ π där ω ges av (.5) dvs. ω τ π (.9) mgd där d L och eligt Steier s sats Oz Gz + ml och eligt formelsamlige Gz 5 mr. Detta isatt i (.9) ger 9

10 FMEA10 01 τ L R π 1+ ( ) (.10) g 5 L Observera att svägigstide liksom för de matematiska pedel ej beror på pedels R massa. Med R 0. 1m och L 0. 5m erhålles 1+ ( ) d v s klotets 5 L svägigstid är 3% lägre ä för partikelpedel. Om vi atar att ståge har e homoget fördelad massa m s så erhålles tröghetsmometet m a p O (för kroppe ståg+klot) ml + + mr + ml 3 5 ståg klot s och då erhålles periodtideτ π ( m + m) gd s ms + m 1 L där d ( ms + ml) L m + m m + m s s ml s ms R + mr + ml + m( ) + m L τ π π 3 5 π 3 5 L ( m+ ms ) gd ms g ms + m + m ( m+ ms ) g L m + m s ms ms R + m + m( ) L L 1 R 1 ms π 6 5 L π 1+ ( ( ) ) g ms g 1 ms + m 1+ 5 L 6 m m (.11) Observera att svägigstide i detta fall beror på kvote mella ståges massa och klotets ms massa. Med R 0. 1m och L 0. 5m och 1 m erhålles 1 R 1 ms 1 + ( ( ) ) ms 5 L 1 6 m + m detta fall blir således svägigstide kortare i och med att ståge erhållit samma massa som klotet. Vi oterar att 1 R 1 ms R lim 1+ ( ( ) ) 1+ ( ) ms 0 1 ms 5 L 6 m 5 L m 1+ m 10

11 FMEA10 01 Uppgift 3.1: etrakta de fysiska pedel i Figur.3. Atag att klotet är friktiosfritt lagrat på e horisotell axel ( G ez ) geom ståges edre ädpukt. estäm pedels periodtid. Jämför med de matematiska pedel! Lager mella ståg och kula (Revolute joit) Figur.4 Fysisk pedel. Exempel 1.1 (De fysiska pedel. Lagerreaktioer.). Uppgifte här är att bestämma lagerreaktioskrafte R eligt figur. ova. Kraftekvatioe för pedel: R+ mg a m (.1) G där a G är masscetrums acceleratio. a eθ d θ + e ( d θ ) (.13) G r där d r OG. Detta ger R ( e d θ θ + e ( d θ )) m mg (.14) r För att beräka R behöver vi bestämma θ och θ. Atag att begyelsedata ges av θ( 0) θ0 θ( 0) θ där 0 θ och θ 0 0 är giva kostater. där θ + ω siθ 0 θ ω siθ (.15) mgd ω (.16) 11

12 FMEA10 01 därmed är θ bestämd som fuktio av θ. För att bestämma θ (som fuktio av θ ) multiplicerar vi ekvatio (.15) 1 med θ. Då erhålles och därmed d θ θ θ0 θθ + ω si θθ 0 ( ω cos θ) 0 ω cosθ ω cosθ0 dt (.17) θ θ + ω (cosθ cos θ ) (.18) 0 0 Uttrycke för θ och θ eligt (.15) respektive (.18) isatta i (.14) ger R R( θ) ( e ( dω si θ) + e ( d( θ + ω (cosθ cos θ ))) m mg (.19) Med g g( e cos θ + e ( si θ)) erhålles r θ θ r 0 0 R R( θ) ( e ( dω siθ + gsi θ) + e ( d( θ + ω (cosθ cos θ )) gcos θ) m θ r 0 0 dω dω dω mg( eθ (( 1 )si θ) + er( ( + 1)cosθ + cos θ0 d θ0 ) g g g där vi utyttjat (.16). md md md mg( eθ ( 1 )si θ + er( ( + 1)cosθ + cos θ0 d θ0 )) (.0) Uppgift.1 (.0) ges R som fuktio av θ. Atag små svägigar krig det vertikala jämviktläget θ 0. estäm R som fuktio av t dvs. R R () t. Uttryck också R i base ( ex ey e z). Föreläsig 3: Tillämpigar 1. E homoge smal och stel ståg A med massa m och lägde l släpps frå vila i de horisotella positio som visas i figure. Ståge stöder mot e fix pukt O på l avstådet x ( 0< x ) frå ståges mittpukt G. a) estäm det värdet på x för vilket ståges vikelacceleratio omedelbart efter det att ståge släppts blir så stor som möjligt. b) estäm för x-värdet i deluppgift a) ova reaktioskrafte på ståge frå stödet i O omedelbart efter det att ståge släppts. 1

13 FMEA10 01 Tygdacceleratioe: g g Lösig: a) Frilägg ståge A. för kotaktkraftkompoeter vid O N f eligt figure. Det gäller att N 0 och att om v 0 så O f µ sn där µ s är det statiska friktiostalet. O G Rörelseekvatioera: Atag att v O 0 och att ω 0 ( ): f xω m 0 ( ):N mg xα m O : xmg Oα (1) ml där eligt Steiers sats. O G + mx + mx. Då följer av (1) 3 1 xmg xmg xg α( x) O ml l + mx + x 1 1 () För att söka till beloppet största värde på α ( x) så bildar vi derivata l l g( + x ) ( gx) x g( x ) l α ( x) x l 3 l + x + x 1 1 (3) 13

14 FMEA10 01 l Således ger x de största vikelacceleratioe. Detta isatt i () ger det till 3 α g 3. max l b) Av (1) 1 följer direkt att f 0. Av (1) följer att l g mg N mg + xα m mg 3 m. 3 l Observera att icke-glidigsvillkoret f µ sn är uppfyllt oberoede av µ s! Svar: a) l x b) Reaktioskraftera: f 0 3 mg N. E homoge halvcirkulär smal ståg med massa m och radie r är friktiosfritt lagrad på e fix horisotell axel geom A. Ståge släpps frå vila i e positio där diameter A är horisotell. estäm i detta ögoblick ståges vikelacceleratio och reaktioskraftera frå axel på ståge i A. De halvcirkulära ståges tröghetsmomet m a p e axel geom pukte C vikelrät mot plaet AD är lika med mr. Tygdacceleratioe: g g C A D Lösig: Frilägg de halvcirkulära ståge. för de yttre kraftera på kroppe H V och mg i elighet med figure eda. Låt ω betecka ståges vikelhastighet. Mometekvatioe ger med avseede på pukte A (fix pukt) ( A): mgr Aω (1) För tröghetsmometet gäller (betrakta e (hel) cirkulär ståg med radie r och massa m ) 14

15 FMEA A ( mr + mr ) mr () C A G Uttrycke (1) och () ger vikelacceleratioe mgr mgr g ω (3) A mr r Kraftekvatioe ger då ω 0 där e H + e ( V mg) r m (4) x y AG r e ω r e ω ( e ( r) + e ( e)) e ωe+ e ( ωr) (5) AG z AG z x y x y Geom att kombiera (3)-(5) erhålles (då eligt formelsamlige r e ) π e mg H mg g g r π exh + ey( V mg) ( ex e + e y( r)) m r r mg V Svar: g ω r H mg π V mg 3. ( ) E fysisk pedel består av två homogea smala stäger OA och C vardera med lägde d och massa m. De är sammasvetsade i pukte A mitt på ståge C så att de tillsammas bildar e T - formad struktur. Pedel är friktiosfritt lagrad i e axel geom de fixa pukte O. Pedel släpps frå vila i ett läge där OA är horisotell. estäm 15

16 FMEA10 01 a) masscetrumsläget för pedel samt tröghetsmometet för pedel med avseede på rotatiosaxel geom O. b) reaktioskrafte på pedel i upp-hägigspukte O i det läge då OA är vertikal. Tygdacceleratioe g g 1 Lösig: a) betecka ståge OA med 1 och ståge C med. För de T-formade struktures masscetrum G gäller att: mxg mxg + mx d 3 1 G m + md x G d 4 Tröghetsmometet för T-strukture: O 1O + O md + md + md md O O där Steiers sats aväts för ståg. b) Frilägg T-strukture i det vertikala läget (läge )! för reaktioskraftkompoetera H V i O och tygdkrafte mg eligt vidståede figur. Låt ω och α betecka T- struktures vikelhastighet och vikelacceleratio respektive i detta läge. Läge 1 ( ): H ( α x ) m (1) G ( ): V mg ω x G () O 0 α α 0 (3) : O (1) och (3) medför H 0. Av () följer att Läge V ω xg m mg + (4) 16

17 FMEA10 01 Vi behöver således beräka vikelhastighete ω. Vi betraktar struktures mekaiska eergi E T + Ug där T är struktures kietisk eergi och U g dess potetiella eergi i tygdkraftfältet. Läge 1 har vi: E1 T1 + Ug och i Läge : 1 E T + U g Oω mgxg. Eftersom kraftera HV är effektlösa gäller att: 1 3d 3d 3d 36 g E1 E 0 Oω mg ω mg mg 4 O d och därmed eligt (4) 36 g 3d d 4 17 md 1 V ω xg m + mg m + mg mg Svar: a) x G 3 d 4 O 17 1 md b) H 0 V 88 mg (006040) E tygd A med massa m är kopplad till de ea äde av e lätt otäjbar fullkomligt böjlig lia. Lia löper över e sväghjul med radie R och tröghetsmometet med avse-ede på trissas axel som är friktiosfritt lagrad i O. Lias adra äde är kopplad till e lijärt elastisk fjäder med fjäderkostate k som i si tur är fäst i ett fudamet. Tygde förskjuts sträcka h vertikal edåt frå sitt jämviktsläge i tygdkraftfältet och släpps därifrå med begyelsehastighete oll. Det får atas att lia uder rörelse ite glider mot trissa samt att all dämpig i systemet ka försummas. a) estäm frekvese hos de resulterade svägigsrörelse. b) estäm rörelse hos tygde dvs tygdes förskjutig x xt () relativt jämviktsläget som fuktio av tide. O g 17

18 FMEA10 01 Lösig: Frilägg sväghjulet och tygde! för späkraftera S 1 och S i lia reaktioskraftera H V i O samt tygdkrafte eligt figure eda. Rörelseekvatioe för sväghjulet ges av: O: SR 1 SR α (1) O och för tygde: ( ): mg S1 xm () Kiematiskt sambad: α R x (3) Fjäderkrafte: S kx ( + x0) (4) där jämviktsläget svarar mot x 0 vilket iebär att (1)-(5) medför (5) (6) och vi ka idetifiera de aturliga egevikelfrekvese: k 1 k ω f m1 ( + ) π m1 ( + ) mr mr (7) De allmäa lösige till differetialekvatioe (6): xt ( ) Acosω t+ siω t. Med begyelsedata: x0 ( ) h x0 ( ) 0 erhålles lösige: xt ( ) hcosω t. Svar: a) f 1 k b) xt ( ) hcosω π t m1 ( + ) mr 18