Sammanfattning av Föreläsning i. Svängningsrörelse (FMEA10) Svängningsrörelse, fria odämpade svängningar ( )

Transkript

1 Mekaik Sammafattig av Föreläsig i Svägigsrörelse (FMEA) Svägigsrörelse, fria oämpae svägigar (.-.3) Partikelpeel (De matematiska peel): E partikel P me massa m är fästa i si ea äe på e lätt, fullkomligt böjlig lia, me läge L, som, i si ara äe, är fästa i e fix pukt O. Peel tillåts sväga i ett vertikalpla och påverkas å av tygkrafte. Evetuella krafter frå e omgivae lufte försummas. Frilägg partikel P, iför e yttre kraftera späkrafte i lia: S = e ( S) och tygkrafte: mg. Om vi förutsätter att lia ite ka ta tryckkrafter så måste S. r Figur. Partikelpeel. Vi iför pla-polära kooriater ( r, θ ). Då gäller att r = r = r OP e r och ärme erhålles hastighete v = r = err + e rr = err + eθr θ = eθl θ eftersom r = L är e kostat, v s L =. Följaktlige blir acceleratioe a = v = e L θ + e L θ = e ( L θ ) + e L θ (.) θ θ r θ Kraftekvatioe ger villkoret: S+ mg = a m (.)

2 Mekaik vilket är ekvivalet me ( r le) : S + mg cosθ = ml θ (.3) ( θ le) : mg siθ = ml θ (.4) Ekvatio (.4) ka skrivas θ + siθ = är g = (.5) L Detta är e oriär ifferetialekvatio av ara orige. E lösig till ifferetialekvatioe ges av e fuktio θ = θ() t som satisfierar (.5). För att lösige skall vara etyig krävs att begyelseata föreskrivs θ( ) = θ, θ( ) = θ (.6) är θ och θ är giva kostater (begyelseväre). Observera att θ() t = θ är e lösig till (.5) me begyelse ata θ = och θ =. Detta svarar mot e statiska jämviktslösige å peel häger rakt e och är i vila. När peels rörelse θ = θ() t är kä ka vi bestämma späkrafte i lia S geom att utyttja (.3), vs. S = S() t = mg cos θ() t + ml θ() t (.7) Uppgift.: Visa att begyelseata θ = π och θ = svara mot e statisk jämviktslösig. Va gäller för å för späkrafte? För att lösa ifferetialekvatioe (.5) multiplicerar vi ekvatioes båa le me θ, eligt och etta är ekvivalet me θθ + θ θ siθ = ( cos θ) = t θ () t θ cos θ( t) = cosθ (.8) vs. vi har u erhållit e ifferetialekvatio av första orige. De är emellerti olijär och ess lösig ka ite uttryckas i elemetära fuktioer (som tex. polyom och trigoometriska fuktioer). Lösigara ka uttryckas i såkallae elliptiska fuktioer me

3 Mekaik vi kommer ite att gå i på etta här uta öjer oss me att kostatera att svägigstie, vs. tie för e fullbora svägigsrörelse (perio), å θ( ) = θ och θ ( ) =, ges av 4 θ θ τ= τθ ( ) = τ( ) (.9) 6 37 är τ π =, = g L τ( α) τ α Figur. Svägigstie τ för e matematisk peel som fuktio av utslagsvikel α Små svägigar (vibratioer): I tekiska tillämpigar är ma ofta itressera av små svägigar, vs. svägigar me lite amplitu, krig ett statiskt jämviktsläge. Om vi i fallet partikelpeel betraktar små svägigar (små vikelutslag) krig et statiska jämviktsläget θ = ka vi utyttja Maclauris formel ( Eim. si. 44) för siusfuktioe, vs. 3 5 θ θ si θ = θ ! 5! För små θ har vi sålees approximatioe siθ θ och vi ka ersätta ifferetialekvatioe (.5) me θ+ θ= (.) Detta utgör staarforme för e ifferetialekvatio som matematiskt beskriver fria oämpae små svägigar. Lösigar θ = θ() t till (.) ka sägas utgöra approximatioer till lösigar till (.5) om vikel θ är tillräckligt lite. För vilka viklar gäller approximatioe siθ θ? I eaståee figur visas kvote siθ som fuktio av θ i θ itervallet θ 45. Som framgår av figure så är approximatioe go i itervallet θ < 5 och hyfsa i itervallet 5 θ 45. 3

4 Mekaik π si 8 θ.96 π.94 8 θ Figur.3 siθ som fuktio av θ θ Små peelsvägigar ges u av ifferetialekvatioe (.) me begyelseata eligt (.6). Hur löser ma etta? Vi provar me e asättig i form av e lieärkombiatio av harmoiska fuktioer (vs. sius och cosius). Asats: θ( t) = Asit+ Bcost är AB, och är kostater som skall bestämmas så att (.) och (.6) är uppfylla. Vi eriverar e asatta lösige e gåg och e gåg till etta isatt i (.) ger θ( t) = Acos t Bsi t θ() t = A sit B cos t = θ() t θ() t + θ() t = ( ) θ() t = Om vi u atar att θ () t ite är ietiskt lika me oll (vs. jämviktslösige) så följer att = =± De asatta lösige ka å skrivas θ( t) = Asi t+ Bcos t och me utyttjae av begyelseata (.6) erhålles θ( ) = B= θ,. θ( ) = A = θ A= θ 4

5 Mekaik och vi har lösige: θ θ( t) = sit+ θcost = asi( t+ ϕ) (.) är, om θ > (se Eim. si. 6) θ a = ( ) + θ, θ arcta( ), θ > θ π ϕ =, θ = θ arcta( ) + π, θ < θ (.) är a beämes svägiges amplitu, ess egevikelfrekves (aturliga vikelfrekves) och ϕ ess fasvikel. Svägiges egesvägigsti och egefrekves ges av τ π = och f = = τ π Exempel.: Atag L =. m och g = 9. 8ms. Detta ger = 3. 3ra s. me begyelseata θ = och θ = 8 s erhålles rörelse eligt eaståee figur. 4 θ( t) t Figur.4 Peelsvägig me vikel θ i graer. Uppgift.: Bestäm egesvägigstie för rörelse i Exempel. ova. Fjäer-massa system: Hur fugerar e fjäer? Jo, e kraft som krävs för att trycka i hop (eller sträcka ut) fjäer är proportioell mot hoptryckige (respektive utsträckige), vs. 5

6 Mekaik Ff = k l (.3) är F f är fjäerkrafte, l = l l är fjäers lägärig, l är fjäers aktuella läg vi belastig me krafte F f, l är fjäers ospäa (obelastae) läg och k är fjäerkostate som represeterar ett mått på fjäers styvhet. Ekvatio (.3) efiierar e såkalla lijärt elastisk fjäer. Vi stuerar u följae problem. E vag me massa m ka röra sig uta motstå på ett horisotellt uerlag (e rullar lätt). Vage är koppla till e lijärt elastisk fjäer me fjäerkostate k och e ospäa läge l. Frilägg vage! Iför fjäerkrafte F f, tygkrafte mg och ormalkraftera N, N. Iför lägeskooriate z. Kraftekvatioe: Figur.5 Fjäer-massa system. ( ): Ff = zm (.4) är F = kz ( l). Detta ger ifferetialekvatioe ( z fjäers aktuella läg) f k( z l ) = zm (.5) Iför variabel x= z l, vs. x är fjäers förlägig. Då ka (.5) skrivas x+ x=, k = (.6) m är vi utyttjat att z = x. Begyelseata hörae till (.6) ges av x ( ) = x, x ( ) = v (.7) Vi ka kostatera att ekvatioera (.6)-(.7) har samma matematiska form som ekvatioera (.), (.6) i fallet me partikelpeel och lösigara måste ärför ha samma form. Uppgift.3: Skriv upp lösige till (.6)-(.7). 6

7 Mekaik Geom att aväa eergiekvatioe ka vi erhålla e alterativ härleig av ekvatio (.6). Systemets mekaiska eergi E = mx + kx kietisk eergi elastisk eergi (.8) Eligt effektlage gäller E = P är P är effekte av övriga krafter, (förutom fjäerkrafte), som verkar på vage, vs. eligt figur.5 tygkrafte och ormalkraftera. Dessa krafter är emellerti vikelräta mot vages hastighet och ärför effektlösa. Sålees gäller att P= och ärme E = ( mx + kx ) = mxx + kxx = x ( mx + kx) = t Sålees, om x så följer att mx + kx = vilket är rörelseekvatioe för vage. Sammafattig (Fria, oämpae svägigar),, Fria ämpae svägigar (.4) De ämpae partikelpeel: (Detta avsitt ka överhoppas) Vi stuerar åter partikelpeel me atar u att lia är utbytt mot e lätt, stel ståg me läge L. 7

8 Mekaik Dessutom verkar ett bromsae friktiosmomet M f frå lagrige i O på ståge. Vi frilägger hela peel, vs. partikel + ståg och iför et system av yttre krafter och momet som verkar på peel. Figur. I pukte O agriper reaktioskraftskompoetera V, H samt friktiosmometet Tygkrafte mg agriper partikel eftersom ståge betraktas som lätt. Mometekvatioe: MO = H O är H r v r v e e e B M f. O = OP P mp = OP P m = rl θ Lθm = z ml θ O : M f mg Lsi θ = ( ml θ) = ml θ ml θ + M f + mg Lsiθ = t (.) Vi atar u att et bromsae mometet M f ges av M f = cθ (.) är c Nms ra är e positiv kostat, e såkallae ämpigskostate. Motstået, i form av mometet M f, är sålees proportioellt mot peels vikelhastighet och motriktat rörelse, se figure ova! Ma brukar beäma ett rörelsemotstå av ea typ visköst. Ekvatio (.) ka u skrivas ml θ + c θ + mg Lsiθ = (.3) 8

9 Mekaik Vi oterar att θ = θ() t = är äve i etta fall e lösig till (.3), e såkallae jämviktslösige. Vi betraktar små svägigar krig jämviktslösige och utyttjar approximatioe siθ θ. Detta ger oss rörelseekvatioe (.4) ml θ + cθ + mg Lθ = eller c θ+ θ+ θ = (.5) ml g är =. Vi iför u ämpigsfaktor (e relativa ämpige) ζ (grekiskt zäta ) L efiiera av c c ζ = = (.6) 3 ml m gl Dämpigsfaktor ζ är e icke-egativ, imesioslös storhet. Rörelseekvatioe (.5) ka u skrivas θ + ζ θ+ θ = (.7) Detta utgör staarforme för e ifferetialekvatio som matematiskt beskriver fria ämpae svägigar. Uppgift.: Härle (.) geom att utgå frå Effektlage, E = P. Formulera å effekte för et bromsae mometet M f! Fjäer-massa-ämpare system: Förutom fjäer så har e viskös ämpare kopplats till vage eligt figure ea. De viskösa ämpare ger upphov till e ämpkraft F efiiera eligt F = cx (.8) är ämpigskostate c Nsm. Vi väljer e lägeskooriat x så att x= svarar mot ospä fjäer. Då erhålles Kraftekvatioe: 9

10 Mekaik ( ): F Ff = xm (.9) Me utyttjae av (.8) och Ff = kx erhålles, i kombiatio me (.9), rörelseekvatioe är x+ ζ x + x= (.) k =, m c c ζ = = (.) m km Figur. Hur löser ma ifferetialekvatioe (.)? Uppgift.: Ka e tiigare asatse xt ( ) = Asit+ Bcostkomma ifråga som lösig? Prova! Eligt Eim. si 378 Sats gäller följae (vi aväer λ i stället för r som variabel): Låt λ och λ vara ollställe (i allmähet komplexa, vs λ, λ ) till et karakteristiska polyomet Då ges samtliga lösigar till (.) av p( λ) = λ + ζ λ+ (.) xt = Ce + Ce, om λ λ (.3) λt λt () och av xt () = ( Ct+ C) e λ t, om λ = λ (.4)

11 Mekaik är C, C. Nollställea till karateristiska polyomet ges av ( i = ) är λ, ( ζ ± i ζ ) = ζ ± i if ζ < = ( ζ ± ζ ) if ζ (.5) = ζ, ζ < (.6) Vikelfrekvese beämes e ämpae egevikelfrekvese. Lösigara (.3)- (.4) ka å skrivas ζ t it it e ( Ce + Ce ) om ζ < ζ t xt ( ) = e ( Ct + C) om ζ = ζ t ( ζ t ) ( ζ t ) e ( Ce + Ce ) om ζ > (.7) Vi är ebart itresserae av reella lösigar. Dessa åstakommes om vi i (.7) väljer C = C (komplext kojugerae) och om vi i (.7), väljer C och C reella. Lösigara ges å av ζ t e ( Acost+ Asi t) om ζ < ζ t xt ( ) = e ( At + A) om ζ = ζ t ( ζ t ) ( ζ t ) e ( Ae + Ae ) om ζ > (.8) är A, A. Vi ser att karaktäre hos lösigara beror kritiskt på relativa ämpige ζ. Vi har följae fall: (i) ζ <, svag ämpig. Rörelse ges av e ämpa oscillerae lösig eligt (.8) ova. (ii) ζ =, kritisk ämpig. Rörelse ges av e ämpa lösig eligt (.8). (iii) ζ >, stark ämpig. Rörelse ges av e ämpa lösig eligt (.8) 3. Vi oterar att ζ = svarar mot oämpat system. Atag svag ämpig ( ζ < ) och begyelseata eligt (.7). Av (.8) följer att Detta ger x ( ) = A = x, x ( ) = ζa+ A = v (.9) A = x, A = ( v + ζx) (.)

12 Mekaik och lösige ζ v + ζ x xt ( ) = e t ( x cos t+ si t) (.) vilket represeterar e ämpa oscillerae rörelse me vikelfrekvese. Observera att < vs. e ämpae svägigsrörelse sväger lågsammare ä e oämpae. De ämpae svägiges perioti, τ, ges av τ π = = τ ζ (.).5 x h ( t, ζ) t Figur.3 Svagt ämpa svägig. Uppgift.3: Skriv lösige (.) på forme ζ x( t) = ae si( t + ϕ) (.3) t vs. bestäm a och ϕ! I följae grafer ges exempel på kritisk och stark ämpig.

13 Mekaik.8.8 x h ( t, ζ).6.4 x h ( t, ζ) t t Figur.4 Kritisk och stark ämpig. Hur bestämmer ma ämpigsfaktor ζ för ett svag ämpat system. Atag att vi har tillgåg till tisförloppet x= xt (), atige geom e irekt mätig på systemet eller geom e simulerig i e moell av systemet, t.ex. i ADAMS. Se figure ea! 3 x h ( t, ζ) t Figur.4 Mätig av relativa ämpige. Välj två tipukter t och t är t t = kτ, k= 3,,... Om vi utyttjar (.3) erhålles Detta ger ζ x x( t ) ae t ζ = = si( t + ϕ), x = x( t ) = ae t si( t + ϕ) (.4) x ζ( )si( ) si( ) si( ) t t t+ ϕ ζ kτ t+ ϕ ζ kτ t+ ϕ = e = e = e = x si( t + ϕ) si( t + kτ + ϕ) si( t + ϕ+ kπ) k = e ζ τ (.5) 3

14 Mekaik Detta ger ef x πζ δ = l = ζτ = k x ζ (.6) är δ är et såkallae logaritmiska ekremetet. Detta ka bestämmas geom mätigar i grafe för x= xt (). Ur (.6) ka vi lösa ämpigsfaktor som fuktio av et logaritmiska ekremetet, ζ = 4π + δ Exempel. Ur figur.4 ova avläser vi k = 6, x = 9., x =. 44. Detta ger δ =. 34 och ärme ζ =. 5. Sammafattig (Fria, svagt ämpae svägigar, ),, Påtvigae svägigar (.5) E maski me massa m är uppställ på ett fixt fuamet via ett fjäer-ämpar system eligt eaståee figur. Maskie påverkas, förutom av tygkrafte, av e yttre kraft F= Ft (). Bestäm maskies rörelse! Vi frilägger maskie och iför yttre krafter: Fjäerkrafte F f, ämpkrafte F, tygkrafte mg och e yttre pårivae krafte F. 4

15 Mekaik Figur 3. Maski på fjäer-ämpar-system Kraftekvatioe: ( ): F Ff mg + F = mz (3.) är F = cz, Ff = kl ( l), är fjäers aktuella läg l = z a. Sålees Ff = kz ( a l). Detta ger rörelseekvatioe: mz + cz + kz+ mg k( a+ l ) = F (3.) Jämviktsläget z = z å Ft () = (ige yttre last) uppfyller, eligt (3.) ekvatioe mg kz + mg k( a+ l) = z = a+ l (3.3) k Vi iför u kooriate x= z z, vs. x är förskjutige av maskie frå jämviktsläget. Ekvatio (3.) ka å skrivas etta ka skrivas på ormalforme c k F mx + cx + kx= F x+ x + x= (3.4) m m m F x+ ζx + x= (3.5) m k c är =, ζ =. Vi atar u att e yttre pårivae krafte är harmoisk, vs. m m 5

16 Mekaik F = F sit (3.6) är F, kraftes amplitu, och, kraftes vikelfrekves, är giva kostater. Observera att har iget me egevikelfrekvese att göra! Ekvatioe (3.5) ka u skrivas F x+ ζx + x= sit (3.7) m De allmäa lösige till (3.7) ka skrivas xt () = xh() t + xp() t är xh = xh() t är e lösig till e homogea ifferetialekvatioe x + ζ x + x = (3.8) h h h vs. xh = xh() t är e fri svägig ( F = ) som, för fallet svag ämpig ( ζ < ), ka ζ skrivas x ( ) t h t = ae si( t + ϕ). Fuktioe xp = xp() t är e såkalla partikulärlösig till ifferetialekvatioe (3.7), e (ågo) fuktio som satisfierar (3.7), vs. F xp + ζx p + xp = sit (3.9) m För att hitta e lösig till ea ifferetialekvatio komplexifierar vi problemet geom att skriva e yttre pårivae krafte på forme och stuera ifferetialekvatioe it Ft ( ) = Fe = F(cost+ isi t) (3.) F it xp + ζx p + xp = e (3.) m Vi kommer å att erhålla e complex-vär lösig xp = xp() t. De sökta reella lösige fås å som imagiärele av x p. Vi asätter i t x = x () t = Xe (3.) p p är X är ett komplext tal som vi skall bestämma så att (3.) blir e lösig till (3.). i t Isättig av (3.) i (3.) ger, å x = i Xe i t och x = Xe, p p it F it ( + iζ ) Xe = e (3.3) m 6

17 Mekaik Av etta följer, om ζ >, att X F = m + iζ (3.4) Observera att ämare i (3.4) är lika me pi ( ) är p = p( λ) är et karakteristiska polyomet efiierat i (.). E (komplex) partikulärlösig till (3.) ges å av F xp () t = m e + iζ it (3.5) De statiska jämviktslösige till (3.) som svarar mot e kostat yttre kraft Ft () = F fås som ett specialfall av (3.5) geom att sätta =, vs. x F F = = (3.6) stat m k Vi ka å skriva xp () t = x stat e = xstat e = x stat e + iζ ( ) + iζ θ + iζ θ it it it är frekveskvote θ =. Om vi skriver ämare i (3.7) på polär form (3.7) i θ + iζθ = ( θ ) + 4ζ θ e φ (3.8) är vikelargumetet (fasvikel) φ ges av ζθ arcta( ), θ θ φ= φθζ (, ) = ζθ arcta( ) + π, θ > θ (3.9) ka (3.7) u skrivas 7

18 Mekaik F xp () t Me k i( t φ) = (3.) är M = M( θζ, ) är e såkallae förstorigsfaktor efiiera av M( θζ, ) =, θ ( θ ) + 4ζ θ (3.) Om vi u tar imagiärele av (3.) erhålles e partikulärlösig till ifferetialekvatioe (3.7). Dea brukar kallas e av F påtvigae svägige hos systemet, F xp ( t) = M si( t φ) (3.) k Observera att e påtvigae svägige har samma frekves som e yttre pårivae krafte F. Svägige går i takt me krafte. Amplitue ges av e statiska jämviktslösige multiplicera me förstorigsfaktor. De allmäa lösige till ifferetialekvatioe (3.) ka å skrivas ζ F x() t = x () () t si( ) h t + xp t = ae t + ϕ + M si( t φ) (3.3) k egesvägig påtviga svägig De första ele av lösige represeterar systemets egesvägig och e ara ele e påtvigae svägige. Dessa sväger me frekvesera respektive och svägige blir ärme ågot oregelbue till att börja me, se figure ea! Ibla kallas ea el av rörelse för e trasieta ele. Lösige iehåller två gotyckliga kostater a och ϕ som ka apassas till begyelseata. Observera att äve om x ( ) = x =, x ( ) = v = så kommer birag frå egesvägige att fis me i lösige. Egesvägige ämpas ut via expoetial-fuktioe och blir efter e viss ti försumbar. Efter ea ti omieras lösige av e påtvigae svägige och ea el brukar beämas fortfarighetstillstå. Se figure ea! Va häer me lösige (3.3) om ämpige är lika me oll, vs. om ζ =? Vi får å lösige är förstorigsfaktor M ges av F xt ( ) = asi( t+ ϕ) + Msi( t φ) (3.4) k M( θ) =, θ θ (3.5) 8

19 Mekaik och fasvikel π φ = vilket ger lösige F xt ( ) = asi( t+ ϕ) cost k θ (3.6) Observera att i etta fall har vi iget trasietförlopp. Egesvägigara är oämpae och birar fullt ut som e el av lösige för alla tier. Notera också att är θ, vs. är så gäller att xt () för alla tier. Detta feome beämes resoas x( t) t l ( ) Trasietförlopp Fortfarighetstillstå Figur 3. De påtvigae svägige. För förstorigsfaktor M = M( θζ, ) gäller, eligt (3.), att M (, ζ ) = för alla ζ och lim M( θζ, ) = för alla ζ. Om ζ < så har förstorigsfaktor ett maxväre θ M max som atas för θ = θres = ζ. Motsvarae vikelfrekves res ζ = (3.7) kallas resoasvikelfrekvese. Vi ea frekves är sålees förstorigsfaktor som störst uer förutsättig att ζ <. Mmax = M( θres, ζ) = ζ ζ (3.8) 9

20 Mekaik Om ζ så är M = M( θζ, ) e mootot avtagae fuktio av θ, vs Mmax = M (, ζ ) =. I figure ea visas grafer för förstorigsfaktor för e relativa ämpigara ζ =. 5, ζ =. och ζ =. 7, respektive. 8 förstorigsfaktor M( θ,.5) M( θ,.) M( θ,.7) θ Figur 3.3 Förstorigsfaktor. Vi kostaterar att ζ =. 5 M max, ζ =. Mmax 5 och ζ =. 7 M max =. Se figure ova. Vi ka u ietifiera tre viktiga frekveser som hör till ett svägae system: : (aturlig) egevikelfrekves = : ämpa egevikelfrekves ζ r ζ = : resoasegevikelfrekves Om ζ så gäller r och M max. ζ För fasförskjutige φ= φθζ (, ) gäller, eligt (3.9), φ(, ζ ) = för alla ζ, π φ(, ζ ) = för alla ζ och lim φθζ (, ) = π för alla ζ. I figure ea visas grafer för θ fasförskjutige för e relativa ämpigara ζ =. 5, ζ =. och ζ =. 7, respektive.

21 Mekaik ra fasförskjutig [eg] φ( θ,.5).75 φ( θ,.) φ( θ,.7) θ Figur 3.4 Fasvikel. Exempel 3. De påtvigae svägige ges av F xp ( t) = M si( t φ) k Me förutsättigara m =. kg, k = 3Nm, ζ =. 5, F = 5N, = 3ra s erhålles = 54. 7ra s och ärme θ =. 55. I eaståee figur visas e påtvigae svägigara för = 3ra s och = r = 54. 6ra s res svarae mot resoas. För etta fall gäller M max x p ( t, θ, ) ( ) x p t, θ r, r t Figur 3.5 Påtviga svägig. De lösig vi hittills stuerat fugerar ej om ζ = och θ =, se (3.6). Hur ser å lösige ut i etta fall?

22 Mekaik Uppgift.4: Visa att om ζ = och = så är F xp( t) = tcos t k e påtvigae svägige, vs. e lösig till (3.9). Notera att amplitue växer proportioellt mot tie och över alla gräser. Typiskt för resoas vi oämpae svägigar. x p ( t) t Figur 3.6 Påtviga svägig i fallet ζ = och =. Uppgift.5: Stuera Exempel.8 i Grukursboke!

23 Mekaik Sammafattig (Påtvigae svägigar) är och 3