Föreläsningar i Mekanik (FMEA30) Del1: Statik och partikeldynamik. Läsvecka 7

Transkript

1 Meai-Dyai 4 Utgåva Föreläsigar i Meai (FMEA3) Del: Stati och partielyai Läsveca 7 Föreläsig : Svägigsrörelse, fria oäpae svägigar (8/-8/) Exepel. Partielpeel (De ateatisa peel): E partiel P e assa är fästa i si ea äe på e lätt, fulloligt böjlig lia, e läge L, so, i si ara äe, är fästa i e fix put O. Peel tillåts sväga i ett vertialpla och påveras å av tygrafte. Evetuella rafter frå e ogivae lufte försuas. Frilägg partiel P, iför e yttre raftera spärafte i lia: S = e ( S) och tygrafte: g. O vi förutsätter att lia ite a ta trycrafter så åste S. r g O O L θ S = e ( S) r P ; Figur. Partielpeel. g e r e θ Vi iför pla-polära ooriater (, r θ ). Då gäller att r = r = r OP e r och äre erhålles hastighete r r r v = r = e r + e r = e r + e r θ = e L θ efterso r = L är e ostat, v s L =. Följatlige blir acceleratioe θ θ a = v = e L θ + e L θ = e ( L θ ) + e L θ (.) θ θ r θ Kraftevatioe ger villoret: S+ g = a (.) vilet är evivalet e ( r le) : S + g cosθ = L θ (.3) ( θ le) : g siθ = L θ (.4)

2 Meai-Dyai 4 Utgåva Evatio (.4) a srivas θ + siθ = är g = (.5) L Detta är e oriär lieär ifferetialevatio av ara orige. E lösig till ifferetialevatioe ges av e futio θ = θ() t so satisfierar (.5). För att lösige sall vara etyig rävs att begyelseata föresrivs θ( ) = θ, θ( ) = θ (.6) är θ och θ är giva ostater (begyelseväre). Observera att θ() t = θ är e lösig till (.5) e begyelse ata θ = och θ =. Detta svarar ot e statisa jävits-lösige å peel häger rat e och är i vila. När peels rörelse θ = θ() t är ä a vi bestäa spärafte i lia S geo att utyttja (.3), vs. S = S() t = g cos θ() t + L θ() t (.7) Uppgift.: Visa att begyelseata θ = π och θ = svara ot e statis jävitslösig. Va gäller för å för spärafte? För att lösa ifferetialevatioe (.5) ultiplicerar vi evatioes båa le e θ, eligt och etta är evivalet e θθ + θ θ siθ = ( cos θ) = t θ () t θ cos θ( t) = cosθ (.8) vs. vi har u erhållit e ifferetialevatio av första orige. De är eellerti olijär och ess lösig a ite uttrycas i eleetära futioer (so t ex. polyo och trigooetrisa futioer). Lösigara a uttrycas i så allae elliptisa futioer e vi oer ite att gå i på etta här uta öjer oss e att ostatera att svägigstie (periotie), vs. tie för e fullbora svägigsrörelse (perio), å θ( ) = θ = α och θ ( ) =, ges av 4 α α τ= τα ( ) = τ( ) (.9) 6 37 är τ π g =, =. L

3 Meai-Dyai 4 Utgåva τ( α) τ α Figur. Svägigstie τ för e ateatis peel so futio av utslagsviel α Så svägigar (vibratioer): I teisa tilläpigar är a ofta itressera av så svägigar, vs. svägigar e lite aplitu, rig ett statist jävitsläge. O vi, i fallet partielpeel, betratar så svägigar (så vielutslag) rig et statisa jävitsläget θ = a vi utyttja Maclauris forel ( Eiesioell aalys si. 44) för sius-futioe, vs. 3 5 θ θ si θ = θ ! 5! π si 8 θ.96 π.94 8 θ Figur.3 siθ so futio av θ θ För så θ har vi sålees approxiatioe siθ θ och vi a ersätta ifferetial-evatioe (.5) e θ+ θ= (.) Detta utgör staarfore för e ifferetialevatio so ateatist besriver fria oäpae så svägigar. Lösigar θ = θ() t till (.) a sägas utgöra approxiatioer till lösigar till 3

4 Meai-Dyai 4 Utgåva (.5) o viel θ är tillräcligt lite. För vila vilar gäller approxiatioe siθ θ? I eaståee figur visas vote siθ so futio av θ i itervallet θ 45. So fragår av θ figure så är approxiatioe go i itervallet θ < 5 och hyfsa i itervallet 5 θ 45. Så peelsvägigar ges u av ifferetialevatioe (.) e begyelseata eligt (.6). Hur löser a etta? Vi provar e e asättig i for av e lieärobiatio av haroisa futioer (vs. sius och cosius). Asats: θ( t) = Asit+ Bcost är AB, och är ostater so sall bestäas så att (.) och (.6) är uppfylla. Vi eriverar e asatta lösige e gåg och e gåg till etta isatt i (.) ger θ( t) = Acos t Bsi t θ() t = A sit B cos t = θ() t θ() t + θ() t = ( ) θ() t = O vi u atar att θ () t ite är ietist lia e oll (vs. jävitslösige) så följer att = =± De asatta lösige a å srivas θ( t) = Asi t+ Bcos t och e utyttjae av begyelseata (.6) erhålles och vi har lösige: θ( ) = B= θ, θ( ) = A = θ A= θ θ θ( t) = sit+ θcost = asi( t+ ϕ) (.) är, o θ > (se Eiesioell aalys si. 6) θ a = ( ) + θ θ arcta( ), θ > θ π, ϕ =, θ = θ arcta( ) + π, θ < θ (.) 4

5 Meai-Dyai 4 Utgåva är a beäes svägiges aplitu, ess egevielfreves (aturliga viel-freves) och ϕ ess fasviel. Svägiges egesvägigsti och egefreves ges av τ π =, f = = τ π Exepel. Atag L =. och g = 9. 8s. Detta ger = 3. 3ra s. Me begyelseata θ = och θ = 8 s erhålles rörelse eligt eaståee figur. 4 θ( t) t Figur.4 Peelsvägig e viel θ i graer. Uppgift.: Bestä egesvägigstie för rörelse i Exepel. ova. Fjäer-assa syste: Hur fugerar e fjäer? Jo, e raft so rävs för att tryca ihop (eller sträca ut) fjäer är proportioell ot hoptrycige (respetive utsträcige), vs. Ff = l (.3) är F f är fjäerrafte, l = l l är fjäers lägärig, l är fjäers atuella läg vi belastig e rafte F f, l är fjäers ospäa (obelastae) läg och är fjäer-ostate so represeterar ett ått på fjäers styvhet. Evatio (.3) efiierar e så-alla lijärt elastis fjäer. Exepel.3 Vi stuerar u följae proble. E vag e assa a röra sig uta otstå på ett horisotellt uerlag (e rullar lätt). Vage är oppla till e lijärt elastis fjäer e fjäerostate och e ospäa läge l. Bestä rörelseevatioe! Figur.5 Fjäer-assa syste. 5

6 Meai-Dyai 4 Utgåva Lösig: Frilägg vage! Iför fjäerrafte Iför lägesooriate z. Se figure ea! Kraftevatioe: F, tygrafte g och oralraftera N, N. f ( ): Ff = z (.4) är F = z ( l). Detta ger ifferetialevatioe ( z fjäers atuella läg) f ( z l ) = z (.5) Figur.6 Exepel.3. Lösig. Iför variabel x= z l, vs. x är fjäers förlägig. Då a (.5) srivas är vi utyttjat att z = x. Begyelseata hörae till (.6) ges av x+ x=, = (.6) x ( ) = x, x ( ) = v (.7) Vi a ostatera att evatioera (.6)-(.7) har saa ateatisa for so evatioera (.), (.6) i fallet e partielpeel och lösigara åste ärför ha saa for. Uppgift.3: Sriv upp lösige till (.6)-(.7). Geo att aväa eergievatioe a vi erhålla e alterativ härleig av evatio (.6). Systeets eaisa eergi E = x + x ietis eergi elastis eergi (.8) Eligt effetsatse gäller E = P är P är effete av yttre rafter so verar på vage+fjäer, vs., eligt figur.7, reatiosrafte R, tygrafte och oralraftera. Reatiosrafte agriper i e fix put och tygrafte och oralrafter är vielräta ot vages hastighet och ärför effetlösa. Sålees gäller att P= och äre 6

7 Meai-Dyai 4 Utgåva E = ( x + x ) = xx + xx = x ( x + x) = t Sålees, o x så följer att x + x = vilet är rörelseevatioe för vage. Figur.7 Exepel.3. Lösig. Saafattig (Fria, oäpae svägigar) x+ x= x ( ) = x, x ( ) = v xt ( ) = asi( t+ ϕ) v a = ( ) + x, x arcta( ), v > v π ϕ =, v = x arcta( ) + π, v < v Föreläsig : Fria äpae svägigar(8/) Exepel. De äpae partielpeel: Vi stuerar åter partielpeel e atar u att lia är utbytt ot e lätt, stel ståg e läge L. Dessuto verar ett brosae fritiosoet M f frå lagrige i O på ståge. 7

8 Meai-Dyai 4 Utgåva Figur. De äpae partielpeel. Lösig: Vi frilägger hela peel, vs. partiel + ståg och iför et syste av yttre rafter och oet so verar på peel. I pute O agriper reatiosraftsopoetera V, H sat fritiosoetet M f. Tygrafte g agriper partiel efterso ståge betratas so lätt. Figur. Exepel.: Lösig. Moetevatioe: MO = H O är HO = rop vp P = rop vp = erl e L = L B θ θ θ O : M f g Lsi θ = ( L θ) = L θ L θ + M f + g Lsiθ = t (.) Vi atar u att et brosae oetet M f ges av M f = cθ (.) är c Ns ra är e positiv ostat, e så allae äpigsostate. Motstået, i for av oetet M f, är sålees proportioellt ot peels vielhastighet och otritat rörelse, se 8

9 Meai-Dyai 4 Utgåva figure ova! Ma bruar beäa ett rörelseotstå av ea typ visöst. Evatio (.) a u srivas L θ + c θ + g Lsiθ = (.3) Vi oterar att θ = θ() t = är äve i etta fall e lösig till (.3), e så-allae jävitslösige. Vi betratar så svägigar rig jävitslösige och utyttjar approxiatioe siθ θ. Detta ger oss rörelseevatioe (.4) L θ + cθ + g Lθ = eller c θ+ θ+ θ = (.5) L g är =. Vi iför u äpigsfator (e relativa äpige) ζ (greist zäta ) L efiiera av c c ζ = = (.6) 3 L gl Däpigsfator ζ är e ice-egativ, iesioslös storhet. Rörelseevatioe (.5) a u srivas θ + ζ θ+ θ = (.7) Detta utgör staarfore för e ifferetialevatio so ateatist besriver fria äpae svägigar. Uppgift. Härle (.) geo att utgå frå Effetlage, E = P. Forulera å effete för et brosae oetet M f! Exepel. Fjäer-assa-äpare syste: Föruto fjäer så har e visös äpare opplats till vage eligt figure ea. De visösa äpare ger upphov till e äpraft F efiiera eligt F = cx (.8) är äpigsostate c Ns. Bestä rörelseevatioe! 9

10 Meai-Dyai 4 Utgåva Figur.3 Fjäer-assa-äpar syste. Lösig: Vi väljer e lägesooriat x så att x= svarar ot ospä fjäer. Då erhålles Kraftevatioe: ( ): F Ff = x (.9) Me utyttjae av (.8) och Ff = x erhålles, i obiatio e (.9), rörelseevatioe x+ ζ x + x= (.) Där =, c c ζ = = (.) l x F F f G Hur löser a ifferetialevatioe (.)? Figur.4 Fjäer-assa-äpar syste. Uppgift. Ka e tiigare asatse xt ( ) = Asit+ Bcostoa ifråga so lösig? Prova! Eligt Eiesioell aalys si 378 Sats gäller följae (vi aväer här λ i stället för r so variabel): Låt λ och λ vara ollställe (i allähet oplexa, v s λ, λ ) till et arateristisa polyoet

11 Meai-Dyai 4 Utgåva Då ges satliga lösigar till (.) av p( λ) = λ + ζ λ+ (.) xt = Ce + Ce, o λ λ (.3) λt λt () och av xt () = ( Ct+ C) e λ t, o λ = λ (.4) är C, C är gotycliga ostater. Nollställea till arateristisa polyoet ges av ( i = ) λ, ( ζ ± i ζ ) = ζ ± i if ζ < = ( ζ ± ζ ) if ζ (.5) är = ζ, ζ < (.6) Vielfrevese beäs e äpae egevielfrevese. Lösigara (.3)-(.4) a å srivas ζ t it it e ( Ce + Ce ) o ζ < ζ t xt ( ) = e ( Ct + C) o ζ = ζ t ( ζ t ) ( ζ t ) e ( Ce + Ce ) o ζ > (.7) Vi är ebart itresserae av reella lösigar. Dessa åstaoes o vi i (.7) väljer C = C (oplext ojugerae) och o vi i (.7), väljer C och C reella. Lösigara ges å av ζ t e ( Acost+ Asi t) o ζ < ζ t xt ( ) = e ( At + A) o ζ = ζ t ( ζ t ) ( ζ t ) e ( Ae + Ae ) o ζ > (.8) är A, A. Vi ser att aratäre hos lösigara beror ritist på relativa äpige ζ. Vi har följae tre fall: (i) ζ <, svag äpig. Rörelse ges av e äpa oscillerae lösig eligt (.8) ova. (ii) ζ =, ritis äpig. Rörelse ges av e äpa lösig eligt (.8). (iii) ζ >, star äpig. Rörelse ges av e äpa lösig eligt (.8) 3.

12 Meai-Dyai 4 Utgåva Vi oterar att ζ = svarar ot oäpat syste. Atag svag äpig ( ζ < ) och begyelseata eligt (.7). Av (.8) följer att Detta ger x ( ) = A = x, x ( ) = ζa+ A = v (.9) och lösige A = x, A = ( v + ζx) (.) ζ v + ζ x xt ( ) = e t ( x cos t+ si t) (.) vilet represeterar e äpa oscillerae rörelse e vielfrevese. Observera att < vs. e äpae svägigsrörelse sväger lågsaare ä e oäpae. De äpae svägiges perioti, τ, ges av τ π = = τ ζ (.).5 ζ =. 46, = x =, v = x h ( t, ζ).5 Uppgift.3 Sriv lösige (.) på fore vs. bestä a och ϕ! t Figur.5 Svagt äpa svägig. ζ x( t) = ae si( t + ϕ) (.3) t I följae grafer ges exepel på ritis och star äpig.

13 Meai-Dyai 4 Utgåva.8.6 ζ =, = x =, v =.8.6 ζ =. 46, = x =, v = x h ( t, ζ) x h ( t, ζ) t t Figur.6 Kritis och star äpig. Hur bestäer a äpigsfator ζ för ett svag äpat syste. Atag att vi har tillgåg till tisförloppet x= xt (), atige geo e iret ätig på systeet eller geo e siulerig i e oell av systeet, t.ex. i ADAMS. Se figure ea! 3 x h ( t, ζ) t Figur.7 Mätig av relativa äpige. Välj två tiputer t och t är t t = t, = 3,,... O vi utyttjar (.3) erhålles Detta ger ζ x x( t ) ae t ζ = = si( t + ϕ), x = x( t ) = ae t si( t + ϕ) (.4) x ζ( )si( ) si( ) si( ) t t t+ ϕ ζ t t+ ϕ ζ t t+ ϕ = e = e = e = x si( t + ϕ) si( t + t + ϕ) si( t + ϕ+ π) Detta ger = e ζ τ (.5) 3

14 Meai-Dyai 4 Utgåva ef x πζ = l = ζτ = x ζ (.6) är δ är et så allae logaritisa ereetet. Detta a bestäas geo ätigar i grafe för x= xt (). Ur (.6) a vi lösa äpigsfator so futio av et logaritisa ereetet, ζ = 4π + δ Exepel.3 Ur figur.4 ova avläser vi = 6, x = 9., x =. 44. Detta ger δ =. 34 och äre ζ =. 5. Saafattig (Fria, svagt äpae svägigar, ζ < ) x+ ζ x + x= v x ( ) = v, a = ( ) + x ζ x( t) = ae si( t + ϕ) t v + ζx a= x + ( ), x arcta( ), v + ζx > v + ζx π ϕ=, v + ζx = x arcta( ) + π, v + ζx < v + ζx 4

15 Meai-Dyai 4 Utgåva Föreläsig 3: Påtvigae svägigar (8/3) Exepel 3. E asi e assa är uppställ på ett fixt fuaet via ett fjäer-äpar syste eligt eaståee figur. Masie påveras, föruto av tygrafte, av e yttre raft F= Ft (). Bestä asies rörelse! Figur 3. Påtviga svägig. Lösig: Vi frilägger asie och iför yttre rafter: Fjäerrafte tygrafte g och e yttre pårivae rafte F. Kraftevatioe: F f, äprafte F, ( ): F Ff g + F = z (3.) är F = cz, F = l ( l), är fjäers atuella läg l = z a. Sålees F = z ( a l). Detta f ger rörelseevatioe: f z + cz + z+ g ( a+ l ) = F (3.) F z a G g F F f Figur 3. Masi på fjäer-äpar-syste. 5

16 Meai-Dyai 4 Utgåva Jävitsläget: z = z å Ft () = (ige yttre last) uppfyller, eligt (3.) evatioe g z + g ( a+ l) = z = a+ l (3.3) Vi iför u ooriate x= z z, vs. x är försjutige av asie frå jävitsläget. Evatio (3.) a å srivas etta a srivas på oralfore c F x + cx + x= F x+ x + x= (3.4) F x+ ζx + x= (3.5) c är =, ζ = och F= Ft (). Vi atar u att e yttre pårivae rafte är harois, v s. Ft ( ) = Fsit (3.6) är F, raftes aplitu, och, raftes vielfreves, är giva ostater. Observera att har iget e egevielfrevese att göra! Evatioe (3.5) a u srivas F x+ ζx + x= sit (3.7) De alläa lösige till (3.7) a srivas xt () = xh() t + xp() t är xh = xh() t är e lösig till e hoogea ifferetialevatioe x + ζ x + x = (3.8) h h h vs. xh = xh() t är e fri svägig ( F = ) so, för fallet svag äpig ( ζ < ), a srivas ζ x ( ) t h t = ae si( t + ϕ). Futioe xp = xp() t är e så alla partiulärlösig till ifferetialevatioe (3.7), e (ågo) futio so satisfierar (3.7), vs. F xp + ζx p + xp = sit (3.9) För att hitta e lösig till ea ifferetialevatio oplexifierar vi probleet geo att sriva e yttre pårivae rafte på fore it Ft ( ) = Fe = F(cost+ isi t) (3.) 6

17 Meai-Dyai 4 Utgåva och stuera ifferetialevatioe F it xp + ζx p + xp = e (3.) Vi oer å att erhålla e coplexvär lösig xp = xp() t. De söta reella lösige fås å so iagiärele av x p. Vi asätter i t x = x () t = Xe (3.) p p är X är ett oplext tal so vi sall bestäa så att (3.) blir e lösig till (3.). Isättig av i t (3.) i (3.) ger, å x = i Xe i t och x = Xe, Av etta följer, o ζ >, att p p it F it ( + iζ ) Xe = e (3.3) X F = + iζ (3.4) Observera att äare i (3.4) är lia e pi ( ) är p= p( λ) är et arateristisa polyoet efiierat i (.). E (oplex) partiulärlösig till (3.) ges å av F xp () t = e + iζ it (3.5) De statisa jävitslösige till (3.) so svarar ot e ostat yttre raft Ft () = F fås so ett specialfall av (3.5) geo att sätta =, vs. x = F = F (3.6) stat Vi a å sriva xp () t = x stat e = xstat e = x stat e + iζ ( ) + iζ θ + iζ θ it it it är frevesvote θ =. O vi sriver äare i (3.7) på polär for 7 (3.7)

18 Meai-Dyai 4 Utgåva i θ + iζθ = ( θ ) + 4ζ θ e φ (3.8) är vielarguetet (fasviel) φ ges av ζθ arcta( ), θ θ φ= φθζ (, ) = ζθ arcta( ) + π, θ > θ (3.9) a (3.7) u srivas F xp () t Me i( t φ) = (3.) är M = M( θζ, ) är e så allae förstorigsfator efiiera av M( θζ, ) =, θ ( θ ) + 4ζ θ (3.) O vi u tar iagiärele av (3.) erhålles e partiulärlösig till ifferetialevatioe (3.7). Dea bruar allas e av F påtvigae svägige hos systeet, F xp ( t) = M si( t φ) (3.) Observera att e påtvigae svägige har saa freves so e yttre pårivae rafte F. Svägige går i tat e rafte. Aplitue ges av e statisa jävitslösige ultiplicera e förstorigsfator. De alläa lösige till ifferetialevatioe (3.) a å srivas ζ F x() t = x () () t si( ) h t + xp t = ae t + ϕ + M si( t φ) (3.3) ((( ((( (( (( egesvägig påtviga svägig De första ele av lösige represeterar systeets egesvägig och e ara ele e påtvigae svägige. Dessa sväger e frevesera respetive och svägige blir äre ågot oregelbue till att börja e, se figure ea! Ibla allas ea el av rörelse för e trasieta ele. Lösige iehåller två gotycliga ostater a och ϕ so a apassas till begyelseata. Observera att äve o x ( ) = x =, x ( ) = v = så oer birag frå egesvägige att fis e i lösige. Egesvägige äpas ut via expoetialfutioe och blir efter e viss ti försubar. Efter ea ti oieras lösige av e påtvigae svägige och ea el bruar beäas fortfarighetstillstå. Se figure ea! 8

19 Meai-Dyai 4 Utgåva x( t) t Trasietförlopp Fortfarighetstillstå Figur 3.3 De påtvigae svägige. Va häer e lösige (3.3) o äpige är lia e oll, vs. o ζ =? Vi får å lösige F xt ( ) = asi( t+ ϕ) + Msi( t φ) (3.4) är förstorigsfator M ges av och fasviel π φ = vilet ger lösige M( θ) =, θ θ F xt ( ) = asi( t+ ϕ) cost θ (3.5) (3.6) Observera att i etta fall har vi iget trasietförlopp. Egesvägigara är oäpae och birar fullt ut so e el av lösige för alla tier. Notera ocså att är θ, vs. är så gäller att xt () för alla tier. Detta feoe beäes resoas. För förstorigsfator M = M( θζ, ) gäller, eligt (3.), att M (, ζ ) = för alla ζ och li M( θζ, ) = för alla ζ. O ζ < så har förstorigsfator ett axväre M ax so θ atas för θ = θr = ζ. Motsvarae vielfreves r ζ = (3.7) 9

20 Meai-Dyai 4 Utgåva allas resoasvielfrevese. Vi ea freves är sålees förstorigsfator so störst uer förutsättig att ζ <. Max = M( θr, ζ) = ζ ζ (3.8) O ζ så är M = M( θζ, ) e ootot avtagae futio av θ, vs Max = M (, ζ ) =. I figure ea visas grafer för förstorigsfator för e relativa äpigara ζ =. 5, ζ =. och ζ =. 7, respetive. 8 ζ =. 5 förstorigsfator M( θ,.5) M( θ,.) M( θ,.7) 6 4 ζ =. ζ = θ Figur 3.4 Förstorigsfator. Vi ostaterar att figure ova. ζ =. 5 M ax,. ax ζ = M 5 och ζ =. 7 M ax =. Se Vi a u ietifiera tre vitiga arateristisa freveser so hör till ett svägae syste: : ζ (aturlig) egevielfreves = : äpa egevielfreves r ζ = : resoasegevielfreves r Figur 3.5 Vitiga freveser.

21 Meai-Dyai 4 Utgåva O ζ så gäller r och M ax. ζ π För fasförsjutige φ= φθζ (, ) gäller, eligt (3.9), φ(, ζ ) = för alla ζ, φ(, ζ ) = för alla ζ och li φθζ (, ) = π för alla ζ. I figure ea visas grafer för fasförsjutige θ för e relativa äpigara ζ =. 5, ζ =. och ζ =. 7, respetive. Observera att, eligt π (3.9), går satliga urvor geo pute θ = och φ = ζ = ra fasförsjutig [eg].9 φ( θ,.5).75 φ( θ,.) φ( θ,.7).4.5 ζ =. ζ = θ Exepel 3. De påtvigae svägige ges av Figur 3.6 Fasviel. F xp ( t) = M si( t φ) Me förutsättigara =. g, = 3N, ζ =. 5, F = 5N, = 3ra s erhålles = 54. 7ra s och äre θ =. 55. I eaståee figur visas e påtvigae svägigara för 3ra s = (. etta fall gäller θ = 55 ) och = r = 54. 6ra s ( θ = θ r =. 997 ) svarae ot resoas. För M ax.

22 Meai-Dyai 4 Utgåva.6..8 x p ( t, θ, ) ( ) x p t, θ r, r t Figur 3.7 Påtviga svägig. De lösig vi hittills stuerat fugerar ej o ζ = och θ =, se (3.6). Hur ser å lösige ut i etta fall? Uppgift.4 Visa att o ζ = och = så är F xp( t) = tcos t (3.9) e påtvigae svägige, vs. e lösig till (3.9). Notera att aplitue växer proportioellt ot tie och över alla gräser. Typist för resoas vi oäpae svägigar. x p ( t) t Figur 3.8 Påtviga svägig i fallet ζ = och =. Proble 8/68 Derive a expressio for the trasissio ratio T for the syste of the figure. This ratio is efie as the axiu force trasitte to the base ivie by the aplitue F of the forcig fuctio. Express your aswer i ters of ς,, at the agificatio factor M.

23 Meai-Dyai 4 Utgåva Figur 3.9 Proble 8/68 Lösig: Frilägg assa! Iför lägesooriate z sat e rivae rafte F, fjäerrafte äprafte ) F och tygrafte g. Se figure ea! Det gäller att (fjäers ospäa läg är l F = F sit, Ff = z ( l), F Ff = cz (3.3) F F Figur 3. Proble 8/68, Lösig Kraftevatioe: ( ): F Ff g F = z (3.3) Me (3.3) isatt i (3.3) erhålles ifferetialevatioe cz ( z l ) g F sit = z (3.3) Statisa jävitsläget z s erhåller o vi sätter z =, z = och F =. Detta isatt i (3.3) ger 3

24 Meai-Dyai 4 Utgåva g ( zs l) g = zs = l (3.33) O vi u iför variabel x= z zs, v s x= svarar ot jävitsläget, så erhålles, efter isättig i (3.3) ifferetialevatioe F x+ ςx + = sit c är ς =, =. Atag att fortfarighetstillstå gäller, v s att trasietera är utäpae. Då gäller, eligt (3.7) och (3.3), F xt ( ) = Msi( t φ), xt ( ) = Mcos( t φ) är förstorigsfator ges i (3.). De till fuaetet trasitterae rafte g FT = F + Ff = cz + ( x + zs l) = cx + ( x + l l) = cx + x g = F F c M cos( t ) ( M si( t )) g φ + φ = F F M ( ccos( t φ) + si( t φ)) g = ( M c + si( t φ+ α) + g) c är a = arcta( ). Det gäller att c + = ( ς ) ( + = 4ς θ + ) och äre a vi sriva trasissioe F F F M ( 4 ςθ + ) + g g = = = = + + = F F F T,ax T T( θς, ) M 4ςθ 4ςθ + g g + = T ( θς, ) + ( θ ) + 4ζ θ F F ((( ((( T ( θς, ) (3.34) är vi utyttjat (3.). Det gäller att T (, ς) =, ς, li T ( θς, ) =, ς, T (, ς) =, ς θ För θ > gäller att T = T ( θς, ) är e avtagae futio av ς. Se figure ea! 4

25 Meai-Dyai 4 Utgåva De yaisa ele av Trasissioe T ( θ,.5) T ( θ,.) T ( θ,.7) θ Figur 3. Proble 8/68, Lösig Exepel 3.3 E på ett horisotellt uerlag lättrörlig asi e totala assa är e e fjäer e fjäerostate och e äpare e äpostate c förea e e fix vägg. I asie fis e obalasera assa vars rörelse a besrivas e e partiel e assa so utför e cirelrörelse e raie r, relativt asihuset, och e ostat vielhastighet så att θ = θ() t = t. Forulera rörelseevatioe för asie. Figur 3. Exepel 3.3 Lösig: Iför ooriatera x och u eligt eaståee figur. Det gäller att Ff Iför fjäerraft Kraftevatioe: u = rcosθ = rcost u = rcost (3.35) = x och äpraft F = cx. Låt = beteca asihusets assa. ( ): F F = ( x+ u ) + x (3.36) f Vile, i obiatio e (3.35), ger ifferetialevatioe r x+ ςx + x= cost (3.37) 5

26 Meai-Dyai 4 Utgåva c är ς =, =. Figur 3.9 Exepel 3.3: Lösig ζ Saafattig (Påtvigae svägigar) x( t) = ae si( t + ϕ) är och t F x+ ζx + x= sit F M (, ζ)si( t φ(, ζ)), ζ > F xp( t) = cos t, ζ =, ( ) F tcos t, ζ =, = M( θζ, ) =, θ ( θ ) + 4ζ θ ζθ arcta( ), θ θ φ= φθζ (, ) = ζθ arcta( ) + π, θ > θ 6