Periodisk summa av sinusar

Transkript

1 1 Periodis sua av sinusar Låt x( t) = Asin( ω a t + α ) + Bsin( ω b t + β ). O ω a! x( t) är T-periodis, dvs. x( t) = x( t +T ) ω b ed T = π ω 1, där ω 1 = SGD( ω a,ω ) Största Geensaa Delare (SGD) b = Greatest Coon Devisor (GCD) Exepel test av periodicitet: x( t) = 3sin 6t + π 3 + cos 10t 3π 4 w(t) = sin( 9t) 5cos 3t + π 3 z(t) = cos π 3 t π + 7sin πt + π 3 + 3sin 5t π

2 Sua av cos/sin x( t)! = 3sin 6t + π 3 + cos 10t 3π 4 " $$ # $$ % " $$ # $$ % röd urva blå urva grön urva ω a = 6 ω b 10! ω 1 = SGD 6,10 T = π = π se ω 1 ( ) = rad/s

3 3 Fourierserieutvecling av periodisa signaler ( ) = ( + ) ( ) En fysialis T-periodis signal x t, dvs. x t x t T, an uttrycas so följande sua av sinusar: ( ) = X 0 + ˆX sin( ω 1 t + ϕ ) x t =1 T = π ω 1 Fourierserieutvecling av x( t) ω 1 = πf 1 : grundvinelfrevens X 0 : edelvärdesnivå f 1 = 1 T : grundfrevens ˆX 1 sin( ω 1 t + ϕ 1 ): grundton ˆX sin( ω 1 t + ϕ ), =, 3, 4 : övertoner deltoner

4 4 Ex: Approxiation av fyrantvåg x( t) = N! = 1 ( udda) Gibbs fenoen # terer

5 5 Fourierserieutvecling JAVA-deo: Generering av periodisa signaler ed hjälp av (co)sinusforade basfuntioner: OBS testa även detta själv!

6 6 Spetru grafis frevensbesrivning av signal ˆX sin( ω 1 t + ϕ ) ˆX = π ˆX j ϕ e e jω t 1 + ˆX j ϕ! #" ## $ e e jω t 1!## "## $ C =C C C C π ϕ Delton har vinelfrevens ω 1 argc argc Enelsidigt aplitudspetru resp. fasspetru Dubbelsidigt aplitudspetru resp. fasspetru

7 7 Spetru grafis frevensbesrivning av signal ˆX sin ω 1 t + ϕ ( ) = π π ˆX j ϕ e e jω t 1 + ˆX j ϕ! #" ## $ e e jω t 1!## " ## $ C C =C C π π ˆX e jϕ C C ω 1 ω ω 1 ω 1 ω ( ) ( ) Enelsidigt oplext spetru Dubbelsidigt oplext spetru Antingen ω -axel eller -axel

8 8 Fourierserieutvecling, saanfattn: x(t) = Saband: C e jω t 1 = X 0 + ˆX sin(ω 1 t + ϕ ) = X 0 = C 0 = 1 T ˆX >0 = C α +T α x(t)dt =1 Grundvinelfrevens ω 1 = π T Aplitudspetru ϕ >0 = argc + π Fasspetru där C = 1 T α +T α x(t)e jω t 1 dt Koplexa fourierserieoefficienter x( t) reellvärd C = C

9 x(t) = Fö 3-4 Periodisa signaler, Fourierserieanalys 9 LTI-syste: periodist in periodist ut = C e jω 1 t Ex.1: y(t) = x t t 0 Ex.: y(t) = x t Stabilt LTI-syste ( ) = ( ) = C e jω 1 t t 0 = y(t) = C H e jω 1 t = C = C x jω 1 { } C e jω t 1 0!# "# $ e jω t 1 d e jω1 ( ) = C = Ex. Allänt saband: ( ) dt = = C för den periodisa signalen x(t) an erhållas från C x för derivatasignalen x (t): = Tavlan = D e jω 1 t = D jω 1 C!# " $# e jω t 1 D =

10 10 Kretsberäningar ( här sös y(t) ) 1. Fourierserieutvecla ällsignalerna (t.ex. en älla x(t) ). Använd liströsteori för ällornas edelvärden ( X 0 Y 0 ) 3. Använd jω -etoden för ällornas deltoner: ˆX sin(ω 1 t + ϕ ) X = ˆX e jϕ Beräna söt storhet på oplex for: Y = ˆ Y e jψ Delton : R, jω 1 L, 1 jω 1 C y (t) = Y ˆ sin(ω 1 t +ψ ) 4. Superposition ger tidsuttrycet för söt storhet: y(t) = Y 0 + y (t) = Y 0 + Yˆ sin(ω 1 t +ψ ) =1 =1

11 11 Signaledeleffet Signal(edel)effeten P är ett storlesått för en T-periodis signal x(t) (jäför ed eletris ativ effet): P = X e = 1 T α +T α x(t) dt Parsevals forel/teore: P = 1 T x(t) dt = C T = Bevis (olla själv!): 1 T x(t) dt = X e = X 0 + ˆXe = X e = T =1 (sinus) ˆX = C = C 0 + C = C =1 =

12 1 Fourieranalys & fouriersyntes Fourieranalys: x(t) och ω 1 (eller T) är givna. Bestä C = 1 T x ( t )e jω t 1 dt T Signalens frevensspetru, dvs. C ritad so funtion av, frevens f eller vinelfrevens ω, är ofta av intresse. Vanligen ritar an då aplitudspetru och fasspetru: x(t) T C t 7f 1 C = 5f 1 C * 5f 1 C 3f 1 f 1 f 1 3f 1 5f 1 7f 1 arg C f 1 3f 1 7f 1 f 1 7f 1 3f 1 f 1 5f 1 f 1

13 13 Fourieranalys & fouriersyntes Fouriersyntes: C och ω 1 (eller T) är givna. Bestä/sapa x t ( ) = C e jω 1 t = I pratisa saanhang nöjer an sig ed en approxiation: x M ( t) = C e jω 1 t C, C, K, C, C M M+ 1 M 1 M M = M C x M ( t) x( t) 7f 1 5f 1 3f 1 f 1 f 1 3f 1 5f 1 7f 1 f 1 arg C t 7f 1 5f 1 3f 1 f 1 f 1 3f 1 5f 1 7f 1 f 1 T