10 HARMONISKA OSCIL- LATORN
|
|
- Lars-Erik Karlsson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Haroniska oscillatorn HARMONISKA OSCIL- LATORN 10.1 Inledning Det kanske viktigaste probleet ino ekaniken, satidigt ett av de enklaste att lösa, är den haroniska eller linjära oscillatorn. Det enklaste exeplet är en assa är fastsatt i en fjäder ed fjäderkonstant k, fjädern utövar en kraft F = kx. Den potentiella energin för denna kraft är U(x) = 1 2 kx2,rörelseekvationen i avsaknad av andra krafter är ẍ + kx =0 Denna beskriver den fria haronsiska oscillatorn ed lösningen x(t) =B cos ω 0 t + C sin ω 0 t k ω 0 = är den naturliga frekvensen för oscillatorn. Lösningen kan även skrivas x(t) =A cos(ω 0 t + φ) A φ är konstanter, vilka likso B C åste bestäas ur begynnelsevillkoren, A cos φ = B A sin φ = C. I alla fysikaliska tilläpningar finns det även en friktionster även o den ofta kan vara väldigt liten. Denna friktionskraft kan approxiativt antas vara proportionell ot hastigheten, vi skall begränsa oss till detta fall. Rörelseekvationen blir i detta fall ẍ + bẋ + kx =0 Denna ekvation beskriver den däpade haroniska oscillatorn. O oscillatorn även påverkas av en yttre kraft F (t) får vi ekvationen ẍ + bẋ + kx = F (t) När F (t) är en oscillerande kraft leder denna ekvation till resonanser, svängningsaplituden blir väldigt stor o frekvansen hos F (t) saanfaller ed oscillatorns naturliga frekvens. Betydelsen av den haroniska oscillatorn beror på att ekvationer ed saa for dyker upp i flera olika fysikaliska tilläpningar. I nästan varje fall den potentiella energin U(x) har ett eller flera inia, kan en partikels rörelse för så oscillationer kring iniat approxieras ed en haronisk oscillator. Detta följer av att o U(x) har ett iniu kring x = x 0,o vi utvecklar U(x) i en Taylorserie kring denna punkt får vi ( ) du U(x) = U(x 0 )+ (x x 0 )+ dx x ( d 2 ) U 2 dx 2 (x x 0 ) 2 + x 0 Konstanten U(x 0 ) påverkar inte det fysikaliska probleet kan sättas till noll. Efterso x 0 är ett iniu är ( ) du =0; dx x 0 Med kraftkonstanten ( d 2 ) U k = dx 2 ( ) d 2 U dx 2 0 x 0 x 0 kan vi alltså skriva potentialen U(x) = 1 2 k(x x 0) 2 + för tillräckligt så värden på (x x 0 ) kan kubiska högre ordningens terer försuas. Detta resultat generaliseras enkelt till två tre diensioner. Praktiskt taget varje proble ed ekaniska vibrationer reduceras sålunda till en haronisk oscillator, då svängningsaplituden är tillräckligt liten. Även elektriska
2 Haroniska oscillatorn 10 2 proble kan skrivas på denna for. En elektrisk krets ed en induktans L, resistans R kapacitans C i serie, vilken har en spänningskälla E(t) följer ekvationen L q + R q + 1 C q = E(t) q är laddningen på kondensatorn I = q är ströen i kretsen. Denna ekvation är identisk ed den ovan. Den allänna lösningen kan skrivas på foren x(t) =x h (t)+x p (t) x h (t) är lösningen till den hoogena ekvationen ed högerledet lika ed noll, x p (t) är en partikulärlösning till ekvationen ed en pålagd kraft i högerledet Hoogen lösning Vi börjar ed att betrakta den hoogena ekvationen ẍ + γẋ + ω0x 2 =0 γ = b/ ω0 2 = k/. För att lösa denna ekvation inför vi den koplexa funktionen z(t) =x(t)+iy(t) y(t) också satisfierar den hoogena ekvationen alltså z + γż + ω 2 0z =0 Den reella fysikaliska lösningen fås sedan ur x(t) =Rez(t). Låt Då blir z(t) =z 0 e αt ż = αz(t) z = α 2 z(t) (α 2 + γα+ ω 2 0)z 0 e αt =0 vilket ger den karakteristiska ekvationen ed lösningar α 2 + γα+ ω 0 =0 α = 1 2 γ ± [ 1 4 γ2 ω 2 0] 1/2 = α 1,2 Den allänna lösningen till den hoogena ekvationen kan alltså skrivas z(t) =z 1 e α 1t + z 2 e α 2t z 1 z 2 är konstanter vilka åste bestäas ur begynnelsevillkoren. Det finns tre fall beroende på oα är reellt eller koplext. 1. Svag däpning γ 2 < 4ω0 2 I detta fall är γ 2 /4 ω0 2 iaginärt vi får α = γ 2 ± i ω0 2 γ2 4 = γ 2 ± iω 1 ω 1 = ω0 2 γ2 4 <ω 0 Lösningen blir i detta fall ( ) z(t) =e γt/2 z 1 e iω1t + z 2 e iω 1t För realdelen av z får vi ed z 1 = x 1 +iy 1 z 2 = x 2 +iy 2 x(t) = e γt/2 (x 1 + x 2 )cosω 1 t e γt/2 (y 1 y 2 )sinω 1 t = = Ae γt/2 cos(ω 1 t + φ) Detta otsvarar en oscillation ed frekvens ω 1 /2π ed en aplitud Ae γt/2 vilken avtar exponentiellt ed tiden. Konstanterna A φ beror på begynnelsevillkoren. Frekvensen ω 1 <ω 0 är indre än utan däpning. 2. Stark däpning γ 2 /4 >ω0 2 I detta fall är γ 2 /4 ω0 2 reellt de två lösningarna för α blir α = γ 2 ± γ 2 4 ω2 0 = γ 1,2 Båda rötterna är negativa vi får z(t) =z 1 e γ 1t + z 2 e γ 2t
3 Haroniska oscillatorn 10 3 Realdelen blir x(t) =x 1 e γ 1t + x 2 e γ 2t Båda dessa tererna dörut exponentiellt ed tiden, den ena snabbare än den andra (γ 2 >γ 1 ). Konstanterna x 1 x 2 bestäs av begynnelsevillkoren. 3. Kritisk däpning γ 2 =4ω 2 0 I detta fall har vi endast en lösning för α α = γ 2 Motsvarande lösning för x blir x(t) =x 1 e γt/2 Nu gäller allänt att lösningen till en andra ordningens differentialekvation alltid innehåller två lineärt oberoende lösningar. Antag för att x(t) =u(t)e γt/2 ẋ(t) = u(t)e γt/2 u(t) γ 2 e γt/2 ẍ(t) = ü(t)e γt/2 u(t)γe γt/2 + + u(t) γ2 4 e γt/2 vilket ger ekvationen ü(t) γ2 4 u(t)+ω2 0u(t) =ü(t) =0 eller u(t) =C 1 + C 2 t Den allänna lösningen i detta fall blir alltså x(t) =[x 1 + x 2 t]e γt/2 Denna funktion dör ut exponentiellt ed en tidskonstant γ 2 >γ>γ 1 lösningen vid kritisk däpning dör ut snabbare för långa tider än den starkt däpade lösningen, förutsatt att däpparaetern γ är lika i båda fallen. I ånga fall är det öskvärt att en visare, en dörrstängare etc snabbt når sitt jäviktsläge. För en given däpning γ uppnås detta förden kritiska däpningen Linjära påtvingade svängningar Vi undersöker nu effekten av en yttre tidsberoende kraft F (t) på en haronisk oscillator F (t) =F 0 cos ωt För en elektron vilken påverkas av ett elektriskt fält E 0 cos ωt har vi t ex F (t) = ee 0 cos ωt. Den totala kraften blir nu F = kx bẋ + F 0 cos ωt rörelseekvationen blir ẍ + γẋ + ω0x 2 = F 0 cos ωt Den allänna lösningen kan skrivas so x(t) =x h (t) +x p (t) x h (t) är lösningen till den hoogena ekvationen. En partikulärlösning fås enklast geno att studera den koplexa ekvationen Vi ansätter en lösning Detta ger z + γż + ω 2 0 z = F 0 eiωt ż = z 0 iωe iωt z(t) =z 0 e iωt z = z 0 ω 2 e iωt ( ω 2 +iωγ + ω 2 0 )z 0e iωt = F 0 eiωt
4 Haroniska oscillatorn 10 4 eller z 0 = F 0 1 ω0 2 ω2 +iωγ z p (t) = 1 F 0 ω0 2 ω2 +iωγ eiωt Vi ser att den koplexa partikulärlösningen blir proportionell ot den pålagda yttre kraften. Den totala lösningen innehåller även den hoogena lösningen, en so vi fann iförra avsnittet dör denna ut exponentiellt ed tiden. Den hoogena lösningen kallas för för den transienta lösningen, partikulärlösningen, vilken doinerar för långa tider, för den stationära lösningen. Den senare skriver an ofta på foren z p (t) =χ(ω)f (t) χ(ω) = 1 1 ω0 2 ω2 +iωγ kallas responsfunktionen, efterso den beskriver hur systeet reagerar på den pålagda yttre störningen. Vi observerar att χ inte beror på den yttre kraften utan är en karakteristisk storhet för systeet i detta fall en haronisk oscillator. Responsfunktionen kan uttryckas i en real- en iaginärdel χ(ω) =χ (ω) iχ (ω) χ (ω)= 1 ω0 2 ω2 (ω0 2 ω2 ) 2 + ω 2 γ 2 χ (ω) = 1 ωγ (ω0 2 ω2 ) 2 + ω 2 γ 2 Den fysikaliska stationära lösningen får vi geno att ta realdelen av z x p (t) = Rez p (t) = F 0 (ω0 2 ω2 )cosωt (ω0 2 ω2 ) 2 + ω 2 γ F 0 ωγ sin ωt (ω0 2 ω2 ) 2 + ω 2 γ 2 = = F 0 [ χ (ω)cosωt + χ (ω)sinωt ] Den första teren i x p (t) representerar en oscillation proportionell ot den pålagda kraften F 0 cos ωt. Denna ter representerar en reaktiv störning, χ kallas för den reaktiva responsfunktionen. Denandratereniuttrycketför x p (t) representerar en oscillation 90 ur fas ed den pålagda kraften, otsvarar en absorption av energi från den pålagda kraften. χ kallas för för det dissipativa responset. Idetstationära tillståndet blir det arbete so den pålagda kraften utför på oscillatorn under en liten tid dt, F (t)dx. För den tillförda effekten får vi alltså F (t)v p (t) = (F 0) 2 cos ωt (ω0 2 ω2 )+(ωγ) 2 [ ] ω(ω0 2 ω 2 )sinωt + ω 2 γ cos ωt I praktiken är vi intresserade av edeleffekten under en period. Medelvärdet under en period av de båda tererna ovan är < sin ωt cos ωt >= 1 < sin 2ωt >= 0 2 < cos 2 ωt >= 1 2 < 1+cos2ωt >= 1 2 Detta ger edeleffekten vilken tillförs oscillatorn av den yttre kraften P ed = <F(t)v p (t) >= = (F 0) 2 2 ω 2 γ (ω 2 0 ω2 )+(ωγ) 2 = = (F 0) 2 2 ωχ (ω) Den effekt vilken tillförs oscillatorn är i det stationära tillståndet lika ed den effekt vilken förloras geno friktionen. Effekten P ed har ett axiu vid ω = ω 0.För liten däpning γ ω 0 kan uttrycket för P ed eller χ förenklas. I detta fall är P ed stor endast då ω ω 0 kring ω 0 kan vi få en enkel forel. Med ω = ω ω 0
5 Haroniska oscillatorn 10 5 ω ω 0 kan vi skriva (ω 2 ω 2 0)=(ω + ω 0 ) ω 2ω 0 ω Sätter vi in att ω ω 0 får vi alltså P ed = (ZeE 0) 2 2 γ ( ω) 2 + γ 2 Denna forel vilken kallas en Lorentz-kurva ger en god approxiation för P ed nära resonansen vid ω = ω Dielektricitetskonstant Ett viktigt fysikaliskt exepel på haronisk rörelse får vi o vi betraktar dielektricitetskonstanten för isolatorer. Låt ett elektriskt oscillerande fält påverka en fast kropp vilken är en isolator inte leder elektrisk strö. Varje ato i kroppen består av en kárna kring vilken det finns ett oln eller skal av elektroner, atoens totala laddning är noll. För en isolator är elektronerna bundna till atoen, i ett elektriskt fält påverkas de av en kraft F = ZeE = ZeE 0 cos ωt Ze är kärnans laddning. Elektronerna kring en ato får en förskjutning r relativt den positivt laddade kärnan. Detta ger upphov till en polarisering av atoen eller ett dipoloent Zer. Med totalt n atoer per volysenhet får vi en polarisering P = nzer Det totala fältet består av det yttre fältet den inducerade polariseringen ges av D = E +4πP = E 4πnZer Dielektricitetskonstanten för ediet definieras so D = ɛ(ω)e beror på det pålagda fältets frekvens ω. Dielektricitetskonstanten kan an enkelt äta, ett centralt proble ino fysiken är för att beräkna denna. I en enkel odell antar vi att elektronskalet runt varje kärna sitter i en haronisk potential, geno växelverkan ed övriga atoer påverkas av en friktionskraft. Tillsaans ed den yttre kraften ger detta r = kr bṙ ZeE betecknar skalets assa. Detta ger ekvationen r + γṙ + ω 2 0 r = Ze E ed γ = b/ ω 2 0 = k/. Denna ekvation han skrivas ut i koponentfor i x,y z led ẍ + γẋ + ω 2 0x = Ze E x etc. Detta är åter ekvationen för en däpad haronisk oscillator. Den koplexa stationära lösningen kan för enligt ovan skrivas 1 r c = ω0 2 ω2 +iωγ = Ze 1 ω 2 0 ω2 +iωγ E Detta ger oss polarisationen P = nzer c = nz2 e 2 det totala fältet [ D = E +4πP = 1+ Ze E 0e iωt = 1 ω 2 0 ω2 +iωγ E ωp 2 ] ω0 2 E ω2 +iωγ ω 2 p =4πn(Ze) 2 / kallas plasafrekvensen alltså ɛ(ω) =1+ ω 2 p ω 2 0 ω2 +iωγ Dielektricitetskonstanten har en real- en iaginärdel ɛ(ω) =ɛ (ω) iɛ (ω)
6 Haroniska oscillatorn 10 6 ɛ (ω) =1+ωp 2 ω0 2 ω2 (ω0 2 ω2 ) 2 +(ωγ) 2 ɛ (ω) =ωp 2 ωγ (ω0 2 ω2 ) 2 +(ωγ) 2 Likso tidigare kan vi skriva den fysikaliska förskjutningen av elektronerna, realdelen so r p (t) = ZeE 0 ( ɛ ωp 2 (ω) 1 ) cos ωt ZeE 0 ωp 2 ɛ (ω)sinωt För så frekvenserω ω 0 är r 180 ur fas eddet pålagdafältet förhöga frekvenser ω ω 0 i fas. Detta följer av att ɛ (ω) =1+ ɛ (ω) =1 ( ωp ω 0 ) 2 ω ω 0 ( ) 2 ωp ω ω 0 ω I ett dielektriskt ediu ed elektroner bundna ed en elastisk kraft, koer teren proportionell ot (ɛ 1) att representera en elektrisk polarisering proportionell ot det pålagda oscillerande elektriska fältet, edan teren proportionell ot ɛ representerar en absorption av energi från det elektriska fältet. ɛ kallas för den reaktiva delen, ɛ för den dissipativa delen av ɛ. I närheten av resonansfrekvensen ω 0, koer det dielektriska ediet att absorbera energi blir för ogenoskinligt för elektroagnetisk strålning. Brytningsindex för elektroagnetiska vågor är n = ɛ För så frekvenserär ɛ konstant större än ett. ɛ ökar när vi närar oss ω 0 faller sedan till ett värde indre än ett runt ω ω 0, det är en stark absorption av elektroagnetisk strålning. Därefter ökar ɛ till ett för höga frekvenser. Brytningsindex följer en liknande kurva. Detta uppförande ser an t ex i glaser vilka har en konstant dielektricitetskonstant för så ω. I orådet för synligt ljus ökar brytningsindex ed frekvensen, glas blir ogenoskinligt i det ultravioletta orådet. En er realistisk odell för ett dielektriskt ediu får an o an antar att det finns en fördelning ϱ(ω] av frekvenser i ediet. I detta fall får vi en koplex dielektricitetskonstant ɛ vilken ges av ɛ(ω) =1+ ϱ(ω)dω Ω 2 ω 2 +iωγ Med denna odell kan an få kvantitativ överensstäelse ed experientella resultat för ɛ ɛ. I praktiken äter an real- iaginärdel ur aplituden fasskiftet för den inducerade polarisationen. Vi inför dessa från A cos φ = A sin φ = x p (t) = F 0 A cos(ω 0t + φ) ω0 2 ω2 (ω0 2 ω2 ) 2 +(ωγ) 2 = ɛ (ω) 1 ωp 2 ωγ (ω0 2 ω2 ) 2 +(ωγ) 2 = ɛ (ω) ωp 2 [ ] ɛ A 2 2 [ (ω) 1 ɛ (ω) = + ω 2 p ɛ ω 2 p tan φ = ɛ (ω) 1 ] 2
Harmonisk oscillator Ulf Torkelsson
1 Haronisk rörelse Föreläsning 13/9 Haronisk oscillator Ulf Torkelsson Betrakta en potentiell energi, V (x), so har ett iniu vid x, och studera rörelsen i närheten av detta iniu. O vi släpper en partikel
Läs merTentamen i Mekanik - partikeldynamik
Tentaen i Mekanik - partikeldynaik TMME08 011-01-14, kl 8.00-1.00 Tentaenskod: TEN1 Tentasal: Exainator: Peter Schidt Tentajour: Peter Schidt, Tel. 8 7 43, (Besöker salarna ca 9.00 och 11.00) Kursadinistratör:
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.1 1.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera
Läs merAlltså är {e 3t, e t } en bas för lösningsrummet, och den allmänna lösningen kan därmed skrivas
ektion 7, Envariabelanalys den 8 oktober 1999 Visa att funktionerna y 1 = e r 1t och y = e r t, där r 1 r, är linjärt oberoende. 17.7. Finn den allmänna lösningen till y 3y = 0. Vi ska visa implikationen
Läs mer1:A UTGÅVAN. Ur Mekaniken SVÄNGNINGSRÖRELSE ANDREAS LINDBLAD
:A UTGÅVAN Ur Mekaniken SVÄNGNINGSRÖRELSE ANDREAS LINDBLAD KAPITEL Svängningsrörelse I detta kapitel ska vi titta närare på oscillerande (svängande) rörelser. Med hjälp av detta koer vi att kunna beskriva
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
10. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 10.1 10.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera kretsar
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
. Kretsar med långsamt varierande ström För en normalstor krets kan vi med andra ord använda drivande spänningar med frekvenser upp till 7 Hz, förutsatt att analysen sker med de metoder som vi nu kommer
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 1.1 1.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera kretsar
Läs merDenna vattenmängd passerar också de 18 hålen med hastigheten v
FYSIKTÄVLINGEN KVLIFICERINGS- OCH LGTÄVLING 3 februari 000 LÖSNINGSFÖRSLG SVENSK FYSIKERSMFUNDET 1. a) Den vattenängd so passerar slangen per sekund åste också passera något av de 18 hålen. Den vattenängd
Läs merSvar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merMEKANIK LABORATION 2 KOPPLADE SVÄNGNINGAR. FY2010 ÅK2 Vårterminen 2007
I T E T U N I V E R S + T O C K H O L M S S FYSIKUM Stockholms universitet Fysikum 3 april 007 MEKANIK LABORATION KOPPLADE SVÄNGNINGAR FY010 ÅK Vårterminen 007 Mål Laborationen avser att ge allmän insikt
Läs mer1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ).
. (3 poäng) Antag att en partikel rör sig i ett medium där friktionskraften är proportionell mot kvadraten av hastigheten v(t) R så att dv(t) = k ( v(t) ), t > för en konstant k >. Bestäm v(t) som funktion
Läs merFöreläsning 12. Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap ) Plana vågor (Kap ) i Griffiths
1 Föreläsning 12 9.1-9.3.2 i Griffiths Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap. 9.1.2) Tidsharmoniska fält (dvs. fält som varierar sinus- eller cosinusformigt i tiden) har stora tillämpningsområden i de
Läs merSvängningar. Innehåll. Inledning. Litteraturhänvisning. Förberedelseuppgifter. Svängningar
Svängningar Innehåll Inledning Inledning... 1 Litteraturhänvisning... 1 Förberedelseuppgifter... 1 Utförande... 3 Det dämpade men odrivna systemet... 3 Det drivna systemet... 4 Några praktiska tips...
Läs merVad betyder det att? E-fältet riktat åt det håll V minskar snabbast
, V Vad betyder det att V? -fältet riktat åt det håll V minskar snabbast dv Om -fältet endast beror av x blir det enkelt: xˆ dx Om V är konstant i ett område är där. konst. V -x x Om är homogent så ges
Läs merTentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen
006-08-8 Tentaen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpede föruto rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Probletentaen Ett glatt hoogent klot ed assan vilar ot två plana, hårda och glatta
Läs merVågrörelselära och optik
Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:
Läs merSKALNING OCH RESONANS
SKALNING OCH RESONANS INGEMAR NÅSELL Abstract. Dessa föreläsningsanteckningar kompletterar Avsnitten 3.8 och 3.9 i kursboken av Boyce och diprima. De behandlar ett av de viktigaste avsnitten i kursen,
Läs merSvängningar. Innehåll. Inledning. Litteraturhänvisning. Förberedelseuppgifter. Svängningar
Svängningar Innehåll Inledning Inledning... 1 Litteraturhänvisning... 1 Förberedelseuppgifter... 1 Utförande Det dämpade men odrivna systemet... 3 Det drivna systemet... 4 Observation av ett urval av svängande
Läs merTentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen
007-08-30 Tentaen i Mekanik SG1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpede föruto rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Probletentaen En hoogen stång ed assan är fäst i ena änden i en fritt vridbar led.
Läs merSensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken
Sensorer, effektorer och fysik Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Innehåll Grundläggande begrepp inom mekanik. Elektriskt fält och elektrisk potential. Gauss lag Dielektrika
Läs merLösningsförslag envariabelanalys
Lösningsförslag envariabelanalys 09-06-05. Ekvationen är linjär och har det karakteristiska polynomet pr) = r 4 + r 3 + 5r = r r + r + 5) = r r + i)r + + i). Således ges lösningarna till den homogena ekvationen
Läs merTentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08
Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08 Onsdagen den 13 augusti 2008, kl. 8-12 Examinator: Jonas Stålhand Jourhavande lärare: Jonas Stålhand, tel: 281712 Tillåtna hjälpmedel: Inga hjälpmedel Tentamen
Läs merKompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem
ompletterande material till föreläsning 5 TSDT8 Signaler och System I Erik G. Larsson LiU/ISY/ommunikationssystem erik.larsson@isy.liu.se November 8 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
180111 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 180111 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Svar: 89 cm x = 0 t 3 dt = [ t 3 9 ] 0 = 8 m 89 cm 9 b) Om vi betecknar tågets (T) hastighet relativt marken med v T J, så kan vi
Läs merLösningar till problemtentamen
KTH Mekanik 2007 05 09 Mekanik bk och I, 5C03-30, för I och BD, 2007 05 09, kl 08.00-2.00 Lösningar till probletentaen Uppgift : En partikel i A ed assa hänger i två lika långa trådar fästa i punkterna
Läs merFöreläsning 3/12. Transienter. Hambley avsnitt
1 Föreläsning 3/1 Hambley avsnitt 4.1 4.4 Transienter Inom elektroniken betecknar transienter signaler som har kort varaktighet. Transienterna avtar ofta exponentiellt med tiden. I detta avsnitt studerar
Läs merTentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar
Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Ge dina olika steg i räkningen, och förklara tydligt ditt resonemang! Ge rätt enhet när det behövs. Tillåtna
Läs mer4. Elektromagnetisk svängningskrets
4. Elektromagnetisk svängningskrets L 15 4.1 Resonans, resonansfrekvens En RLC krets kan betraktas som en harmonisk oscillator; den har en egenfrekvens. Då energi tillförs kretsen med denna egenfrekvens
Läs merREGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen , kl
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL20 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 202 2 7, kl. 9.00 4.00. (a) (i) Överföringsfunktionen ges av G(s)U(s) = G 0 (s)u(s)+g (s)(u(s)+g 0 (s)u(s)) = [G
Läs merMer om EM vågors polarisation. Vad händer om man lägger ihop två vågor med horisontell och vertikal polarisation?
Mer om EM vågors polarisation Vad händer om man lägger ihop två vågor med horisontell och vertikal polarisation? Svänger x Svänger y 2π Superposition av x och y polariserade EM vågor (Ritar bara positivt
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 23 2 8 Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare. Ensfäriskkopparkulamedradie = 5mmharladdningenQ = 2.5 0 3 C. Beräkna det elektriska fältet som funktion av avståndet från
Läs merFK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00
FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror
Läs merTid läge och accelera.on
Tid läge och accelera.on Tid t Läge x = x(t) Hastighet v(t) = dx dt x(t) = Acceleration a(t) = dv dt v(t) = t t0 v(t)dt t t 0 a(t)dt Eq 1 Eq 2 Eq 3 MEN KOM IHÅG: 1. För a> de>a skall vara användbart måste.dsberoendet
Läs merFöreläsning 29/11. Transienter. Hambley avsnitt
1 Föreläsning 9/11 Hambley avsnitt 4.1 4.4 Transienter Transienter inom elektroniken är signaler som har kort varaktighet. Transienterna avtar ofta exponentiellt med tiden. I detta avsnitt studerar vi
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs mer1. q = -Q 2. q = 0 3. q = +Q 4. 0 < q < +Q
2.1 Gauss lag och elektrostatiska egenskaper hos ledare (HRW 23) Faradays ishinksexperiment Elfältet E = 0 inne i en elektrostatiskt laddad ledare => Laddningen koncentrerad på ledarens yta! Elfältets
Läs merSvar och anvisningar
170317 BFL10 1 Tenta 170317 Fysik : BFL10 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Den enda kraft som verkar på stenen är tyngdkraften, och den är riktad nedåt. Alltså är accelerationen riktad nedåt. b) Vid kaströrelse
Läs mer= = i K = 0, K =
ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merTeori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016/2017 Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter 1. FÖRSTA ORDNINGEN Homogena fallet. En homogen linjär
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 05-0-05. Beräknastorlekochriktningpådetelektriskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som orsakas av laddningarna q = Q i origo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i
Läs merOm svängningar och resonans
Om svängningar och resonans Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Här diskuterar vi andra ordningens linjära differentialekvationer som har lösningar som utgör svängningar,
Läs merLösningsförslat ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521)
Lösningsförslat ordinarie tentamen i Mekanik (FFM5) 08-06-0. Baserat på Klassiker Ett bowlingklot med radie r släpps iväg med hastighet v 0 utan rotation. Initialt glider den mot banan, och friktionen
Läs merVecka 2 ELEKTRISK POTENTIAL OCH KAPACITANS (HRW 24-25) Inlärningsmål
Vecka 2 ELEKTRISK POTENTIAL OCH KAPACITANS (HRW 24-25) Inlärningsmål Elektrisk potential Arbete och elektrisk potentialenergi Elektrisk potential Ekvipotentialytor Sambandet mellan elfält och elektrisk
Läs merx 1 x 2 x 3 z + i z = 2 + i. (2 + 2i)(1 i) (1 + i) 5.
Akadein för teknik och iljö Sören Hector, tel 7-46686, Mikael Forsberg, tel 7-44, Rolf Källströ, tel 7-699 Mateatiktentaen Ingenjörer, lärare, fl Linjär algebra a4a 9 Skrivtid: 9 4 Inga hjälpedel Lösningarna
Läs mer18. Sammanfattning Ursprung och form av fältena Elektrostatik Kraft, fält och potential 2 21, (18.3)
18. Sammanfattning 18.2. Ursprung och form av fältena Elektriska laddningar (monopoler) i vila ger upphov till elfält Elektriska laddningar i rörelse ger upphov till magnetfält Elektriska laddningar i
Läs mer18. Sammanfattning Kraft, fält och potential. Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.
18. Sammanfattning Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1 18.1. Kraft, fält och potential Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.1) Potential φ är en matematisk
Läs mer18. Sammanfattning. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1
18. Sammanfattning Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1 18.1. Kraft, fält och potential Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.1) Potential φ är en matematisk
Läs merEnvariabelanalys 5B Matlablaboration
Mariana Dalarsson, ME & Johan Svenonius, IT Envariabelanalys 5B47 - Matlablaboration 7-- Kurs: 5B47 Handledare: Karim Daho Uppgift Situationen kan illustreras med följande figur: Följande krafter verkar
Läs merMatematisk statistik
HF, repetitionsblad Mateatis statisti Uppgift Fördelningsfuntionen för en ontinuerlig stoastis variabel X är F ( x) cx x < x x > Bestä värdet på onstanten c, edianen och täthetsfuntionen för X a) Enligt
Läs merTFYA16/TEN :00 13:00
Link opings Universitet Institutionen f or fysik, kemi och biologi Marcus Ekholm TFYA16/TEN2 Ovningstentamen Mekanik 2015 8:00 13:00 Tentamen best ar av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 po ang.
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs mer2. Beräkna. (z-koordinaten för masscentrum för en homogen kropp som upptar området K) ½ u = xy 3. Använd variabelbytet v = y x.
HH / Georgi Tchilikov FLERVARIABELANALYS för Lp2 noveber 23, kl.9-13 Hjälpedel: Bifogat Forelblad Envariabelanalys. Redovisa och otivera lösningarna så att även en kurskarat kan följa ed och övertygas.
Läs merTentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik
Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Fredagen 1/1 018, kl 14:00-18:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:
Läs merModellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010
Modellering av Dynamiska system - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 21 Innehållsförteckning 1. Repetition av Laplacetransformen... 3 2. Fysikalisk modellering... 4 2.1. Gruppdynamik en sciologisk modell...
Läs merTentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik
Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 10/1 017, kl 14:00-18:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:
Läs merTentamen Elektronik för F (ETE022)
Tentamen Elektronik för F (ETE022) 2008-08-28 Tillåtna hjälpmedel: formelsamling i kretsteori, ellära och elektronik. Tal 1 En motor är kopplad till en spänningsgenerator som ger spänningen V 0 = 325 V
Läs merVecka 4 INDUKTION OCH INDUKTANS (HRW 30-31) EM-OSCILLATIONER OCH VÄXELSTRÖMSKRETSAR
Vecka 4 INDUKTION OCH INDUKTANS (HRW 30-31) EM-OSCILLATIONER OCH VÄXELSTRÖMSKRETSAR Inlärningsmål Induktion och induktans Faradays lag och inducerad källspänning Lentz lag Energiomvandling vid induktion
Läs merKapitel: 32 Elektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge EM-vågor
Kapitel: 3 lektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge M-vågor genskaper hos M-vågor nergitransport i M-vågor Det elektromagnetiska spektrat Maxwell s ekvationer Kan
Läs merTentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik
Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 19/4 017, kl 08:00-1:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs mer1. INLEDNING 2. TEORI. Arbete A6 Vibrations-rotationsspektrum
Arbete A6 Vibrations-rotationsspektru 1. INLEDNING I detta övningsarbete undersöks det spektroskopiska ätdata so fås från rotationsfinstrukturen so hör till vibrationsövergångar i en olekyl i gasfas. Vibrationsövergångar
Läs mery(0) = e + C e 1 = 1
KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs
Läs merTFYA16/TEN2. Tentamen Mekanik. 12 januari :00 13:00. Tentamen besta r av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poa ng.
Linko pings Universitet Institutionen fo r fysik, kemi och biologi Marcus Ekholm TFYA16/TEN2 Tentamen Mekanik 12 januari 2015 8:00 13:00 Tentamen besta r av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poa
Läs merTentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl
Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 27 kl 8.- 3.. Examinator: Pär Kurlberg OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. För full poäng krävs
Läs merr 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).
1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merLösningsförslag Inlämningsuppgift 3 Kapacitans, ström, resistans
Inst. för fysik och astronomi 2017-11-26 1 Lösningsförslag Inlämningsuppgift 3 Kapacitans, ström, resistans Elektromagnetism I, 5 hp, för ES och W (1FA514) höstterminen 2017 (3.1) En plattkondensator har
Läs merMekanik FK2002m. Repetition
Mekanik FK2002m Föreläsning 12 Repetition 2013-09-30 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 12 Förflyttning, hastighet, acceleration Position: r = xî+yĵ +zˆk θ = s r [s = θr] Förflyttning: r
Läs merTATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs merSammanfattning av ordinära differentialekvationer
Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer
Läs merSvar och Lösningar. 1 Grundläggande Ellära. 1.1 Elektriska begrepp. 1.2 Kretslagar Svar: e) Slinga. f) Maska
Svar och ösningar Grundläggande Ellära. Elektriska begrepp.. Svar: a) Gren b) Nod c) Slinga d) Maska e) Slinga f) Maska g) Nod h) Gren. Kretslagar.. Svar: U V och U 4 V... Svar: a) U /, A b) U / Ω..3 Svar:
Läs merDugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3
Dugga i FUF040 Kvantfysik för F3/Kf3 fredagen den 23 oktober 2015 kl 14.00-16.00 i V Examinator: Måns Henningson, ankn 3245. Inga hjälpmedel. Ringa in bokstaven svarande mot det unika rätta svaret på svarsblanketten!
Läs merTenta svar. E(r) = E(r)ˆr. Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r:
Tenta 56 svar Uppgift a) På grund av sfäriskt symmetri ansätter vi att: E(r) = E(r)ˆr Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r: 2π π Q innesluten
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del (FFM50) Tid och plats: Tisdagen den 5 maj 010 klockan 08.30-1.30 i V. Lösningsskiss: Per Salomonsson och Christian Forssén. Obligatorisk del 1. Rätt svar på de fyra deluppgifterna
Läs merPåtvingad svängning SDOF
F(t)=F 0 cosω 0 t Förflyttning x M k Vi betraktar det vanliga fjäder-massa systemet men nu påverkas systemet med en kraft som varierar periodiskt i tiden: F(t)=F 0 cosω 0 t Den periodiskt varierande kraften
Läs merTentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik
Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Onsdagen 30/3 06, kl 08:00-:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4
Läs merKvantmekanik - Gillis Carlsson
Kvantmekanik - Föreläsning 1 Gillis Carlsson gillis.carlsson@matfys.lth.se LP2 Föreläsningarna i kvantmekanik LP1 V1): Repetition av kvant-nano kursen. Sid 5-84 V2 : V3 : Formalism (I). Sid 109-124, 128-131,
Läs merSVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF0) och F (ETE055) Tid och plats: 4 januari, 06, kl. 8.00.00, lokal: Sparta B. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merLEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 13. Systemets masscentrum G ligger hela tiden vid axeln. Kraftekvationen för hela systemet:
LEDNINAR TILL PROBLEM I KAPITEL 3 LP 3. Systeets asscentru ligger hela tiden id aeln. Krafteationen för hela systeet: F = a P = M+ LP 3. Anänd definitionen a inetis energi. Varje ula har en cirelrörelse.
Läs merTNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser
TNA004 Analys II Tentamen 20-06-0 Lösningsskisser. a) De båda kurvorna skär varandra i x 0 och x. På intervallet 0 x är x x. Området D är då det skuggade i figuren nedan, där även en tunn rektangel är
Läs merTentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum: Examinator/Tfn: Hans Åkerstedt/ Skrivtid:
Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner Kurs: MTF18 Totala antalet uppgifter: 6 Datum: 7-5-8 Eaminator/Tfn: Hans Åkerstedt/4918 Skrivtid: 9. - 15. Jourhavande lärare/tfn: : Hans Åkerstedt/18/Åke Wisten7/55977
Läs mer6 Vägledning till övningar
6 Vägledning till övningar Deforation 1.2 Tag reda på längden, L, avdcefter deforationen. Använd att töjningen =(L L o )/L o. Ibland underlättar det att använda L =(1+ )L o. Studera den rätvinkliga triangeln
Läs merSG1140, Mekanik del II, för P2 och CL3MAFY
Tentaen 101218 Lcka till! Tillåtna hjälpedel är penna och suddgui. Rita tdliga figurer, skriv grundekvationer och glö inte att sätta ut vektorstreck. Definiera införda beteckningar och otivera uppställda
Läs merF3 PP kap 3, ekvationslösning och iteration, forts.
F3 BE300 & 3 Page 1 of 6 F3 PP kap 3, ekvationslösning och iteration, forts. Övning från förra gången: Visa, att o f (x) > 0 i (a,b) så ligger sekanten geno (a,f(a)) och (b,f(b)) över kurvan. Tips: Låt
Läs merCirkelkriteriet (12.3)
Föreläsning 3-4 Cirkelkriteriet (12.3) En situation där global stabilitetsanalys kan utföras. r + u G(s) y f( ) där f( ) är en statisk olinjäritet, t ex f(y) = 1 y 0 1 y < 0 eller Antag att: f(y) = y 2
Läs merStatistisk mekanik: exempel. Molekylfysik.
5A147 odern fsik VT007 KTH Planks strålningslag Svartkroppsstrålning: svart kropp innebär att ingen strålning reflekteras oh att all strålning so utsänds bara beror av terisk energi dvs alla svarta kroppar
Läs mer1 x dx Eftersom integrationskonstanten i (3) är irrelevant, kan vi använda oss av 1/x som integrerande faktor. Låt oss beräkna
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 30 maj 20, kl 8:00 3:00 Svar, uppgift : i sant, ii sant, iii falskt, iv sant, v falskt, vi sant,
Läs merTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp
TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp - 0 Tid: måndag 8 Maj 0, kl 4-9 Plats: Polacksbacken Ansvarig lärare: Bengt Carlsson, tel 070-674590. Bengt kommer till tentasalen ca kl 6 och besvarar ev frågor.
Läs merTentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik
Tentaen i Mekanik I del Statik och partikeldynaik TMME7 0-0-, kl 4.00-9.00 Tentaenskod: TEN Tentasal: TER, TER, TERC, TERD Eainator: Peter Schidt Tentajour: Peter Schidt, Tel. 8 7 43, (Besöker salarna
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RM] Elektrodynamik, vt 013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs mer9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1
9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merFöreläsning 4, Ht 2. Aktiva filter 1. Hambley avsnitt 14.10, 4.1
1 Föreläsning 4, Ht Hambley avsnitt 14.1, 4.1 Aktiva filter 1 I första läsperioden behandlades passiva filter. Dessa har nackdelen att lastens resistans påverkar filtrets prestanda. Om signalen tas ut
Läs mer9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar
9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar 9.5 Frilägg hjulet och armen var för sig. Normalkraften kan beräknas med hjälp av jämvikt för armen. 9.6 Frilägg armen, och beräkna normalkraften. a) N µn
Läs merF3: Schrödingers ekvationer
F3: Schrödingers ekvationer Backgrund Vi behöver en ny matematik för att beskriva elektroner, atomer och molekyler! Den nya fysiken skall klara av att beskriva: Experiment visar att för bundna system så
Läs mer