1:A UTGÅVAN. Ur Mekaniken SVÄNGNINGSRÖRELSE ANDREAS LINDBLAD
|
|
- Stig Gustafsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 :A UTGÅVAN Ur Mekaniken SVÄNGNINGSRÖRELSE ANDREAS LINDBLAD
2 KAPITEL Svängningsrörelse I detta kapitel ska vi titta närare på oscillerande (svängande) rörelser. Med hjälp av detta koer vi att kunna beskriva pendlar, vikt-fjäder syste so har stötdäpare och hur drivkrafter orsakar resonansfenoen.
3 SEKTION Svängningsrörelse LOREM IPSUM. Hur hänger cirkelrörelse och svängningsrörelse ihop? 2. Hur beskrivs energin i enkel haronisk svänging? Vad beror den på resp. vad beror den inte på! 3. Hur skiljer vi på fallen ed odäpade, däpade svängningar resp. odrivna och drivna varianter av dessa föregående syste? 4. Vad är resonans? Cirkel- och svängningsrörelser Vi börjar ed att betrakta en partikel so rör sig i en cirkel ed den konstanta radien A ed en konstant vinkelhastighet. Ett fixt koordinatsyste har valts enligt figuren till höger. O vi vill kan vi beskriva partikelns frafart ed hjälp av cylindriska koordinater och sedan projicera dessa på x och y-axlarna. T.ex. blir längden av projektionen på y-axeln so funktion av tiden y(t) = A sin(ωt) På saa sätt blir projektionen på x-axeln x(t) = A cos(ωt). O vi skulle vilja finna accelerationen hos punkterna deriverar vi ed avseende på tiden två gånger och erhåller då: a = ( ω 2 A cos(ωt), ω 2 A sin(ωt)) = ω 2 r Vilket är centripetalaccelerationen so vi är vana vid. O vi håller oss till att föreställa oss hur projektionen på y-axeln ser ut så kan vi se att hastigheten i y-led är so lägst när y=±a (då hastighetsvektorn enbart har en koponent i x-riktningen). I saa punkter är accelerationen so störst efterso a = ω 2 y där. En annan sak vi kan se direkt är att periodtiden T (i sekunder) är oberoende av cirkelns radie (vilket är svängingens aplitud A i projektionen). Frekvensen vared partikeln återvänder till en punkt (säg r = (A,) ) äts i Hertz, Hz vilket är s -. Två viktiga saband ellan frekvens, periodtid och vinkelfrekvens är: f =, ω = 2π f () T 2
4 Även o vinkelfrekvens och vinkelhastighet/vinkelfart (båda betecknade ed ω ) har enheten radianer per sekund är de två olika saker. Vinkelfrekvensen (so sitter i arguentet på sinus eller cosinus på förra sidan) är ett skalärt ått på hur snabbt ett varv går detta är något so vi behöver i vår odells beskrivning av svängningsrörelse. Vinkelhastighet är däreot en vektorkvantitet och beloppet av den vektorn so är v/r. Detta låter åhända en sula gruligt. Du koer dock att stöta på svängningsfenoen i andra saanhang än ekanik och där är det ingen risk att du blandar ihop dessa två kvantiteter. B ESKRIVNING AV SVÄNGNINGSRÖRELSE O vi låtsas att partikeln so vi beskrev tidigare kastar en skugga på golvet so i bilden till höger ser vi att skuggan koer att breda ut sig axialt 2A på golvet. I bilden nedan ser vi att det finns ånga lösningar av typen y(t) = A sin(ωt) so ger upphov till saa önster på golvet. Faktu är att vi åste vara ännu er allänna än så, det är inte säkert att vi startar klockan när partikeln befinner sig i r = (A,). Geno att skriva tillåta en konstant vinkel (kallad fasvinkel) i arguentet till sinusfunktionen så kan vi ta hänsyn till detta också y(t) = A sin(ωt + ϕ) (2) Aplitud r sin /A t.ex. o vi startar klockan när partikeln är itt eelπ lan sina extrepunkter r = (,) så är ω + ϕ = ±. 2 Vi åste veta något er för att kunna säkerställa vilket tecken det handlar o. I just detta fall kan vi skriva o y(t) = A sin(ωt ± π /2) = ± A cos(ωt).h.a. enhetscirkeln Övning: En partikel rör sig oturs på en cirkel ed.8 radien 3. och har en konstant vinkelhastighet på.5.5 r cos /A 8. radianer per sekund. När tiden börjar ätas (t= s) så har partikeln en x-koordinat på 2. och rör sig åt höger. a) Hur beskriver du x-koordinaten so funktion av tiden? b) Finn x-koponenterna av partikelns hastighet och acceleration so funktioner av tiden. Svar: x(t) = 3. cos(8.t 48.2 ), = 24. cos(8.t 48.2 ), x(t) tid /s = 92 cos(8.t 48.2 ) x(t) 3
5 E XEMPEL PÅ FRI, ODÄMPAD SVÄNGNING Fjäder-vikt syste Ett prototypiskt syste för fri odäpad svängning är en punktassa kopplad till en (ideal) fjäder so glider på ett friktionslöst underlag. I ett sådan här syste är energin konstant, något vi ska visa lite senare. Den enda kraften so verkar på systeet längs horisontalaxeln är fjäderkraften. Enligt Newtons andra lag har vi: x = Fx = Fk = k x Där vi använde oss av Hookes lag för fjäderns kraft: F = k x. Kastar vi o tererna en sula får vi en andra ordningens differentialekvation ed konstanta koefficienter: k x + x = (3) Kanske inns du från ateatik-kurser hur an löser ekvationer av typen y +py +qy=, annars kan du ansätta lösningen x(t) = Be λt och lista ut vad lösningarna åste vara: Bλ 2e λt + A k λt k e = B λ2 + e λt = ( ) För att denna ekvation skall vara sann för alla tidpunkter åste uttrycket ino parentesen vara lika ed noll (eller A=, en detta är trivialt efterso systeet inte svänger då). λ2 = k λ =±i k Vi får alltså två lösningar till probleet so båda fungerar lika bra! En sua av plus- och inuslösningarna är också en lösning, och ed Eulers forel för koplexa tal kan vi skriva våran lösning so en sua av sinus och cosinusfunktioner. För fratida bruk så definierar vi ω = k /: Att vi behöver två olika lösningar kan vi sluta oss till geno att skriva isär d till x + ω x = ed operatorn D = dt (D + i ω)(d + i ω) x = För en allän lösning åste endera av parenteserna vara lika ed noll. dx dx = i ω x, = i ω x är båda sepadt dt rabla första ordningens differentialekvationer. Förvissa dig o (t.ex. geno att titta i Calculus) att lösningarna är: x(t) = Ae iω t, x 2(t) = Be iω t 4
6 x(t) = a sin (ω t) + a 2 cos (ω t) (4) Med en ytterligare trigonoetrisk identitet (sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β) kan vi skriva vår lösning ed hjälp av endast en aplitud och ett fasskift: x(t) = a sin (ω t) + a 2 cos (ω t) = A sin (ω t + ϕ) där A = a 2 + a 2 2, tan ϕ = a a 2 Försök visa detta själv so en övning och titta sedan på beviset här. Valet av sinus är godtyckligt och det hade fungerat bra ed att välja cosinus också. När vi löser proble av den här typen koer vi alltså behöva välja sinus eller cosinus (beroende på randvillkoren) och sedan finna aplituden och vinkelfrekvensen. Allt so oftast så gör ett slugt val av trigonoetrisk funktion att fasvinkeln är noll, annars får vi använda rand- och begynnelsevillkor för att finna fasvinkeln också. i terer av begynnelse och randvillkor kan vi skriva lösningen: Aplitude Plot of sin( ),sin( + /4),sin( + /2),sin( + /3) x(t) = ω 2 x 2 + v2 ω 2 sin ( ω t arctan v ω x ), där x och v är positionen och hastigheten vid t=. I figuren är sinus för en vinkel ed olika fasvinklar plottad. Med fasvinkeln har vi en sinussvängning utan fasförskjutning (blå kurva), ed fasvinkeln 9 har blir funktionen idenstisk ed en ren cosinussvängning. För de andra fasförskjutningarna kan an se att axial aplituden blir förflyttad. Övning: O periodtiden för en 2. kg tung ryttare på en glidbana enligt figuren på förra sidan är. sekund vad är fjäderns konstant? (ca N/) Övning: Ryttaren i förra uppgiften (all data från förra uppgiften gäller) dras iväg från sitt jäviktsläge (x= ) släpps vid tiden t= s, efter.75 s når den sitt första vändläge +43 c (i positiv x-riktning) från sin jäviktsposition. Beskriv ryttarens rörelse so funktion av tiden. svar:x(t) = A sin (ω t + ϕ) = 43 sin(2πt 9 ) = 43 cos(2πt) 5
7 Hängade fjäder-vikt I diskussionerna ovan har vi varit noga ed att specificera att vi äter svängningarnas aplitud relativt fjäderns jäviktsläge. Detta förenklar våra strävanden en hel del. I fallet ed en vikt so hänger i en fjäder åste vi dock ta hänsyn till att vi har en konstant kraft so verkar i asscentru. Sätter vi positiv yriktning uppåt i figuren kan vi skriva upp Newtons andra lag för systeet. O fjädern hänger utan vikt har den längden y. Hänger vi sedan i vikten koer fjädern att få ett nytt jäviktsläge ( y = i båda fallen!) att svänga runt. Vi flyttar helt enkelt origo för koordinatsysteet till det nya jäviktsläget. För att se hur vi ska flytta explicit kan vi skriva ner Newtons andra lag för systeet i det nya jäviktsläget Fy = Fk Fg = k y g = y, y + k y = g Vi har nu en inhoogen differentialekvation att lösa, en efterso det är en konstant i högerledet kan vi göra den hoogen geno en variabelsubstition (ko ihåg att ålet är att få bort g i högerledet). z = y g/k z = y Övning: visa att denna variabelsubstition ger ekvationen: z + ω z = En hängande fjäder-vikt konstruktion lyder alltså under saa rörelseekvation so en liggande har lösningarna y(t) = A sin (ωt + ϕ). Mateatisk och fysisk pendel Ingen beskrivning av svängningsrörelse är koplett utan att gå igeno den ateatiska pendeln (idealiserita figur ringen är att vi har en punktassa i styvt viktlöst snöre). Här koer vi även att betrakta den fysiska pendeln (saansatt assa so svänger kring en punkt). I figuren till vänster har det indikerats hur probleet ed att beskriva pendelns utslag so funktion av tiden kan börja lösas. Med hjälp av Newtons andra lag kan vi skriva upp krafterna längs snöret och vinkelrät ot det. För in beteckningar och koordinatsyste Sätt ut relevanta kraftvektorer 6
8 Längden på snöret ändras inte så suan av krafterna so verkar där åste vara noll. I x-led är den enda kraften so verkar tyndgdkraftens koposant i den riktningen x = F x = g sin θ, vi kan översätta x-koordinaterna till vinkelkoordinaterna geno att betrakta foreln för en cirkelbåges längd. I figuren är längden på cirkelbågen s = rθ, deriverar vi detta ed avseende på tiden får vi s = rθ + r θ vilket vi känner igen från kineatiken för cirkelrörelse. I vårt fall är den första teren noll efterso snöret är styvt och inte ändrar längd under rörelsen. Utförs derivatan då en gång till får vi den sökta vinkelaccelerationen s = r θ + r θ där, återigen, första teren är lika ed noll tack vare det styva snöret. Med beteckningar enligt figuren får vi då att x = l θ (vilket inte är något annat än hur tangentialaccelerationen hänger ihop ed vinkelaccelerationen något vi känner för cirkelrörelse). Vi byter x ot vinkel-koordinater för andraderivatan sålunda: x + g sin θ = l θ + g sin θ = Vi dividerar ed längden och assan på båda sidor och antar att vi har så svängningar kring jäviktsläget vi kan då använda McLaurinutvecklingen sinθ θ θ + g l θ = En ekvation av saa typ so vi redan har stött på! Vi kan identifiera vinkelfrekvensen för svängningarna ω =. En ateatisk pendels periodtid är alltså enbart beroende på pendelns längd! g l Övning: O en buss accelererar ed.g och en.5 eter lång pendel sätts igång inne i bussen. Vad blir pendelns periodtid under accelerationen och kring vilken vinkel relativt rutan i bussen svänger den? 7
9 Energi i svängningsrörelse FRI ODÄMPAD SVÄNGNING För en fri och odäpad svängning so de beskrivna ovan så verkar endast konservativa krafter, energin är konstant i systeet och vi kan skriva den totala energin helt enkelt so suan av kinetisk och potentiell energi: E tot = E pot + E kin = 2 k x2 + 2 v2 -A A Energi Med hjälp av x(t) = A sin(ω t + ϕ) kan vi finna hastigheten x(t) = ω A cos(ω t + ϕ) insatt i ekvationen ovan ger detta: E tot = k A2 2 sin2 (ω t + ϕ) + A2 2 ω2 o cos2 (ω t + ϕ) -A A ω 2 = k får vi från definitionen av egenfrekvensen. SJÄLVTEST. ENERGI I ENKEL HARMO- NISK SVÄNGNINGSRÖRELSE E tot = k A2 2 sin2 (ω t + ϕ) + k A2 2 cos2 (ω t + ϕ) = k A2 2 = konstant Den trigonoetriska ettan användes för att identifiera suan av de trigonoetriska funktionerna. Energin i en odäpad fri svängning är alltså enbart beroende på fjäderkonstanten och aplituden. I figurerna till höger ser vi ett assa-fjäder syste so oscillerar ellan ±A på x-axeln. Nedanför är potentiell och kinetisk energi utritad för rörelsen. Den streckade linjen visar den totala (konstanta!) energin för systeet. So synes så pendlar energin ellan kinetisk och potentiell energi under svängningsförloppet. I extrepunkterna ±A består den totala energin enbart av potentiell energi edan energin enbart består av kinetisk energi itt eellan ±A. Hastigheten är lägst i extrepunkterna och störst itt eellan de. SYSTEM MED FRIKTION DÄMPAD SVÄNGNING O vårt fjäder-assa syste innehåller en stötdäpare föruto fjädern så koer inte energin att vara konstant över tiden. Beroende på hur friktionskraften är beskaffad så blir det er eller indre svårt att Question of 5 När är den potentiella energin störst? A. i x= itt eellan ±A B. Vid vändpunkterna (±A) C. i skärningspunkterna D. Den är konstant Check Answer 8
10 lösa rörelseekvationen för systeet. O ett föreål rör sig i en fluid (kan vara både en gas och en vätska) utan att alltför ycket (idealt ingen) turbulens uppstår kan vi beskriva däpningskraften so direkt proportionell ot hastigheten F d = c x Konstanten c i ekvationen beror på fluidens egenskaper och hur stort föreålet är so rör sig i fluiden är. I fluidekanik och andra kurser koer du att få lära dig att finna uttryck för c. I denna kurs kan vi betrakta den so en konstant. I figuren till höger (vi låter f.n. F(t)= N) så ritar vi in en liten kolv so sybol för däparen. Efterso energi läcker ut ur systeet så kan vi försöka titta på effekten P, so är hur den totala kinetiska förändras ed tiden: de kin dt = P = F v = c x v = c x 2 = cv 2 Den kinetiska energin är v2 är hälften av den totala energin (i genosnitt) så vi kan skriva 2 de = cv 2 = 2c dt 2 E kin = 2 c 2 E kin = 2γE kin Detta är återigen en separabel första ordningens differentialekvation ed lösningen E(t) = E e 2γt. Konstanten gaa har enheten s -. Den tillgängliga energin för det oscillerande systeet blir alltså allt indre vartefter tiden går. En större kraftkonstant ger, för saa assa, en snabbare däpning av oscillationerna ko ihåg att den totala energin i systeet var proportionell ot aplituden i kvadrat. I figuren har fyra olika storlekar på kraftkonstanten ritats ut är konstanten lika ed noll får vi tillbaka en odäpad svängning so det sig bör. E(t)/E Tillgänglig energi för det oscillerande systeet Tid [s] 9
11 RÖRELSEEKVATIONEN FÖR DÄMPAD SVÄNGNING Ovan nände vi att aplituden åste inska efterso den tillgängliga energin i det svängande systeet hela tiden inskar. Ställer vi upp Newtons andra lag för det svängande, däpade, systeet så får vi en ekvation snarlik den vi fick för odäpade svängningar ed en ny ter för däpningskraften x + c x + k x =, x + c x + k x = Konstanterna fraför hastigheten och positionen kan vi välja fritt och ed tanke på att vi åste lösa det karakteristiska polynoet för differentialekvationen är det finurligt att välja konstanten fraför enkelderivatan so två gånger någonting (därför ser ekvationen ut so nedan i t.ex. Physics Handbook). x + 2γ x + ω 2 x = (5) Det karakteristiska polynoet kan vi slå upp i t.ex. Appendix M-2 i Physics handbook, alternativt kan vi ansätta lösningen so förut till Ae λt och sätta in denna i ekvationen ovan e λt (λ 2 + 2γλ + ω 2 ) = För att detta skall gälla för alla tidpunkter åste uttrycket ino parentesen vara noll hela tiden. Naturligtvis är detta uttryck också det karakteristiska polynoet (På vilken sida hittar du det i din Physics Handbook?). Rötterna till andragradsekvationen ino parentesen ger oss vilka lösningarna till ekvation 5. Överdäpad svängning Kritiskt däpad svängning Underdäpad svängning λ ± = γ ± γ 2 ω 2 Beroende på storlekarna hos däpningsfaktorn och egenfrekvensen kan vi dela upp lösningarna i tre olika kategorier: O uttrycket innanför roten är större än noll ( γ 2 > ω 2 ) så har vi två reella rötter till polynoet och våran lösning är en sua av två exponentialfunktioner. x(t) = Ae ( γ+ γ 2 ω 2 ) t + Be ( γ γ 2 ω 2 ) t denna lösning kallas överdäpad efterso aplituden avtar onotont ot noll och inte oscillerar.
12 O uttrycket innanför roten är lika ed noll ( γ 2 = ω 2 ) kallas svängningen för kritiskt däpad. Lösningen åste fortfarande innehålla två oberoende lösningar till ekvationen ovan, lösningen väljs till: x(t) = Ae γt + Bte γt Är uttrycket innanför rottecknet ett negativt tal (γ 2 < ω 2 ) blir rötterna koplexa. Lösningen blir: x(t) = Ae ( γ+i ω2 γ 2 ) t + Be ( γ i ω2 γ 2 ) t = = Ae γt sin (ω d t + ϕ), där vi har definierat den däpade egenfrekvensen ω 2 d = ω2 γ2. Dessa lösningar kallas för underdäpade. Bilden visar överdäpad svängning, kritiskt däpad svängning sat underdäpad svängning. Exakt hur lösningarna ser ut beror naturligtvis på begynnelse och randvillkor. I det överdäpade fallet har endast en ter so klingar av onotont tagits ed. Denna lösning passerar inte y=. Aplitud Den kritiskt däpade svängningens paraetrar har valts för att visa att denna lösning kan passera y= en gång (för vissa värden på A och B). Aplituden för den underdäpade svängningen avtar exponentiellt (streckade linjer) vilket vi kan förvänta oss ed tanke på att vi härledde att energin i systeet avtar enligt: E(t) = E e 2γt och att energin är proportionell ot aplituden i kvadrat. Karakteristiskt för svängningen är att den korsar y= flera gånger. Ett ått på hur ycket energi so försvinner ur (och eller tillförs, en detta koer vi till senare) systeet är kvalitetsfaktorn, ofta kallad Q. Kvalitetsfaktorn är ett ått på hur ycket energi so är lagrat i systeet jäfört ed hur ycket so läcker ut (och eventuellt tillförs) systeet per cykel. Däpningstiden, det vill säga hur länge det tar för ursprungsaplituden A att falla ned till /e*a är τ = γ. Hur ånga cykler so genoförs innan aplituden nått /e är då τ T, helt enkelt däpningstiden delat på periodtiden för det odäpade systeet. - Tid / [s] Kvalitetsfaktorn Däpningstid Kavlitetsfaktorn är definierad so π τ T vilket ed hjälp av ω = 2π f = 2π T kan skrivas Q = ω 2γ. Q är stor o däpningsfaktorn är liten i förhållande till egenfrekvensen. För drivna syste är kvalitetsfaktorn relaterad till bandbredden geno Δω Q = ω något vi återkoer till.
13 Övning: (Från en ekaniktenta) En stavliknande konstruktion (8 kg tung) och två eter lång har hängts upp i en fjäder (fjäderkonstanten är 32 N/) ed borstar på sidan so däpar ev. svängningar en sula. Det observeras att o fjädern dras ned några centieter från fjäderns jäviktsläge så återstår en tiondel av ursprungsaplituden efter tio perioder. Vilken däpningsfaktor ger borstarna upphov till? (5p) Vi vet att flera perioder gås igeno, lösningen åste vara underdäpad. Ekvationen för systeet är x + 2γ x + ω 2 x =, ed lösningar x(t) = Ae γt cos (ω d t + ϕ) Vi väljer en cosinuslösning efterso den initiala aplituden är skilld från noll, detta gör att vi slipper att räkna ut fasvinkeln. Den skiftade vinkelfrekvensen skriver vi.h.a. fjäderkonstanten och däpningsfaktorn so vi söker ω 2 d = ω2 γ2 = k γ2. Periodtiden för det däpade systeet är T = 2π ω d x()=a A är ursprungsaplituden några centieter. Efter T är aplituden.a x(t)=.a e γt cos(ω d T )=.A cosinusfunktionen är lika ed efter perioder. x(t ) x() = Ae γt A =.. = e γt γ 2π ω = e d denna ekvation tar vi den naturliga logariten av. ln. = γ 2π ω 2 γ2, ln. 2π = γ ω 2 γ2, vänsterledet i det sista sabandet kallar vi C, c 2 (ω 2 γ2 ) = γ 2, c 2 ω 2 = γ2 ( + c 2 ) löser vi denna ekvation får vi däpningskonstanten γ =.23 s - (den negativa roten löser inte vårt proble). 2
14 DRIVNA SVÄNGNINGAR, MED OCH UTAN DÄMPNING Vi koer i denna kurs endast att behandla fallet där drivkraften för systeet är sinusforad. För er allänna fall behöver vi lite er avancerad ateatik (fraförallt transforetoder) för att lösa differentialekvationerna. O vi börjar ed fallet där c=, utan däpning och den tidsvarierande drivkraften F(t) = F sin Ωt så blir rörelse ekvationen för systeet via Newtons andra lag: F = x, k x + F(t) = x x + ω 2 x = F(t)/ = F sin Ωt (a) Det kan lika gärna vara upphängningen so svänger (där fjädern sitter fast) W(t) = W sin Ωt. Där W är väggens svängingsaplitud denna rörelse ger upphov till att fjäderns töjning ändras. Med Newtons andra lag får vi: F = x, k(x E(t)) = x x + ω 2x = kw = F(t)/ = F sin Ωt O väggen svänger eller o vi har en exciterande kraft so drar i systeet ger alltså upphov till saa ekvation: en inhoogen differentialekvation. Lösningarna till en sådan skrivs so suan av den hoogena lösningen och en partikulärlösning: x(t) = x hoogen + x partikul ar = x H + x P Vi känner redan till de hoogena lösningarna till x + ω 2x = ( x h (t) = A sin(ω t + ϕ) ) - partikulärlösningarna finns inget recept för att hitta, en en god turegel är att de ska vara så lika den inhoogena delen so öjligt. Vi ansätter: x p = C sin Ωt Vi vill veta C, vi löser det geno att sätta in vår partikulärlösning i ekvationen (a) ovan. 3
15 CΩ 2 sin Ωt + Cω 2 sin Ωt = F sin Ωt, ( Ω 2 + ω) 2 C sin Ωt = F sin Ωt För att detta saband skall gälla för alla tider så åste ( Ω 2 + ω) 2 C = F, så aplituden för partikulärlösningen blir: C = F ω 2 Ω2 Den totala lösningen blir alltså: x(t) = A sin(ω t + ϕ) + ω 2 F Ω2 sin Ωt Aplituden för partikulärlösningen kan bli ycket stor när drivfrekvensen ligger nära systeets egenfrekvens. I bilden plottas - ett exepel där både A och F/ är lika ed ett. Totallösningen -2 Obs skalan! har dock en aplitud so är drygt ggr större efterso frekvenserna ligger nära varandra. Detta fenoen kallas för resonans och är ycket viktigt att ta hänsyn till i alla öjliga saanhang, från brokonstruktion, akustik etc till hur obiltelefoners antenner fungerar. DRIVNA DÄMPADE SVÄNGNINGAR Vi koer att nära oss probleet ed drivna däpade svängningar på saa sätt so ovan. I fallet där vi även har en däpning så går vi vidare precis so ovan. Lösningarna på det hoogena probleet känner vi redan till. I det underdäpade fallet är de produkten av en avklingande exponentialfunktion och en oscillerande funktion ed vinkelfrekvens ω d = x + 2γ x + ω 2x = F(t)/ = F / sin Ωt ω γ 2. Ekvationen so vi ska lösa blir: 4
16 Vi är ute efter en partikulärlösning lite so ovan. Vägen in i det här fallet är att ansätta en partikulärlösning på foren: x P (t) = C sin(ωt ϕ) Vi sätter in den i ekvationen ovan för att ta reda på aplituden C so vi gjorde förut. Vi skriver ekvationen so ω 2x + x + 2γ x = A sin Ωt ed F / = ω 2A. (ω 2 Ω2 )C sin(ωt ϕ) γωc cos(ωt ϕ) = ω 2 A sin Ωt Med hjälp av den trigonoetriska identiteten: sin (α β) = sin(α)cos(β) cos(α)sin(β) (och otsvarande för cosinus) kan vi skriva: (ω 2 Ω2 )C(sin(Ωt)cos(ϕ) cos(ωt)sin(ϕ)) + γωc(cos(ωt)cos(ϕ) + sin(ωt)sin(ϕ)) = ω A sin Ωt Vi salar ihop cosinus- och sinus-terer var för sig [C(ω 2 Ω2 )cos ϕ + CγΩ sin ϕ ω A)] sin Ωt + [ C(ω 2 Ω2 )sin ϕ + γωc cos ϕ] = Det enda sättet för denna ekvationen att vara uppfylld för alla t är o uttrycken ino parantes är lika ed noll. Detta ger aplituden och fasförskjutningen: C = ω 2A = ρω 2 2γΩ (ω 2 Ω2 ) γ 2 Ω 2 A, ϕ = tan ( ω 2 Ω2 ) Aplituden blir en förstärkningsfaktor ρ, gånger ursprungsaplituden. Exepel och övning: En assa (2 kg) är saanbunden ed en fjäder (k=8 N/) och en stötdäpare (c= Ns/). När vi börjar äta tiden står assan stilla och en kraft F(t) = 2 sin (4t) N börjar verka på systeet. Bestä assans position so funktion av tiden o svängningen är horisontell. Lösning på nästa sida: 5
17 Vi börjar ed att skriva upp differentialekvationen (öva själv att rita det svängande systeet och sätt ut krafterna ed riktning så att du kan ställa upp Newtons andra lag rätt). x + c x + k x = F(t) ω = 8/2 = 2 rad /s γ = c/(2) =.25 rad /s Detta är en underdäpad svängning! (varför?).5.5 Hoogen underkritiskt däpad lösning ω d = ω 2 γ2 =.98 rad/s Enligt Physics Handbook är partikulärlösningen (hittar du den i PH?) vi använder stora oega för drivfrekvensen: x p = A cos(ωt ϕ), ed tanke på att vi startar från vila är det kanske slugare att välja en sinusvariant x p = A sin(ωt ϕ) dessuto är denna er lik den tvingande funktionen. Partikulärlösningens aplitud och fas-skift -.5 Partikulärlösning A = F (ω 2 Ω2 ) 2 + (2γΩ) 2 = 2/2 ( ) *.25 2 * 4 2 =.822 Aplitud / [] tan ϕ = 2 * 4 *.25/( ) vilket är ~-9.5 För att få den hoogena lösningen sätter vi F(t)=. - 2 Lösningen är suan av hoogen och partikulärlösningarna x + c =2γ x + k =ω 2 x =, vilken har lösningarna x H (t) = e.25t [A sin(ω d t + ϕ h ) + B cos(ω d t + ϕ h )], systeet startar från vila vid t= s, vilket ger ϕ h = och tid / [s] = d x h dt t= och x h () = ger konstanterna A=.65 och B=.35. Hela lösningen kan vi nu skriva ner: -2 Transient fortvarande/resulterande X(t) = x H (t) + x p (t) = e.25t (.65 sin(.98t) +.35 cos(.98t)).822 sin(4t ) Lösningens koponenter är plottade i bilden. Den hoogena lösningen däpas ut efter en tid (lösningens transienta oråde) och lösningen antar en stabil fortvarande lösning. 6
18 RESONANS OCH ENERGI I DRIVNA DÄMPADE SVÄNGNINGAR I ekvationerna för aplituden och fasvridningen så innehåller täljaren skillnaden ellan systeets egenfrekvens och drivfrekvensen, o denna skillnad är (ycket) liten blir naturligtvis kvoten potentiellt ycket stor. I figurerna har aplitud och fasvridning plottats för ett stort antal kobinationer av däpningar Aplitud och drivfrekvenser. För så däpningar kan aplituden bli ycket stor när drivfrekvensen är nära systeets egenfrekvens (so är lika ed rad/s i figurerna). När däpningarna blir större blir aplituden inte så stor, en fördelningen blir bredare (och skiftar ot högre värden på frekvensen). Bredden vid halva axaplituden är lika ed kvalitetsfaktorn Q so vi räknade ut tidigare. För fasvridningen ser vi att den förändrar sig ed drivfrekvensen också. Nedanför resonansfrekvensen är skillnaden i fas ellan systeets egensvängningar och drivsvängingarna liten. På resonansen är de 9 i förhållande till varandra och går ot 8 över resonansen. 7
19 DEN FYSISKA PENDELN So en övning kan vi försöka att härleda rörelseekvationen för en saansatt/fysisk pendel. I figuren är avståndet ellan asscentru och upphängningspunkt utätt. O vi sätter oentpunkten till upphängningspunkten kan vi skriva upp suan av oenten för kroppen (vars tröghetsoent ed avseende på oentpunkten vi kan sätta till I) so Iα = gl sin θ vinkelaccelerationen är inget annat än θ och för så utslag kan vi använda approxiationen (McLaurinutvecklingen o an så vill) för sinus sin θ θ: I θ + glθ = θ + gl θ = I Detta är ekvationen för en haronisk oscillator ed egenfrekvensen ω 2 = gl. I Övning: Vilken har längst svängningstid av en upphängd ring, boll eller skiva so väger lika ycket och so svänger kring en punkt på periferin? En däpad fysik pendel kan beskrivas ed ett däpande oent so är proportionellt ot θ. 8
Harmonisk oscillator Ulf Torkelsson
1 Haronisk rörelse Föreläsning 13/9 Haronisk oscillator Ulf Torkelsson Betrakta en potentiell energi, V (x), so har ett iniu vid x, och studera rörelsen i närheten av detta iniu. O vi släpper en partikel
Läs merTentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen
007-08-30 Tentaen i Mekanik SG1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpede föruto rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Probletentaen En hoogen stång ed assan är fäst i ena änden i en fritt vridbar led.
Läs merTentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen
006-08-8 Tentaen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpede föruto rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Probletentaen Ett glatt hoogent klot ed assan vilar ot två plana, hårda och glatta
Läs merLösningar till problemtentamen
KTH Mekanik 2007 05 09 Mekanik bk och I, 5C03-30, för I och BD, 2007 05 09, kl 08.00-2.00 Lösningar till probletentaen Uppgift : En partikel i A ed assa hänger i två lika långa trådar fästa i punkterna
Läs merTentamen i Mekanik - partikeldynamik
Tentaen i Mekanik - partikeldynaik TMME08 011-01-14, kl 8.00-1.00 Tentaenskod: TEN1 Tentasal: Exainator: Peter Schidt Tentajour: Peter Schidt, Tel. 8 7 43, (Besöker salarna ca 9.00 och 11.00) Kursadinistratör:
Läs mer10 HARMONISKA OSCIL- LATORN
Haroniska oscillatorn 10 1 10 HARMONISKA OSCIL- LATORN 10.1 Inledning Det kanske viktigaste probleet ino ekaniken, satidigt ett av de enklaste att lösa, är den haroniska eller linjära oscillatorn. Det
Läs merSG1140, Mekanik del II, för P2 och CL3MAFY
Tentaen 101218 Lcka till! Tillåtna hjälpedel är penna och suddgui. Rita tdliga figurer, skriv grundekvationer och glö inte att sätta ut vektorstreck. Definiera införda beteckningar och otivera uppställda
Läs merSG1140, Mekanik del II, för P2 och CL3MAFY. Omtentamen
Otentaen 110610 Lcka till! Tillåtna hjälpedel är penna och suddgui. Rita tdliga figurer, skriv grundekvationer och glö inte att sätta ut vektorstreck. Definiera införda beteckningar och otivera uppställda
Läs merVågrörelselära och optik
Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:
Läs merFöreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla system
1 KOMIHÅG 16: --------------------------------- Ellipsbanans storaxel och mekaniska energin E = " mgm 2a ------------------------------------------------------ Föreläsning 17: Jämviktsläge för flexibla
Läs mer9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar
9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar 9.5 Frilägg hjulet och armen var för sig. Normalkraften kan beräknas med hjälp av jämvikt för armen. 9.6 Frilägg armen, och beräkna normalkraften. a) N µn
Läs merTänk nu att c är en flaggstång som man lutar och som dessutom råkar befinna sig i ett koordinatsystem.
Detta tänker jag att man redan vet: sin α= b c och cosα=a c och alltså också att för vinkeln. b=c sin α och a=c cos α Hypotenusan gånger antingen sinus eller cosinus Del 1 Tänk nu att c är en flaggstång
Läs merÖvningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt
Övningstenta 015 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt tillsammans med begynnelsevillkoret v(0) = 0. Vi får: v(t) = 0,5t dt = 1 6 t3 + C och vi bestämmer
Läs merTid läge och accelera.on
Tid läge och accelera.on Tid t Läge x = x(t) Hastighet v(t) = dx dt x(t) = Acceleration a(t) = dv dt v(t) = t t0 v(t)dt t t 0 a(t)dt Eq 1 Eq 2 Eq 3 MEN KOM IHÅG: 1. För a> de>a skall vara användbart måste.dsberoendet
Läs merAlltså är {e 3t, e t } en bas för lösningsrummet, och den allmänna lösningen kan därmed skrivas
ektion 7, Envariabelanalys den 8 oktober 1999 Visa att funktionerna y 1 = e r 1t och y = e r t, där r 1 r, är linjärt oberoende. 17.7. Finn den allmänna lösningen till y 3y = 0. Vi ska visa implikationen
Läs merTentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08
Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08 Onsdagen den 13 augusti 2008, kl. 8-12 Examinator: Jonas Stålhand Jourhavande lärare: Jonas Stålhand, tel: 281712 Tillåtna hjälpmedel: Inga hjälpmedel Tentamen
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merMEKANIK LABORATION 2 KOPPLADE SVÄNGNINGAR. FY2010 ÅK2 Vårterminen 2007
I T E T U N I V E R S + T O C K H O L M S S FYSIKUM Stockholms universitet Fysikum 3 april 007 MEKANIK LABORATION KOPPLADE SVÄNGNINGAR FY010 ÅK Vårterminen 007 Mål Laborationen avser att ge allmän insikt
Läs merDenna vattenmängd passerar också de 18 hålen med hastigheten v
FYSIKTÄVLINGEN KVLIFICERINGS- OCH LGTÄVLING 3 februari 000 LÖSNINGSFÖRSLG SVENSK FYSIKERSMFUNDET 1. a) Den vattenängd so passerar slangen per sekund åste också passera något av de 18 hålen. Den vattenängd
Läs merLÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse
LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse Utrustning: Dator med programmet LoggerPro LabQuest eller LabPro Avståndsmätare Kraftgivare Spiralfjäder En vikt Stativmateriel Kraftgivare Koppla mätvärdesinsamlaren
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merLösningar Heureka 2 Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse
Lösningar Heureka Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lo sningar Fysik Heureka Kapitel 7 7.1 a) Av figuren framgår att amplituden är 0,30 m. b) Skuggan utför en
Läs merTentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik
Tentaen i Mekanik I del Statik och partikeldynaik TMME7 0-0-, kl 4.00-9.00 Tentaenskod: TEN Tentasal: TER, TER, TERC, TERD Eainator: Peter Schidt Tentajour: Peter Schidt, Tel. 8 7 43, (Besöker salarna
Läs merSvar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merLösning. (1b) θ 2 = L R. Utgå nu från. α= d2 θ. dt 2 (2)
Lösningar till dugga för kursen Mekanik II, FA02, GyLärFys, KandFys, F, Q, W, ES Tekn-Nat Fak, Uppsala Universitet Tid: 7 april 2009, kl 4.00 7.00. Plats: Skrivsalen, Polacksbacken, Uppsala. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
150821 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 150821 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Sträckan fås genom integration: x = 1 0 sin π 2 t dt m = 2 π [ cos π 2 t ] 1 0 m = 2 π m = 0,64 m Svar: 0,64 m b) Vi antar att loket
Läs merHarmonisk svängningsrörelse
Institutionen för Fysik och Astronomi Mekanik HI: 214 Harmonisk svängningsrörelse I den här laborationen kommer vi att titta på svängningsrörelse med olika egenskaper: fri odämpad, fri dämpad och tvungen
Läs merKOMIHÅG 12: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n
KOMIHÅG 1: ------------------------------------------------------ Ekvation för fri dämpad svängning: x + "# n x + # n x = a, Tre typer av dämpning: Svag, kritisk och stark. 1 ------------------------------------------------------
Läs merInlupp 3 utgörs av i Bedford-Fowler med obetydligt ändrade data. B
Inlupp Sommarkurs 20 Mekanik II En trissa (ett svänghjul) har radie R 0.6 m och är upphängd i en horisontell friktionsfri axel genom masscentrum.. Ett snöre lindas på trissans utsida och en konstant kraft
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Lördagen den 19 januari 2013 klockan 08.30-12.30 i M. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med valfritt
Läs merTentamen i mekanik TFYA kl
TEKISKA ÖGSKOA I IKÖPIG Institutionen för ysi, Kei och Biologi Galia Pozina Tentaen i eani TYA6 -- l. 4-9 Tillåtna jälpedel: Physics andboo eller Tefya utan egna antecningar, avprograerad ränedosa enligt
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
180111 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 180111 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Svar: 89 cm x = 0 t 3 dt = [ t 3 9 ] 0 = 8 m 89 cm 9 b) Om vi betecknar tågets (T) hastighet relativt marken med v T J, så kan vi
Läs merSvar och anvisningar
160322 BFL102 1 Tenta 160322 Fysik 2: BFL102 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Centripetalkraften ligger i horisontalplanet, riktad in mot cirkelbanans mitt vid B. A B b) En centripetalkraft kan tecknas:
Läs merTFYA16/TEN :00 13:00
Link opings Universitet Institutionen f or fysik, kemi och biologi Marcus Ekholm TFYA16/TEN2 Ovningstentamen Mekanik 2015 8:00 13:00 Tentamen best ar av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 po ang.
Läs merTFYA16/TEN2. Tentamen Mekanik. 12 januari :00 13:00. Tentamen besta r av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poa ng.
Linko pings Universitet Institutionen fo r fysik, kemi och biologi Marcus Ekholm TFYA16/TEN2 Tentamen Mekanik 12 januari 2015 8:00 13:00 Tentamen besta r av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 poa
Läs merProblemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2
2015-MM-DD Övningstentamen i Mekanik SG1130, grundkurs B1. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Ett kraftsystem består av tre krafter som angriper
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tid och plats: Tisdagen den 27 augusti 2013 klockan 14.00-18.00. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta samt en egenhändigt handskriven A4 med valfritt innehåll (bägge
Läs merPåtvingad svängning SDOF
F(t)=F 0 cosω 0 t Förflyttning x M k Vi betraktar det vanliga fjäder-massa systemet men nu påverkas systemet med en kraft som varierar periodiskt i tiden: F(t)=F 0 cosω 0 t Den periodiskt varierande kraften
Läs merLösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner
Lösningar Heureka Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lösningar Fysik Heureka:Kapitel 3 3.1) Enligt figuren: nordliga förflyttningen: 100+00-100=00m Östliga förflyttningen:
Läs merKOMIHÅG 18: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n. x j,
KOMIHÅG 18: ------------------------------------------------------ Ekvation för fri dämpad svängning: x + "# n x + # n x = # n x j, 1 med konstanterna! n = k m och!" n = c m. ------------------------------------------------------
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merSvängningar. Innehåll. Inledning. Litteraturhänvisning. Förberedelseuppgifter. Svängningar
Svängningar Innehåll Inledning Inledning... 1 Litteraturhänvisning... 1 Förberedelseuppgifter... 1 Utförande Det dämpade men odrivna systemet... 3 Det drivna systemet... 4 Observation av ett urval av svängande
Läs merSvar och anvisningar
170317 BFL10 1 Tenta 170317 Fysik : BFL10 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Den enda kraft som verkar på stenen är tyngdkraften, och den är riktad nedåt. Alltså är accelerationen riktad nedåt. b) Vid kaströrelse
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!
014-08-19 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN m fl. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En boll med massa m skjuts ut ur ett hål så att den hamnar
Läs merUppgift 3.5. Vi har att: a = dv dt enligt definitionen. Med vårt uttryck blir detta: dt = kv2. Vi separerar variablerna: v 2 = kdt
Uppgift 3.5 a) Vi har att: a = dv dt enligt definitionen. Med vårt uttryck blir detta: Vi separerar variablerna: Vi kan nu integrera båda leden: dv v = k dv dt = kv dv v = kdt dt 1 v = kt + C där C är
Läs merAndra EP-laborationen
Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med
Läs merKUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe
Tentamen i SG1102 Mekanik, mindre kurs för Bio, Cmedt, Open Uppgifterna skall lämnas in på separata papper. Problemdelen. För varje uppgift ges högst 6 poäng. För godkänt fordras minst 8 poäng. Teoridelen.
Läs mer6 Vägledning till övningar
6 Vägledning till övningar Deforation 1.2 Tag reda på längden, L, avdcefter deforationen. Använd att töjningen =(L L o )/L o. Ibland underlättar det att använda L =(1+ )L o. Studera den rätvinkliga triangeln
Läs merLABORATION 5 Aberrationer
LABORATION 5 Aberrationer Personnuer Nan Laborationen godkänd Datu Assistent Kungliga Tekniska högskolan BIOX 1 (5) LABORATION 5: ABERRATIONER Att läsa i kursboken: sid. 233-248, 257-261, 470-472, 480-485,
Läs merIntroduktion. Torsionspendel
Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet November 00 Fysik och teknisk fysik Kristian Gustafsson och Maj Hanson (Anpassat för I1 av Göran Niklasson) Svängningar Introduktion I mekanikkursen
Läs merMekanik FK2002m. Repetition
Mekanik FK2002m Föreläsning 12 Repetition 2013-09-30 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 12 Förflyttning, hastighet, acceleration Position: r = xî+yĵ +zˆk θ = s r [s = θr] Förflyttning: r
Läs mer2. Beräkna. (z-koordinaten för masscentrum för en homogen kropp som upptar området K) ½ u = xy 3. Använd variabelbytet v = y x.
HH / Georgi Tchilikov FLERVARIABELANALYS för Lp2 noveber 23, kl.9-13 Hjälpedel: Bifogat Forelblad Envariabelanalys. Redovisa och otivera lösningarna så att även en kurskarat kan följa ed och övertygas.
Läs merTentamen i mekanik TFYA kl. 8-13
TEKNISK HÖGSKOLN I LINKÖPING Institutionen för Fysik, Kei och Biologi Galia Pozina Tentaen i ekanik TFY6 4-- kl. 8- Tillåtna Hjälpedel: Physics Handbook eller Tefya utan egna anteckningar, aprograerad
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merChalmers Tekniska Högskola och Mars 2003 Göteborgs Universitet Fysik och teknisk fysik Kristian Gustafsson Maj Hanson. Svängningar
Chalmers Tekniska Högskola och Mars 003 Göteborgs Universitet Fysik och teknisk fysik Kristian Gustafsson Maj Hanson Svängningar Introduktion I mekanikkurserna arbetar vi parallellt med flera olika metoder
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 24 augusti 2009 klockan 08.30-12.30 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén. Obligatorisk del 1. Rätt svarsalternativ på de sex frågorna är:
Läs merLösningar till Tentamen i fysik B del 1 vid förutbildningar vid Malmö högskola
Lösningar till Tentamen i fysik B del 1 vid förutbildningar vid Malmö högskola Tid: Måndagen 5/3-2012 kl: 8.15-12.15. Hjälpmedel: Räknedosa. Bifogad formelsamling. Lösningar: Lösningarna skall vara väl
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP00, Fysikprogrammet termin 2 Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Lödag 29 maj 200, kl 8 30 3 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
170418 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 170418 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Vi är intresserade av största värdet på funktionen x(t). Läget fås genom att integrera hastigheten, med bivillkoret att x(0) = 0.
Läs merFöreläsning 14 och 15: Diffraktion och interferens i gitter, vanliga linser, diffraktiv optik och holografi
1 Föreläsning 14 och 15: Diffraktion och interferens i gitter, vanliga linser, diffraktiv optik och holografi Ljusets vågnatur Ljus kan ses so elektroagnetiska vågor so rör sig fraåt. När vi ritar strålar
Läs merVälkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs merÖvningsuppgifter till Originintroduktion
UMEÅ UNIVERSITET 05-08-01 Institutionen för fysik Ylva Lindgren Övningsuppgifter till Originintroduktion Uppgift 1. I ett experiment vill man bestämma fjäderkonstanten k för en viss fjäder. Med olika kraft
Läs merLösningsförslat ordinarie tentamen i Mekanik 2 (FFM521)
Lösningsförslat ordinarie tentamen i Mekanik (FFM5) 08-06-0. Baserat på Klassiker Ett bowlingklot med radie r släpps iväg med hastighet v 0 utan rotation. Initialt glider den mot banan, och friktionen
Läs merCirkelkriteriet (12.3)
Föreläsning 3-4 Cirkelkriteriet (12.3) En situation där global stabilitetsanalys kan utföras. r + u G(s) y f( ) där f( ) är en statisk olinjäritet, t ex f(y) = 1 y 0 1 y < 0 eller Antag att: f(y) = y 2
Läs merMekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete
Mekanik FK2002m Föreläsning 6 Kinetisk energi och arbete 2013-09-11 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 6 Introduktion Idag ska vi börja prata om energi. - Kinetisk energi - Arbete Nästa gång
Läs merTentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen
2015-06-01 Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas KTH Mekanik Problemtentamen 1. En bil med massan m kör ett varv med konstant fartökning ( v =)
Läs mer6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar
6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill
Läs merTentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik
Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Måndagen 1/8 017, kl 08:00-1:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:
Läs merVälkomna till Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs mer45 o. Mekanik mk, SG1102, Lösningar till problemtentamen, KTH Mekanik
KTH Meani 2013 05 23 Meani, SG1102, Lösningar till probletentaen, 2013 05 23 Uppgift 1: Längre slag i golf påeras raftigt a luften. För ortare chippar är däreot luftotståndet försubart. En golfspelare
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 16 augusti 2010 klockan 14.00-18.00 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén. Obligatorisk del 1. Rätt svar på de sex deluppgifterna: SFF SFS.
Läs merLEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4
LEDNINAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4 LP 4.3 Tyngdkraften, normalkraften och friktionskraften verkar på lådan. Antag att normalkraftens angreppspunkt är på avståndet x från lådans nedre vänstra hörn. Kraftekvationen
Läs merNewtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.
1 KOMIHÅG 8: --------------------------------- Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2
Läs merSKALNING OCH RESONANS
SKALNING OCH RESONANS INGEMAR NÅSELL Abstract. Dessa föreläsningsanteckningar kompletterar Avsnitten 3.8 och 3.9 i kursboken av Boyce och diprima. De behandlar ett av de viktigaste avsnitten i kursen,
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 3-5-6, kl. 14. 19.. 5B1/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan för betyg
Läs merRoterande obalans Kritiskt varvtal för roterande axlar
Roterande obalans Kritiskt varvtal för roterande axlar Rotation, krit. varvtal, s 1 m 0 Roterande obalans e Modeller för roterande maskiner ej fullständigt utbalanserade t ex tvättmaskiner, motorer, verkstadsmaskiner
Läs merundanträngda luften vilket motsvarar Flyft kraft skall först användas för att lyfta samma volym helium samt ballongens tyngd.
FYSIKTÄVLINGEN Finalen - teori 1 maj 001 LÖSNINGSFÖRSLAG SVENSKA FYSIKERSAMFUNDET 1 Vi beräknar först lyftkraften för en ballong Antag att ballongen är sfärisk med diametern 4πr 4π 0,15 0 cm Den har då
Läs merLaboration: Roterande Referenssystem
INSTITUTIONEN FöR FYSIK OCH ASTRONOMI Laboration: Roterande Referenssystem Laborationsinstruktionen innehåller teori, diskussioner och beskrivningar av de experiment som ska göras. Mål: Att få erfarenhet
Läs merTFEI02: Vågfysik. Tentamen : Svar och anvisningar. t s(x,t) =s 0 sin 2π T x. v = fλ =3 5 m/s = 15 m/s
140528: TFEI02 1 TFEI02: Vågfysik Tentamen 140528: Svar och anvisningar Uppgift 1 a) En fortskridande våg kan skrivas på formen: t s(x,t) =s 0 sin 2π T x λ Vi ser att periodtiden är T =1/3 s, vilket ger
Läs mery(0) = e + C e 1 = 1
KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs
Läs merOm svängningar och resonans
Om svängningar och resonans Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Här diskuterar vi andra ordningens linjära differentialekvationer som har lösningar som utgör svängningar,
Läs merSammanfattning av ordinära differentialekvationer
Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merStela kroppens plana rörelse; kinetik
Kap 9 Stela kroppens plana rörelse; kinetik 9.1 Rotation kring fix axel 9. b) Funktionen B sinωt + C cosω t kan skrivas som A sin(ω t + ϕ), där A = B 2 + C 2 9.6 Frilägg hjulet och armen var för sig. Normalkraften
Läs mer6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar
6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste
Läs merav envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)
Lösningsskisser till TATA69 Flervariabelanalys 16-1- 1 Stationära punkter ges av f (4x 3 + 4x, 3y + 6z, z + 6y (,,, dvs (x, y, z (,, eller (x, y, z (, 6, 18 Ur andraderivatorna fås de kvadratiska formerna
Läs merGrundläggande om krafter och kraftmoment
Grundläggande om krafter och kraftmoment Text: Nikodemus Karlsson Original character art by Esa Holopainen, http://www.verikoirat.com/ Krafter - egenskaper och definition Vardaglig betydelse Har med påverkan
Läs merKollisioner, impuls, rörelsemängd kapitel 8
Kollisioner, impuls, rörelsemängd kapitel 8 ! Sida 4/4 Laboration 1: Fallrörelse på portalen ikväll Institutionen för Fysik och Astronomi! Mekanik HI: 2014 Fallrörelse Institutionen för Fysik och Astronomi!
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del (FFM51 och 50 Tid och plats: Lösningsskiss: Fredagen den 17 januari 014 klockan 08.30-1.30. Christian Forssén Obligatorisk del 1. Endast kortfattade lösningar redovisas. Se avsnitt
Läs merTentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen
005-05-7 Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen En homogen stång med massan m är fäst i ena änden i en fritt vridbar
Läs merCrash Course Envarre2- Differentialekvationer
Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merMekanik Föreläsning 8
Mekanik Föreläsning 8 CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 02 19 1 / 16 Repetition Polära koordinater (r, θ): ange punkter i R 2 m h a r: avståndet från origo (0, 0) θ: vinkeln mot positiva x axeln
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs mer3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten.
Tentamen 1, Mekanik KF HT2011 26:e November. Hjälpmedel: Physics handbook alt. Formelblad, Beta mathematics handbook, pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmmar. För godkänt krävs minst 18/36 på
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. n. Om O betecknar origo och T masscentrum då gäller ===========================================================
rin Halilovic: EXTR ÖVNINGR Masscentru MSSCENTRUM Låt P P P n vara punkter ed otsvarande assor n O O betecknar origo och T asscentru då gäller OT OP OP n * där n närkning: Uttrcket OP OP n kallas viktade
Läs merTentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik
Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 10/1 017, kl 14:00-18:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:
Läs merODE av andra ordningen, och system av ODE
ODE av andra ordningen, och system av ODE Exempel på di erentialekvation av andra ordningen (innehåller andra derivata) Pendel beskrives av Newtons andra lag: Kraft = massa Acceleration Acceleration =
Läs mer