TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, olikheter och binomialkoefficienter

Transkript

1 TATM79: Föreläsig Absolutbelopp, oliheter och biomialoefficieter Joha Thim augusti Absolutbelopp Absolutbelopp Defiitio. För varje reellt x defiieras absolutbeloppet x eligt { x, x 0 x x, x < 0. vis har vi 3 3 och. Beloppet tar alltså bort tecet! Det är alltså e diret oseves av defiitioe att x 0 för alla x. Dessutom a vi uttryca x x (visa det!. Ma a så lart sissa upp hur beloppsfutioe ser ut. y y x x Strit olihet? Observera att vi lia gära hade uat defiiera x som x då x > 0 och x då x 0, eller till och med x då x 0 och x då x 0. I de sista variate har vi fallet x 0 med två gåger, me 0 0 i båda falle så detta orsaar ige logis ullerbytta. Däremot ser det ase lite fult ut att defiiera samma fall två gåger, me vi tillåter oss detta för att ite risera att glömma bort ågot fall. Ur defiitioe följer det ocså att x y { x y, x y, y x, x y. Vi a alltså tola x y som avstådet (alltid ice-egativt mella putera x och y på de reella axel. Specialfallet är x 0 x som alltså är avstådet frå x till origo. joha.thim@liu.se 1

2 x y x y Liheter och oliheter Om d 0 är e ostat så gäller följade. x d x ±d x d d x d x d x d eller x d Hur löser vi då evatioer och oliheter som iehåller absolutbelopp? Typist är att vi delar upp i olia fall, tillräcligt måga för att vi sa ua sriva uttryce uta belopp i varje fall. Lös x x 1 x + 1. Lösig. Låt oss betrata de reella tallije. Fall 1 Fall Fall 3 Fall x 1 x 0 x 1 x Itressata puter där beloppe a växla tece: x 1 (då x + 1 växlar tece, x 0 (då x växlar tece, och x 1 då (x 1 växlar tece. Vi måste alltså dela upp i fyra olia fall. Figure eda sissar hur situatioe ser ut grafist. Detta gör vi elast geom att udersöa hur uttryce ser ut i vart och ett av de fyra falle. y 1 y x x y x 1 x + 1

3 Vi ser att uttryce sär varadra i e eda put, som verar ligga vid x 1/. Vi ser ova att det ofta blir hör i brytputera. Detta är ormalt. Vad som ite sa se är att det blir hopp. Detta eftersom beloppsfutioe är otiuerlig ett begrepp vi återommer till seare. Fall 1, x < 1: x x 1 x + 1 x (x 1 + (x Går ite. Fis ige lösig i detta itervall. Fall, 1 x < 0: x x 1 x + 1 x (x 1 (x + 1 x 1. Eftersom 1 [ 1, 0[ så är detta ige lösig. Fall 3, 0 x < 1: x x 1 x + 1 x (x 1 (x + 1 x 1. Eftersom 1 [0, 1] så är detta e lösig. Fall, x 1: x x 1 x + 1 x (x 1 (x Går ite. Fis ige lösig i detta itervall. Svar: x 1 är de eda lösige. Oliheter Att lösa oliheter siljer sig e del frå att lösa liheter. I allmähet bruar det vara svårare, och ett problem är att ma måste vara försitig med att förorta bort saer. Vi betratar ett exempel för att belysa hur vi agriper problemet. Lös olihete x + 1 x. Lösig. Teie vi reommederar är att flytta allt till ea sida av olihete, föra upp allt på gemesam ämare, fatorisera, göra e tecetabell, och sist me ite mist otrollera rimlighete. Således, x + 1 x (x (x + 1 (x 0 x + 1 x + 1 (x x 0 x + x x + 1 (x + (x 3 x x + 1 (x + (x 3 x + 1 Observera tecet i sista steget! Vi gör e tecetabell för det sista västerledet

4 1 3 x x x (x + (x 3 x A 0 + Vi ser ur tabelle att uttrycet är ice-egativt precis då x < 1 eller x 3. Observera vart det blev strit olihet (varför?! Kotroll. Här a vi till exempel ploca puter i de olia itervalle som fis och se till att vårt påståede stämmer överes med det vi utgic frå. x 3 : x 3 : 3/ + 1 x 0 : x : > 5 8 3/ 7/ > < Observera att dea otroll ite bevisar att vi har gjort rätt (det a fortfarade vara allvarliga fel vid fatoriserig och idetifierig av ollställe etc, me de visar ädå att svaret ite är orimligt. Ett valigt fel på tetor och duggor är att ma av ågo aledig svarar med omplemetitervalle. Detta ger alltid oll poäg oavsett aledig. Geom otroll av type ova a ma eelt udvia att svara med omplemetitervalle. Svar. x < 1 eller x 3. Oliheter och multipliatio Se upp med att multiplicera oliheter med variabler som a sifta tece! Till exempel a det vara locade att förläga olihete i föregåede exempel med x + 1. Då sulle vi i så fall ua udersöa (x (x + 1 x x x x 6 0. Vi ser att ämare x + 1 har försvuit i jämförelse med ova, och därmed ommer vår ya tecetabell att saa de iformatioe. Pute x 1 är ite lägre itressat och reste av tece riserar att bli fel. Detta är så lart helt åt soge. De eda räddige är att betrata två fall: x och x + 1 < 0 och reda ut ett i taget. Detta sulle fugera, me i allmähet bruar sådaa lösigar iehålla adra fel så det bruar ofta bli oll poäg på e teta ädå. Udvi alltså dea tei! Äu elare, visst är <? Alltså måste <, eller < 8. Iget ostigt här, det gic bra att multiplicera olihete med. Me vad häder om vi multiplicerar med? Då sulle <, eller < 8. Detta stämmer så lart ite!

5 3 Kombiatori och biomialoefficieter Faultet Defiitio. Om är ett aturligt tal defiierar vi! eligt och 0! 1.! ( 1 ( 3, 1, Vi startar alltså med ågot positivt heltal och multiplicerar seda ihop samtliga heltal midre ä eller lia med ed till och med. Alltså blir 1! 1,!, 3! 3 6, etc. 3.1 Kombiatori Multipliatiospricipe: Om vi har e tvåstegsprocess av valmöjligheter, där vi i första steget har 1 möjliga val och i det adra möjliga val, så fis det totalt sätt 1 ombiatioer. Det bruar illustreras med så allade träddiagram där varje löv på trädet represeterar e möjlighet. Atalet löv blir precis produte ova. E tre-rätters mey har förrätter, 3 varmrätter, och efterätter. Hur måga olia måltider a ma beställa om ma vill ha förrätt, varmrätt och efterätt? Eligt multipliatiospricipe blir det 3 olia måltider. Ma a illustrera multipliatiospricipe med hjälp av träddiagram. I figure eda väljer vi på ivå 1 mella två förrätter (F1 och F. I ästa ivå väljer vi mella 3 varmrätter (V1, V och V3. I det sista steget väljer vi mella fyra efterrätter. Varje väg geom trädet ger e ui måltid. Hur måga sådaa vägar fis det? Det är bara att räa ihop hur måga löv det fis på de sista ivå, vilet blir precis st. Måltid F1 F V1 V V3 V1 V V3 E1 E E3 E E1 E E3 E E1 E E3 E E1 E E3 E E1 E E3 E E1 E E3 E I detta exempel var det vitigt i vile ordig de olia delara i måltide tas (e förrätt är e förätt och så vidare. 5

6 Ordig Vad mear vi med att orda objet? Till exempel, hur svarar vi på fråga på hur måga sätt a vi orda siffrora 1, och 3? Vi a helt eelt sriva ut variatera: och ser att det fis 6 möjliga ordigar. Detta är ett exempel på följade sats (3! 6. Permutatioer Sats. Om vi har styce olia objet a dessa ordas på! olia sätt. Vi säger att det fis! olia permutatioer. Hur a vi se detta? E variat är att vi helt eelt placerar ut våra objet i e viss ordig och fuderar över hur måga val vi har i varje steg på samma sätt som meyostrutioe ova! Vi ställer upp e lista med plats och sriver ut på hur måga objet vi har var att välja på i varje steg. Plats 1 Plats Plats 3 Plats 1 Plats 1 1 Multiplicerar vi ihop eligt multipliatiospricipe ser vi att det blir precis! ombiatioer. 3. Biomialoefficieter Något lite rågligare? Vi utyttjar multipliatiospricipe för att reda ut följade sceario. Om vi har 10 dörrar och sa öppa 6 styce, på hur måga sätt a vi göra detta om ordige (dvs i vile ordig vi öppar dörrara ite spelar ågo roll? Vi har tio dörrar och sall välja ut sex st som öppas: Dörr 1 Dörr Dörr 3 Dörr Dörr 5 Dörr Dörr 1 a vi välja på 10 olia sätt. När vi seda väljer dörr fis det bara 9 var att välja på. Och så vidare. Ordige på dörrara är u fixerad, och vi får (frå multipliatiospricipe att det fis sådaa val. Detta är alltså svaret om vi vill göra sillad på i vile ordig dörrara öppas. När de sex dörrara är valda a vi variera ordige mella dessa 6 på 6! olia sätt: Dörr 1 Dörr Dörr 3 Dörr Dörr 5 Dörr Vi a u ta bort multipla dörrval (de ombiatioer som bara siljer sig åt med i vile ordig sex st specifia dörrar ligger: ! ( 10 6! 6!!. 6 6

7 Detta uttryc allas för e biomialoefficiet! Biomialoefficiet Defiitio. Om och är ice-egativa heltal så att så defiieras biomialoefficiete eligt! (!!. Räa ut ( 7 5. Detta gör vi diret frå defiitioe: ( 7 5 7! 5!! (i (ii (iii ( är alltid heltal. ( (. ( ( Egesaper för biomialoefficieter 1 då och 1,,..., 1. Vid Camp Crystal Lae härjar e våldsverare ilädd e hoceymas, låt oss alla hoom Jaso. Jaso plaerar att mörda tre ugdomar e att och har io tillhygge att välja på. Om vi bortser frå ordige på morde (alltså vem som blir mördad först etc, hur måga uia mordserier a Jaso åstadomma för dessa tre ugdomar om ha aväder precis ett tillhygge på varje idivid (uta upprepig? Lösige är eel om vi bara( abstraherar bort all text. Vi väljer alltså ut 3 objet frå 9 uta 9 ordig. Detta a göras på olia sätt eligt ova, och 3 Svar. 8 olia sätt. ( Biomialsatse Ett miestric för att omma ihåg biomialoefficieter (åtmistoe för rimligt små är Pascals triagel: 7

8 Pascals triagel ( ( ( 1 1 Dea ostrutio bygger på de reursiva formel + som 1 gäller för vettiga val på och. Detta motsvarar alltså i triagel ova att varje siffra a fås geom att summera de siffror som står ärmast ( på rade ovaför. ( De möjliga -värdea ( startar på 0 lägst till väster på varje rad med. Seda ommer, följt av, och så ( 0 1 vidare, till slutlige. Rad har alltså + 1 siffror (otrollera!; e siffra för varje möjligt ( ( ( 3 3 värde på. Till exempel så är ; olla på radera för 3 3 och 3. På så sätt a vi iterativt ostruera ästa rad om vi äer uvarade rad. Iblad sriver ma Pascals triagel lite mer som e rätvilig triagel i stället. Då blir det lite lättare att se hur häger ihop med allt: Pascals (rätviliga triagel E av de valigaste tillämpigara för biomialoefficieter är biomialsatse. 8

9 Biomialsatse Sats. Om är ett iceegativt heltal så gäller för alla x att (x ( + 0 x 1 Bevis. Vi sriver ut paretese: x + x x 1 + x. (x + 1 (x + 1(x + 1 (x + 1 a }{{} 0 + a 1 x + a x + + a x. st Så hur bestämmer vi oefficietera a? Om vi iar ärmare på produte i mellaledet så ser vi att vi ur varje paretes ommer att välja ett x eller e etta är vi multiplicerar ihop allt. Om vi till exempel tittar på x 5 så sa vi alltså välja 5 styce x och reste, dvs 5 styce ettor. Hur måga sätt a vi välja 5 objet av styce uta ordig (ige sillad på olia x eller ettor? Svaret är så lart biomialoefficiete eftersom argumetet a upprepas för varje. 5 ( 5 (x ( x ( 5 1 ( 5 x + 5 ( 5 x x + 10x + 10x 3 + 5x + x 5, vilet då visar formel i satse ova ( 5 x 3 + ( 5 x + 5 x 5 Ofta ser ma biomialsatse på följade form: (a + b 0 a b. Detta a visas med följade maipulatio (såvida b 0: (a + b b ( a b + 1 b 0 (a b 0 a b E typis avädig av biomialsatse är att idetifiera vad oefficiete före e viss term är i e summa av type i föregåede exempel. 9

10 Bestäm oefficietera före x 8 och x 9 i uttrycet ( x + x 10. Vi aväder biomialsatse och sriver ( x + x ( 10 ( 10 x ( x x ( x (10 Vi ser( att x får expoete 8 om och edast om Koefficiete blir 10 alltså När dyer då x 9 9 upp? Vi sulle behöva 10 9, eller 19/. Detta är iget heltal mella 0 och 10 (de heltal vi summerar över. Således saas terme x 9, oefficiete är alltså oll. Svar. 0 respetive 0. 10