och kallas ytintegral AREAN AV EN BUKTIG YTA

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "och kallas ytintegral AREAN AV EN BUKTIG YTA"

Kjell Nyström
för 5 år sedan
Visningar:

1 YTINTEGRALER Definition. Vi betraktar en funktion (xx, yy, zz) som är definierad på ytan Y. Vi delar ytan i ej- överlappande delar S i, väljer en punkt T i i varje S i och beräknar summan ii= ff(tt ii ) aaaaaaaaaa(ss ii ). Om gränsvärdet lim ii= ff(tt ii) aaaaaaaaaa(ss ii ) existerar (oberoende av hur indelningen och punkterna T i väljs) betecknas det med Alltså och kallas ytintegral. lim ii= ff(tt ii) aaaaaaaaaa(ss ii ) Alternativ definition med ε och δ. Vi säger att ytintegraler existerar och har värdet A om det till varje givet tal ε > fis ett tal δ > sådant att dddddddd(ss ii ) < δ ii= ff(tt ii ) aaaaaaaaaa(ss ii ) AA < ε AREAN AV EN BUKTIG YTA Om ff(xx, yy, zz) = på ytan S då har vi D v s dddd = lim aaaaaaaaaa(ss ii) ii= = AAAAAAAAAA(SS) AAAAAAAAAA () = dddd YTANS MASSA Om ff(xx, yy, zz) är ytans massbeläggning per areaenhet ( t ex i kg / m ) då är ytans massa M= Därmed lim ii= ff(tt ii) aaaaaaaaaa(ss ii ) = mmmmmmmmmm MM = BERÄKNING AV YTINTEGRALER A) För en yta given på explicitform ( funktionsyta) zz = zz(xx, yy) där (xx, yy) beräknas ytintegralen som följande dubbelintegral över D, (D är ytans projektion på xy planet )

2 = ff(xx, yy, zz(xx, yy)) NN dddddddd = ff(xx, yy, zz(xx, yy)) + (zz xx ) + (zz yy ) dddddddd O Y y x D där NN = ( zz xx, zz yy, ) ( en viktig normalvektor till ytan i punkten(x,y) ) Uttrycket NN dddddddd = + (zz xx ) + (zz yy ) dddddddd kallas areaelement och betecknas med ds. Alltså för ytan zz = zz(xx, yy) gäller dddd = NN dddddddd = + (zz xx ) + (zz yy ) dddddddd Anmärkning: Om t ex y är en funktion av x och z, dvs om yy = yy(xx, zz) då använder vi symmetriska formler för N och dddd : NN = ( yy xx,, yy zz ), dddd = NN dddddddd = + (yy xx ) + (yy zz ) dddddddd B) För ytor givna på parameterform xx = xx(ss, tt), yy = yy(ss, tt), zz = zz(ss, tt), där (ss, tt) (ss, tt) ( eller kortare rr = rr(ss, tt), (ss, tt) (ss, tt) ) beräknas ytintegralen som följande dubbelintegral = ff(xx(ss, tt), yy(ss, tt), zz(ss, tt)) NN dddddddd (ss,tt) = ff(xx(ss, tt), yy(ss, tt), zz(ss, tt)) rr ss rr tt dddddddd (ss,tt) där NN = rr ss rr tt Areaelement för ytan rr = rr(ss, tt) definieras som dddd = NN dddddddd = rr ss rr tt dddddddd ============================================ Uppgift. Beräkna ytintegralen då ff(xx, yy, zz) = yy + zz och ytan definieras av zz = xx + yy, xx, yy. NN = ( zz xx, zz yy, ) = (,, ), NN =

3 = ff(xx, yy, zz(xx, yy)) NN dddddddd = ( yy + zz) dddddddd vi måste byta z i integranden mot z-värdet på ytan, med andra ord, substituerar vi zz = xx + yy och får : ( yy + zz) dddddddd = ( yy + xx + yy) dddddddd = dddd ( yy + 6xx + 6yy)dddd = 7 Svar : 7 Uppgift. Beräkna ytintegralen då f (xx, yy, zz) = 5 + zz och ytan Y är den del av planet z = 5xx + yy som ligger inuti cylindern xx + yy 4. Ytans projektion på xy planet (definitionsområde) är cirkeln xx + yy 4. Ytans normalvektor är NN = ( zz xx, zz yy, ) = ( 5,, ), och NN =. Vi substituerar = NN dddddddd i ytintegralen och får = ff(xx, yy, zz(xx, yy)) NN dddddddd = (5 + zz) dddddddd [eftersom på ytan gäller zz = 5xx + yy ] = (5 + 5xx + yy ) dddddddd i) 5xx dddddddd= eftersom 5xx är en udda funktion och området D: xx + yy 4 är symmetrisk i x= dessutom ii) yy dddddddd= eftersom yy är en udda funktion och området D: xx + yy 4 är symmetrisk i y= Därför (5 + 5xx + yy ) dddddddd Svar : ππ = 5 dddddddd = 5 AAAAAAAAAA() = ππ Uppgift. Beräkna arean av den del av ytan zz = xx + yy som ligger inuti cylindern xx + yy =. zz xx = xx, zz yy = yy

4 AAAAAAAAAA () = dddd = + xx + yy dddddddd [polära koordinater] ππ = dddd + rr rrrrrr ππ + rr rrrrrr = ππ +rr / = ππ [ / ] = NN dddddddd = + (zz xx ) + (zz yy ) dddddddd + rr rrrrrr = [subs: + rr = tt rrrrrr = dddd rrrrrr = dddd ] / dddd = tt = tt / = tt/ / ( + rr ) / Svar : AAAAAAAAAA (SS) = ππ [ / ] Uppgift 4. Beräkna arean av ytan rr(ss, tt) = [ss, tt, 5 + ss + tt], ss + tt 4 rr ss = [,, ], rr tt = [,, ], ii jj kk NN = rr ss rr tt = = 9ii jj + 6kk = [ 9,, 6] Därför NN = och dddd = NN dddddddd = dddddddd AAAAAAAAAA () = NN dddddddd = dddddddd ππ = dddd rrrrrr = 44ππ [ vi har använt polära koordinater s = rr cccccc φφ, tt = rr ssssss φφ, dddd dddd = rr dddd dddd ] Svar: 44ππ Uppgift 5. Ytan z = 4 xx yy, xx, yy xx + yy 4 har en icke-konstant massbeläggning ( massan per area) ff(xx, yy, zz) = (xx + yy ) zz Beräkna ytans massa. Vi substituerar f och z i formeln

5 Ytans massa MM = och föränklar integralen: = ff(xx, yy, zz(xx, yy)) + (zz xx ) + (zz yy ) dddddddd MM = ff(xx, yy, zz(xx, yy)) + (zz xx ) + (zz yy ) dddddddd = (xx + yy ) xx zz + 4 xx yy = (xx + yy ) 4 xx yy + yy + 4 xx yy dddddddd xx 4 xx yy + yy 4 xx yy dddddddd = (xx + yy ) 4 4 xx yy 4 xx yy dddddddd = (xx + yy ) dddddddd Vi använder polära koordinater xx = rr cccccc φφ, yy = rr ssssss φφ, dddd dddd = rr dddd dddd och får ππ/ dddd Svar: Ytans massa rr 4 rrrrrr = ππ ππ/ = dddd rr 5 dddd = ππ rr6 6 = ππ

Relevanta dokument

Vi antar att f och g ar begränsade och integrerbara funktioner på givna mätbara ( kvadrerbara) områden och att a, b ar konstanter.

GNSKAPR HOS UBBLINTGRALR. Vi antar att f och g ar begränsade och integrerbara funktioner på givna mätbara ( kvadrerbara) områden och att a, b ar konstanter. å gäller:., 0 om arean() =0 ( dvs. om är en