FÖ: MVE045, Riemann integral, tekniker Zoran Konkoli, HT 2018

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "FÖ: MVE045, Riemann integral, tekniker Zoran Konkoli, HT 2018"

Lars-Olof Hansson
för 5 år sedan
Visningar:

1 FÖ: MVE045, Riemann integral, tekniker Zoran Konkoli, HT 2018 VIKTIG: Vi hinner inte gå igenom allt som ni skall kunna under föreläsningar. Varje föreläsning är alltid en tolkning av ADAMS boken, och ibland bara visa delar. Alltså man måste läsa själv ganska mycket. Läraren ger bakgrunden som är nödvändig att man kan läsa själv. Detta dokument är sammanfattningen av denna tolkning som gavs under föreläsning. Tavla bilder är bara menade som en påminnelse kring vad har diskuterats under föreläsningen. Här är viktig läsning för Riemann integral grunder: AD/6 Techniques of integration AD/6.1 Integration by parts AD/6.2 Integrals of rational functions AD/6.3 inverse substitutions AD/6.4 other methods of evaluating integrals Rekomenderade övningar: TODO Rekommenderade videon (intro, men kanske lite för enkelt) (variable byte) (goda exempel/råd för partielintegration) Repetition viktiga moment Ytan under grafen När finns integralen Hur räknar vi den Den primitiva funktionen

Tavlan 1 Hur blir man av med konstanten. AFS säger bara om derivatan, vi måste komma ihåg att den primitiva funktionen kommer med ett villkor, som ligger utanför systemet: at det föreställer en yta.

Ja, visa icke kontinuerliga funktioner man kan integrera. Våra integraler har tecken: Betyder detta att ytan kan vara negativ? Nej, inte riktig. Ytan är alltid en positiv tal utryckt i enheter läng 2.

2 Tavlan 1 Hur blir man av med konstanten. AFS säger bara om derivatan, vi måste komma ihåg att den primitiva funktionen kommer med ett villkor, som ligger utanför systemet: at det föreställer en yta. F(a) måste vara 0. Riemanns bidrag var att studera ytan under funktioner som inte är kontinuerliga. Kan vi integrera funktionen som i Tavlan 2? den är inte kontinuerlig. Ja, visa icke kontinuerliga funktioner man kan integrera. Våra integraler har tecken: Betyder detta att ytan kan vara negativ? Nej, inte riktig. Ytan är alltid en positiv tal utryckt i enheter läng 2. Men våra integraler kan vara negativa på grund av hur de defineras. De defineras som ett gränsvärde: bb ff(xx)dddd = aa nn lim nn ii=1 ff(xx ii)δxx ii Två orsak: antagligen är funktionen negativ (ff(xx ii ) < 0) och vi integrerar framåt (Δxx ii > 0), eller vi integrerar baklänges (Δxx ii < 0) över en positiv funktion (ff(xx ii ) < 0). I bägge fall är alla produkter ff(xx ii )Δxx ii negativa. Tavlan 2

Om man räkna integral från 1 till 5 av f(x)=1 baklänges, då får vi ett negativ tal. Varifrån detta kommer? Ju, i Rieamanns summan Delta x är alla negativa då.

Det är därför att man måste lägga fram ett extra minus om man byter integral gränser (tavlan 3). Det finns andra regler (se Adams för mera detaljer).

3 Om man räkna integral från 1 till 5 av f(x)=1 baklänges, då får vi ett negativ tal. Varifrån detta kommer? Ju, i Rieamanns summan Delta x är alla negativa då. Tavlan 3 Om man integrerar sin x från 0 till 2 Pi då skall integralen vara 0 (Tavlan 3), för det finns lika mycket plus som minus ytor. Räknar man med receptet, så sär vi att det stämmer (Tavlan 3). Det är därför att man måste lägga fram ett extra minus om man byter integral gränser (tavlan 3). Det finns andra regler (se Adams för mera detaljer). Tex man kan pussla ihop integraler igenom att kombinera gränser, integral från a till b + integral b till c = integral a till c (tavlan 4) Tavlan 4 Integral av summan är summan av integraler (tavlan 4). Har man en konstant innanför integralen så det är bara att ta den ut (tavlan 4, sista raden)

4 Hur hittar man den primitiva funktionen? Ofta så räknar man integraler numerisk. Vi skall gå igenom tekniker hur man gör detta. Men ibland kan man räkna analytisk, om man kan hitta utryck för den primitiva funktionen. Ofta är koden är mycket snabbare om man kan använda analytiska utryck. Det finns bara två sätt att hitta den primitiva funktionen: Igenom att gissa (man samlar en tabel med derivata) Igenom partielintegration Det är viktigt att skilja mellan bestämda och obestämda integraler. Några exempel att gissa finns i tavlan Tavlan att gissa Men vad gör man om man kan inte gissa. Man försöker man partiellintegration eller variabel byte.

5 Partiellintegration fungerar så här (tavlan 5): Tavlan 5 Det går att bevisa varför är partiellintegration formeln sant. Egentligen det handlar om att integral av derivatan ger funktionen, dddd = ff Och man använder regel för att derivera produkt av funktioner, som omvandlad till differentialer blir dd(uuuu) = dddd vv + uu dddd Sett tavlan 5 hur man gör. Tavlan 6 visar lite mera i detalj varför integral och differential ger tillbaka funktionen. Det naturligtvis har med analysens huvudsats att göra. Se i tavlan 6 hur denna utrycks med differentialer och obestämda integraler.

6 Tavlan 6 För att öva på partiellintegration tittar vi på några exempel. Integral av ln x är huvud mål, men först vi tränar på differentialer. Kolla tavlan 7. Skriv om x 2 dx = d(någonting). Vad är någonting? Samma med xdx= d(någonting) och 1dx = d(någonting) Tavlan 7

Sim salabim, hokuspokus, och det blir rätt. Med partiellintegration, det svåraste är att välja u och v.

7 Tavlan 8 Testa nu en tokig grej (tavlan 8). Vi räknar integral av x 2 dx med partiellintegration (dock vi vet at resultatet är x^3/3). Sim salabim, hokuspokus, och det blir rätt. Med partiellintegration, det svåraste är att välja u och v. (Se rekommenderade videon för tips). Variabel substitution Tavlan 9 Det finns andra tekniker (för P/Q där P och Q är polynomer kolla adams). Ett enkelt exempel vissas på tavlan 9. Vi måste till slut räkna två integraler. Bägge kräver substitution.

8 dddd dddd dddd och kräver 1-x = u och 1+x = u. Man kan omvandla bägge två till formen vilket blir ln uu 1 xx 1 xx uu och så byter man tillbaka till x. Ibland i integral tabeller det står att dddd uu = ln uu + cc Skall man bry sig om detta? Ja och nej. Man kan kolla att mycket riktig det är sant att Så vi vet att dd dddd ln uu = 1 uu bb dddd = ln uu bb uu aa = llll bb aa aa Om a och b har samma tecken då kan man glömma absolut belopp. Men för att denna ekvation skall användas a och b måste ha samma tecken. Annars kan vi inte använda fundamental analys satsen! Så ni behöver inte bekymra er om detta under tentan. Om ni vill använd absolut belopp, och det är ok. Om ni inte vill använda absolut belopp, det är också ok. Bara ni vet att går INTE att räkna integralen när a och b är på olika sidor av nollan. Tex detta går inte: 1 dddd = ffffffffff iiiiiiii uu För att 1/u är inte kontinuerlig i 0! Var försiktiga på tenta kring detta. 1 För att öva variabel substitution försök räkna dddd 1 + xx 2 (ja, med en variabel substitution). Tips: Försök med x = tan u. Vad skall man skriva in som frågetecken Det visar sig, efter några steg, att dddd =? dddd? = 1 + xx 2

Relevanta dokument

FÖ: MVE045, Riemann integral, grunder Zoran Konkoli, HT 2018

FÖ: MVE045, Riemann integral, grunder Zoran Konkoli, HT 2018 VIKTIG: Vi hinner inte gå igenom allt som ni skall kunna under föreläsningar. Varje föreläsning är alltid en tolkning av ADAMS boken, och ibland