FÖ: MVE045, Riemann integral, grunder Zoran Konkoli, HT 2018
|
|
- Adam Per-Erik Sundqvist
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 FÖ: MVE045, Riemann integral, grunder Zoran Konkoli, HT 2018 VIKTIG: Vi hinner inte gå igenom allt som ni skall kunna under föreläsningar. Varje föreläsning är alltid en tolkning av ADAMS boken, och ibland bara visa delar. Alltså man måste läsa själv ganska mycket. Läraren ger bakgrunden som är nödvändig att man kan läsa själv. Detta dokument är sammanfattningen av denna tolkning som gavs under föreläsning. Tavla bilder är bara menade som en påminnelse kring vad har diskuterats under föreläsningen. Här är viktig läsning för Riemann integral grunder: AD/5.2 Areas as limits of sums AD/5.3 The definite integral AD/5.4 Properties of the definite integral AD/5.5 The fundamental theorem of calculus AD/5.6 The method of substitution AD/5.7 Areas of plan regions Rekomenderade övningar: AD/5.2: P1, P8 AD/5.3: P1, P4, P10 (express limit as a definite integral), P11, P15 AD/5.4: P1, P2, P3, P6, P7, P17 AD/5.5: P1, P3, P5, P4, P9, P11, P13, P49, P39, P40, P41, P42, P47 (tips: räkna derivatan av höger och vänster sidan) Rekommenderade videon Ytan under en graf Varför behöver vi räkna sådant? Att räkna ytan under en graf är ett upprepande motiv som dyker upp ofta i alla tekniska sammanhang. Typiskt exempel är kontroll teori.
2 För en varierande funktion vill vi veta hur den beter sig i genomsnitt i en tids intervall. Ofta, så betraktar man ett rörligt tids intervall som förflyttar sig i tiden, och vi betraktar genomsnittet i detta rörande intervallet. Detta behövs för att: styra robotar så att de blir alerta i ändringar som händer i reell tid kontrollera elektriska centraler i reell tid kontrollera styrkan som master strålar med i reell tid (vi sill inte stråla mera en nödvändigt), vi vill veta hur mycket regn vi fick genomsnitt över en period (väder prognos, jordbruk) finanser: hur mycket är ett företag värt i genomsnitt under de senaste månader (och vi vill veta detta varje månad) Kortfattat, sådana genomsnitt beräkningar förekommer alltså överallt. T.o.m. bakterien som skall hitta mat är undvika farliga miljöer använder sig av liknande kontroll principer att styra maskineriet som gör att den rör sig (processen heter chemotaxis på engelska). Alltså, hur räknar man genomsnitt av en kontinuerlig funktion? Så att ytan under grafen AA aaaa AA(aa, bb, ff), som vi kommer att beteckna som integral av f över a till b, är exakt lika dan som ytan av ett rektangulär med samma bas. Höjden av denna rektangel definierar genomsnittet av f, som vi betecknar med ff. Det är inte så svårt att se att genomsnittet ff (höjden av fyrkanten) måste vara sådant att bb aa bas (bb aa) * höjd (ff ) = ytan ( ff(xx)dddd),
3 alltså ff = bb aa ff(xx)dddd bb aa Det finns ett annat sätt att acceptera att detta är faktisk rymligt sätt att räkna genomsnitt. Titta på denna videon: Men hur räknar man ytan under en graf? (Steg 1): Indelning av intervallet. Betrakta bilden. Vi gör så här: Först, vi gör en indelning av intervallet [a,b] i n mindre intervaller. Varje sådan indelning kallas för P, och det viktiga är att kolla vad är storleken för den max intervallet som förekommer. Vi vill att den skall minska mot noll. Vi vill förfina fördelningen mer och mer. Notera att
4 Δxx 1 är längden av [a,x 1], Δxx 2 är längden av [x 1,x 2], osv. Här har ni ett exempel med n = 3, alltså tre intervaller. Notera att Delta x summan blir likt precis längd av intervallet. Det är alltid sant. (Steg 2): Räkna högre/lägre Darboux summor Betrakta alla intervaller. I all dessa så har funktionen ett min/max värde. Det finns ett teorem so vi har diskuterat tidigare (AD/1.4-TH8: The Max-Min Theorem), om man tolkar teoremet för intervall i, så vet vi som det står på tavlan: Då kan vi räkna två summor L(f,P) och U(f,P), och bägge summor approximerar ytan. Se bilden, försök hitta punkter ll ii och uu ii för detta interval (tex tänk att någon följer linjen, när skulle du sägga stopp, nu har vi hittat ll ii eller uu ii?)
5 Likadan kan vi göra som Riemann hade tänkt ut, och tagga varje interval med et mellan värdet: välja ett cc ii som ligger i det aktuella intervallet, och konstruera ett approximation till R(f,P,c) där c är listan av tagar vi har valt. Då får vi tre summor och dessa är ordnade: Nu, vi gör indelningen finare och finare så att PP 0. Som blivande IT ingenjör man kanske funderar om det är möjligt att skriva kod som kommer att generera sådana summor. Visst, i princip, det går det med det kan finnas svårigheter: ser du dessa? Fundera innan du läser R(f,P,c) är inga problem med, L(f,P) och U(f,P) är problematiska för vi måste gräva fram min/max för varje subintervall (visst vi vet att de måste finnas, men hur hittar man dessa?). (Steg 3) Om L=R=U i gränsvärde mening då ytan kan räknas på det sättet.
6 Det går att visa att L=R => R och att R=>L=R. Men, när gränsvärdena finns? Ganska ofta, otroligt nog, det enda vi kräver är att funktionen är kontinuerlig (AD/5.4-TH2):
7 Reimann summan exempel Vi räknar ytan under ff(xx) = xx. Bilden visar ett indelning med n = 4, där Δxx ii är samma. Vi taggar så att vi väljer bara högrakant punkter, i.e. cc 1 = xx 1, cc 2 = xx 2, cc 3 = xx 3, cc 4 = xx 4. När man räknar R summan för N=4 fall, får man som i bilden nedan. Generaliserar man detta för högre n, så blir det Rn formeln i den högra bilden ovan. Men kan vissa att detta är sant lite mera rigoröst, som i bilden.
8 Hur räknar man summan Sn i fomeln för Rn, som i tavlan, och då kan man räkna gränsvärdet som i tavlan. Detta exempel visar att R summan kan approximera ytan. Finns det ett annat sätt att räkna den. Fundamental sats av analysen Innan man läser detta så skall man absolut lyssna till Vivaldi concerto #2 (summer, presto satsen)
9 AD/5.5 The fundamental theorem of calculus.
10 Exempel på hur man använder satsen Räkna genomsnitt av sin t in intervallet [0,Pi]
11 Titta också på videon:
FÖ: MVE045, Riemann integral, tekniker Zoran Konkoli, HT 2018
FÖ: MVE045, Riemann integral, tekniker Zoran Konkoli, HT 2018 VIKTIG: Vi hinner inte gå igenom allt som ni skall kunna under föreläsningar. Varje föreläsning är alltid en tolkning av ADAMS boken, och ibland
Läs merRIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim.
RIEMANNSUMMOR Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. Den bestämda integralen definieras med hjälp av ä ä, ; lim. Om funktionen har en elementär primitivfunktion då är insättningsformeln (Newton-
Läs merModul 4 Tillämpningar av derivata
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merHär finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus) av en funktion då x går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition).
GRÄNSVÄRDEN OCH KONTINUITET Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus av en funktion då går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition. Definition. ( Cauchy Vi säger att funktionen
Läs merMatematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration
10 februari 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration Syfte med övningen: Introduktion till ett par numeriska metoder för lösning av ekvationer respektive
Läs merINVERSA FUNKTIONER DEFINITION. (invers funktion) Låt ff vara en funktion av en reell variabel med definitionsmängden DD ff och värdemängden VV ff. Vi säger att funktionen ff är inverterbar om ekvationen
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:
Läs merMATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.
MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra
Läs merDubbelintegraler. 1 Inledning. 2 Rektangelregeln. CTH/GU LABORATION 5 MVE /2018 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABOATION MVE - 7/8 Matematiska vetenskaper Dubbelintegraler Inledning Vi skall börja med att approimera dubbelintegralen av en funktion över ett rektangulärt område f(,y)da där = {(,y): a b, c
Läs merFlervariabelanlys och Matlab Kapitel 3
Flervariabelanlys och Matlab Kapitel 3 Thomas Wernstål Carl-Henrik Fant Matematiska Vetenskaper 17 september 2009 1 3 Multipelntegraler 3.1 ubbelintegraler Exempel. Vi skall beräkna dubbelintegralen (y
Läs merKapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner
Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.
Läs merx 1 1/ maximum
a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter
Läs merMMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB
MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merHögpresterande. Särskilt begåvade
Talangfulla elever Högpresterande Särskilt begåvade (från NP Ma C 2011) Nedan ges derivatans värde hos en funktion ff i en given punkt PP. lim h 0 2 + h 5 + 3 (2 5 + 3) h = 80. a) Ange funktionen ff. b)
Läs merEnvariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator
Envariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator Sanna Eskelinen eskelinen.sanna@gmail.com Sonja Hiltunen sonya@gmail.com Handledare: Karim Dao Uppgift 15 Problem: Beräkna numeriskt derivatan till arctan
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merEnsidiga gränsvärden. I nedanstående uppgifter betecknar vi enligt följande:
GRÄNSVÄRDEN OCH KONTINUITET Ensidiga gränsvärden. I nedanstående uppgifter betecknar vi enligt följande: aa Vänstergränsvärdet av funktionen f( i punkten aa aa Högergränsvärdet av funktionen f( i punkten
Läs merBisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2
Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merFlervariabelanalys och Matlab Kapitel 3
Flervariabelanalys och Matlab Kapitel 3 Thomas Wernstål Matematiska Vetenskaper 28 september 2012 3 Multipelintegraler 3.1 ubbelintegraler I detta kapitel skall vi studera olika sätt på vilket man kan
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merMATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Jacob Leander, Tel.:
MATEMATIK Datum: 0-0- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga A.Heintz Telefonvakt: Jacob Leander, Tel.: 070-0880 Lösningar till tenta i TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats. Formulera
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 4: Tillämpningar av derivata Institutionen för matematik KTH 22-23 september 2015 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Modul 5 Integraler
Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 5 Integraler Denna modul omfattar kapitel 5 och avsnitt 6.-6. i kursboken Calculus av Adams och Esse och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merVäxande och avtagande
Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:
Läs merMATEMATIK Datum: Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.
MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christoffer Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,
Läs merViktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.
Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella
Läs merLipschitz-kontinuitet
Kapitel 2 Lipschitz-kontinuitet Vi börjar med att presentera den formella definitionen av gränsvärde och kontinuitet. Vi presenterar sedan en variant av kontinuitet som är lättare att använda och som ger
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärld funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs merx 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7
TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merKursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.
Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merLäsanvisningar Henrik Shahgholian
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Läsanvisningar Henrik Shahgholian Läsanvisningarna nedan är har tagits fram som hjälpmedel för de studenter som vill helst ha en snabb tillgång till
Läs mer7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter
TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merx 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)
Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning
Läs merModul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.
Institutionen för Matematik SF625 Envariabelanalys Läsåret 27-28 Lars Filipsson Modul 5: Integraler Denna modul handlar om integraler. Det slås fast i en precis definition vad som menas med att en funktion
Läs merLinjärisering, Jacobimatris och Newtons metod.
Linjärisering, Jacobimatris och Newtons metod Analys och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt, vt0 Inledning Vi skall lösa system av icke-linjära ekvationer Som exempel kan vi ta, x = 0, x = 0, som är ett system
Läs merMer om reella tal och kontinuitet
Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer
Läs merTMV225 Inledande matematik M. Veckoprogram för läsvecka 4
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV5 016 Chalmers tekniska högskola Läsvecka 4 Examinator: Anders Logg TMV5 Inledande matematik M Veckoprogram för läsvecka 4 Denna vecka kommer vi först att definiera och studera
Läs merR AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002
RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions
Läs merLogik och Jämförelser. Styrsatser: Villkorssatsen if och repetitonssatsen for. Scriptfiler. Kommentarer. Tillämpningar: Ett enkelt filter.
TAIU07 Föreläsning 3 Logik och Jämförelser. Styrsatser: Villkorssatsen if och repetitonssatsen for. Scriptfiler. Kommentarer. Tillämpningar: Ett enkelt filter. 27 januari 2016 Sida 1 / 21 Logiska variabler
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag.8. 8.. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen
Läs mer5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor
5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift
Läs merPlanering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5.
Avsnitt 1, Inledning ( Adams P1,P3,P4, P5) Genomgång och repetition av grundläggande begrepp. Funktion, definitionsmängd, värdemängd. Intervall. Olikheter. Absolutbelopp. Styckvis definierade funktioner.
Läs merMATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.:
MATEMATIK Datum: 0-0- Tid: förmiddag Chalmers Hjälmedel: inga A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 070-0880 Lösningar till tenta i TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats.
Läs merLösningar till Matematisk analys
Lösningar till Matematisk analys 685. Sätt fx x. Rotationskroppens volym är π fx dx π ] x 6 dx π 7 x7 π 7. Rotationskroppens area är summan av arean av kroppens mantelyta och arean av kroppens cirkulära
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs mer1. Du slår en tärning två gånger. Låt A vara händelsen att det första kastet blir en sexa och låt B vara händelsen att summan av kasten blir sju.
Projekt MVE49 Del 1 Det är tillåtet att sammarbeta, men alla lösningar skall lämnas in individuellt. Sista inlämningsdag är 4de oktober på föreläsningen. Det är ok att lämna in elektroniskt genom att maila
Läs merMatlab övningsuppgifter
CTH/GU MVE5-7/8 Matematiska vetenskaper Matlab övningsuppgifter Inledning Vi skall först se hur man kan lösa system av icke-linjära ekvationer. Därefter skall vi se på optimering utan bivillkor. Vi skall
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merViktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år 2013.
Viktigaste begrepp, satser och typiska problem från kursen ALA-A år 2013. Reela tal. Rationella tal. Irrationella tal. Slutna intervall. Öppna interlvall. s.5 Koordinater i plan. a(b+c)=ab+ac; Bråkräkning:
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merTATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merTMS136. Föreläsning 7
TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna
Läs merf(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs meroch kallas ytintegral AREAN AV EN BUKTIG YTA
YTINTEGRALER Definition. Vi betraktar en funktion (xx, yy, zz) som är definierad på ytan Y. Vi delar ytan i ej- överlappande delar S i, väljer en punkt T i i varje S i och beräknar summan ii= ff(tt ii
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag.6.8 4.3 6.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merx = a är nödvändigt villkor för deriverbarhet i denna x = a } { f är högerkontinuerlig i punkten x = a } { f är vänsterkontinuerlig i punkten
DERIVATOR AV STYCKVIS DEFINIERADE FUNKTIONER När vi beräknar derivatan av en styckvis definierade funktioner gör vi oftast enligt följande: Vi bestämmer derivatan i inrepunkter av delintervall enligt vanliga
Läs merIntroduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4
Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa
Läs merLaboration 3. Ergodicitet, symplektiska scheman och Monte Carlo-integration
Laboration 3 Ergodicitet, symplektiska scheman och Monte Carlo-integration Hela labben måste vara redovisad och godkänd senast 3 januari för att generera bonuspoäng till tentan. Kom väl förberedd och med
Läs merÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4
VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015
SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merÖvningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer. 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 6. 7. 8. 9. 10. 2. Derivator 1. 2. 3. 4. 5. 6.
KTH matematik Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer Harald Lang 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Svar: 1. 2. 5 3. 1 4. 5 5. 1 6. 6 7. 1 8. 0 9.
Läs merGrafisk Teknik. Färg. Övningar med lösningar/svar. Sasan Gooran (HT 2013)
Grafisk Teknik Färg Övningar med lösningar/svar Det här lilla häftet innehåller ett antal räkneuppgifter med svar och i vissa fall med fullständiga lösningar De här uppgifterna täcker en del av kursen
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs merLösning : Substitution
INTEGRALER AV RATIONELLA FUNKTIONER Viktiga grundeempel: Eempel. (aa 0) aaaabb aaaabb = tt = aa aa = aa llll tt CC llll aaaa bb CC aaaa bb = tt aaaaaa = = aa Eempel. (aaaabb) nn (nn, 0) (aaaa bb) nn =
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Uppgifter till lektion 1: = 10 x. = x 10.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 2010-10-27 Uppgifter till lektion 1: 1. Lös olikheten 2x + 1 > 3. Lösningar till kryssproblemen 1-5. Lösning. Olikheten
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 18 Institutionen för matematik KTH 12 december 2017 Idag Talföljder Serier Jämförelse med integraler (Cauchy s integralkriterium) Andra konvergenskriterier (jämförelsekriterier) Mer i morgon
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 19 september 2016 Översikt över några viktiga derivatatillämningar 1. Förändringstakt. Derivata mäter förändringstakt, till exemel (men inte bara) hastighet.
Läs merTillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor
Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett
Läs mer10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1
TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merFörkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b)
1 Print 1 Algebraiska 2 Variabler 1 Algebraiska 3 Input 1 Algebraiska 4 For 1 Algebraiska uttryck, Rationella uttryck Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b) Eleverna kan träna
Läs merMaclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning
Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon
Läs merMer om slumpvariabler
1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde
Läs merTATA42: Föreläsning 6 Potensserier
TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merFöreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018
Föreläsning 7 SF1625 Envariabelanalys 13 november 2018 SF1625 CDEPR1, CENMI1, CLGYM TEMI2 HT18 F7 1 / 23 Dagens teman: exponentialfunktioner och logaritmer standardgränsvärden tillväxtproblem SF1625 CDEPR1,
Läs merModul 2 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Moul 2 Mål och Sammanfattning Derivata. 1. MÅL FÖR MODUL 2 Förstå och använa erivatans efinition Förstå och använa erivata
Läs merSF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen 015-01-1 DEL A 1. Låt f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs mer