Dubbelintegraler. 1 Inledning. 2 Rektangelregeln. CTH/GU LABORATION 5 MVE /2018 Matematiska vetenskaper

Transkript

1 CTH/GU LABOATION MVE - 7/8 Matematiska vetenskaper Dubbelintegraler Inledning Vi skall börja med att approimera dubbelintegralen av en funktion över ett rektangulärt område f(,y)da där = {(,y): a b, c y d}. Sedan skall vi se på allmännare områden. Enkelintegraler approimerade vi redan i envariabelanalysen och vi skall för dubbelintegraler använda samma typ av approimationer. Då beskrev vi vänster och höger rektangelregel, mittpunktsregeln och trapetsregeln. Samtliga dessa metoder för enkelintegralen kan generaliseras till multipelintegraler, men vi kommer nöja oss med att titta på dubbelintegraler. ektangelregeln I envariabelanalysen betraktade vi enkelintegralen över ett intervall b a f()d Vi gjorde en likformig indelning av intervallet a b enligt a = < < < < n < n = b så att vi fick n lika långa delintervall i i med samma bredd = h = b a. n Vi approimerade f() med f( i ) i intervallen i i och fick vänster rektangelregel b a f()d = i= i i f()d f( i ) i=

2 Nu skall vi upprepa samma resonemang för dubbelintegralen f(,y)da där = {(,y): a b, c y d}. Förutom indelning av intervallet a b, gör vi nu även en likformig indelning av intervallet c y d enligt c = y < y < y < < y m < y m = d så att vi får m lika långa delintervall y j y y j med samma bredd k = d c m. Vi får därmed en indelning av området a b, c y d i nm stycken likformiga små rektanglar i,j = {(,y): i i, y j y y j } som har arean A = hk var och en. Om vi approimerar f(,y) med f( i,y j ) på området i i, y j y y j, får vi vänster rektangelregel för dubbelintegralen m f(,y)da = f(,y)da i,j i= j= m i= j= f( i,y j ) A y y Vi approimerar varje liten delintegral med volymen av ett rätblock vars bas har arean hk och som har höjden f( i,y j ) och sedan summerar vi alla bidragen. Om vi istället approimerar f(,y) med f( i,y j ) får vi höger rektangelregel för dubbelintegralen m f(,y)da = f(,y)da i,j i= i= j= m j= f( i,y j ) A Slutligen så får vi ett betydligt noggrannare resultat med mittpunktsregeln, där vi beräknar höjden mittpunkten i varje delrektangel, och trapetsregeln som vi får genom att ta medelvärdet av höjderna (funktionsvärdena) i alla fyra hörnpunkterna i varje delrektangel.

3 Uppgift. Beräkna i Matlab en approimation av enkelintegralen sin()d med vänster och höger rektangelregel samt trapetsregeln. Använd funktionen sum i Matlab för att få en enklare kod än om man använder for-satser. Uppgift. Beräkna nu i Matlab en approimation av dubbelintegralen y sin(y +y)da där = {(,y):, π/ y π/}. Använd vänster och höger rektangelregel samt trapetsregeln. Jämför deras noggrannhet genom att räkna ut det eakta värdet av dubbelintegralen för hand. (Alla elementen i en matris summeras genom att man tar sum av sum.) Integralberäkning med Matlab I Matlab finns t.e. integral för beräkning av enkelintegraler samt integral och integral för beräkning av dubbelintegraler respektive trippelintegraler. Vi skall som eempel beräkna dubbelintegralen y sin()+ cos(y)da där = {(,y): π π, y π}. Beskriv alltid integranden som om du skulle rita dess funktionsyta, dvs. tänk på och y som matriser och använd komponentvisa operationer. Beräkningen utförs enligt >> f=@(,y)y.*sin()+.*cos(y); >> q=integral(f,pi,*pi,,pi) Som ytterligare ett eempel tar vi där D = {(,y) : + y }. D cos(y ) sin(y)da Området kan beskrivas, c() y d(), där c() = och d() =. Så här utför vi beräkningen i Matlab: >> f=@(,y).^.*cos(y.^)-*sin(y); >> a=-; b=; c=@()abs()-; d=@()-abs(); >> q=integral(f,a,b,c,d) Integrationsgränserna i y-led kan ges av två funktioner, medan integrationsgränserna i -led måste ges av två tal.

4 Uppgift. Vi skall beräkna integralen e y da där = {(,y):, y }. ita först funktionsytan till integranden över aktuellt område. Använd sedan integral för att beräkna integralen. Jämför gärna med eakt värde som du i så fall räknar ut för hand och jämför gärna med vad rektangel- och trapetsreglerna ger. Uppgift. Vi skall se på integralen (Eempel, Adams.) (a +y)da D där D = {(,y): y a a }. Läs eemplet i boken. Beräkna sedan integralen med integral och jämför med eakt värde.

5 CTH/GU Uppföljning av LABOATION MVE - 7/8 Matematiska vetenskaper Målsättning Avsikten med denna laboration är att se hur vi kan generalisera metoder för enkelintegraler för att approimera dubbelintegraler f(,y)da. Vi prövar vad vi får då vi använder vänster och höger rektangelregel, mittpunktregeln samt trapetsregeln. Avslutningsvis bekantar vi oss med integral, ett färdigt program för beräkning av dubbelintegraler i Matlab. Lärandemål Efter denna laboration skall du kunna redogöra för den grundläggande idén bakom metoder för beräkning av multipelintegraler beräkna integraler f(,y)da, genom att beskriva f som en function i Matlab och beräkna en approimation med integral