Grafritning kurvor och ytor
|
|
- Maj-Britt Ivarsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 CTH/GU STUDIO MVE5-4/5 Matematiska vetenskaper Inledning Grafritning kurvor och tor En graf till en funktion i en variabel f : R R är mängden {(, ) : = f()}, dvs. en kurva i planet. En graf till en funktion i två variabler f : R R är mängden {(,, z) : z = f(, )}, dvs. en ta i rummet, en s.k. funktionsta. Som eempel tar vi över området,. Vi ser funktionstan nedan till vänster. f(, ) = ( ) sin( ) Ett annat sätt att åskådliggöra en funktion i två variabler f : R R är att rita nivåkurvor, dvs. mängderna {(, ) : f(, ) = c}, där c är en konstant som anger nivån. Vi ser nivåkurvor till vår funktion ovan till höger. Vi får en slags topografisk karta av funktionen om vi ser funktionstan som ett landskap och då blir nivån helt enkelt höjden över havet. En funktion i tre variabler f : R R kan vi inte rita en graf till. Det skulle vara en tredimensionellt objekt i ett frdimensionellt rum. Motsvarigheten till nivåkurvor blir nivåtor, dvs. mängderna {(,, z) : f(,, z) = c} där c konstant. Dessa kan vi däremot rita upp. Låt oss som eempel ta funktionen f(,, z) = + + z i tre variabler. Nivåtorna blir då sfärer {(,, z) : + + z = c} med centrum i origo. Vi skall också se på vektorvärda funktioner, dels parametrisering av kurvor i planet r : R R och i rummet r : R R, dels parametrisering av tor r : R R i rummet.
2 Kurvor i R och R Vi har redan ritat kurvor i R med kommandot plot, när vi skall rita kurvor i R kommer vi använda kommandot plot. Eempelvis enhetscirkeln parametriserad av r : R R där ritar vi upp med >> subplot(,,) >> t=linspace(,*pi); >> plot(cos(t),sin(t)) r(t) = ((t), (t)) = (cos(t), sin(t)), t π Spiralen given av parametriseringen r : R R där får vi med (nu använder vi plot) >> subplot(,,) >> t=linspace(,*pi); >> plot(cos(t),sin(t),t) och den koniska spiralen given av r(t) = ((t), (t), z(t)) = (cos(t), sin(t), t), t π r(t) = ((t), (t), z(t)) = (t cos(t), t sin(t), t), t π ritar vi med (lägg märke till komponentvis multiplikation) >> subplot(,,) >> plot(t.*cos(t),t.*sin(t),t).5 z z Uppgift. Rita upp följande kurvor i R (a). Asteroiden r(t) = (cos (t), sin (t)), t π (b). Ckloiden r(t) = (t sin(t), cos(t)), t π Kurvan beskriver den väg en mra, som fastnat på ett hjul, färdas när hjulet rullar framåt. Snggast ser kurvan ut om man ger kommandot ais equal. Uppgift. Rita upp följande kurvor i R med plot (a). r(t) = (cos(t), sin(t), t), t π (b). r(t) = (cos (t), sin (t), t), t π
3 Funktionstor i R Vi ser på funktionstan till funktionen från inleningen, dvs. f : R R där över området,. f(, ) = ( ) sin( ) Resultatet får vi med kommandot surf, vilket är motsvarigheten till plot då vi skall rita tor. >> f=@(,)(/*.^-).*sin(-.*); >> =linspace(-,,); =linspace(-,,); >> [X,Y]=meshgrid(,); >> Z=f(X,Y); % eller surf(,,z) >> grid on, bo on >> label( ), label( ), zlabel( z = f(,) ).5.5 z=f(,) Funktionen meshgrid får som indata två vektorer och, med - och -värden, och ger två matriser X och Y som utdata. Dessa matriser är uppbggda så att vi kan göra en matris Z med alla f(, )-värden på en gång genom att skriva av vår matematiska formel för f(, ) bara vi använder komponentvisa operationer och samtidigt ersätter med X och med Y. Ritar vi en graf av en funktion i en variabel tar vi kanske några hundratal -värden. När vi ritar en funktionsta tar vi istället några tiotal - respektive -värden. Ibland när man ritar en funktionsta med surf(x,y,z) kanske man vill ha den lite genomskinlig och det kan man få med surf(x,y,z, FaceAlpha,.7). Parametern FaceAlpha ges ett värde mellan och, där är helt transparent och är helt solid.
4 Vill vi ha en enfärgad tan, t.e. blå, och tan skall vara nästan helt genomskinlig så ger vi kommandot surf(x,y,z, FaceColor, b, FaceAlpha,.). Detta kan vara bra att använda när vi skall rita tangentplan i nästa studioövning. Uppgift. Rita funktionstan till funktionen f : R R där över området,. Hur fungerar det? f(, ) = e ( + ) Den ta vi skall rita består av alla punkter (,, f(, )), där min ma och min ma. Då vi skall rita tan med surf krävs att vi bildar en m n-matris Z med elementen z ij = f( j, i ) där min = < < < n = ma och min = < < < m = ma. Lägg märke till ordningen på indeen, element z ij skall innehålla funktionsvärdet för = j och = i. Stigande -värden längs rader i Z, dvs. stigande kolonn-inde, och stigande -värden längs kolonner i Z, dvs. stigande rad-inde. Vi går igenom några alternativa lösningar och vi tänker oss att vi i Matlab redan skapat en funktion f och koordinat-vektorer och med n respektive n element. Alternativ. Vi bildar matrisen Z i Matlab med Z=zeros(m,n); for i=:m for j=:n Z(i,j)=f((j),(i)); end end Alternativ. I första alternativet fick hålla reda på var det skulle vara i respektive j. Med funktionen meshgrid skapas två matriser X och Y så att X(i,j) har värdet (j) och Y(i,j) har värdet (i), dvs. indeproblemet är borta. [X,Y]=meshgrid(,); Z=zeros(m,n); for i=:m for j=:n Z(i,j)=f(X(i,j),Y(i,j)); end end Alternativ. Den allra smidigaste lösningen får vi då vi låter de nästlade repetitionssatserna i tidigare alternativ ersättas av komponentvisa operationer. Dvs. vår funktion f måste använda komponetvisa operationer. Vi slipper även initieringen av Z. [X,Y]=meshgrid(,); Z=f(X,Y); 4
5 Polära koordinater Ibland behöver man bta variabler för att på ett lättare eller bättre sätt behandla ett problem. Ett eempel på variabel- eller koordinatbte är polära koordinater { = r cos(ϕ) där (, ) (, ) samt r > och ϕ < π. = r sin(ϕ) ϕ r Vill vi t.e. rita grafen av f(, ) = över området +, dvs. en halvsfär, och använder rektangulära koordinater får vi den inte alltför sngga figuren nedan till vänster men använder vi polära koordinater får vi den lite snggare till höger. Rektangulära koordinater Polära koordinater >> subplot(,,) % Rektangulära koordinater >> =linspace(-,,); =linspace(-,,); >> [X,Y]=meshgrid(,); >> U=-X.^-Y.^; >> U(find(U<))=; % Sätter negativa värden till noll, >> Z=sqrt(U); % så att vi kan ta roten ur utan problem >> subplot(,,) % Polära koordinater >> r=linspace(,,); t=linspace(,*pi,); >> [R,T]=meshgrid(r,t); >> X=R.*cos(T); Y=R.*sin(T); >> Z=sqrt(-R.^); % Vi utnttjar att X.^+Y.^=R.^ 5
6 Uppgift 4. Rita upp de tor som är grafer till nedanstående funktioner med surf: (a). f(, ) = +, (, ) [, ] [, 4] (b). f(, ) =, (, ) [, ] [, ] (c). f(, ) = ( ) /, (, ) [, ] [, ] (d). f(, ) = (9 ) /, (, ) {(, ) : + 9} (Använd polära koordinater) (e). f(, ) = e +, (, ) {(, ) : + 4} (Använd polära koordinater) Uppgift 5. Återskapa figur.4 i Adams. Dvs. rita grafen för funktionen f(, ) = 6/( + + ) över ett lämpligt område. Tänk på att använda komponentvisa operationer. 4 Nivåkurvor i R Som eempel ser vi på funktionen vars nivåkurvor vi visade en bild av i inledningen över området,. Vi får bilden nedan med f(, ) = ( ) sin( ) >> =linspace(-,,4); =linspace(-,,4); >> f=@(,)(/*.^-).*sin(-.*); >> [X,Y]=meshgrid(,); >> Z=f(X,Y); >> contour(x,y,z,) % eller contour(,,z,) Den lite flligare bilden nedan till höger fås med contourf
7 När man ritar nivåkurvor med contour(x,y,z) får man som standard nivåer jämnt fördelade i spannet av värdena i Z, vill vi ha ett annat antal använder vi contour(x,y,z,nl), där nl är antalet önskade nivåer. Om vi istället vill ange eakt vilka nivåer som skall ritas upp ger vi dem i en vektor lvec och använder contour(x,y,z,lvec). I nästa studioövning vill vi rita upp endast nivån där funktionen är noll, dvs. rita noll-nivåkurvor. detta gör vi med contour(x,y,z,[ ]). Fundera på varför vi måste ge två gånger. Uppgift 6. Rita nivåkurvor till funktionerna i uppgift 4. Gå in och redigera cellerna så att ni samtidigt ser både funktionstan och nivåkurvorna. Använd subplot. Uppgift 7. Betrakta funktionen f(, ) = Rita tan över ett lämpligt område samt skapa en konturplot. Rita några enstaka nivåkurvor. 5 Nivåtor i R För att rita nivåtor använder vi isosurface. Vi tar eemplet från inledningen, dvs. funktionen f(,, z) = + + z i tre variabler. Nivåtorna blir då sfärer {(,, z) : + + z = c} och vi ritar upp för c =.5. >> =linspace(-,,); =linspace(-,,); z=linspace(-,,); >> [X,Y,Z]=meshgrid(,,z); >> F=X.^+Y.^+Z.^; c=.5; >> p=patch(isosurface(x,y,z,f,c)); >> set(p, facecolor, r, edgecolor, none ); >> ais equal, ais([- - - ]), grid on Vi har även ritat tterligare två nivåer som vi skalat av överdelen. De tekniska detaljerna får vi skjuta på framtiden, men vi fick till ett rött klot i alla fall. 7
8 6 Allmänna tor i R Som eempel på en allmän ta i rummet tar vi en clinder med radien r och höjden h som beskrivs matematiskt av {(,, z) : + = r, z h} Vi kan också göra en s.k. parametrisering = r cos(t) = r sin(t), t π z = s, s h vilket passar oss när vi skall rita bilden i Matlab. Vi tar r =.5 och h = 6 och ritar enligt >> r=.5; h=6; n=4; m=; >> s=linspace(,h,m); t=linspace(,*pi,n); >> [S,T]=meshgrid(s,t); R=r*ones(size(S)); >> X=R.*cos(T); Y=R.*sin(T); Z=S.*ones(size(T)); >> ais equal, ais([- - 6]) För clindern hade vi r(s) = r, dvs. ett konstat värde (samma radie). Om vi istället låter r(s) = + sin(s) (varierande radie) så blir det lite roligare. Detta är ett eempel på en rotationsta. Nu ritar vi upp rotationstan. Var skiljer sig koden nedan från den för clindern? >> h=6; n=4; m=; >> s=linspace(,h,m); t=linspace(,*pi,n); >> [S,T]=meshgrid(s,t); R=+sin(S).^; >> X=R.*cos(T); Y=R.*sin(T); Z=S.*ones(size(T)); >> ais equal, ais([- - 6]) 8
9 En sfär med radien r och centrum i origo ges av och kan parametriseras med där π s π och t π. Vi ritar en sfär med radien r = enligt + + z = r (s, t) = r cos(s) cos(t) (s, t) = r cos(s) sin(t) z(s, t) = r sin(s) >> r=; n=; m=; >> s=linspace(-pi/,pi/,n); t=linspace(,*pi,m); >> [S,T]=meshgrid(s,t); >> X=r*cos(S).*cos(T); Y=r*cos(S).*sin(T); Z=r*sin(S); >> ais equal.5.5 En torus med lateralradien r och centralradien a samt centrum i origo ges av ( + + z + a r ) = 4a ( + ) och kan parametriseras med (s, t) = (a + r cos(s)) cos(t) (s, t) = (a + r cos(s)) sin(t) z(s, t) = r sin(s) där π s π och t π. Vi ritar en torus med lateralradien r =.8 och centralradien a = enligt >> r=.8; a=; n=; m=5; >> s=linspace(-pi,pi,n); t=linspace(,*pi,m); >> [S,T]=meshgrid(s,t); >> X=(a+r*cos(S)).*cos(T); Y=(a+r*cos(S)).*sin(T); Z=r*sin(S); >> ais equal 9
Funktionsytor och nivåkurvor
CTH/GU STUDIO MVE47-8/9 Matematiska vetenskaper Inledning Funktionstor och nivåkurvor En graf till en funktion i en variabel f : R R är mängden {(,) : = f()}, dvs. en kurva i planet. En graf till en funktion
Läs merGrafritning kurvor och ytor
CTH/GU STUDIO TMV6c - / Matematiska vetenskaper Grafritning kurvor och tor Anals och Linjär Algebra, del C, K/Kf/Bt Inledning En graf till en funktion i en variabel f : R R är mängden {(, ) : = f()}, dvs.
Läs merFunktionsytor och nivåkurvor
CTH/GU LABORATION MVE5-4/5 Matematiska vetenskaper Funktionstor och nivåkurvor Inledning En graf till en funktion i en variabel f : R R är mängden {(, ) : = f()}, dvs. en kurva i planet. En graf till en
Läs merMer om funktioner och grafik i Matlab
CTH/GU TIF7/MVE3-7/8 Matematiska vetenskaper Mer om funktioner och grafik i Matlab Inledning Först skall vi se lite på funktioner som redan finns i Matlab, (elementära) matematiska funktioner som sinus
Läs merMatlab övningsuppgifter
CTH/GU TMA976-28/29 Matematiska vetenskaper Matlab övningsuppgifter Inledning Vi skall först se hur man beräknar numeriska lösningar till differentialekvationer. Därefter skall vi rita motsvarigheten till
Läs merKurvor, fält och ytor
CTH/GU STUDIO 7 MVE7-7/8 Matematiska vetenskaper Kurvor, fält och ytor Inledning Vi skall se hur man ritar parametriserade kurvor i planet r : R R och i rummet r : R R. Därefter skall vi approximera en
Läs merMer om funktioner och grafik i Matlab
CTH/GU 2/22 Matematiska vetenskaper Inledning Mer om funktioner och grafik i Matlab Först skall vi se lite på funktioner som redan finns i Matlab, (elementära) matematiska funktioner som sinus och cosinus
Läs merParametriserade kurvor
CTH/GU LABORATION 4 TMV37-4/5 Matematiska vetenskaper Inledning Parametriserade kurvor Vi skall se hur man ritar parametriserade kurvor i planet samt hur man ritar tangenter och normaler i punkter längs
Läs merMer om funktioner och grafik i Matlab
CTH/GU 2017/2018 Matematiska vetenskaper Mer om funktioner och grafik i Matlab 1 Inledning Först skall vi se lite på funktioner som redan finns i Matlab, (elementära) matematiska funktioner som sinus och
Läs merFall 1. En kurva definierad för positiva x roterar kring z-axeln.
Rotationstor ROTATIONSYTOR Rotationsta är en ta som uppstår genom att en plan kurva roterar ett varv runt en given ael i det tredimensionella rummet. Här betraktar vi rotationer runt aeln. Fall 1. En kurva
Läs merFunktioner och grafritning i Matlab
CTH/GU LABORATION 3 MVE11-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Funktioner och grafritning i Matlab Först skall vi se lite på (elementära) matematiska funktioner i Matlab, som sinus och cosinus.
Läs merFunktioner och grafritning i Matlab
CTH/GU STUDIO 1b MVE350-2014/2015 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Funktioner och grafritning i Matlab Först skall vi se lite på matriser, vilket är den grundläggande datatypen i Matlab. Sedan ser vi
Läs merGrafik och Egna funktioner i Matlab
Grafik och Egna funktioner i Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1, ht11 Moore: 5.1-5.2 och 6.1.1-6.1.3 1 Inledning Vi fortsätter med läroboken Matlab for Engineers av Holly Moore. Först
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merLinjära ekvationssystem
CTH/GU LABORATION MVE0-0/0 Matematiska vetenskaper Inledning Linjära ekvationssystem Redan i första läsperioden löste vi linjära ekvationssystem Ax = b med Matlab. Vi satte ihop koefficentmatrisen A med
Läs merNågra geometriska konstruktioner i R 3
Linjär algebra, AT / Matematiska vetenskaper Några geometriska konstruktioner i R Inledning Vi skall se på några Platonska kroppar. Dessa är konvexa tre-dimensionella polyedrar som har likformiga polygoner
Läs merMatriser och Inbyggda funktioner i Matlab
Matematiska vetenskaper 2010/2011 Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab 1 Inledning Vi skall denna vecka se på matriser och funktioner som är inbyggda i Matlab, dels (elementära) matematiska funktioner
Läs merMatriser och Inbyggda funktioner i Matlab
CTH/GU STUDIO 1 TMV036a - 2012/2013 Matematiska vetenskaper Matriser och Inbyggda funktioner i Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1 Moore: 2.3, 3.1-3.4, 3..1-3.., 4.1, 7.4 1 Inledning Nu
Läs merFlervariabelanlys och Matlab Kapitel 1
Flervariabelanlys och Matlab Kapitel 1 Thomas Wernstål Carl-Henrik Fant Matematiska Vetenskaper 28 augusti 2009 1 Kurvor och ytor 1.1 Funktionsytor I detta kompendium kommer vi på olika sätt studera funktioner
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 2 november 2015 Sida 1 / 23
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 2 november 2015 Sida 1 / 23 Föreläsning 2 Index. Kolon-notation. Vektoroperationer. Summor och medelvärden.
Läs merHomogena koordinater och datorgrafik
Linjär algebra, AT3 2011/2012 Matematiska vetenskaper Inledning Homogena koordinater och datorgrafik Vi såg tidigare på några geometriska transformationer; rotation, skalning, translation och projektion.
Läs merIntegranden blir. Flödet ges alltså av = 3
Lektion 7, Flervariabelanals den 23 februari 2 6.4.2 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av ut ur sfären med ekvationen där a >. Flödet ut ur sfären ges av F e e + 2 e e + e 2 + 2 + 2 a 2 F d, som
Läs merDubbelintegraler. 1 Inledning. 2 Rektangelregeln. CTH/GU LABORATION 5 MVE /2018 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABOATION MVE - 7/8 Matematiska vetenskaper Dubbelintegraler Inledning Vi skall börja med att approimera dubbelintegralen av en funktion över ett rektangulärt område f(,y)da där = {(,y): a b, c
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna
Läs merÖvningar till kapitel 1
Övningar till kapitel. Skissera för hand och/eller med Maple de delmängder av R som beskrivs av följande ekvationer och olikheter. a) > 0, >0 b) = +, 0, 0 c) = d) e) = f) >3 g)
Läs merGemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund
Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska
Läs merGeometriska transformationer
CTH/GU LABORATION 5 TMV6/MMGD - 7/8 Matematiska vetenskaper Inledning Geometriska transformationer Vi skall se på några geometriska transformationer; rotation, skalning, translation, spegling och projektion.
Läs merLaborationstillfälle 1 Lite mer om Matlab och matematik
Laborationstillfälle Lite mer om Matlab och matematik En första introduktion till Matlab har ni fått under kursen i inledande matematik. Vid behov av repetition kan materialet till de övningar som gjordes
Läs merAt=A' % ' transponerar en matris, dvs. kastar om rader och kolonner U' % Radvektorn U ger en kolonnvektor
% Föreläsning 1 26/1 % Kommentarer efter %-tecken clear % Vi nollställer allting 1/2+1/3 % Matlab räknar numeriskt. Observera punkten som decimaltecken. sym(1/2+1/3) % Nu blev det symboliskt pi % Vissa
Läs mer3 Parameterframställningar
3 arameterframställningar Från och med nästa kapitel kommer mcket av vårt fokus ligga på olika integraluttrck med vektorvärda funktioner. Vi kommer eempelvis studera integreringen av vektorfält både längs
Läs merTransformationer i R 2 och R 3
Linjär algebra, I / Matematiska vetenskaper Inledning Transformationer i R och R 3 Vi skall se på några geometriska transformationer; rotation, skalning, translation och projektion. Rotation och skalning
Läs merIntroduktion till Matlab
CTH/GU LABORATION 1 TMV206-2018/2019 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Introduktion till Matlab Matlab är både en interaktiv matematikmiljö och ett programspråk, som används på många tekniska högskolor
Läs merMer om geometriska transformationer
CTH/GU LABORATION 4 TMV141-1/13 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om geometriska transformationer Vi fortsätter med geometriska transformationer och ser på ortogonal (vinkelrät) projektion samt spegling.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanals Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 5 mars 207 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad
Läs merIndex. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26
TAIU07 Föreläsning 2 Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26 Matriselement och Index För att manipulera
Läs merLektion 1. Kurvor i planet och i rummet
Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation
Läs merIntroduktion till Matlab
CTH/GU STUDIO 1 LMA515b - 2016/2017 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Introduktion till Matlab Matlab är både en interaktiv matematikmiljö och ett programspråk, som används på många tekniska högskolor
Läs merDatorlaborationer i matematiska metoder E1, del C, vt 2002
Matematiska metoder E del C, vt, datorlaborationer, Datorlaborationer i matematiska metoder E, del C, vt. Laborationerna är ej obligatoriska.. Laborationerna genomförs individuellt. Grupparbete godkänns
Läs merIntroduktion till Matlab
CTH/GU LABORATION 1 TMV216/MMGD20-2017/2018 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Introduktion till Matlab Matlab är både en interaktiv matematikmiljö och ett programspråk, som används på många tekniska
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet
Läs merCTH/GU LABORATION 1 MVE /2013 Matematiska vetenskaper. Mer om grafritning
CTH/GU LABORATION 1 MVE16-1/13 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om grafritning Vi fortsätter att arbeta med Matlab i matematikkurserna. Denna laboration är i stor utsträckning en repetition och
Läs merMatlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab
Matlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab I den här övningen ska vi titta på hur man konstruerar funktioner i Matlab och hur man kan rita funktionsgrafer. Läs först igenom PM:et. Gå sedan igenom exemplen
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merGrafritning och Matriser
Grafritning och Matriser Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1, ht11 1 Inledning Vi fortsätter under läsperiod och 3 att arbete med Matlab i matematikkurserna Dessutom kommer vi göra projektuppgifter
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs merMATLAB övningar, del1 Inledande Matematik
MATLAB övningar, del1 Inledande Matematik Övningarna på de två första sidorna är avsedda att ge Dig en bild av hur miljön ser ut när Du arbetar med MATLAB. På de följande sidorna följer uppgifter som behandlar
Läs mer2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat
2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln
Läs mer20 Integralkalkyl i R 3
Nr,9maj-,Amelia Integralkalkl i R 3 VI kommer härnäst att studera integraler av tredimensionella vektorfält: F(,, ) = (P (,, ), Q(,, ), R(,, )). Vi generaliserar kurvintegraler och Greens formel från R
Läs merMatlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab
Matlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab I den här övningen ska vi titta på hur man konstruerar funktioner i Matlab och hur man kan rita funktionsgrafer. Läs först igenom hela PM:et. Gå sedan igenom
Läs merKap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.
Kap. 2. 2.2. Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet. 20. Skissera definitionsmängden till följande funktioner: A a. f(,) = ln ( 2 2 ) A b.
Läs merOm att rita funktioner av två variabler
Analys 360 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Om att rita funktioner av två variabler Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om att rita funktioner av två variabler 1 (10) Introduktion
Läs merIntroduktion till Matlab
CTH/GU LABORATION 1 MVE011-2012/2013 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Introduktion till Matlab Matlab är både en interaktiv matematikmiljö och ett programspråk, som används på de flesta tekniska högskolor
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merOptimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper
CTH/GU STUDIO TMV3c - 1/15 Matematiska vetenskaper Optimeringsproblem 1 Inledning Vi skall söka minsta eller största värdet hos en funktion på en mängd, dvs. vi skall lösa s.k. optimeringsproblem min f(x)
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 3 Institutionen för matematik KTH VT 2018 Previously on Flervariabel 1 Analytisk geometri i R n, kap 10 1. Topologiska begrepp a. Omgivning b. Randpunkter, Inre punkter c. Öppen mängd, Sluten
Läs mer15 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volymberäkningar
Nr 5, 9 april -5, Amelia 5 Multipelintegraler, sfäriska koordinater, volmberäkningar 5. Multipelintegraler et finns många tillämpningar där fler än tre variabler är aktuella. I statistik kan vi vilja undersöka
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merIntroduktion till Matlab
CTH/GU LABORATION 1 TMV157-2014/2015 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Introduktion till Matlab Matlab är både en interaktiv matematikmiljö och ett programspråk, som används på många tekniska högskolor
Läs merPlatonska kroppar med Matlab
CTH/GU LABORATION 1 MVE400-2014/2015 Matematiska vetenskaper Platonska kroppar med Matlab Inledning Platonska kroppar är tre-dimensionella konvexa polyedrar som har likformiga polygoner som sidor. Lika
Läs merIntroduktion till Matlab
CTH/GU 2015/2016 Matematiska vetenskaper Introduktion till Matlab 1 Inledning Matlab är både en interaktiv matematikmiljö och ett programspråk, som används på många tekniska högskolor och universitet runt
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall
Läs merFöreläsningar. Anders Johansson. 2011-08-30 tis
Föreläsningar Anders Johansson 2011-08-30 tis Föreläsningsplanering Föreläsn Adams bok Ämne 1 Kap. 10.1-5 Introduktion. Koordinatgeometri i rummet. Ytor och kurvor i rummet. 2 Kap. 11.1,3 Vektorvärda funktioner
Läs merKomponentvisa operationer,.-notation Multiplikation (*), division (/) och upphöj till (ˆ) av vektorer följer vanliga vektoralgebraiska
Matlab-föreläsning 3 (4), 17 september, 2015 Innehåll Sekvenser (från förra föreläsningen) Upprepning med for-slingor och while-slingor Villkorssatser med if - then -else - Logik Sekvenser - repetion från
Läs merUppgift 1 - programmet, Uppg6.m, visade jag på föreläsning 1. Luftmotståndet på ett objekt som färdas genom luft ges av formeln
Matlab-föreläsning (4), 10 september, 015 Innehåll m-filer (script) - fortsättning från föreläsning 1 In- och utmatning Sekvenser, vektorer och matriser Upprepning med for-slingor (inledning) Matlab-script
Läs merFlervariabelanalys och Matlab Kapitel 4
Flervariabelanalys och Matlab Kapitel 4 Thomas Wernstål Matematiska Vetenskaper 3 oktober 2012 4 Vektoranalys 4.1 Vektorfält Vi kan illustrera vektorfält, såväl i planet som i rummet, med kommandona quiver
Läs merNågot om algebraiska kurvor
85 Något om algebraiska kurvor Björn Gustafsson K T H Inledning. De enklaste matematiska funktionerna är de som kan definieras direkt med hjälp av de fyra räknesätten, dvs polynomen, (bara tre räknesätt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs mer! &'! # %&'$# ! # '! &!! #
56 6 MATRISER 6.6. Tillämpningar I exemplen nedan antar vi att {e, e 2 } är en ON-bas i planet och Oe e 2 ett högerorienterat system i detta plan. Exempel 6.39. Antag att u e + e 2 e är en vektor i planet
Läs meri punkten ( 1,2,3). b) Bestäm riktningsderivatan av f i punkten ( 1,2) ut ur Scandinavium genom tak och yttervägg [Scandinaviums tak är ytan ( x, y,
Tentamensskrivning i flervariabelanals F (MVE05) och reell matematisk anals F, delb (TMA975), 006-0-0, kl 80-0 i V Telefon: Johan Jansson, tel 076-7860 Låt f (, = 6 a) Ange en ekvation för tangentplanet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merTentamen MVE035 Flervariabelanalys F/TM
entamen MVE35 Flervariabelanals F/M 17-8- kl. 14. 18. Examinator: Peter Hegart, Matematiska vetenskaper, Chalmers elefonvakt: Peter Hegart, telefon: 766377873 alt. Ankn. 535, Anna Rehammar Hjälpmedel:
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 9 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem. Invers. Rotationsmatriser. Tillämpning:
Läs merFlervariabelanlys och Matlab Kapitel 4
Flervariabelanlys och Matlab Kapitel 4 Thomas Wernstål Carl-Henrik Fant Matematiska Vetenskaper 30 september 2009 1 4 Vektorfält, strömlinjer, potentialer, funktioner på ytor 4.1 Vektorfält Vi kan illustrera
Läs merMinsta-kvadratmetoden
CTH/GU STUDIO b TMV036c - 01/013 Matematiska vetenskaper Minsta-kvadratmetoden Analys och Linjär Algebra, del C, K1/Kf1/Bt1 1 Inledning Ett ofta förekommande problem inom teknik och vetenskap är att koppla
Läs merEn normalvektor till g:s nivåyta i punkten ( 1, 1, f(1, 1) ) är gradienten. Lektion 6, Flervariabelanalys den 27 januari z x=y=1.
Lektion 6, Flervariabelanals den 27 januari 2000 1272 Givet funktionen och punkten p 1, 1, beräkna a gradienten till f i p, f, + b en ekvation för tangentplanet till f:s graf i punkten p, fp, c en ekvation
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med Matlab
TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 1. Vektorer och Matriser 1 Inledning I denna övning skall du träna på att använda Matlab för enklare beräkningar och grafik. För att lösa uppgifterna
Läs merInledning. CTH/GU LABORATION 4 MVE /2017 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION 4 MVE3-6/7 Matematiska vetenskaper Inledning I denna laboration skall vi se på några geometriska transformationer i R och R 3 som ges av linjära eller affina avbildningar. En avbildning
Läs merLektionsblad 9, tis 16/2 2010
Lektionsblad 9, tis 16/2 2010 Först en gång till optimering med bivillkor. Lös uppgifterna 4.25 (om du har problem med denna väldigt typiska uppgift, så studera även lösningen till 4.24), 4.26 (nästan
Läs merVariabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde:
TANA81: Beräkningar med Matlab - Variabler och Matriser - Logiska uttryck och Villkor - Repetitionssatser - Grafik - Funktioner Variabler I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs mer1 Några elementära operationer.
Föreläsning Några elementära operationer. Ett skalärfält är en reellvärd eller komplexvärd funktion Φ(x, y, z). Ett vektorfält är en vektorvärd funktion A(x, y, z). I ett kartesiskt koordinatsystem kan
Läs merDatorövning 2 med Maple
Datorövning 2 med Maple Flerdimensionell analys, ht 2008, Lp1 15 september 2008 Under denna datorövning skall vi lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella derivator,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs mer7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden
Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab
TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 1. Vektorer och Matriser 1 Inledning I denna övning skall du träna på att använda Matlab för enklare beräkningar och grafik. Starta Matlab genom att
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merMatriser och vektorer i Matlab
CTH/GU LABORATION 2 TMV157-2014/2015 Matematiska vetenskaper Matriser och vektorer i Matlab 1 Inledning Först skall vi se lite på matriser, vilket är den grundläggande datatypen i Matlab, sedan skall vi
Läs merTentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB
MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 9p av totalt 20p Hjälpmedel: MATLAB Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab. Då du har en
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS --3 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna dubbelintegralen y ddy, där är
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs mer4.4. Mera om grafiken i MATLAB
4.4. Mera om grafiken i MATLAB Larry Smarr, ledare för NCSA (National Center for Supercomputing Applications i University of Illinois, brukar i sina föredrag betona betydelsen av visualisering inom den
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs merExtra datorövning med Maple, vt2 2014
Extra datorövning med Maple, vt2 2014 FMA430 Flerdimensionell analys Denna datorövning är avsett för självstudie där vi skall lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella
Läs merDUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater
ubbelintegraler. -koordinater UBBELINTEGRALER. Rektangulära ( koordinater efinition. Låt zf(, vara en reell funktion av två variabler och. Vi delar integrationsområde (definitionsområde) i ändligt antal
Läs merTATA69 Flervariabelanalys Kompletterande uppgifter ht 2016
Hans Lundmark Matematiska institutionen Linköpings universitet 2016-08-24 TATA69 Flervariabelanals Kompletterande uppgifter ht 2016 De här uppgifterna är till för att du på ett handfast sätt ska få bekanta
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merc d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)
1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab
Läs mer