Moment 10.1,10.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T10.1,T10.2,T10.3a,b,c,e,Ö10.1a-f,Ö10.3b-e

Transkript

1 Moment 0.,0. Viktiga exempel Övningsuppgifter T0.,T0.,T0.3a,b,c,e,Ö0.a-f,Ö0.3b-e Integraler Definition. F(x) sägs vara primitiv funktion till f(x) på intervallet I om F (x) = f(x) Anmärkning. Det kan finnas många primitiva funktioner till f(x). Den primitiva funktionen är ju bara bestämd på en konstant när! Exempel. F (x) = x +3 F (x) = x 8 F 3 (x) = x Är alla primitiva funktioner till f(x) = x Att söka upp en primitiv funktion F(x) till en funktion f(x) kallas att integrera. Man skriver f(x)dx = F(x)+C C står för ett konstant tal vilket som helst R. Att söka primitiva funktioner är en stor konst som vi här endast ska lukta på. Bortsett från de standardintegraler som återfinns i tabellen nedan, och som man måste kunna utantill, finns det ett antal knep vid integrering, varav vi ska lära oss några. Ett datorprogram, som i allmänhet är helt överlägsen människan i att finna primitiva funktioner, kan inte heller direkt avgöra vilken metod som ska användas utan använder en form av intelligent trail and error. Vi vet att vi kan derivera alla funktioner skapade av de elementära funktionerna. Detta betyder dock inte att vi kan integrera alla sådana funktioner. Det beror inte på att vi är dåligt tränade eller inte känner till alla knep. Många, eller rentav de flesta funktioner, vi kan hitta på saknar helt enkelt primitiva funktioner uttryckta med elementära funktioner! Jag vet inte och jag kan definitivt inte bevisa det, men jag misstänker att den primitiva funktionen till, till exempel ( ) sin dx lnx inte kan återges med hjälp av elementära funktioner. Håkan Strömberg KTH Syd

2 Däremot kan jag få hjälp från datorn eller en handbok (större formelsamling) för att hitta den primitiva funktionen till denna funktion. Från boken: dx 3x+ ln(cos(3x)+ sin(3x)) = +C + tan(3x) 5 Från datorn: dx + tan(3x) = (arctan tan 3x ln 5 ( ) cos + ln(+ tan 3x))+C 3x Det är till och med svårt att avgöra om svaren återger samma funktion! Nu åter till vår verklighet. Följande integraler måste man kunna utantill: x a dx = xa+ a+ +C då a sinxdx = cosx+c cosxdx = sinx+c dx cos x = tanx+c dx sin x = tanx +C e x dx = e x +C dx x = ln x +C dx +x = arctanx+c dx x = arcsinx+c Skulle man bli osäker på någon av dessa kan man alltid kontrollera genom att derivera sin gissning. Sats. En konstant kan alltid flyttas utanför k f(x)dx = k f(x) dx Sats. f(x)+g(x)dx = f(x)dx+ g(x) dx Exempel. x 3 +x +xdx = x 3 dx+ x dx+ xdx = x4 4 + x3 3 + x +C Sats 3. Låt a 0 och b vara konstanter. Låt F(x) vara primitiv funktion till f(x). Då gäller f(ax+b)dx = a F(x)+C Håkan Strömberg KTH Syd

3 Anmärkning. Ett vanligt fel är att man glömmer att dividera med innerderivatan Exempel 3. Bestäm sin(3x+7)dx = cos(3x+7) 3 Deriverar man resultatet inser man denna regel direkt. Partiell integrering Nu över till de knep man måste känna till för att hitta primitiva funktioner till lite mer avancerade integraler. Det första knepet kallas partiell integrering. Sats 4. Om F(x) och är primitiv funktion till f(x) och g(x) är deriverbar, så gäller f(x) g(x)dx = F(x) g(x) F(x) g (x)dx förutsatt att F(x) g (x) har en primitiv funktion. Bevis. Låt F(x) och g(x) vara deriverbara. (Vi sysslar nog enbart med deriverbara funktioner i denna kurs). (F(x) g(x)) = f(x) g(x)+f(x) g (x) Vi använde produktregeln för denna derivering och möblerar nu om lite. Först får vi f(x) g(x) = (F(x) g(x)) F(x) g (x) Sedan integrerar vi båda sidor f(x) g(x)dx = (F(x) g(x)) dx F(x) g (x)dx som till sist leder till vår formel för partiell integrering f(x) g(x)dx = F(x) g(x) F(x) g (x)dx eftersom integrering tar ut derivering! Så över till några exempel med partiell integrering Exempel 4. Bestäm xe x dx Lösning: Vilken av de två funktionerna som ska väljas till f(x) respektive g(x), kommer man att få en känsla för efter lite träning. Vi väljer här f(x) = e x och g(x) = x e x xdx = e x x e x dx = xe x e x +C Är man inte riktigt säker kan man, som sagt, derivera resultatet. D(xe x e x +C) = e x +xe x e x = xe x Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Exempel 5. Hur hade det nu gått om vi valt f(x) = x och g(x) = e x? Inget vidare kan vi säga. x e x dx = x x ex ex dx Det är förstås svårare att integrera x ex dx än x e x dx Exempel 6. Bestäm x sin4xdx Har känslan redan infunnit sig? Vad bör g(x) sättas till? g(x) = x är rätt svar på frågan. Men hjälper det, säger den som ser en bit framåt. Häng med här! sin(4x) x dx = cos(4x) cos(4x) x xdx 4 4 Men sedan då? Vi har fått ett nytt problem nämligen att integrera cos(4x) xdx 4 Även denna gång tillgriper vi partiell integration cos(4x) xdx = ( sin(4x) 4 ( sin(4x) x ( 4 )) 4 4 cos(4x)+c x ) 4 sin(4x) dx = = sin(4x) x 8 cos(4x) 3 Vad ska vi göra med detta resultat? Jo tillbaka till resultatet efter första steget och substituera det på den plats där den andra integralen står. Vi får: sin(4x) x dx = cos(4x) ( x sin(4x) x cos(4x) ) +C = cos(4x) x + sin(4x) x + cos(4x) +C Den som nu vill kontrollera svaret genom att derivera resultatet är välkommen. Vi inser vad som hade hänt om vi istället skulle ha integrerat x 3 sin4xdx +C Exempel 7. Bestäm lnxdx Kan vi använda partiell integration här? Vi har ju bara en funktion. Detta är ett klassiskt problem. Antingen så skulle man kunna placera in denna integral bland standardintegralerna och då få lära sig den utantill eller så får man tillägna sig detta trick. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Vi skriver om integralen lnxdx = x lnx x dx = x lnx x+c x Exempel 8. Bestäm cos xdx f(x) = cosx och g(x) = cosx, enkelt val. cosx cosxdx = sinx cosx sinx ( sinx)dx = sinx cosx+ sin xdx = sinx cosx+ cos xdx = sinx cosx+ dx cos xdx Vi har alltså fått tillbaka det vi började med: cos xdx = sinx cosx+ dx cos xdx cos xdx = sinx cosx+x och till sist cos xdx = sinx cosx + x +C Några knep vid partiell integrering e ax polynom dx Exponetialfunktionen lätt att integrera h(x)dx = h(x)dx Skriv konstanten framför sin(ax) polynom dx Trigonometrisk funktion lätt att integrera x +x dx Justera täljaren till känd integral. Problem. Bestäm x 3 +x+dx = x4 4 + x +x+c Problem. Bestäm sin(ax)dx = cos(ax) a +C Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Problem 3. Bestäm (x+) 5 dx = (x+)6 +C 6 Problem 4. Bestäm (ax+) 5 dx = (ax+)6 +C 6a Problem 5. Bestäm (x +) 5 dx = x 0 +5x 8 +0x 6 +0x 4 +5x +dx = x + 5x x7 + 0x5 + 5x x+c Man klarar problemet även om det blir jobbigt. Använd Pascal s triangel för att hitta koefficienterna vid utvecklingen av (x +) 5 Problem 6. Bestäm Problem 7. Bestäm Problem 8. Bestäm ln 3x dx = +C 3x 3 e x e x e x e x e x dx = dx dx = ex ex e x dx e 3x dx = ( e 3x e )+C x 3 dx +ax dx = Problem 9. Bestäm cosax+ dx = Vi använde oss här av formeln dx +( arctan( ax) dx = +C ax) a cos ax + dx = cos ax dx = ax tan a cosx = cos x = tan ax a cos ax dx = +C Problem 0. Bestäm a x dx = e x lna dx = ex lna lna = ax lnx +C Håkan Strömberg 6 KTH Syd