Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter. t 4 3t 2 +2 = 0. x 2 3x+2 = 0

Transkript

1 Onsdag oktober kl :5, Sal 09, Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Variabelsubstitution Sats. Antag att funktionen f(x) har en primitiv funktion F(x) och att funktionen t(x) är deriverbar. Då gäller: f(t(x))t (x) f(t) = F(x) = F(t(x)) Anmärkning Precis som vi tidigare löst ekvationen t t + = 0 genom variabelsubstitutionen x = t och få andragradsekvationen x x+ = 0 som vi lätt kan lösa. På samma sätt kan vissa integraler bli enklare genom lämplig substitution. Innan vi går vidare med exempel på detta påminner vi om några beteckningar. Vi ska ju finna en funktion t(x) vars derivata t (x) också kan betecknas: t (x) = dx Vi ska när vi använder variabelsubstitution ta fram x(t), alltså inversen till t(x). Denna funktion ska vi sedan derivera och få x (t) = dx Detta ger oss möjlighet att uttrycka dx som funktion av t och. Exempel. Beräkna x cosx dx Funktionen t = x är ett lämpligt val. Vi bestämmer inversen x = t Håkan Strömberg KTH Syd

2 Vi deriverar och får dx = omskrivet till Nu vet vi vad vi ska ersätta dx och x med i integralen. ( ) t cost cost = cost = sint = sinx Egentligen är det i detta skede ganska lätt att se att x är innerderivatan när vi bestämmer D[cosx ] Exempel. Bestäm xe x + dx [ ] Vi ser även här attx nästan är innerderivatan tilld e x +, men ska genomföra beräkningarna efter de metoder vi presenterat ovan: Vi väljer t = x + och tar fram inversen Derivatan blir som leder till Vår integral övergår i x = t dx = t t t e xe x + t e t t = = et ex+ = Exempel. Bestäm x e x dx Vi väljer t = x och ska nu bestämma x uttryckt i t dx uttryckt i t och Vi får och x = t x = dx = t Håkan Strömberg KTH Syd

3 eller Vår integral övergår nu till x e x Exempel. Bestäm Vi väljer t = x och får ( ) e t t t = som förändrar vår ursprungliga integral till t t e t t x (+x ) dx x = t och e t = = et = ex x ( ) t (+x ) (+t) Integraler av rationella funktioner Vi vill bestämma där f(x) och g(x) är polynom. Exempel 5. Bestäm (+t) = (+t) = f(x) g(x) dx = x+ x +7x+0 dx t (+t) (+x ) Vi startar med att faktorisera nämnaren genom att lösa andragradsekvationen x +7x+0 = 0 och få rötterna x = 5 och x =, som leder fram till x+ (x+)(x+5) dx Knepet här är nu att skriva om x+ (x+)(x+5) = A x+ + B x+5 Här ska vi nu finna A och B så att likheten gäller. Vi gör liknämningt på höger sida och får H.L. till A x+ + B x+5 = A(x+5)+B(x+) = xa+5a+xb+b = x(a+b)+5a+b (x+)(x+5) (x+)(x+5) (x+)(x+5) = Håkan Strömberg KTH Syd

4 om nu H.L. ska vara identiskt med V.L. x+ (x+)(x+5) = x(a+b)+5a+b (x+)(x+5) så får vi att { A+B = 5A+B = Vi löser ekvationssystemet och får A = och B =. Så nu (äntligen) kan vi skriva om integralen till x+ (x+)(x+5) x+ + x+5 dx eller ännu hellre x+ dx+ ln x+ + ln x+5 x+5 Anmärkning Vi testade en omskrivning (utan att veta om den skulle leda framåt) och hade turen att få en lösbar integral! Ansatser som visat sig fungera är: Polynomfaktor i nämnaren Lämplig ansats x a (x a) A x a A x a + B (x a) (x a) n A x a + A (x a) +... A n (x a) n ax +bx+c Ax+B ax +bx+c Håkan Strömberg KTH Syd

5 Exempel 6. Bestäm x x dx Det är enkelt att faktorisera nämnaren till x(x ). Detta leder till ansatsen x(x ) = A x + B x Vi identifierar nu A och B genom att göra H.L. liknämning och får A(x )+Bx x(x ) = x(a+b) A x(x ) Jämför nu de två leden = x(a+b) A och vi ser genast att A = och B =. Vi kan nu skriva om integralen x x x dx+ ln x +ln x x Exempel 7. Bestäm Nämnaren är redan faktoriserad. Ansats: (x+)(x +) dx Vi gör H-L liknämningt och får Vi identifierar nu täljarna i båda leden Vi utvecklar H.L. (x+)(x +) = A x+ + Bx x + A(x +) (x+)(x +) + (Bx)(x+) (x+)(x +) A(x +)+(Bx)(x+) Ax +A+Bx +Bxx (A+B)x +(B)x+(A) När vi nu identifierar koefficienterna på ömse sidor erhåller vi x : 0 = A+B x : 0 = B x 0 : = A Ekvationssystemet leder till lösningen A = B = C = Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Nu övergår vår integral till (x+)(x +) x+ dx+ x+ x + Vi utnyttjar nu regeln och får x+ dx f (x) f(x) (x ) x + ln f(x) x+ dx ln x+ ln x + + arctanx x+ dx x x + dx x x + dx x + Exempel 8. Bestäm sin x cosxdx Kanske inte helt enkelt att välja funktionen t(x). Vi chansar med t(x) = sinx och får x = arcsint och t En standardderivata som vi ska kunna utantill. In med (substituera) de vi nu räknat fram i vår integral: sin (arcsint) cos(arcsint) t cos(arcsint) = t t Jaha, här står vi nu och undrar om vi kan göra något åt Här kommer nu en liten utvikning. cos(arcsin t) arcsinx är som bekant en vinkel, till exempel den markerade vinkeln i triangeln ovan. Om en katet är x och hypotenusan i en rätvinklig triangel är den andra kateten x. Från trigonometrin får vi, som kontroll, för vår triangel sin(arcsinx) = x Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 vilket alltid är sant. Följande samband bör ju då också vara sant cos(arcsin x) = x och vips har vi hittat ett samband som är bra för oss här. Åter till integralen t cos(arcsint) t = t x t = Om det nu var någon som såg detta reda från start. Exempel 9. Bestäm Vi väljer t(x) = x och får och x(x ) 99 dx x = t+ t+ t = t = sin x Allt klart för substitution x(x ) 99 t+ t 99 t 99 t+ = = t00 00 = (x ) Exempel 0. Bestäm x +x dx Vi väljer t(x) = +x och bestämmer inversen till x = (t ) deriverar Substitutionen ger (t ) ( (t ) t ) (t ) = (t ) (t ) t = t = t = +x Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Problem. Finn F(x) till f(x) = x Problem. Finn F(x) till x x 5 5 = 9 5 x5 f(x) = x Problem. Finn F(x) till Problem. Finn F(x) till Problem 5. Finn F(x) till Problem 6. Finn F(x) till xdx = x x = x x x + x f(x) = x x + x x x lnx x f(x) = e x + cosx e x + cosx e x + sinx f(x) = x +e x x x +e x x x +ex + x f(x) = (x+) Problem 7. Finn F(x) till (x+) (x+) 8 f(x) = ( x) ( x) ( x) Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Problem 8. Finn F(x) till f(x) = (x +) (x +) 8x 6 +x +6x + 8x7 7 + x5 +x +x 5 Problem 9. Finn F(x) till f(x) = cos(x+) Problem j) Finn F(x) till Problem. Finn F(x) till cos(x+) sin(x+) f(x) = x x e x ln f(x) = sinx cos5x ex ln ln = x ln Här behöver vi formeln sinα cosβ = sin(α+β)+ sin(α β) sin8x+sin( x) sinx cos5x cos8x 6 cos( x) = cos8x 6 + cos(x) Håkan Strömberg 9 KTH Syd