Lösningsförslag till tentamen i Mekanik del 2 för F r0 r

Transkript

1 CHALMERS TEKISKA HÖGSKOLA Intitutionen fö teknik fyuik Göan ikaon Löningföag ti tentamen i Mekanik de fö F Ugift 1 Ski: V( ε ε Kaften mean atomena betäm av otentiaen deivata: ( F 13 7 dv 4ε 1 d Jämviktäget betäm av att kaften F( ka vaa no, viket ge 1,1 Bindningenegin bi E V ( 4ε 4ε ε 4 I näheten av jämviktäget kan vi använda Tayoutvecking och föumma teme av höge odning än kvadatik, viket ge dä 1 V V k ( ( + ( 14 8 d V 4ε 4ε 7 k / 3 4 /3 d 4ε ε 4 /3 4/ 3 3 Vi ha nu educeat modeen ti en hamonik ociato med fjädekontanten k och maan m/ (den educeade maan fö tvåkoytemet. Vinkefekvenen fö må vängninga bi atå k 144ε 1 ε ε ω 1,7 m 3 m m m Sva: 1 ε ; E ε; ω m

2 Ugift Låt o undeöka det väta tänkbaa faet. Det innebä e vid nodoen ee ydoen, efteom det ä dä coioikaften ä om töt. Vi kan vid oena bote fån att joden ä fäik och atå betakta jodytan om en an kaue, dä vi fö enkehet ku anta att bowingkotet kata ut fån mitten (oen, d.v.. fån en unkt om ä i via. Coioikaften gö att kotet tyck vika av åt idan i täet fö att öa ig ätinjigt, d.v.. öeen tyck tida mot ewton föta ag, men e vi det hea i ett töe eektiv kan vi i täet bekiva det om att kotet ö ig ätinjigt medan mået (kägona fytta ig åt idan fö att de föje med i joden otation. Unde ett dygn (T 4 3 fytta ig mået täckan πl dä L ä banan ängd (L 19,1 m. Unde den tid t då kotet ä i öee äng banan hinne mået atå fytta ig en täcka δ om ge av t δ π L T Med t få δ 3 mm och med t 3 få δ 4 mm. På mea nomaa beddgade bi avvikeen minde och vid ekvaton bi den no. Med användning av det fomea uttycket fö coioikaften finne man att ovantående uttyck fö δ ka mutiicea med inu fö atitudvinken. Huuvida ett a miimete avvikee ä väentig ee inte ä våt att äga fö den om inte ha egen efaenhet av bowing, men toigen ä det oväentigt. I aktiken gö man fötå inga beäkninga utan man ä ig eet genom tia and eo, viket innebä att man automatikt bygge in hänyntagande ti aa eevanta faktoe. Om coioikaften ea en väentig o å kue eae fån nodiga ände få obem nä de täva i t.ex. Autaien. Så ä veteigen inte faet. Om man av någon anedning vi minimea bidaget fån coioikaften kan man fötå göa det genom att kata kotet med to hatighet, å att tiden t bi iten, men det kue kanke åveka eet negativt i anda aveenden. Sva: Avvikeen ä högt ett a miimete och ea annoikt ingen aktik o. Ugift 3 Åt viket hå tåduen böja ua avgö av iktningen ho kaften moment med aveende å kontaktunkten mot undeaget. I gänfaet att kaften vekninginje gå genom kontaktunkten komme uen vaken att ua åt vänte ee åt höge (om man da tiäckigt håt böja den gida utan att vida ig, men i texten föutätt att fiktionen ä tiäckig fö att föhinda detta. Med hjä av figuen e man att i gänfaet gäe coα ρ. Runingen bi åt vänte om α > acco ( ρ och åt höge om α acco ( ρ <. Fö att betämma acceeationen toek käv en mea detajead anay. Vi åte M beteckna tåduen ammanagda maa och a de tyngdunktacceeation, äknad oitiv åt höge. Med kaftbeteckninga enig figuen ge agen fö macentum öee ekvationena Ma F coα T + F inα Mg Vid uning utan gidning gäe att vinkeacceeationen ä a/ (med oitiv iktning medu. Imumomentagen m.a.. macentum ge då T Mg α ρ α

3 a I T F ρ dä I ä töghetmomentet m.a.. macentum. U dea te ekvatione kan vi betämma a, och T. Reutatet fö a ä a coα ρ F M + I Vi notea att tecknet å a tämme med vad om ade inedningvi om uningen iktning. u åtetå baa att uttycka M och I i de givna tohetena µ, m, ρ och : M µ + m 1 1 I µρ + m Efte ite ageba få vaet. coα ρ Sva: a F µ + m + µρ med oitiv iktning åt höge. Ugift 4 Fö att bekiva öeen infö vi två koodinatytem: ett kofixeat ytem η och ett umfixeat ytem xyz, båda med oigo i O. Koen ymmetiaxe ä -axen, och den umfixa z-axen eka vetikat nedåt. Motvaande bavektoe beteckna med hatta :,z. Vinken mean -axen och z-axen beteckna med. Den ä eatead ti de givna tohetena och genom ambandet z actan Koen otationvekto kan kiva ω ω + ω dä ω bekive eceionen och ω bekive innet king ymmetiaxen: ω ω Ω z ω Sinnet ω kan uttycka i eceionhatigheten Ω med hjä av uningvikoet, viket ge (obevea tecknet + Ω ω Ω co Koen öeemängdmoment L med aveende å unkten O ä L I ω + I ω η + I ω η η dä I, I η och I ä de te huvudtöghetmomenten. På gund av otationymmetin gäe att I η I. Uttycket fö öeemängdmomentet kan då omfoma å föjande ätt: ω ( ( L I ω + I ω η + I ω + I I ω I ω + I I ω η ω

4 Med hjä av figuen e vi att viket ge ω ω + Ω co ( + ( ( + + co + ( L I I I I I I I co Ω z ω ω Ω Ω z + ω Ω in Ω ( co I I I I I I I co Ω z + + Ω Ω + Ω co z co dä vi använt uningvikoet fö att utycka ω i Ω. äta teg ä att betämma tiddeivatan av L: dl in co ω L Ω z I Ω z I + I Ω dt co I + co in I co Ω z Det vektoiea kaftmomentet med aveende å O ä τ mgz + z in mg + z in Imumomentagen dl dt τ ge nu in I + I co Ω mg + co in in ( I in + I co Ω mg in co Fö att ka vaa oitiv måte eceionhatigheten Ω ufya vikoet Ω I in mg + I co Kaftkomonentena F v och F h i unkten O betäm u agen fö macentum öee: in Fv mg + mg co + ( I in + I co Ω co F mω in h u åtetå baa att ätta in utyck fö in, co, I och I : in ; co I m + m ; I m 4 Efte ite enke ageba få vaet Sva: Vikoet ä att F h F v ( + 1 4g Ω + mω + mg Tyckkaften i kontaktunkten ä ( 3 mg

5 mω F + + mg Den vetikaa kaftkomonenten i O ä v ( Den hoiontea aftkomonenten i O ä F h mω F v ä iktad uåt och F h ä iktad inåt (centietakaft. 3 + Ugift 5 Antag att den ammanagda fjädekontanten ä k och åt x beteckna moton koodinat i vetika ed. Röeeekvationen i nävao av dämae men utan exta vikt bi då Mx kx bx + maν coν t viket kan kiva om b k m x + x x a co t M + M M ν ν Detta ä en injä inhomogen diffeentiaekvation om ätt kan öa. Efte det att invängningföoet ha dött ut få en tationä vängningöee med amituden (e t.ex. Phyic Handbook: A maν ( k Mν + ( bν Utan dämae (b men med en exta maa K få i täet A maν ( k Mν Kν Enigt föutättningen ka dea två uttyck fö A vaa ika viket innebä att ( k Mν + ( bν ( k Mν Kν Deutom äg att eonan ukomme om både dämae och extavikt akna. Det innebä att k Mν. Vikoet ovan föenka då ti ( bν ( Kν viket ge vaet. Sva: b Kν