Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Transkript

1 Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds till och hur den sk tillämps, är det inte säkert tt din lösningr leder frm till ett korrekt svr. Oft eror dett på tt du inte är speciellt vältränd på tt hnter de uttryck, som du stt upp på ppperet. Du är inte tillräckligt säker på hur du förenklr ett lgeriskt uttryck eller löser en ekvtion. Denn färdighet är inte direkt koppld till mtemtik, vd vser strktionsförmåg och prolemlösning. Därför måste det vr speciellt tråkigt och frustrernde tt snul på tröskeln och inte lyckts vis, tt mn egentligen förstått vd mn håller på med. Med hjälp v de löst och väl kommenterde uppgifter som finns här, är det tänkt tt du sk finslip din förmåg tt räkn med okstäver. Det är tillåtet tt tyck tt dett är en tråkig disciplin, men tänk då på hur mycket glädje du kn få ut v någr timmrs tråkig träning. Att verkligen kunn vis tt mn förstått ett vsnitt i mtemtiken genom tt lös tillhörnde uppgifter. Jämför det gärn med sport. Styrke- och konditionsträning hör inte till det det roligste, men är nödvändig inslg, för tt nå toppen i mång grenr. Det torde vr omöjligt tt förvärv denn färdighet utn träning. Tidigre genertioner, som lnd ndr din lärre tillhör, hr räknt sid upp och sid ned med denn typ v förenklingsuppgifter. Läs först igenom de regler och knep som presenters här nedn. De utgör de kunskper du ehöver för tt lös de 0 uppgiftern. Vrje uppgift går ut på tt förenkl ett lgeriskt uttryck, så lång det går och det går här lltid väldigt långt. Oft är svret ett heltl eller en end okstv. Se dett som en ledtråd, som inte kn sägs gäll för uttryck i llmänhet. Lös en uppgift i tget och kontroller sedn ditt svr i den kommenterde lösningen. Även om du lyckts få rätt svr, kn det vr idé tt titt igenom lösningen. Är din lösning likdn, smrtre eller för omständlig? Om du misslyckdes i ditt först försök är det viktigt tt du får med dig något från lösningen, som du kn nvänd i kommnde uppgifter. Studer därför lösningen nog och är du mitiös kn du försök tt lös den igen, en nnn dg. Mycket, när det gäller okstvsräkning, är resultt v noggrnnhet och god dministrtionsförmåg. Egenskper mn kn h nytt v inom ndr områden. Uppgiftern här nses svår och när du känner tt du ehärskr dem väl, kn du känn dig trygg. Regler och knep vid okstvsräkning I När mn vlägsnr prentesern i uttrycket ( ) ( c) ( c) kommer termern i en prentes, som föregås v ett minustecken tt ändr tecken ( ) ( c) ( c) c c Håkn Strömerg KTH STH Hninge

2 Mtemtik II För tt förenkl uttrycket ( ) ( ) 5( ) multiplicerr mn in konstnten i prentesen. Denn lg klls den distriutiv lgen, (x y) = x y. ( ) ( ) 5( ) III När vi stöter på ett uttryck liknnde ( )( c) tvings vi oft tt multiplicer smmn dess prenteser till ( )( c) c c Dett är inget nnt än distriutiv lgen i en nnn skepnd, ()(cd) = ()c()d. Antlet termer i de två prentesern kn vr godtyckligt stort. Om till exempel den en prentesen innehåller termer och den ndr, kommer multipliktionen tt ge = termer (innn eventuell smmnslgning). IV Speciellt stöter vi oft på uttrycken Först kvdreringsregeln Andr kvdreringsregeln ( ) ( ) som mn ör kunn nvänd i åd riktningr. Det vill säg det är lik viktigt tt kunn se tt som tt snt kunn utveckl Det kn vr r tt känn till även x 0xy 5y (x 5y) (0 7) ( ) ( ) 6 Dess formler lir mindre komplicerde då mn känner till inomilkoefficienter och Pscls tringel. V Konjugtregeln ( )( ) = sk kunn nvänds i åd riktningr. Mn sk snt kunn se, tt (x 7)(x 7) kn skrivs lik väl som tt kn skrivs (x 7)(x 7) 6x (0 8)(0 8) Håkn Strömerg KTH STH Hninge

3 Mtemtik VI Ser mn i dett uttryck inte, tt mn kn ryt ut 9 i täljren och nämnren 8x 9 6x 9(x ) (x ) = kn mn inte komm vidre. Dett är tt nvänd distriutiv lgen kvägen. Även dett är ett exempel på tt ryt ut: ( ) c( ) c ( )( c) c VII Bryter vi ut ( ) ur prentesen ( ) får vi ( )( ). Dett är ett vnligt återkommnde knep som till exempel i uppgiften ( ) ( )( )) VIII Att förläng ett råk är smm sk som tt multiplicer täljre och nämnre med smm uttryck ( 0). Dess råk är ll ekvivlent: ( ) ( ) x ( )(x y) x ( )(x y) IX Addition v råk. För tt kunn skriv dess termer på smm råk, måste mn först gör liknämnigt: är den minst gemensmm nämnren för de två termern. Det är inget solut krv tt mn hittr den minst gemensmm nämnren, även om det i prktiken leder till mindre räknnde. I dett exempel är ( )( ) minst gemensmm nämnren När vi skriver de tre termern på smm råkstreck får vi ( ) ( ) ( )( ) X Division v råk. En regel som oft nvänds är: Division v två råk är smm sk, som tt multiplicer täljren med det den inverterde nämnren. Att inverter ett råk är tt yt plts på täljre och nämnre. Alltså ( ) ( ) Vi hr här ett duelråk. Vi skriver om huvudråkets täljre. Inverterr råket i nämnren och multiplicerr med täljren. Håkn Strömerg KTH STH Hninge

4 Mtemtik Uppgiftern Här följer så de 0 uppgifter, som ll sk förenkls så långt möjligt. Uppgiftern kn nses svår. Hv tålmod och ret koncentrert. Ingen nnn än du själv kn lär dig dett! Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift 5 Uppgift 6 ( 5)(8 8) ( 6)( ) ( 8) ( 6) (5 7)(5 7) ( ) ( ) ( ) ( c) d( c) (d )( c) ( )( ) ( )( ) Uppgift 7 Uppgift 8 Uppgift 9 Uppgift 0 Uppgift Uppgift (6 9) ( 9) ( 6) ( )( c) ( c)( ) (c )(c ) ( c) c c ( )( ) Håkn Strömerg KTH STH Hninge

5 Mtemtik Uppgift Uppgift Uppgift 5 Uppgift 6 Uppgift 7 Uppgift 8 Uppgift 9 Uppgift 0 Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift c c c c c 5 ( ) 9 6 ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Håkn Strömerg 5 KTH STH Hninge

6 Mtemtik Uppgift 5 Uppgift 6 Uppgift 7 Uppgift 8 Uppgift 9 Uppgift 0 ( d cd )( c cd ) ( cd) c d c d (c d) ( ) ( ) ( / ) Uppgift Uppgift Kommenterde lösningr ( 5)(8 8) ( 6)( ) (6 6 0) ) Vi inleder med tt multiplicer smmn de två pren v prenteser (). Eftersom det finns ett minustecken frmför det ndr pret, tr vi det försiktigt och ehåller först prentesern (). När vi sedn tr ort dem, kommer smtlig termer inuti prentesen tt yt tecken (). Återstår tt slå smmn termer som hör ihop (). Svr: ( 8) ( 6) (5 7)(5 7) (5 9) I tur och ordning nvänder vi här först kvdreringsregeln, ndr kvdreringsregeln, och konjugtregeln (). När vi slår smmn de ått termern är det r de konstnt som inte tr ut vrndr (). Svr: 9 Håkn Strömerg 6 KTH STH Hninge

7 Mtemtik Uppgift Uppgift ( ) ( ) ( ) (9 ) (9 6 ) ( 6 ) När den först prentesen kvdrers får vi före smmnslgning 9 termer. I den ndr nvänder vi ndr kvdreringsregeln (). För tt se hur de olik typern v termer tr ut vrndr sorterr vi dem efter exponentens storlek och ser tt nästn ll tr ut vrndr () Svr:. ( c) d( c) ( d)( c) ( c)( d) (d )( c) ( )( c)( d) ( )(d )( c) Uppgift 5 ( c)( d) ( d)( c) Vi inleder med tt ryt ut ( c) i täljren (). Täljre och nämnre är lik, så när som på ( d) i täljren och (d ) i nämnren (). Om vi utför multipliktionen ( )(d ) övergår prentesen till ( d). Dett kn vi åstdkomm genom tt förläng råket med ( ) (). i täljren kn lik väl skrivs frmför råket (). Vi kn nu förkort åd prentesern och kvr lir Svr:. ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) När mn multiplicerr en prentes med termer med en med termer får mn totl = 6 termer. Totl sk vi här lltså hnter termer (). I () hr vi smlt ihop liknde termer. Den som hr en dministrtiv vn kn gå direkt från () till svret. Svr: Håkn Strömerg 7 KTH STH Hninge

8 Mtemtik Uppgift 6 Uppgift 7 Vi strtr med tt gör de liknämnigt i täljren och nämnren oeroende v vrndr. Nu råkr åd h smm minst gemensmm nämnre (). Nu kn vi skriv termern på smm råkstreck (). Division v två råk är smm sk som tt multiplicer det först med det ndr invertert (). Efter förkortning får vi Svr: (6 9) ( 9) ( 6) (6 6 8) ( 8 6)) ( 5) 5 8 Två gånger först kvdreringsregeln i täljren och en gång i nämnren ger (). Smmnslgning v termer ger (). I () ser vi tt det är möjligt tt ryt ut 8 i täljren som ger (). Svr: 8 Håkn Strömerg 8 KTH STH Hninge

9 Mtemtik Uppgift 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) Uppgift 9 6 Vi strävr nu efter tt kunn skriv de tre råken på smm råkstreck. ( ) är en gemensm nämnre (för övrigt den minst). Vi förlänger råken med lämplig uttryck (). Nu hr vi nått först målet (). I () förenklr vi täljren till resulttet i (). I () ser vi tt det är möjligt tt ryt ut. Efter förkortning v (5) för vi Svr: ( )( c) ( c)( ) (c )(c ) ( )( c) ( ) ( )( c)( ) ( )( )( c)( c) c ( )( c)( c) c ( c)( c)( ) ( )( c)( c) 5 ( c) ( c) ( ) ( )( c)( c) c c ( )( c)( c) 0 ( )( c)( c) 6 0 Vi strtr med tt försök finn en gemensm nämnre. Det ser ut som vi kn få en estående v tre fktorer om vi på tre ställen nvänder knepet (x y) = ( )(y x), (). I ndr ter- Håkn Strömerg 9 KTH STH Hninge

10 Mtemtik Uppgift 0 men förlänger vi med ( ). Oserver tt i tredje termen ryter vi ut ( ) två gånger och får ( )( ) =. Dett är lltså ingen förlängning. I () förlänger vi de tre råken med det uttryck som inte redn finns i nämnren. Vi kn skriv llt på smm råkstreck (). Efter förenkling får vi 0 i täljren (5). Svr: 0 ( c) c c ( c) c ( ) ( c) c ( ) ( c) c c c 5 Först identifierr vi huvudråkstrecket som det längst v ll råkstreck. Sedn ser vi tt i täljren hr de två råken redn smm nämnre och kn därför enkelt skriv dem på smm råkstreck. I nämnren gör vi för enkelhetens skull ett råk v genom tt lägg till nämnren, se (). Vi håller oss fortfrnde innnför prentesern. Vi vet hur vi sk hnter division v två råk (). Vi kn förkort () och multiplicerr till sist de två prentesern () och förkortr och får Svr: Figur : Håkn Strömerg 0 KTH STH Hninge

11 Mtemtik Uppgift ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 Vi sk multiplicer en prentes med termer med en nnn som innehåller termer vilket kommer tt ge oss 6 termer med lite olik nämnre. Dett är en frmkomlig väg, men vi väljer istället tt reducer uttrycken i vrje prentes för sig. Vi gör liknämnigt genom förlängning (). Vi skriver de åd prentesern på gemensmm råkstreck (). Reducerr och ryter ut () och (). Till sist får vi Svr:. Figur : Håkn Strömerg KTH STH Hninge

12 Mtemtik Uppgift ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 ( ) = Uppgift Ett duelråk igen. Vi strtr med tt skriv om huvudråkets täljre och nämnre på gemensmt råkstreck (). I täljren är den gemensmm nämnren 6 och i nämnren (). Vi skriver om råken från en division till en multipliktion () och reducerr så långt vi kn (). Svr: c c c c c ( )( ) c ( c)( c) (c )(c ) c c c c c c c Här gäller det tt tänk en liten stund innn mn sätter igång tt hitt en gemensm nämnre. Håkn Strömerg KTH STH Hninge

13 Mtemtik Uppgift Genom tt nvänd konjugtregeln inte mindre än tre gånger kn vi skriv om uttrycket som i (). Efter möjlig förkortningr får vi ett etydligt enklre uttryck (). De två termern med nämnre tr ut vrndr och kvr lir Svr: c 5 ( ) ( )( ) 5 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( 5 )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( 5 )( ) ( )( ) ( ) ( 5 )( ) ( )( ) 5 5 ( )( ) 5 5 ( )( ) ( )( ) 9 En riktigt joig uppgift. Till tt örj med ser vi tt minst gemensmm nämnren är ( ) ( ) (). Med utgångspunkt från det förlänger vi de tre råken med lämplig uttryck () och kn slå smmn hel uttrycket till ett råk (). Vi står nu inför en mängd eräkningr vrs frmgång prägls v noggrnnhet och en dministrtiv känsl. Håller vi tungn rätt i mun kommer vi så småningom hit (7). Om vi inte visste tt smtlig svr lnd dess 0 uppgifter vr etydligt mindre komplicerde knske vi skulle stnn här. Vår end chns är nu tt utveckl nämnren (8) och se det gv frukt! Svr: Håkn Strömerg KTH STH Hninge

14 Mtemtik Uppgift ( ) 9 ( ) 5 6 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 7 ) ( ) ( 7 7 ) ( 6 9 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 7 0 Åter en uppgift som kräver precision. För tt finn en lämplig gemensm nämnre ehöver mn se tt 9 6 ( ) och tt 9 = ( )() (). När väl dett är genomskådt får vi den minst gemensmm nämnren ( ) ( ) som leder till en del förlängningr innn vi kn skriv hel uttrycket på gemensmt råkstreck (). På två ställen i den ny nämnren sk tre prenteser multiplicers smmn. Med tålmod och noggrnnhet får vi först (), sedn () och (5), för tt till slut upptäck tt hel nämnren lir 0. Svr: 0. Figur : Håkn Strömerg KTH STH Hninge

15 Mtemtik Uppgift 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Division v två råk, som vi också kllr duelråk. Vi inleder med tt skriv de tre termern i täljren på gemensmt råkstreck (). Vi går över från division till multipliktion på ett numer känt sätt (). Vi upptäcker tt ( ) i () och vslutr med tt förkort. Svr: Figur : Håkn Strömerg 5 KTH STH Hninge

16 Mtemtik Uppgift 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Den här gången kräver åde täljre och nämnre i duelråket förerednde rete (). Vi övergår från division till multipliktion (). Först kvdreringsregeln och konjugtregeln ger oss möjlighet till fktorisering v två uttryck (). Återstår sedn endst tt förkort. Svr: Figur 5: Håkn Strömerg 6 KTH STH Hninge

17 Mtemtik Uppgift 8 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 5 ( ) ( ( )( ) ) 6 ( ) 7 ( ) Åter ett duelråk. Vi reducerr täljre och nämnre för sig (). Inverterr nämnren och multiplicerr med täljren (). Använder konjugtregeln för tt fktoriser först råkets täljre (). Förlänger ndr råket med ( ) (). Multiplicerr in ( ) i ( ) och får ( ) i (5). Kn nu förkort en del i (6) och får till slut Svr: ( ) Håkn Strömerg 7 KTH STH Hninge

18 Mtemtik Uppgift 9 ( ) Uppgift 0 Två råk som redn hr smm nämnre kn direkt skrivs på smm råkstreck (). Efter reducering, lämplig utrytning () och förkortning återstår Svr: ( ) 5 6 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 7 Med hjälp v först och ndr kvdreringsregeln smt med konjugtregeln fktoriserr vi de fyr nämnrn (). Vi föreslår sedn den gemensmm nämnren ( ) ( ) och förlänger på vnligt sätt sedn råken för tt erhåll denn nämnre (). I (), () och (5) retr vi sedn med tt reducer täljren, som vi sedn fktoriserr i (6). Eftersom ( ) ( ) får vi ing prolem med tt förkort uttrycket för tt till sist erhåll Svr: Håkn Strömerg 8 KTH STH Hninge

19 Mtemtik Figur 6: Uppgift ( ) ( 5) ( ) 5 ( ) ( ) ( 5) ( )( 5) ( 5) ( 5) ( ) ( 5) 5 6 Här gäller det tt se tt ( ), vilket är lite ovnligre än de två ndr uttrycken som vi identifierr som uttryck i först och ndr kvdreringsregeln (). I () och () fixr vi till prentesen i ndr termens nämnre så tt det går tt förkort. Svr: 6. Håkn Strömerg 9 KTH STH Hninge

20 Mtemtik Uppgift ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 5 ( )( ) Ett duelråk där vi först hnterr täljre och nämnre för sig () och (). Nu är det dgs tt skriv om råket som en multipliktion i stället för en division. Förkortning v prentesern är ej direkt möjlig innn vi nvänder tt (x y) ( )(y x). Svr: Håkn Strömerg 0 KTH STH Hninge

21 Mtemtik Uppgift ( ) ( )( ( ) ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ( ) ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 Med den vn vi nu hr, ser vi direkt tt minst gemensmm nämnren är ( )( ). Vi förlänger de tre råken () och eftersom nämnrn redn från örjn är gnsk komplicerde får vi en del jo i (), (). I () kn det dock li stopp eftersom vi hr svårigheter tt fktoriser. Vi delr upp uttrycket i två delr och kn till sist ryt ut (). Efter förkortning får vi Svr:. Figur 7: Håkn Strömerg KTH STH Hninge

22 Mtemtik Uppgift ( ) Uppgift 5 Borde nu efter ll träning vr gnsk enkelt. Den gemensmm nämnren lir. Vi förlänger och skriver uttrycket på gemensmt råkstreck () och (). Vi reducerr sedn nämnren i () och får efter förkortning Svr:. ( ) ( ) ( )( ) Uppgift 6 Smm knep som vi nvände i slutfsen v uppgift. Del upp nämnre i två lämplig delr så tt vi till sist kn ryt ut ( ) (). Därmed är täljren fktoriserd och en v fktorern visr sig finns även i nämnren (). Återstår endst tt förkort och Svr: ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) Håkn Strömerg KTH STH Hninge

23 Mtemtik Uppgift 7 Aningen svårre än i tidigre uppgifter tt känn igen kojugtuttrycket och det som härrör från först kvdreringsregeln (). När det väl är gjort är det r tt förkort Svr: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) Uppgift 8 Åter en uppgift där det gäller tt fktoriser täljre och nämnre. Uttrycket ( ) är vi inte lik vn vid, som de två ndr (). När vi förkortt råket återstår Svr: ( d cd )( c cd ) ( cd) c d c d (c d) cd d( cd) c d c( cd) c d ( cd) ( cd) (c d) (c d) cd d( cd) c d c( cd) c d cd(c d) d( cd) c( cd) c d c d cd d cd c c d c d 5 c d c d (c d) c d 6 De två prentesern måste multiplicers smmn. Vi kn redn nu se tt en v de då fyr ildde termern återfinns som sist term i uttrycket, med omvänt tecken (). Återstår tre termer, med målet tt skriv på smm råkstreck (). Den gemensmm nämnren är förstås (c d). I () och () retr vi med tt reducer täljren. Efter tt h rutit ut och förkortt i (5) får vi Svr: Håkn Strömerg KTH STH Hninge

24 Mtemtik Uppgift 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )( )( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 Den som här direkt sätter igång tt utveckl prentesern som de ser ut får en lång väg frm till målet. Vår strtegi lir då istället, som så mång gånger tidigre, tt skriv termern i de två först prentesern på smm råkstreck (). Efter reducering ser det ännu ättre ut (). Nu kn vi låt exponentern verk på prenteserns innehåll (). Efter tt h fktorisert nämnren i den mitterst prentesern, ( ) ( ) ( ) (övertyg dig om det), är det dgs tt förkort och få Svr: Håkn Strömerg KTH STH Hninge

25 Mtemtik Uppgift 0 / / ( )/ ( ) ( ) 5 6 Här måste mn håll red på vd som är huvudråkstreck de som ligger i linje med -tecknet. För tt förtydlig tt det hndlr om fyr duelråk inne i prentesen förstärker vi dem genom tt skriv till nämnren på någr (). I () låter vi råken gå över från division till multipliktion med nämnrens inverterde värde. De två först termern i prentesen tr ut vrndr. Återstår tt skriv de två ndr på gemensmt råkstreck (), () och (5). Efter förkortning återstår Svr: Tänk på tt det tr tre gånger så lång tid tt konstruer ett prolem, v den typ du sett ovn, än det tr tt lös det! Håkn Strömerg 5 KTH STH Hninge