Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z

Transkript

1 Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad populatio har vätevärdet ( medelvärdet ) µ Stickprov x Hur bra passar stickprovets medelvärde till populatioes hypotetiska medelvärde µ? (hur saolikt är det att det blir x i stickprovet om medelvärdet är verklige µ?) Om stickprovet passar ite (stor differes mella µ och x): populatioe har troligtvis ett aat medelvärde ä µ förkasta H Idè Nollhypotes.H. Nollhypotes H : µ =7. 3 Distributio Plot 7 µ X Stickprovet saolikt Stickprovet saolikt Stickprovet osaolikt Avädig dig av Z-testetZ Hur räkar r ma? Begräsat avädigsområde, ty: populatioes stadardavvikelse () måste vara käd me så är det ästa aldrig Ädå visar Z-testet hur ett test fukar i allmähet stickprovets medelvärde populatioes stadardavvikelse (måste vara käd) x det hypotetiska medelvärdet för hela populatioe Testvariabel : stickprovets storlek är de saa stadardavvikelse - blada ite ihop med s som är e skattig för

2 Hur räkar r ma? =3, de käda stadardavvikelse för de uderliggade fördelige µ =, var hypotes för fördeliges medelvärde Vi tog ett stickprov med värde som gav medelvärdet Testvariabel: x 3 Testvariabel: x = : stickprovets medelvärde stämmer exakt överes med det hypotetiska populatiosmedelvärdet µ iget skäl att tvivla på H!! > : stickprovets medelvärde är större ä µ - me bara om det är sigifikat större ä µ kommer vi att förkasta H < : stickprovets medelvärde är midre ä µ - me bara om det är sigifikat midre ä µ kommer vi att förkasta H Kritiska område för f r olika sigifikasivåer (tvåsidigt test) Sammafattig -test =. =.. Hypotes H : µ. Välj sigifikasivå: =. 3. Stickprov medelvärde. Testvariabels värde. Förkasta H om ligger i det kritiska området ( rejectio regio ) x x x i (.,.) =. Hur kommer ma påp detta? Slutledig Om H är sa, dvs. om medelvärdet är µ, då är: X N, det betyder att medelvärdet för flera X i är fördelat: X N, det betyder att det stadardiserade medelvärdet är fördelat: X, alltså, N N

3 Slutledig: H är sa N, X Om -värdet hamar i de röda regioe, så förkastar vi ollhypotese (H ). Saolikhete att ett sådat värde kommer till ståd uder H är ämlige lite ( %). Vi måste alltså udersöka om är ormalfördelad N(,): Normal, Mea=, StDev=.. Det är osaolikt att är fördelad N(,) om värdet för är för stor eller för lite. I så fall atar vi att är ite fördelad N(,). Det betyder att H är ite heller sa: vi förkastar H Normal, Mea=, StDev= =. / =. / =. =... Kritiskt område för =. (RR: rejectio regio) Kritiska värde: -. och +. kvatil: / Exempel Vikt av bar (kg) som började skola på -talet: ormalfördelad µ= (vätevärdet, eller medelvärdet ) =3 (stadardavvikelse) ases som korrekta populatiosparametrar ty alla bar har mätts Vi vill geom ett stickprov testa om vätevärdet µ ( medelvärdet ) har förädrats seda dess. Vi ställer upp e hypotes (om de ytida populatioe), ämlige att medelvärdet är fortfarade detsamma: µ = Vi atar att stadardavvikelse har ite förädrats (??) populatio med käd stadardavvikelse (=3) Exempel, forts. Vi tar ett stickprov av storlek vi vägar bar. t.ex = Vi beräkar stickprovets medelvärde. kg Normal, Mea=, StDev=. x H.7 Sammafattig -test. Formulerig av e hypotes: H : µ = (medelvikte har ite förädrats) H a : µ (medelvikte har blivit större eller midre = tvåsidigt test). Välj sigifikasivå: =. 3. Ta stickprovet och räka ut dess medelvärde. Räka ut testvariabels värde. Förkasta H om ligger i det kritiska området ( rejectio regio ) eller eller... x x x (.,.) (.,.) i Förutsättigar ttigar för f r -testet Populatioe är ormalfördelad Populatioes stadardavvikelse () är käd Slumpmässigt stickprov ma får t. ex. ite: bara välja bar frå e sportgymasieskola bara välja bar frå e storstadsregio subjektivt välja ut på ågot sätt Stickprovet måste vara represetativt.

4 Att testa för f r ormalfördelig rdelig Att testa för f r ormalfördelig rdelig Frequecy.. Histogram of C Normal 3. C... Mea.337 StDev.73 N Miitab: Graph/Histogram With Fit Percet Empirical CDF of C Normal 3 C 7 Mea.337 StDev.73 N Miitab: Graph/Empirical CDF Distributio = Normal (uta Mea och StDev) Att testa för f r ormalfördelig rdelig Att testa för f r ormalfördelig rdelig Probability Plot of C Normal - % CI Percet 7 3 C Mea.337 StDev.73 N AD.37 P-Value.3 Miitab: Graph / probability Plot Distributio = Normal (uta Mea och StDev) Stat / Basic Statistics / Normality Test Exempel McKillup s. käd fördelig: atalet vita blodceller per ml blod hos friska vuxa: µ=7; = (mätt hos miljotals mäiskor, ka därför ases som populatiosparametrar) Täthetsfuktio för vita blodceller per ml blod Normal, Mea=7, StDev= Miitab: Graph / Probability Distr. Plot / View Sigle Distributio: Normal Mea: 7 Stadard dev: (blodceller.mpj) Stickprov: 73,, 7, 73, 7, 7, 77, 7, 73, 7 Ny populatio : astroauter! samma µ? (vi atar att de har samma ). Nollhypotes: H : µ =7 (ige förädrig) H a : µ 7 (förädrig). Sigifikasivå: =. 3. Stickprovets medelvärde. Testvariabel. RR (kritiska området) förkasta H -.7 krit x ; xi. ;.; SEM 3.3 x SEM blodceller/ml -..

5 Vad är r p-värdetp? The p-value is the probability of obtaiig a result at least as extreme as the oe that was actually observed, give that the ull hypothesis is true. [Wikipedia] p-värdet är saolikhete att få ett resultat (-värde) som är mist så pass extremt som det stickprovet gav (om ma atar att H gäller) Distributio Plot Normal, Mea=, StDev= -.. x SEM tvåsidigt test p p <.: resultatet är sigifikat på % ivå, p <.: resultatet är sigifikat på % ivå, osv. Sigifikasivå x Valet av sigifikasivå är subjektivt. Ett lägre sigifikasivå betyder att vi är mera beäga att hålla fast vid ollhypotese bara om stickprovet är verklige mycket osaolikt uder H förkastar vi H Distributio Plot Normal, Mea=, StDev= -... Z Distributio Plot Normal, Mea=, StDev=. -.. H förkastas om hamar i det röda området (kritisk regio för -sidigt -test). Z Exempel - Miitab -test.mpj käd stadardavvikelse: = Nollhypotes: µ =7 Stickprov: 73,, 7, 73, 7, 7, 77, 7, 73, 7 Stat / Basic Statistics -Sample Z Sample i colum C Stadard deviatio: Perform hypothesis test Hypothesied mea: 7 Oe-Sample Z: C Test of mu = 7 vs ot = 7 The assumed stadard deviatio = Variable N Mea StDev SE Mea % CI Z P C (3, ) Distributio Plot Normal, Mea=, StDev= -.. X.3 Testvariabel (Statistika) Beräkig av e testvariabel dess fördelig är helt käd (uder H ), t.ex. ~ N(,) Testvariabel var oll () om stickprovet stämde exakt överes med ollhypotese. Ju starkare testvariabel avviker frå oll, desto midre trovärdigt blir det att ollhypotese stämmer. Om testvariabel överskrider ett kritiskt värde, så förkastas ollhypotese, t.ex < -. eller >. Olika test har bara olika testvariabler se ästa sida... () ka också vara adra värde, t. ex ett i F-testet x Two-Sample -test H : µ=µ -µ (ite oll) X N(, ) i X N (, ) i H : x x käd käd statistika ; N(, ) fördelad ( om H sa) I x x (-) % kofidesiterval för Värdet av säger oss ige om ka vara N(,)-fördelad... och därmed om H ka accepteras.

6 Esidigt och tvåsidigt test Esidiga test Fördelig för medelvärdet Normal, Mea=, StDev=.3 tvåsidigt: H : µ = µ H a : µ µ two-tailed Distributio Plot Normal, Mea=, StDev=.3 esidigt: H : µ = µ H a : µ > µ Distributio Plot Normal, Mea=, StDev=.3 esidigt: H : µ = µ H a : µ > µ..... Distributio Plot Normal, Mea=, StDev=.3 esidigt: H : µ = µ H a : µ < µ Avädig dig av esidiga test Fel typ (type error) McKillup s. 7 ff. Med ett esidigt test är det lättare at få ett sigifikat resultat: Fördelig för medelvärdet Normal, Mea=, StDev=.3. Normal, Mea=, StDev=. Normal, Mea=, StDev=... H rejected but it s true! two-tailed oe-tailed Ett esidigt test ka avädas om ma med säkerhet vet att e evetuell föradrig ka bara gå i e viss riktig (H a måste ligga på de ea sida). Om ma ite vet i vilke riktig e förädrig ka gå, måste ett tvåsidigt test väljas. Om ma tvivlar tvåsidigt test (t.ex. med vikte av bar). Vi förkastar H om vi hamar i det röda området. Riske är % att vi gjorde fel, ty: värde i det röda området är osaolika, me ite omöjliga. Fel typ (type error) Testets styrka (Power of a test) Distributio Plot Distributio Plot. H accepteras.3 H H a H accepted but it s false!. H accepteras.3 H H a Styrka = Slh. att förkasta e H som är ite sa Problem: midre större. 3 7 Vi accepterar H om vi hamar i det ire området för H. Vi har gjort fel om H a är sa. Saolikhete för detta är lika med de markerade area. Om H a är sa: Det fis e chas att vi ädå atar H, ämlige det markerade området. Chase att förkasta H om H a är sa är alltså ett mius de markerade area.

7 Styrka beror av, µ och McKillup s. Power Curve / Miitab Stat / Power ad Sample Sie -Sample Z power = är vad ma vill ha! Power Curve for -Sample Z Test.. Sample Sie Assumptios Alpha. StDev Iterferetial statistics Type ad Type errors Power... Alterative Not = Java-Applets. - - Differece