REGRESSIONSANALYS S0001M

Transkript

1 Matematk Kerst Väma 9--4 REGRESSIONSANALYS SM

2 INNEHÅLL. Iledg.... Ekel regressosaalys Udersökg av modellatagadea Korrelatoskoeffcet.... Kofdestervall för förvätat Y-värde Progostervall Om flytelserka observatoer Om tolkg av regresso och korrelato Multpel ljär regresso.... Resdualaalys och aalys av flytelserka observatoer.... Progostervall samt kofdestervall för förvätat Y-värde...8. Kolleartet Dummyvarabler Att välja ut e lämplg modell Appedx...38

3 Luleå tekska uverstet Matematk SM Kerst Väma Regressosaalys. Iledg Regressosaalys är e av de mest aväda statstska metodera om måga olka tllämpgsområde för att beskrva och bestämma sambad mella två eller flera olka varabler. Det är äve e metod för att bygga modeller som förklarar så mycket som möjlgt av varatoe e vss studerad stuato. Exempel. Koloxd och rökg. Ekel ljär regresso Att rökg påverkar vår hälsa är umera ett kät faktum. Det fs ett stort atal faktorer som ka mätas sambad med cgarrettrökg. The Federal Trade Commsso USA graderar årlge olka cgarettmärke efter deras ehåll vad gäller bl a tjära, kot. Dessa äme påverkar mägde koloxd som kommer frå cgarettröke. I tabell eda framgår mätgar gjorda laboratorum med e s k rökmask för olka cgarettmärke. Tabell. Mägd tjära ( mg), mägd kot ( mg), vkt ( g) samt koloxd, CO, ( mg) för olka cgarrettmärke. Datat fs på och fs äve publcerat Medehall ad Scch (99). Statstcs for Egeers ad the Sceces (3rd ed). Märke Tjärmägd Nkotmägd Vkt CO Alpe Beso&Hedges BullDurham CamelLghts Carlto Chesterfeld GoldeLghts Ket Kool L&M LarkLghts Marlboro Mert MultFlter NewportLghts Now OldGold PallMallLght Ralegh SalemUltra Tareyto True VceroyRchLght VrgaSlms WstoLghts Det som är tressat att studera är hur mägde CO varerar och hur de påverkas av tjär- och kotehållet cgarette. Ka v t ex htta e modell som på ågot ekelt sätt beskrver sambadet mella CO och kot?

4 Kerst Väma SM 9--4 Hur CO-mägde varerar framgår av lådagrammet fgur. Om Y beteckar mägde CO så gäller att Y =.3 och s Y = Låt X betecka mägde kot. Då gäller att X =.876 och s =.34. Lådagrammet för kotvärdea fs fgur. X Boxplot of CO CO Fgur. Lådagram över CO-mägde. Boxplot of Nkot.. Nkot... Fgur. Lådagram över kotmägde. För att se om det ka fas ågot sambad mella CO-mägde och kotmägde så plottar v observatosvärdea mot varadra ett s k sprdgsdagram. Se fgur 3, där värdea plottats Mtab. Där framgår tydlgt att är kotmägde ökar så ökar också CO-mägde. E ekel modell för att beskrva detta sambad är att ata att sambadet är ljärt geomstt. V atar alltså att E( Y ) = β + βx, dvs att geomstt är Y e ljär fukto av X. Parametrara β och β är okäda kostater, s k regressoskoeffceter. Scatterplot of CO vs Nkot CO... Nkot.. Fgur 3. CO-mägde plottad mot kotmägde.

5 Kerst Väma SM 9--4 Om v dessutom gör vssa tlläggsatagade elgt eda så ka v aväda oss av regressosaalys för att uppskatta sambadet och äve med vss gve grad av säkerhet uttala oss om våra skattgar. V atar då att varatoe, eller bruset, krg lje E( Y ) = β + βx ka beskrvas med hjälp av e ormalfördelg med vätevärde och stadardavvkelse σ. Dea stadardavvkelse ska vara kostat och får te bero av Y eller X. Dessutom atas att bruset krg lje eller feltermera ε, ε,..., ε är oberoede stokastska varabler. V ska se lägre fram hur v ka udersöka om ovaståede atagade är rmlga. Modelle ka sammafattas som () Y = β + β X + ε, där ε N(, σ), =,,...,, ε, ε,..., ε är oberoede stokastska varabler, Y = CO-mägde, X = kotmägde,.< X <.. Här görs ge detaljerad beskrvg av regressosaalyse uta ebart e översktlg sammafattg och tolkg. För mer detaljer hävsas tll ågo lärobok regressosaalys. V kommer att aväda Mtab för att göra beräkgara regressosaalyse och göra tolkgar frå Mtabutskrftera. Om v Mtab aväder kommadot Stat/Regresso/Regresso med Respose (Y ): CO-mägde och Predctor (X ): kotmägde får v resultatet tabell. Tabell. Resultatet frå Mtab av regressosaalyse av modelle (). Regresso Aalyss: CO versus Nkot The regresso equato s CO = Nkot Predctor Coef SE Coef T P Costat Nkot S =.884 R-Sq = 8.7% R-Sq(adj) = 8.% Aalyss of Varace Source DF SS MS F P Regresso Resdual Error Total De översta rade tabell vsar skattge av det förvätade sambadet mella de beroede varabel Y = CO och de förklarade varabel (oberoede varabel) X = Nkot form av e rät lje, de s k skattade regressoslje: () Yˆ = X, för. < X <.. Här aväds beteckge Yˆ för det s k predkterade Y-värdet, d v s det värde som de skattade regressoslje () ger på CO-mägde för ett gvet värde X på kotmägde. I fgur 4 är de skattade regressoslje upprtad tllsammas med observatospuktera. Dea fgur fås med hjälp av kommadot Stat/Regresso/Ftted Le Plot Mtab. E allmä skattad regressoslje beteckar v här med (3) Ŷ = b + b X. 3

6 Kerst Väma SM Ftted Le Plot CO = Nkot S.884 R-Sq 8.7% R-Sq(adj) 8.% CO... Nkot.. Fgur 4. De skattade regressoslje () tllsammas med observatosvärdea. De skattade ljes regressoskoeffceter (uder rubrke Coef tabell ), b =.6647 (ljes tercept) och b =.39 (ljes rktgskoeffcet), har bestämts med hjälp av msta-kvadrat-metode. Det ebär att b och b har beräkats så att (4) resdualkvadratsumma = e = ˆ ( Y Y) = = har mmerats. Värdet på dea mmerade resdualkvadratsumma står tabell varasaalystabelle uder rubrke SS på rade märkt Resdual Error, dvs I formel (4) beteckar det totala atalet observatoer, dvs vårt exempel. Om ma ersätter Yˆ med b + b X (4) och derverar (4) partellt med avseede på b och b och därefter sätter dervatora tll, så fer ma att de skattade regressoskoeffcetera blr () b = Y b X, ( X X)( Y Y) (6) = b =. ( X X) = De skattade regressoskoeffcete b är e uppskattg av β modelle, dvs av de geomsttlga förädrge Y om X ädras ehet. Tolkat ord för b () betyder det att, om kotmägde ökar mg så ökar geomstt CO-mägde med.4 mg. De skattade regressoskoeffcete b är e uppskattg av β modelle, d v s av geomsttsvärdet på Y då X =. I måga fall är b -värdet te megsfullt att tolka. De skattade modelle () gäller te för X =, eftersom v te har observatosvärde krg det X-värdet. De skattade lje samt b och b ka bara tolkas för det tervall av X om vlket det fs observatosvärde. Att extrapolera modelle och tolka de utaför detta X-tervall är mycket rskabelt och ska udvkas. Regressostabelle ehåller ytterlgare tressat formato. V ser t ex frå tabell att R-Sq = R = 8.7 %. Det ka tolkas som att 8.7% av de totala varatoe CO-värdea förklaras av de skattade regressoslje (). R kallas förklargsgrad 4

7 Kerst Väma SM 9--4 eller determatoskoeffcet och deferas som adel förklarad Y varato på följade sätt: (7) R regressoskvadratsumma = = totala kvadratsumma = = ( Yˆ Y) ( Y Y) eller som adel oförklarad Y-varato, dvs (8) R resdualkvadratsumma = = totala kvadratsumma = = ( Y Yˆ ) ( Y Y) När msta-kvadrat-metode har aväts för att skatta β och β gäller att de totala kvadratsumma ka delas upp regressoskvadratsumma och resdualkvadratsumma, dvs (9) totala kvadratsumma = = regressoskvadratsumma + resdualkvadratsumma Därav följer tolkge R = adel av regressoe förklarad Y-varato = adel oförklarad Y-varato. V ka beräka R utgåede frå de s k varasaalystabelle som står tabell. Där fer v att resdualkvadratsumma är 76.89, regressoskvadratsumma är 46.6 och de totala kvadratsumma är 39. = , och v får () R = = =.87 = 8.7% E förklargsgrad på 8.7% är allmät sett e gaska hög förklargsgrad. V ser också frå tabell att S = resdualsprdge = s e =.884. Det ka tolkas som att de geomsttlga sprdge av observatospuktera krg de skattade regressoslje är.83. Jämför dea sprdg med stadardavvkelse för COvärdea s Y = Geom att ta med kothalte som e förklarade varabel vår modell så har v mskat de oförklarade sprdge för CO-värdea. V ka äve räka ut utgåede frå varasaalystabelle eftersom det gäller att resdualvarase s e () s ˆ ( Y Y) resdualkvadratsumma = = = e V får frå tabell att resdualvarase blr s e = / 3 = 3.34, d v s resdualsprdge blr s e = =.83. Värdet 3.34 återfs äve varasaalystabelle tabell uder rubrke MS på rade beteckad Resdual Error.

8 Kerst Väma SM 9--4 I tabell fs äve e rubrk DF som står för frhetsgrader (degrees of freedom). Varje kvadratsumma assoceras med ett atal frhetsgrader. Frhetsgradera vsar på hur måga olka ljära uttryck av observatosvärdea, som behövs för att kua beräka kvadratsumma. Tll de totala kvadratsumma hör = 4 frhetsgrader. När ma har e ekel regressosmodell, d v s med två regressosparametrar ( β och β ) assoceras resdualkvadratsumma med = 3 frhetsgrader. Av de totala 4 frhetsgradera blr då vd ekel regressosaalys frhetsgrad över tll regressoskvadratsumma. Det betyder att det går att beräka regressoskvadratsumma med hjälp av ett eda ljärt uttryck observatosvärdea. Medelkvadratsumma (MS) deferas seda som kvadratsumma (SS) dvderat med sa motsvarade frhetsgrader (DF). Uder förutsättg att modellatagadea () gäller så ka v te bara beskrva det skattade sambadet med sammafattgsmåtte elgt ova uta äve testa tressata hypoteser eller blda kofdestervall. Om () gäller så ka ma vsa att för de skattade regressoskoeffcetera b k, k =,, gäller följade: () b k β k s bk är observatoer frå e t-fördelg med frhetsgrader, k =,. Här beteckar sb stadardavvkelse för b och de ges umerskt tabell uder rubrke SE Coef bredvd Coef. Uttryckt formel k k gäller (3) s b = X se + TSS X, (4) se sb =, där TSS ( ) X = X X TSS = X. Med hjälp av () ka v udersöka om det är värt att ta med X modelle, dvs om v ka påstå att β är sgfkat skld frå. Det gör v geom att testa hypotese H : β = mot hypotese H: β på sgfkasvå α. Om β = så påverkas te Y av X. Som testvarabel aväder v det som tabell står uder rubrke T, på sveska ofta kallad för t kvote, dvs () T = t-kvot = b s k bk. Beslutsstratege blr: förkasta ollhypotese H på sgfkasvå α om t kvot > t ( /, α ) d v s v aser att β, och att det därmed är värt att ta X modelle, om t-kvote är tllräcklgt lågt borta frå. Vad som är tllräcklgt lågt borta frå bestäms av t- fördelge med frhetsgrader. Nu behöver v te slå upp det krtska t-värdet t-fördelgstabelle uta ka stället jämföra det värde som står uder rubrke P tabell med de förutbestämda sgfkasvå α. Om P-värdet < α så betyder det att 6

9 Kerst Väma SM 9--4 t kvot > t ( α / ), dvs H ka förkastas. Detta är alltså det som kallas för drektmetode Väma, kaptel 9. Om v bestämmer oss för att arbeta med sgfkasvå. så ser v frå tabell att t-kvote för X-varabel kot är stor (.76) och motsvarade P-värde. <.. V ka alltså påstå att β sgfkat skld frå, dvs regressoskoeffcete för X-varabel kot är sgfkat skld frå på %-vå och att det är värt att ta med kotmägde som e förklarade varabel modelle (). Värdet på t-kvote för terceptet är däremot te tllräcklgt lågt borta frå för att v ska kua påstå att β är sgfkat skld frå på %-vå. De slutsatse ka v dra av att P-värdet för terceptet är.7 >.. Här ka v alltså te påvsa att värdet på β är sklt frå uta det skulle kua vara. Me ma bör ädå te sätta terceptet tll och därmed tvga lje geom orgo, om det te är så att ma har tllräcklgt måga observatoer ära och samtdgt att teor säger att terceptet ska vara. I detta fall låter v terceptet skattas med.66. Om v vll uppskatta hur stor effekte av kotmägde är på CO-mägde med e rmlg grad av säkerhet så bldar v ett kofdestervall. Med hjälp av resultatet () får v att ett kofdestervall för β med kofdesgrade α blr (6) b ( ) k ± tα / sb, k =,. k Med α =.9 får v följade kofdestervall för β : (7) t. k.39 ± (3).4 =.39 ±.6.4 =.4 ±.. Därmed får v att [., 4.6] är ett 9% kofdestervall för β och med 9% säkerhet ka v göra följade tolkg: om kotmägde ökar med mg så ökar de geomsttlga CO-mägde mella. mg och 4.6 mg. 3. Udersökg av modellatagadea Modelle () ehåller flera olka delatagade. V atar att E( Y ) = β + βx, d v s att geomstt är Y e ljär fukto av X. Dessutom atar v att ε, som är varatoe krg lje E( Y ) = β + βx eller bruset krg lje, ka beskrvas med hjälp av e ormalfördelg med vätevärde och stadardavvkelse σ. Dea stadardavvkelse σ ska vara kostat och får te bero av Y eller X. Slutlge atas att feltermera ε, ε,..., ε är oberoede stokastska varabler. För att udersöka om dessa modellatagadea är rmlga aväder v oss av resdualera e ˆ = Y Y. V ka täka oss e som observatoer på ε (). Geom att plotta resdualera på olka sätt ka v se om modelle () är rmlg. Iblad är det bättre att, stället för resdualera ova, arbeta med e typ av stadardserade resdualer e / se, som på egelska kallas studetzed resduals. I Mtab kallas dessa för Stadardzed resduals. På sveska säger v stadardserade (eller stu- detserade) resdualer. Resdualplottera över de stadardserade resdualer blr lättare att tolka och avslöjar tydlgare om modelle te är rmlg ä vad resdualera gör. För att se om modellatagadea, som gjorts om förvätat Y-värde samt om stadardavvkelse σ är rmlga, så plottar v resdualera mot X. V ka då udersöka om atagade ( Y ) = β + β X är rmlgt samt om stadardavvkelse σ är kostat, Ma E 7

10 Kerst Väma SM 9--4 ka vd ekel regresso lka gära plotta resdualera mot Yˆ. De två resdualplottera bär vd ekel regresso på samma formato. I fgur har v plottat dels resdualera och dels de stadardserade resdualera mot X. Resduals Versus Nkot (respose s CO) Stadardzed Resdual Nkot.. Resduals Versus Nkot (respose s CO) 4 3 Resdual Nkot.. Fgur. Stadadserade resdualer samt resdualer plottade mot kotmägde. Om modellatagadea är rmlga bör v ha de flesta stadardserade resdualera slumpmässgt fördelade om ett bad mella och + och stort sett ge stadardserad resdual utaför tervallet [ 3, 3]. Mtab markerar stadardserade resdualer utaför tervallet [, ] med ett R utskrfte om ma ager detta. Dessa bör uppmärksammas eftersom de ka vara utelggare och vsar att modelle te stämmer så bra de pukte. Om v ser ett baaformat möster eller e kurvatur resdualplotte, så betyder det att atagadet att E( Y ) = β + βx te är så bra uta bör kua förbättras, t ex geom e trasformato av Y eller X eller också geom att fler förklarade varabler tas modelle. Om v ser ett trattformat möster resdualplotte så betyder det att stadardavvkelse σ te är kostat uta beror av X. I fgur ser v e resdual som avvker frå de övrga. Det är resduale som hör hop med kotvärdet.3. Värdet på de stadardserade resduale de pukte är 3, och de pukte ka betraktas som e utelggare. Det ebär att det observatosvärde som hör hop med kotvärdet.3 ka vara felaktgt eller av adra orsaker te stämmer med modelle. De hör dessutom tll de observatospukt som har störst värde på kotmägde. Me om e pukt avvker X-led så behöver det te ebära ågo ackdel. Däremot ka ma msstäka att det observatosvärdet ka vara e s k flytelserk pukt. V återkommer tll detta lägre fram. 8

11 Kerst Väma SM 9--4 Det fs ge atyda tll kurvatur eller baaformat möster resdualplotte fgur. Det tyder på att atagadet att E( Y ) = β + βx är rmlgt. Ytterlgare ett möster ma ska ttta efter är e trattform. Evetuellt sprder resdualera som hör tll kotvärde >. ut sg mer ä resdualera som hör tll kotvärde <.. Me samtdgt är det bara tre pukter som har kotvärde <. och alla de lgger på e och samma sda om -lje. Det gör att det sakas ett tydlgt trattmöster. Det fs alltså ge aledg att frågasätta atagadet om kostat varas. För att se om ormalfördelgsatagadet av resdualera är rmlgt så gör v ett ormalfördelgsdagram över resdualera. Se fgur 6. Där ser v att ormalfördelgsatagadet verkar rmlgt eftersom resdualera stort sett lgger lägs e lje ormalfördelgsdagrammet. V ka sammafatta våra resultat med att kostatera att resdualaalyse te atyder ågra allvarlga modellfel. 99 Normal Probablty Plot of the Resduals (respose s CO) 9 9 Percet Resdual 3 4 Fgur 6. Resdualera plottade ett ormalfördelgsdagram. Här kommer e kort sammafattg om vad ma bör täka på är ma gör e regressosaalys. I regressosaalystabelle får ma skattgara av regressoskoeffcetera modelle () och dessutom ger följade mått vktg formato: R = adel förklarad varato. De bör vara hög. s e = resdualsprdge. De bör vara låg. t-kvote för X-varabel. För att X-varabel ska gå modelle bör dess t-kvot tll beloppet vara så stor att motsvarade P-värde är klart mdre ä e förutbestämd sgfkasvå, t ex. eller.. Me det räcker te att studera ovaståede mått uta dessutom ska ma göra e resdualaalys för att se om modellatagadea är rmlga eller om modelle måste förbättras. Följade plotter ska göras: Plotta de studetserade resdualera eller resdualera mot Yˆ eller X för att udersöka om E(Y) är rmlgt, om stadardavvkelse σ är kostat och om det fs utelggare. Om de flesta studetserade resdualera lgger slumpmässgt krg om ett bad mella och, och ge kurvatur eller trattform framträder, så fs get som atyder modellfel. Om ma ser ett tydlgt kurvmöster behöver modelle förbättras geom att E(Y) ädras. Om ma ser e tydlg trattform så är 9

12 Kerst Väma SM 9--4 te stadardavvkelse σ kostat. Iblad ka e trasformato av Y-värdea förbättra modelle. Om ma ser utelggare utaför tervall [ 3, 3] så ska de observatosvärde som ger upphov tll utelggara udersökas, så att de te är felaktga. Gör ett ormalfördelgsdagram över resdualera. Om pukera följer e krökt kurva stället för e rät lje så är te ormalfördelgsatagadet rmlgt. Iblad ka e trasformato av Y-värdea förbättra modelle. Det gäller specellt om ma får trattform resdualplotte ova samtdgt som resdualera uppvsar e sed fördelg. Seda ma geomfört resdualaalyse bör ma äve udersöka om det fs ågra flytelserka pukter. Hur detta går tll beskrvs lägre fram. 4. Korrelatokoeffcet Om v sammafattar resultate av regressosaalyse avstt 3 ova så ka v kostatera att resdualaalyse te atyder ågra allvarlga modellfel av modelle () och att de skattade regressoslje () förklarar 8.7 % av de totala varatoe blad CO-värde på det sätt som beskrvts tdgare. Vdare ser v att de skattade resdualsprdge är s e =.83. Dessutom gäller att regressoskoeffcete β, som mäter effekte av kotmägde på CO-mägde, är sgfkat skld frå på t ex % sgfkasvå, eftersom P-värdet för b. <.. Allt detta sammataget vsar att v har ett starkt sambad mella kotmägde och CO-mägde. Om sambadet hade vart svagt eller bara slumpmässgt så skulle R vara ära och β skulle te vara sgfkat sklt frå på % sgfkasvå. Iblad aväds ett aat mått på det ljära sambadet mella två varabler, X och Y, som kallas korrelatoskoeffcete mella X och Y. När ma talar om korrelatoskoeffcete meas oftast Pearsos korrelatoskoeffcet, som beteckas med r och deferas som ( X X)( Y Y) = (8) r = ( X X) ( Y Y) = =. Korrelatoskoeffcete ka ata värde mella och. Om det är ett fullstädgt ljärt sambad mella X och Y så blr korrelatoskoeffcete om Y växer med X och om Y avtar med X. Om puktera är slumpmässgt utsprdda plaet blr korrelatoskoeffcete ära. Värde på r mella och eller mella och vsar på olka grad av ljärt sambad. I tabell 3 framgår att korrelatoskoeffcete mella kotmägde och CO-mägde är.96. Det är ett starkt ljärt sambad, vlket v reda tdgare kostaterat med hjälp av måtte frå regressosaalyse. Tabell 3. Resultatet frå Mtab av korrelatosberäkge. Correlatos: CO; Nkot Pearso correlato of CO ad Nkot =.96

13 Kerst Väma SM 9--4 Vd ekel regresso fs det ett drekt sambad mella korrelatoskoeffcete r och förklargsgrade R. Då gäller att (9) r = R, d v s om korrelatoskoeffcete (8) kvadreras så fås förklargsgrade. Det fs också ett sambad mella korrelatoskoeffcete r och de skattade regressoskoeffcete elgt följade formel sx () r = b, s Y b där s och s är stadardavvkelse för X-värdea respektve Y-värdea, dvs X Y () s X = ( X X ) = () s Y = ( Y Y ). = Observera att korrelatoskoeffcete ebart mäter ett ljärt sambad. Det ka alltså fas t ex ett kvadratskt sambad, me detta avslöjar te korrelatoskoeffcete. Däremot ser v det drekt sprdgsdagrammet. Det är alltså vktgt att te öja sg med att beräka ett sammafattgsmått, som e korrelatoskoeffcet eller e förklargsgrad, uta ma bör samtdgt göra ett sprdgsdagram för att kua göra e bra tolkg av sambadet. I fgur 7 eda vsas ågra olka smulerade materal med observatoer. I fgur 7 ser v ett starkt egatvt sambad med r =.96 och R = 9%. I fgur 8 ser v ett gaska svagt postvt sambad med r =.4 och R = 9%. I fgur 9 ser v ett mycket svagt sambad med r =.7 och R =.%, dvs här fs trolgtvs get sambad alls och β ka te påvsas vara sgfkat sklt frå på % sgfkasvå. I fgur fs ett tydlgt kvadratskt sambad me det är te ljärt så korrelatoskoeffcete och förklargsgrade blr ära... Ftted Le Plot y_ = x S R-Sq 9.3% R-Sq(adj) 9.9% y_. 7.. x Fgur 7. Smulerat materal med =, r =.96, R = 9%.

14 Kerst Väma SM Ftted Le Plot y_ = x S R-Sq 8.7% R-Sq(adj).6% y_ 9 x Fgur 8. Smulerat materal med =, r =.4, R = 9%. Ftted Le Plot y3_ = x S R-Sq.% R-Sq(adj).% y3_ 9 8 x Fgur 9. Smulerat materal med =, r =.7, R =.%. 6 Ftted Le Plot y4_ =. -.4 x S R-Sq.% R-Sq(adj).% 4 y4_ 3 x Fgur. Smulerat materal med =, r =., R =.%.

15 Kerst Väma SM Kofdestervall för förvätat Y-värde. När ma gör e regressosaalys ka ma vara tresserad av olka saker. Ma ka exempelvs vlja htta e bra modell tll de stuato ma studerar. Ma ka också vlja uppskatta, med vss gve säkerhet, de effekt som e vss förklarade varabel har på de studerade storhete, t ex med 9% säkerhet vlja bestämma hur mycket ett grams ökg av kotmägde e cgarett påverkar CO-mägde vd rökg. Detta gjorde v tdgare geom att blda ett kofdestervall för β. Ma ka äve vara tresserad av att uppskatta, med vss gve säkerhet, de förvätade CO-mägde då kotmägde är.7 mg. I detta fall vll ma beräka ett kofdestervall för E( Y ) = β + βx för ett vsst gvet värde på X = X =.7. Då resoerar ma på följade sätt. V skattar först EY ( ) = β + βx med Ŷ = b + bx. Uder förutsättg att modellatagadea () gäller så ka ma vsa att för så gäller följade: Ŷ (3) där (4) Yˆ E( Y ) är observerat värde frå t( ), s Yˆ ( X X) sˆ = s Y e + TSSX = X X TSS X = och ( ). Med hjälp av resultatet (3) får v att ett kofdestervall för vätevärdet EY ( ) =, med kofdesgrade α blr = β + βx, då X X () Y ˆ ± t ( ) α / sˆ. Y Om v med 9% säkerhet vll uppskatta de förvätade CO-mägde då kotmägde är.7 mg får v först göra följade beräkgar. Frå () ser v att (6) Y ˆ = =.34. Frå tabell, sda, ka v beräka X och TSS X och får (7) X =.8764 och TSS X = =.884, vlket ger oss föl- Frå tabell, sda 3, fås S = resdualsprdge = jade värde på sprdge för Ŷ s e (8) s Y ˆ ( ) = = Med α =.9 får v då följade kofdestervall för de förvätade CO-mägde då kotmägde är.7 mg: 3

16 Kerst Väma SM 9--4 (9).34 ± t (3).4 =.34 ±.6.4 =.34 ±.8,. d v s tervallet [9.4,.]. Därmed får v att [9.4,.] är ett 9% kofdestervall för de förvätade CO-mägde då kotmägde är.7 mg och med 9% säkerhet ka v säga att om kotmägde är.7 mg så ehåller tervallet [9.4,.] de geomsttlga (förvätade) CO-mägde. Om v stället beräkar kofdestervallet då kotmägde är mg så blr ett 9% kofdestervall för de förvätade CO-mägde (3) [3.8, 9.]. Om v jämför bredde på tervalle (9) och (3) så ser v att tervallet (3) med bredd.3 är betydlgt bredare ä tervallet (9) med bredd.8. Det beror på att X-värdet lgger lägre bort frå de geomsttlga kotmägde X =.88 ä vad.7 gör. Av formlera (4) och () framgår att ju lägre bort frå X v bldar kofdestervallet ju bredare blr det. Mtab ka beräka kofdestervallet för EY ( ) drekt så att v te behöver geomföra beräkgara formlera (4) och (). Mtab rtar äve ut kofdestervallsgräsera för alla värde på X dagrammet där de skattade lje rtas ut. Se fgur. 6. Progostervall för ett framtda värde på Y I avsttet ova var det de förvätade CO-mägde som var av tresse att skatta. Det ka v täka oss som ett geomsttsvärde som vsar vad som häder låga loppet med CO-mägde för ett vsst gvet värde på kotmägde X. Om v stället är tresserade av att göra e progos, d v s säga ågot om ett ytt framtda observatosvärde på CO-mägde, så får v resoera ågot aorluda. När v bldar ett kofdestervall för de förvätade CO-mägde så behöver v bara ta häsy tll de osäkerhet som ges av skattge av EY ( ). Det gör v med hjälp av sprdge s Ŷ. Me är v ska blda ett s k progostervall, dvs ett tervall som med gve saolkhet ska ehålla ett ytt framtda observatosvärde Y, så har v ytterlgare e osäkerhet att ta häsy tll. Dels har v de osäkerhet som beror på att v måste skatta EY ( ), dvs sprdge s. Dels v har också de osäkerhet som är förkppad med e y observato Y och som uttrycks med sprdge se. V måste ta Ŷ häsy tll båda dessa sprdgar och det gör v geom att utyttja följade resultat. Uder förutsättg att modellatagadea () gäller så ka ma vsa att följade resultat gäller: Y (3) ˆ Y s där pr är observerat värde frå t( ), (3) ( X X) s s TSS X X pr = e + + och X = ( ). TSS X = 4

17 Kerst Väma SM 9--4 Om v jämför formel (3) med formel (4) så ser v att följade sambad råder mella s och. pr s Ŷ (33) s = s + s. pr e Yˆ Med hjälp av resultatet (3) blr ett progostervall för Y, då X = X, (34) Yˆ ± t /( ) spr. α Me saolkhete α ehåller tervallet (34) ett ytt framtda observatosvärde då X = X. Itervallet (34) kallas blad också för predktostervall. För att beräka ett 9% progostervall för CO-mägde då kotmägde är.7 mg ka v utyttja beräkgara frå formel (8). Därfrå får v att s ˆ =.4. Y Eftersom s =.884 elgt tabell, sda 3, så ger (33) att e (3) s = = 3., d v s s = pr pr Frå (6) får v att Y ˆ = =.34. V ka därmed beräka ett 9% progostervall för CO-mägde då kotmägde är.7 mg som (36).34 ± t (3).8739 =.34 ± =.34 ± 3.87,. d v s tervallet [6.4, 4.3]. Med 9% saolkhet så kommer ett ytt (framtda) observatosvärde på CO-mägde då kotmägde är.7 mg att bl mella 6.4 mg och 4.3 mg. V ka äve drekt få progostervallet uträkat med hjälp av Mtab. Mtab rtar äve ut progostervallsgräsera för alla värde på X dagrammet där de skattade lje rtas ut. Se fgur. 3 3 Ftted Le Plot CO = Nkot Regresso 9% C I 9% PI S.884 R-Sq 8.7% R-Sq(adj) 8.% CO... Nkot.. Fgur. De skattade regressoslje tllsammas med både kofdestervall för förvätat Y-värde (streckad kurva) och progostervall (prckad kurva) för exempel. Om v jämför progostervallet, då X =.7, (36) med kofdestervallet för de förvätade CO-mägde, då X =.7, (9), så ser v att progostervallet är betydlgt bredare. Det beror på att det är osäkrare att göra e progos, d v s uttala oss om ett framtda värde på CO-halte för gve kotmägd, ä att uppskatta ett geomsttsvärde modelle.

18 Kerst Väma SM Om flytelserka observatoer. I fgur 4 och fgur ser v att det fs e observato som lgger e bra bt bort frå de övrga X-led. Det är de som svarar mot kotmägde X =.3. De vsade sg också som e utelggare resdualaalyse tdgare. Ma ka fråga sg om dea observato också är flytelserk. E observato ases flytelserk om resultatet regressosaalyse ädras mycket fall observatoe utesluts ur datamateralet. Förutom att udersöka resdualera efter e gjord regressosaalys så bör ma också udersöka om det fs ågra flytelserka pukter. Om det fs sådaa observatoer är det vktgt att ma upptäcker dem och ka udersöka om de evetuellt ka vara felaktga. Resdualplottera vsar om v har observatoer som kraftgt avvker Y- led. För att upptäcka om det fs observatoer som kraftgt avvker X-led så beräkar v de s k leverage-värdea. Leverage betyder hävståg och det fs äu te ågot sveskt fackuttryck för leverage-värde. Varje observato har ett leverage-värde och lte föreklat ka ma säga att det är ett mått på hur lågt borta frå X observatosvärdet lgger. Om e observatospukt lgger lågt borta frå X och samtdgt avvker frå e evetuell ljär tred, som det övrga materalet har, så har de pukte e stor hävstågseffekt och drar lje tll sg. Om de pukte utesluts så förädras ljes lutg kraftgt och det observatosvärdet har alltså stort flytade. För att upptäcka sådaa pukter beräkas leverage-värdea för varje observatospukt. Leverage för observato r deferas som (37) = :te dagoalelemetet hattmatrse ( T T H = X X X) X. h Vd ekel regresso är X e matrs där första koloe består av stycke :or och adra koloe är X,, X. Om h > K / ases observato r flytelserk. Beteckge K står för atal skattade parametrar vätevärdet för Y. Vd ekel ljär regresso är K =. Mtab beräkar leverage-värdea för varje observatospukt om ma aväder kommadot Stat/Regresso/Regresso och kryssar för HI(leverage) uder Storage. Seda ka ma sammaställa leverage-värdea ett lådagram för att se om det fs ågra som är alltför stora. Se fgur. Med hjälp av muse ka ma se att de två största leverage-värdea kommer frå rad 3, som hör tll märket BullDurham (leverage-värde =.48) samt rad 6, som hör tll märket Now (leverage värdet =.3). Båda dessa är större ä de krtska gräs / =.6. Detta värde har lagts som refereslje lådagrammet fgur. Leverage-värdea lgger alltd mella och. Ju större leverage-värde desto större flytade har motsvarade observatosvärde. Det fs olka tumregler för är ma ska ase ett leverage-värde för stort. E såda tumregel är de som ages ova. Ett geerellt råd är att alltd udersöka observatospuktera med de största leverage-värdea, som ju ekelt sys lådagrammet. Leverage-värde <. ases te ge upphov tll flytelserka pukter. Observatosvärde med leverage-värde >. ases mycket flytelserka och måste udersökas ärmare och evetuellt uteslutas. Ett leveragevärde >. ases rskabelt därför att alltför mycket av datamateralets formato om sambadet mella Y och X kommer frå e eda observato. E observato som har leverage-värde ära styr tll mycket stor del regressosljes utseede. 6

19 Kerst Väma SM Boxplot of HI.4.3 HI..6.. Fgur. Leverage-värdea som hör tll regressoe tabell form av lådagram. Refereslje vd.6 svarar mot de krtska gräse för leverage-värdea. Frå fgur ser v att de två största leverage-värdea, som ämts ova, sys tydlgt som extrema utelggare. Dessa två värde bör udersökas så att de te är felaktga på ågot sätt. För att udersöka om det fs observatoer som är extrema om ma tar häsy tll varato både X-led och Y-led så fs flera olka mått. Ett valgt förekommade mått är DFITS, som betyder Dfferece FITS. DFITS är ett mått på ädrge Yˆ om :te observatoe utesluts, dvs DFITS ka utläsas som skllade apassat värde (ftted value) om :te observatoe utesluts. Om det är så att Yˆ ädras mycket om :te observatoe utesluts så har de :te observatoe stort flytade på regressoslje. Det är vktgt att upptäcka sådaa observatoer. DFITS-värdea ka vara både postva och egatva och som allmä tumregel gäller att observatoer med DFITS-värde > eller < bör udersökas. V låter Yˆ () betecka det predkterade värdet de :te pukte beräkat utfrå de skattade modelle där de :te observatoe uteslutts. På motsvarade sätt beteckar se () resdualsprdge för de skattade modelle där de :te observatoe uteslutts. DFITS-måttet deferas då som (38) Yˆ ˆ Y DFITS = s h där e () (), h deferas (37) och se () h är e skattg av sprdge för Yˆ. Observato r är flytelserk om DFITS > K /. Beteckge K står för K = atal regressosparametrar vätevärdet för Y. Vd ekel ljär regresso är K =. Mtab beräkar DFITS-värdea för varje observatospukt om ma aväder kommadot Stat/Regresso/Regresso och kryssar för DFITS uder Storage. Seda ka ma sammaställa DFITS -värdea ett lådagram för att se om det fs ågra som är alltför stora. Se fgur 3, där referesljera som svarar mot ± K / =± / =±.7 har lagts. Rad 3, som hör tll märket BullDurham har ett alltför stort DFITS-värde på.8 samt rad 6, som hör tll märket Now, har DFITS-värdet.6. DFITS-värdea ka vara både postva och egatva. Ju större DFITS desto större flytade har motsvarade observatosvärde. V ser fgur 3 det kraftgt avvkade DFITS-värdet.8 som e avlägse utelggare. Det är detta värde som hör hop med rad 3 och märket BullDurham. 7

20 Kerst Väma SM 9--4 Boxplot of DFIT DFIT Fgur 3. DFITS-värdea som hör tll regressoe tabell form av lådagram. Referesljera svarar mot de krtska gräsera för DFITS-värdea. Dea cgarett har vsat sg ha värde på kotmägd och CO-mägd som gör de kraftgt flytelserka både vad gäller leverage- och DFITS-värde. Det gör att modelle bör skattas uta dea observato för att se vad som häder. I fgur 4 ser v hur de skattade lje ädras då rad 3 har uteslutts. Jämfört med de tdgare modelle, se fgur 4, så är det e tydlg ädrg av de skattade modelle, vlket beror på att rad 3 har e kraftgt flytelserk observato. Ftted Le Plot CO = Nkot S.884 R-Sq 86.6% R-Sq(adj) 86.% CO Nkot...4 Fgur 4. De skattade regressoslje då rad 3 uteslutts. Om ma har estaka flytelserka observatoer så bör ma äve göra aalyse uta dessa och se hur mycket resultate ädras. Seda bör resultate av de båda aalysera redovsas. Detta ka påverka de slutsatser ma drar. Ma bör te utesluta observatoer fullstädgt om ma te ka vsa på att de är felaktga eller på aat sätt teoretskt förklara varför de te bör vara med. Om ma har möjlghet är det bra om ma ka skaffa fler observatoer som lgger ärhete av dem som är flytelserka för att kua dra säkrare slutsatser. 8. Om tolkg av regresso och korrelato När ma tolkar resultate frå e regressosaalys eller e korrelatoskoeffcet så måste ma vara försktg och te övertolka sambad. Tll att börja med så ska ma te extrapolera resultat och uttala sg om vad som häder utaför det X-tervall ma har mätvärde. De skattade modelle gäller ebart för de X-värde som lgger om det X-tervall där ma har observerade värde. Ma ka te heller alltd dra slutsatser om ett sambads kausala rktg, dvs vad som är orsak och vad som är verka. E korrelatoskoeffcet mäter edast styrka av 8

21 Kerst Väma SM 9--4 det ljära sambadet. De förklarar te vad detta sambad ka bero på. I tabell 4 eda vsas värde, hämtade frå e klasssk lärobok statstk av Yule & Kedall, som beskrver atalet lösta radolceser och atal fall av metala defekter Eglad Korrelatoskoeffcete detta materal är.99. Se också fgur. Det vsar te på ågot sätt att radolyssadet ökar beägehete för psykska defekter eller vce versa. Detta är ett typskt exempel på s k oseskorrelato. När ma aväder regressosaalys på datamateral som te uppkommt geom kotrollerade och plaerade försök så måste ma geerellt vara försktg sa tolkgar och stödja dessa på allmäa teorer om det område som ma studerar. Är det t ex ekoomska eller samhällsveteskaplga data ma udersöker så måste tolkgara göras utfrå ekoomska respektve samhällsveteskaplga teorer också. I tekska och aturveteskaplga stuatoer ka det vara lättare att göra plaerade försök och sådaa stuatoer är regressosaalys ett kraftfullt verktyg. Me äve där ka ma råka ut för stuatoer med okäda bakomlggade varabler som påverkar försöket och gör att resultate ka msstolkas. Därför är det vktgt är ma gör plaerade försök att hålla alla adra käda påverkade faktorer, som ej går försöket, så kostata som möjlgt. Tabell 4. Y = Atal persoer med metala defekter per av befolkge och X = Atal lösta radolceser tusetal Eglad uder Frå Yule & Kedall (94). År X Y År X Y Ftted Le Plot Y = X S.769 R-Sq 98.4% R-Sq(adj) 98.3% Y 3 4 X Fgur. Datamateralet frå tabell 3. Y = Atal persoer med metala defekter per av befolkge och X = Atal lösta radolceser tusetal Eglad uder Frå Yule & Kedall (94). Detta är ett exempel på osessambad. 9

22 Kerst Väma SM Multpel ljär regresso Vd ekel ljär regresso hade v e förklarade varabel modelle. I måga stuatoer behövs mer ä e förklarade varabel för att på ett bra sätt ge e rmlg modell. Begreppe frå ekel regresso ka ekelt geeralseras tll e multpel regresso, där två eller fler förklarade varabler aväds. V studerar först ett exempel med två förklarade varabler. Exempel. Oktahalt I ett plaerat försök vlle ma studera hur tllsatser av etaol och tetraetylbly bes påverkar oktatalet. Försöket gjordes så att ma bestämde fyra olka tressata värde, s k våer, på var och e av varablera etaol och tetraetylbly. För varje kombato av dessa våer mättes därefter oktatalet. De olka mätgara gjordes slumpmässg ordg. Resultatet framgår av tabell eda, där varablera etaol och tetraetylbly ages med kodade värde. Tabell. Oktatalet bes vd olka våer av varablera etaol och tetraetylbly (kodade eheter). Materalet är hämtad frå Aff och Aze: Statstcal Aalyss: A Computer Oreted Approach. Etaol Tetraetylbly Oktatal Etaol Tetraetylbly Oktatal V ska u försöka htta e modell som på ett ekelt sätt beskrver hur etaol och tetraetylbly påverkar oktatalet. Eftersom v te vet elgt vlke fukto som oktatalet beror på etoal och tetraetylbly, så gör v e första approxmato med e Taylorutvecklg av första ordge. Det ebär att v atar att det förvätade oktatalet ka beskrvas med följade uttryck (39) ( ) β β β EY = + X + X, där Y = oktatalet, X = etaol och X = tetraetylbly. Om v dessutom atar att slumpfelet är ormalfördelat så får v följade multpla regressosmodell: (4) Y = β + β X + β X + ε, där ε N(, σ), =,,...,, ε, ε,..., ε är oberoede stokastska varabler, Y = oktatalet, X = etaol, X = tetraetylbly, X, X. V ka u, utgåede frå värdea tabell, uppskatta parametrara modelle (4) med msta-kvadratmetode. Se Appedx för hur skattgara tas fram. Om v Mtab aväder kommadot Stat/Regresso/Regresso med Respose (Y ): och Predctors: etaol och bly får v resultatet tabell 6.

23 Kerst Väma SM 9--4 Tabell 6. Resultatet frå Mtab av regressosaalyse av modelle (4) Regresso Aalyss: Okta versus Etaol; Bly The regresso equato s Okta = 84, +,83 Etaol +,68 Bly Predctor Coef SE Coef T P Costat 84,43,83 3,4, Etaol,83,3,88, Bly,68,3 8,6, S =,398 R-Sq = 89,3% R-Sq(adj) = 87,7% Aalyss of Varace Source DF SS MS F P Regresso,3,76 4,33, Resdual Error 3,3,9 Total 36,84 Om v ebart hade tagt med etaol som förklarade varabel så hade v fått resultatet tabell 7. Tabell 7. Resultatet frå Mtab av regressosaalyse med ebart etaol som förklarade varabel. Regresso Aalyss: Okta versus Etaol The regresso equato s Okta = 93,9 +,83 Etaol Predctor Coef SE Coef T P Costat 93,94,89 3,86, Etaol,83,778,36,33 S = 3,47946 R-Sq = 8,4% R-Sq(adj) = 3,3% Aalyss of Varace Source DF SS MS F P Regresso 67,34 67,34,6,33 Resdual Error 4 69,49, Total 36,84 Om v ebart hade tagt med tetraetylbly som förklarade varabel så hade v fått resultatet tabell 8. Tabell 8. Resultatet frå Mtab av regressosaalyse med ebart bly som förklarade varabel. Regresso Aalyss: Okta versus Bly The regresso equato s Okta = 9, +,68 Bly Predctor Coef SE Coef T P Costat 9,96,4 43,4, Bly,68,7 4,67, S =,76 R-Sq = 6,9% R-Sq(adj) = 8,% Aalyss of Varace Source DF SS MS F P Regresso 44,8 44,8,79, Resdual Error 4 9,6 6,6 Total 36,84

24 Kerst Väma SM 9--4 Frå tabell 7 ser v att etaol esam förklarar 8.4% av de totala varatoe hos oktatalet meda tetraetylbly esam förklarar 6.9% av de totala varatoe hos oktahalte, elgt tabell 8. Tar v däremot med både etaol och tetraetylbly samtdgt modelle elgt (4) så förklarar de skattade modelle 89.3% av de totala varatoe hos oktahalte. Se tabell 6. Förklargsgrade deferas som tdgare formel (7) eller (8), me u är (4) Ŷ = b + b X + b X, där b, b och b är msta-kvadrat-metodes skattgar av β, β respektve β modelle (4). Se Appedx för hur skattgara tas fram. När v har e modell med två förklarade varabler skattar v alltså ett pla X - X -Y-rummet. Frå tabell 6 ser v att det skattade plaet exempel är (4) Y ˆ = X +.68 X. Det skattade plaet ka v rta upp som ett pla Mtab. Se fgur 6. Om v tolkar koeffcetera (4) ord så får v att för fxt värde på X = etaol så ökar oktatalet geomstt.68 eheter om tetraetylbly ökar e ehet. Samtdgt ser v att för fxt värde på X = tetraetylbly så ökar oktatalet geomstt.83 eheter om etaol ökar e ehet. Surface Plot of Y-predkterat vs Bly; Etaol Y-predkterat Etaol 3 4 Bly Fgur 6. Det skattade plaet (4). Lksom vd de ekla regressoe gäller att de totala kvadratsumma ka delas upp e regressoskvadratsumma och e resdualkvadratsumma elgt formel (9). Me u blr tllhörade frhetsgrader aorluda. Se tabell 6. Det ebär att resdualvarase beräkas som (43) s ˆ ( Y Y) resdualkvadratsumma = = 3 3 = e Observera att (43) gäller fallet med förklarade varabler. Se Appedx för de allmäa stuatoe.

25 Kerst Väma SM 9--4 Eftersom v u har tre regressosparametrar ( β, β och β ) assoceras resdualkvadratsumma med 3 = 6 3 = 3 frhetsgrader. Av de totala frhetsgradera blr då vd dea regressosaalys, med två förklarade varabler, frhetsgrader över tll regressoskvadratsumma. Resdualsprdge får v som tdgare geom att dra rote ur resdualvarase. Frå tabell 6 ser v att de blr S = Det ebär att observatosvärdea av oktatalet sprder geomstt ut sg.4 eheter Y- led krg det skattade plaet (4). Vd multpel regresso är det megsfullt att föra ett ytt mått som har med förklargsgrad att göra. Det är de justerade förklargsgrade, som beteckas med R a. De justerade förklargsgrade deferas, är v har förklarade varabler och därmed 3 regressosparametrar, som (44) R resdualkvadratsumma/( 3) = = ( R ) totala kvadratsumma /( ) 3. a Observera att (44) gäller fallet med förklarade varabler. Se Appedx för de allmäa stuatoe. Om de justerade förklargsgrade (44) jämförs med förklargsgrade deferad elgt formel (8) så framgår det att R a tar ma häsy tll hur måga frhetsgrader som respektve kvadratsumma har. Det görs te R. Det ebär att R ka fås att bl godtycklgt ära geom att ta medtllräcklgt måga osesvarabler modelle. Det betyder att R te dkerar att modelle blvt sämre är osesvarabler lagts tll. Me det gör de justerade förklargsgrade R a. De justerade förklargsgrade är ett mått som aväds är ma jämför modeller med olka måga förklarade varabler. Då väljer ma oftast de modell som vsar högst värde på de justerade förklargsgrade R a. Förklargsgrade R ka alltd tolkas som adel förklarad Y-varato, me de tolkge gäller te för de justerade förklargsgrade R a. De två olka måtte bär alltså på delvs olka formato och båda behövs vd multpel regresso. Precs som vd ekel regresso ka v äve här testa tressata hypoteser eller blda kofdestervall. Om modelle formel (4) gäller så ka ma vsa att för de skattade regressoskoeffcetera, k =,, gäller följade: b k (4) b k β k s bk är observatoer frå e t-fördelg med 3 frhetsgrader. Här beteckar s stadardavvkelse för b b k k och de ges umerskt tabell 6 uder rubrke SE Coef bredvd Coef. Uttryckt formel så blr det mer komplcerat ä fallet med de ekla regressoe. Se Appedx. Observera att atalet frhetsgrader t- fördelge blr 3 eftersom det är 3 regressosparametrar som skattas. Se Appedx för det allmäa fallet. Med hjälp av (4) ka v, lksom tdgare, udersöka om det är värt att ta med X respektve X modelle, d v s testa om v ka påstå att β respektve β är sgfkat skld frå. Det gör v geom att på sgfkasvå α testa ollhypotese H : β =, gvet att X går modelle mot hypotese 3

26 Kerst Väma SM 9--4 H β, gvet att X går modelle, : respektve ollhypotese H : β =, gvet att X går modelle mot hypotese H : β, gvet att X går modelle Som testvarabel aväder v det som tabell 6 står uder rubrke T, dvs t kvote (46) T = t-kvot = b s k bk. Beslutsstratege blr: förkasta ollhypotese H på sgfkasvå α om t kvot > t ( 3 /, α ) d v s v aser att βk, och att det därmed är värt att ta X k modelle, om t-kvote är tllräcklgt lågt borta frå. Vad som är tllräcklgt lågt borta frå bestäms av t- fördelge med 3 frhetsgrader. Nu behöver v te slå upp det krtska t-värdet t-fördelgstabelle uta ka stället jämföra det värde som står uder rubrke P tabell 6 med de förutbestämda sgfkasvå α. Om P-värdet < α så betyder det att t kvot > t ( 3 α / ), dvs H ka förkastas. Detta är alltså ekvvalet med resoemaget vd ekel regresso, se sdora 6 7. Om v bestämmer oss för att arbeta med sgfkasvå. så ser v frå tabell 6 att t-kvote för X -varabel etaol är.88 och motsvarade P-värde =. <.. V ka alltså påstå att β är sgfkat skld frå, dvs regressoskoeffcete för X -varabel etaol är sgfkat skld frå på %-vå och att det är värt att ta med etaolmägde som e förklarade varabel modelle (4) gvet att äve tetraetylbly går modelle. Om tetraetylbly te går modelle vsar tabell 7 att att regressoskoeffcete för varabel etaol te är sgfkat skld frå på %- vå eftersom då är P-värdet för etaol.33 >.. Det är alltså vktgt att båda varablera är med samtdgt modelle. Frå tabell 6 ser v också att t-kvote för X -varabel tetraetylbly är 8.6 och motsvarade P-värde =. <.. V ka alltså påstå att β är sgfkat skld frå, dvs regressoskoeffcete för X -varabel tetraetylbly är sgfkat skld frå på %-vå och att det är värt att ta med tetraetylbly som e förklarade varabel modelle (4), gvet att äve etaolvarabel går modelle. Det är alltså vktgt att båda varablera är med samtdgt modelle. Om v, med e rmlg grad av säkerhet, vll uppskatta hur stor effekte av etaol är på oktatalet, gvet att tetraetylbly hålls på kostat vå, så bldar v ett kofdestervall. Med hjälp av resultatet (4) får v att ett kofdestervall för β k med kofdesgrade α blr (47) b ( 3) k ± tα / sb, k =,,. k 4

27 Kerst Väma SM 9--4 Med α =.99 får v följade kofdestervall för β : (48) t..83 ± (3).3 =.83 ± 3..3 =.83 ±.939. och för β : (49) t..68 ± (3).3 =.68 ± 3..3 =.68 ±.939. Geom att avruda tervallgräsera så att tervallet te mskar får v att [.8,.8] är ett 99% kofdestervall för β. Det ka v ord uttrycka som att med 99% säkerhet gäller att, för fxt värde på tetraetylbly, så ökar oktatalet geomstt mella.8 och.8 eheter om etaolvarabel ökar med e kodad ehet. På motsvarade sätt får v att [.7, 3.7] är ett 99% kofdestervall för β. Tolkat ord blr det att med 99% säkerhet gäller att, för fxt värde på etaol, så ökar oktatalet geomstt mella.7 och 3.7 eheter om tetraetylblyvarabel ökar med e kodad ehet. Observera att vd tolkgara av kofdestervalle är det vktgt att det framgår att förädrge oktahalte gäller då de ea varabel hålls kostat meda de adra ökar med e ehet.. Resdualaalys och aalys av flytelserka observatoer Frå resoemaget föregåede avstt ka v dra slutsatse att de skattade modelle (4) förklarar 89.3% av de totala varatoe oktatalet och att båda koeffcetera är sgfkat sklda frå på % sgfkasvå, dvs både etaol och tetraetylbly ska tas med modelle. Me a aalyse är avslutad ska e resdualaalys göras för att udersöka att modellatagadea (4) är rmlga. Med ett ormalfördelgsdagram över resdualera ka v kotrollera ormalfördelgsatagadet hos resdualera. Se fgur 7. Av fgur 7 ser v att ormalfördelgsatagadet verkar rmlgt eftersom resdualera stort sett lgger lägs e lje ormalfördelgsdagrammet. 99 Normal Probablty Plot of the Resduals (respose s Okta) 9 9 Percet Resdual 3 Fgur 7. Normalfördelgsdagram över resdualera frå de skattade modelle (4). Geom att plotta de stadardserade resdualera mot Yˆ samt mot X och X ka v udersöka om modelles vätevärde, E(Y), är rmlgt, om stadardavvkelse σ är kostat och om det fs utelggare. Om de flesta stadardserade resdualera lgger slumpmässgt krg om ett bad mella och så fs get som atyder modell-

28 Kerst Väma SM 9--4 fel. Om ma ser ett tydlgt kurvmöster behöver modelle förbättras geom att E(Y) ädras. Om ma ser e tydlg trattform eller aat möster som tyder på cke-kostat sprdg hos de stadardserade resdualera så är te stadardavvkelse σ kostat. I fgur 8 vsas de tre resdualplottera. Resduals Versus the Ftted Values (respose s Okta) Stadardzed Resdual Ftted Value 4 8 Fgur 8. Stadardserade resdualera frå de skattade modelle (4) plottade mot predkterade oktatale Yˆ. I resdualplotte mot Yˆ fgur 8 ser v e utelggare med e stadardserad resdual på drygt vd Yˆ -värdet ugefär 93. Dea utelggare gör dagrammet fgur 8 ågot svårtolkat. Bortser v frå de så ka v dra slutsatse att det te fs ågot tydlgt kurvmöster. Det betyder att atagadet som gjorts för E(Y) verkar rmlgt. Om v återge bortser frå utelggare så tycks sprdge hos resdualera öka ågot med ökade värde på Yˆ, vlket atyder cke-kostat sprdg. Me tar v häsy tll utelggare ka v te dra slutsatse om ökad sprdg. V måste gå vdare och studera resdualplottera mot X och mot X fgur 9 och för att kua ta reda på om det fs evetuella modellfel. Resduals Versus Etaol (respose s Okta) Stadardzed Resdual Etaol 4 Fgur 9. Stadardserade resdualera frå de skattade modelle (4) plottade mot etaol. 6

29 Kerst Väma SM 9--4 Resduals Versus Bly (respose s Okta) Stadardzed Resdual Bly 4 Fgur. Stadardserade resdualera frå de skattade modelle (4) plottade mot tetraetylbly. Både fgur 9 och atyder att v har cke-kostat sprdg. Sprdge då etaolvärdet är verkar betydlgt större ä då etaolvärdet är 4 t ex. Blyvärdet 3 verkar ge lägre sprdg ä blyvärdet och t ex. Detta modellfel medför att de skattade sprdge för bk blr större ä de skulle behöva vara, me det påverkar te värdea på de skattade koeffcetera. Eftersom de skattade koeffcetera är tydlgt sgfkat sklda frå så påverkar det te vår slutsats om effektera hos etaol och bly ämvärt. Om ma vll förbättra sa skattgar och få dessa mer effektva så får ma göra e s k vägd regresso. Me detta tas te upp här. För att udersöka om ågo av observatospuktera är specellt flytelserka så sparar v leverage- och DFITS-värdea Mtab. Lådagramme av dessa värde fs fgur -. För e beskrvg av flytelserka pukter se avstt 7, sd 6-8.,3 Boxplot of Leverage, Leverage,,, Fgur. Leveragevärdea som hör tll de skattade modelle (4). Slutsatsera som ka dras frå fgur är att ga observatoer har höga leveragevärde. Gräsvärdet för e flytelserk observato är K/ = 3/6 =.37 för leverage-värdet. (Se sda 6.) I fgur fs flera observatospukter som ger upphov tll DFITS-värde vars belopp är större ä. För att få bättre överblck över värde vars belopp är större ä 7

30 Kerst Väma SM 9--4 görs e dotplot Mtab. Se fgur 3. Där framgår att två observatoer har DFITSvärde vars belopp är större ä. De svarar mot rad (Etaol =, Tetraetylbly = ) och rad 4 (Etaol =, Tetraetylbly = ) tabell. De ka betraktas som flytelserka. De måste udersökas ärmare så att de te är felaktga. Om det fs möjlghet att ta fram fler mätvärde, så ska det göras för de X -värde som gett upphov tll höga DFITS-värde. Aväder v det mer specfka gräsvärdet för DFITS-värdea så blr det här K / = 3/6 =.87. Frå fgur 3 ser v att ga ya värde deferas som flytelserka, förutom de två som reda har upptäckts., Boxplot of DFITS,, DFITS,, -, -, -, Fgur. DFITS-värdea som hör tll de skattade modelle (4). Dotplot of DFITS -, -, -,, DFITS,,, Fgur 3. DFITS-värdea som hör tll de skattade modelle (4).. Progostervall samt kofdestervall för förvätat Y-värde. På motsvarade sätt som vd ekel regresso ka ma, för gva värde på X-varablera, vd multpel regresso blda ett kofdestervall för det förvätade Y-värdet, EY ( ), eller ett progostervall för Y. Atag att v vll blda dels ett 99% kofdestervall för det förvätade oktatalet exempel och dels ett 99% progostervall gvet att etaolvärdet är och tetrablyvärdet är. För att blda kofdestervallet utgår v frå följade: 8